2025年高考數學模擬卷（新課標Ⅱ卷專用）解析版

備戰(zhàn)2025年高考數學模擬卷（新課標n卷專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.已知集合尸==eN：,Q=[x\-l<x<4},則P口。=（）

A.{1,2,4}B.{0,1,3}C.{x|0<x<3}D.{x|-l<x<4}

【答案】B

【分析】根據集合P，知x+l=l或2或4,從而得尸={01,3},再結合集合的交集運算性質運算即可.

【詳解】由尸=卜〃=。/€可，得x+l=l或2或4,故尸={0,1,3}.

因為。={x|-lVxW4},所以PnO={04,3}.

故選：B.

2.已知首項為-1的等差數列{%}的前“項和為{》},%+%+%=%+。4，則與=（）.

A.25B.37.5C.50D.67.5

【答案】B

【分析】根據等差數列基本量的計算即可求解.

【詳解】由題意知％=-1,%+%+%=%+%O%+%+2d+%+4d=%+d+%+3dnd=；,

-1+|-l+14x-xl5

所以：。,I2

兒='—=37.5

2

故選：B

3.若。=1.0出，&=1.0106，C=0.6°5,則()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【分析】根據已知條件，結合指數函數、塞函數的單調性，即可求解.

【詳解】y=l.oi\在R上單調遞增,

0.6>0.5,

故1.01°6>1.01°5,所以/,>“，

尸產,在[0,+8）上單調遞增,

1.01>0.6,故1.0產$>0.6嘰即a>c,所以6>。>0.

故選：D

4.已知非零向量萬，b,則中+可中-中是“向量空尸的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據充分條件、必要條件的定義及數量積的運算律判斷即可.

【詳解】因為B為非零向量，

若歸+同=口一可，則（1+町=伍-町，則丁+2萬萬+后=&2-2鼠5+小，

所以4展B=o,所以nB，故充分性成立；

若a，b，則萬萬二。，所以方2+21.3+后=12一2].日+/，

所以卜+4=他一4，則歸+可=歸一可，故必要性成立；

所以中+司小-中，是“向量14”的充要條件.

故選：C.

5.已知函數/（%）="-1口（％+2）在區(qū)間（2,3）上單調遞增，則。的最小值為（）

,11

A.1B.2C.-D.—

45

【答案】c

【分析】由題意可知/'（x）=a二20在區(qū)間（2,3）上恒成立，進而分離參數得“2—

,從而由函數

g（x）=e（2,3）的單調性即可求解.

【詳解】由題意可得/'（X）=4-士20在區(qū)間（2,3）上恒成立，

所以心一

設函數g（x）=±,xe（2,3）,易得g（x）在（2,3）上單調遞減，

故a*⑵=；,即。的最小值為;.

故選：c.

6.一個正四面體邊長為3,則一個與該正四面體體積相等、高也相等的正三棱柱的側面積為()

A.9A/2B.3A/3C.976D.372

【答案】A

【分析】根據題意求出該正四面體的體積和高，繼而可求出正三棱柱的底面積，即可得出正三棱柱的底面

邊長，繼而可求正三棱柱的側面積.

【詳解】如圖E為BC中點，尸為點。在底面的投影，

D

B

由題意得4B=3,BE=3,/￡=36,AF=-AE=yf3,

223

DF=YIAD2-AF2=卜R,

所以該正四面體的體積為KJx3x辿=

3224

所以正三棱柱的體積為迪，高為指，

4

972

所以正三棱柱的底面積為工=邁，

八一4

設正三棱柱的底面邊長為。，則5=\4.1°=地，

224

可得a=V3，

所以正三棱柱的底面邊長為百，

所以該正三棱柱的側面積為6x#x3=9后.

故選：A.

7.已知定義域為R的函數［(x)滿足了(尤-2)是奇函數,/(x)是偶函數，則下列各數一定是/(x)零點的是

()

A.2019B.2022C.2025D.2028

【答案】B

【分析】由已知條件確定函數周期，再逐項判斷即可.

【詳解】因為/(%-2)是奇函數,所以/(》一2)=-/(一。一2)且/(-2)=0,

令x-2=t,可得：/0=-/(-"4)

因為/(》)是偶函數，/(2)=0且/(一/-4)=%+4),

所以/?+4)=-/。)，

所以/?+8)=-/?+4)=/(。,

所以定義域為R的函數/(x)一個周期為8,

所以/(2019)=f(252x8+3)=〃3)無法判斷，

7(2022)=/(252x8+6)=/(6)=/(-2)=0,

/(2025)=/(253x8+l)=/(l),無法判斷.

/(2028)=7(253x8+4)=/(4),無法判斷.

故選：B

8.已知拋物線C：x2=2分(p>0)的焦點為凡過點打3,-2)作C的兩條切線，切點為4,B,且。為。上

一動點，若|。F|+|尸。|的最小值為5,則△以3的面積為()

125—75125

A.75B.----C.—D.----

224

【答案】D

【分析】根據拋物線定義得到P=4,再利用導數得到切點弦所在直線方程，再求出直線的長和點尸到

直線48的距離，最后利用三角形面積公式即可.

【詳解】當F,Q,P三點共線時，|"|+|尸取得最小值，且尸|+|P0|)1nhi=|依卜5,

所以|)|=，9+§+2)2=5,解得P=4,所以C:/=8y.

由y=得=

o4

設/(XQi),8(%,%),則曲線y=：x*x=再處的切線方程為=:西?(尤-西),

oo4

13

即了=；再X-耳.因為切線過點尸(3廠2),所以一2=：網-必.

同理可得2=；3%-%,所以直線AB的方程為-2=：3x-y,即3x-4y+8=0.

f3x-4y+8=0,17

聯立方程組<2。得2y2-17y+8=0,A=172-64=225>0,貝!I弘+%=彳.

Ix-=8%2

75

因為直線AB過焦點F,所以|/同=%+%+4=],

點P至！]直線3x—4y+8=0的距離“J.3X34；2)+8」=5,

1125

所以治咖=》/8”=丁?

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵之一是利用拋物線定義和三點共線得到。，再然后是利用導數得到切點

弦所在直線方程，最后再求出|AB|和點尸到直線的距離.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.函數/'（x）=/sin（@x+9乂/>0,0>0,0<。<兀）的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（）

71

B.（p=~

3

C./（X）關于x=T對稱

D.將函數/（x）的圖象向右平移三個單位長度得到函數力（無）=2sin2x

【答案】AC

【分析】根據"浮女可得。=2,代入最高點可得0」，進而求出函數〃x）的表達式，即可判

4126406

斷AB,代入驗證即可判斷C,根據平移即可求解D.

【詳解】由圖象可知/=2,7=7T-7=7X--解得7=兀，0=2，

41264公

又〃與=2,所以2sin（g+夕）=2,即打9=?+2何以Z,

6332

結合0＜。＜兀，可知左=0,0=2,得/（X）的表達式為/（x）=2sin（2x+?）,故A正確，B錯誤，

66

對于C,由于/Q=2sin（空+3=2sin*-2,即〃x）的圖象關于尤="對稱，故C正確；

53623

對于D,函數〃x）的圖象向右平移9個單位長度可以得到函數g（x）=2sin[2（x-?+白=2sin（2x-》，故D錯

6boo

誤.

故選：AC.

10.已知s,為數列｛叫的前〃項和，若邑=34+”,則（）

A.%=（B.數列1｝為等比數列

【答案】BCD

【分析】當〃=1時，S[=3q+1,解得q=-g；根據S"=3%+〃，可得當〃上2時，S“_[=3%_]+〃-1,從

而得即=根據B可求得=從而可求出5“=3-31|1+”.

【詳解】A：當〃=1時，岳=31+1,解得%=一:，故A錯誤；

B：因為S,=3〃”+〃，當〃22時，81=3%+九-1,

31

將兩式相減可得=34-3a〃_i+l,即"〃=萬?！╛1-],

313

則4〃一1=5（?！?1一1），因4=-5，貝!）q-1=一5，

數歹！J｛%T｝為首項為-；a，公比為搭a的等比數列，故B正確；

C：由B可得%=所以故C正確；

D：Sn=3a?+?=3-30J+n,故D正確.

故選：BCD.

11.若函數/(工)=/+加+岳:+。，貝！|()

A./(x)可能只有1個極值點

B.當/(x)有極值點時，/>36

C.存在。，使得點(0,〃0))為曲線y=〃x)的對稱中心

D.當不等式/(x)<0的解集為(-s,l)U(l,2)時，/(X)的極小值為

【答案】BCD

【分析】A項,根據判別式分類討論可得;B項，〃x)有極值點轉化為A20,結合A項可得;C項，取“=b=0,

驗證可得；D項，由不等式解集結合圖象可知，1和2是方程〃x)=0的兩根且/(1)=0,解出系數a,b,c,

代入函數求解極值即可判斷.

【詳解】f(x)-x3+cue2+bx+c,

貝!I/(x)=3/+2ax+b,令f\x)-3x2+2ax+b=0,

△=4/-126=4(4一36).

A項，當/一3b40時，/,(x)>0,則〃x)在R上單調遞增，不存在極值點；

當/-3b>0時，方程3/+2"+6=0有兩個不等的實數根，設為再產2，西<了2，

當x<x［時,f'(x)>0,〃x)在單調遞增；

當再<》<三時，f\x)<0,/(x)在(國,％)單調遞減；

當》>三時，r(x)>0,〃x)在5,+8)單調遞增；

故〃x)在x=看處取極大值，在處取極小值，即存在兩個極值點；

綜上所述，不可能只1個極值點，故A錯誤；

B項，當/(x)有極值點時,/'(無)=0有解，貝！］公=4/一126=4(/一36)20,

即1-36W0.由A項知，當/一36=0時，〃x)在R上單調遞增，不存在極值點；

故/>36,故B正確；

C項，當。=6=0時，f(x)=x3+c,

f(-x)=-x3+c,所以〃x)+/(-x)=2c,

則曲線〃x)關于(0,c)對稱，

即存在。，使得點(OJ(O))為曲線y=f(x)的對稱中心，故C正確;

D項，不等式/@)<0的解集為(-8,1)1(1,2),

由A項可知僅當/一36>0時，滿足題意.

則/(1)=0且*2)=0,且f(x)在x=1處取極大值.

\+a+b+c=0一仿二一3〃一7

,則有1

8+4Q+26+C=0。=2。+6

故/(x)=/+ax2-(3a+7)x+2〃+6,

f\x)=3x2+2ax-(3a+7),

又八l)=3+2a_3"7=_a_4=0,

解得”=—4,

故/(x)=J-4x2+5x-2,

貝丫口)=312_81+5=0_1)(3]_5),

當x<l時,Ax)>0,則在(-8,1)單調遞增；

當時，r(x)<o,則〃x)在向單調遞減；

當r(x)>o,則〃x)在1,+j單調遞增；

故〃尤)在x=l處有極大值，且極大值為/⑴=0；

/⑴在/5處有極小值，且極小值為/(目5、=詈125—4x925+5x52=-j4

故D正確.

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：本題解決關鍵在于D項中條件“不等式/'仁卜。的解集為(-叫2)，，的轉化，一

是解集區(qū)間的端點是方程〃x)=0的根，二是在無=1處取極值，從而/''(1)=0.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.根據學校要求，錯峰放學去食堂吃飯，高三年級五樓有4個班排隊，1班不能排在最后，4班不能排在

第一位，則四個班排隊吃飯的不同方案有種.(用數字作答)

【答案】14

【分析】根據題意，由間接法代入計算，即可得到結果.

【詳解】總方案有A：種，1班排在最后有A；種方案，4班排在第一位有A；種方案，

1班排在最后且4班排在第一位有A；種方案，

則滿足要求的方案有A：-2A；+A”14種.

故答案為：14

13.若曲線y=e，在點(0,1)處的切線也是曲線＞=ln(x+l)+。的切線，則。=.

【答案】1

【分析】先求出曲線y=e'在(0,1)的切線方程，再設曲線＞=ln(x+l)+。的切點為(%,ln(x0+1)+a),求出,

利用公切線斜率相等求出％表示出切線方程，結合兩切線方程相同即可求解

【詳解】由…,得了=e3yU=e°=l,

故曲線y=e'在(0,1)處的切線方程為y=x+l；

由尸ln(x+l)+a,=^—，

x+l

設切線與曲線＞=ln(x+l)+a相切的切點為(%,山(%+1)+&),

由兩曲線有公切線得了=士=1,解得％=0,

十I

則切點為(0,。)，切線方程為y=x+a,

根據兩切線重合，解得4=1.

故答案為：1.

i7

14.已知函數/(x)=Y+2x,若機>0,?>0,且/(2加)+/(“-1)=〃0),則上+上的最小值是

mn

【答案】8

【分析】由函數奇偶性的定義可知/(x)為奇函數，根據單調性可知2加+〃=1,然后結合基本不等式即可求

解.

【詳解】函數/(x)的定義域為R,且〃r)=(f)3-2x=_〃x),

所以/(x)為奇函數，又/'(X)=3X2+2>0,所以函數單調遞增，

又/(。)=0,所以/(2加)+/(〃-1)=0,

所以2m+〃-1=0,即2m+n=lf

山ri12(\2\_x.n4..In4m

所以一+—=—+-(2m+n)=4+—F—>4+2——=8o,

mnn)mnn

、r,rI〃4m叩11yr,、、.

當且僅當一=—，即〃=7,等節(jié)成工，

mn24

1?

所以▲的最小值為8?

mn

故答案為：8.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)在VZBC中，角A,B,。的對邊分別是。，b,c,且GsinB-Zsin?0=1.

2

(1)求角5的大?。?/p>

Q)若b=2也,。為4。邊上的一點，BD=3,且,求V/BC的周長.

(從下面①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答)

①BD是NB的平分線；

②。為線段4。的中點

【答案】(1)5=1

(2)選①和②，答案均為

【分析】(D根據三角函數恒等變換得到sin(8+《)=1,從而求出8=方；

(2)選①，由三角形面積公式得到ac=6(。+c),由余弦定理得至！J/+/-4C=12,求出〃+c=4下,得

到周長;

選②，BD=^(BA+BC^a2+c2+ac=36,由余弦定理得/+c?-ac=12,聯立求出a+c=4G，

得到周長.

【詳解】(1)因為百sin8-2sin2^=l,可得GsinB-。-cosB)=1,

故6sinB+cosB=2,故2sin(8+￡)=2,

可得sin(8+￡|=l,

因為8e(O,7i),8+所以B+￡=g,可得2=9

6166J623

(2)若選①：由AD平分得：S^ABC=‘△ABD+S^BCD，

BO—6zcsin—=—xsin—+—x3csin—,即QC=VJ(Q+c),

232626v7

在VABC中，由余弦定理得〃=/+，_2^ccos—,

3

W?a2+c2-ac=n,兩式聯立可得Q+C=4G，

所以V/BC的周長為Q+6+C=4>Q+2G=6G;

若選②：。為線段4C的中點，故麗=g（或+前「

麗2=：（加+就丁=：（加2+2加.就+

JT12.7L9

因為8=；,BD=3,故了c+2c?acos—+。=9,

343

整理可得Q2+02+QC-36,

在VABC中，由余弦定理得〃=a2+/-2accos—,

3

所以/+。2-ac=12,

兩式聯立可得QC=12,所以。+°=4君，

從而V/5C的周長為“+6+0=46+26=66.

16.（15分）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發(fā)放節(jié)日紅包.在一個不透明的袋子中裝有〃個形狀大小

相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取機個球（冽工功，摸完后全部放回袋中，球上所標

的面值之和為該員工所獲得的紅包數額.

⑴若〃=4,冽=2,當袋中的球中有2個所標面值為40元，1個為50元，1個為60元時，在員工所獲得的

紅包數額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率;

⑵若"=5,m=4,當袋中的球中有1個所標面值為10元，2個為20元，1個為30元，1個為40元時，求

員工所獲得紅包數額的數學期望與方差.

【答案】(1《3

⑵期望為96；方差為104

【分析】(D記事件A：員工所獲得的紅包數額不低于90元，事件8：取到面值為60元的球，根據條件

先求尸(/),尸(48),再利用條件概率公式，即可求解；

(2)由題知X可能取值為80,90,100,110,再求出對應的概率，利用期望和方差的計算公式，即可求解.

【詳解】(D記事件A：員工所獲得的紅包數額不低于90元，事件3：取到面值為60元的球，

因為球中有2個所標面值為40元，1個為50元，1個為60元，且

40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以尸(4)=邑^^=°,

c46

又「所以尸(面加瑞VI?

6

(2)設X為員工取得的紅包數額，則X可能取值為80,90,100,110,

所以P(X=80)=g=g尸(X=90)==J,

2211

尸(X=100)=曰=7尸(X=110)=e=歹

1121

所以E(X)=80x-+90x—+100x-+110x—=96,

5555

1121

Z)(X)=(80-96)2X-+(90-96)2X-+(100-96)2X-+(H0-96)2X丁104.

17.(15分)如圖，在六面體中，AAJIBBJICCJIDD,,且底面/BCD為菱形.

(1)證明：四邊形〃為平行四邊形.

⑵若AAt1平面ABCD,=CC15/BAD=60°,DD,=5,AB=BB,=2,求平面AXBXCXDX與平面ABCD所成二

面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)3A/T|

13

【分析】(D由題意可證明平面8CG4〃平面44D。，利用面面平行的性質可得4G//42,同理可得

ABJ/CR,進而可證結論；

(2)建立空間直角坐標系，設/4=〃，利用福=萬高，可求得力=5,求得平面445。與平面N3C。的

法向量，利用向量法可求得平面44G2與平面ABCD所成二面角的正弦值.

【詳解】(D因為四邊形48C。為菱形，所以3C〃/D,

又ADu平面AXADDX,BC<Z平面A.ADD,,

所以BC//平面//。2，

又BB\UAA\,/4<=平面42。2,340平面4402，所以AS//平面

因為8月口8c=3,BB],BCu平面BCC/i，所以平面BCQ4〃平面，

因為平面44G2n平面BCCR=B6,平面4紇?？趎平面A{ADD{=G,

所以4￡//42，

同理可得4BJ/C\DI,所以四邊形AMQi為平行四邊形.

(2)由題意得8。=2,/。=26.以菱形4267)的中心。為坐標原點，

赤，1的方向分別為xj軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系。刈z,

設/4=〃，則不。，一G,〃)，4(i,o,2),￡(o,e?，2(T,o,，.

因為四邊形4452為平行四邊形，所以福=帚,

則(1,6,2--5),所以2-〃=〃-5,得力=：,

所以函=[1,△-j,麗;=11,百,|).

設平面45cl2的法向量為％,

則AE?n]=0,AR?々=0,

x+---z—0,

2

即，3

-x+-x/Sjv+~z—0,

令z=2,得々=(3,0,2).

易知平面ABCD的一個法向量為鼠=(0,0,1),

——幾1外22用

則外,%=尸桁

cos713x1-13，

所以平面4B￡R與平面ABCD所成二面角的正弦值為上叵.

13

22

18.(17分)已知橢圓C:「+《=l(a>6>0)的左、右焦點分別為F、、F”N(-2,0)為橢圓的一個頂點,

ab

且右焦點凡到雙曲線.犬-/=2漸近線的距離為叵,

2

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)設直線/2=履+冽。*0)與橢圓C交于4、8兩點.

①若直線/過橢圓右焦點色，且△，歹山的面積為更，求實數人的值；

5

②若直線/過定點尸(0,2),且左>0,在x軸上是否存在點7億0)使得以竊、窗為鄰邊的平行四邊形為菱形?

若存在，則求出實數/的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴二+片=1

43

「君)

(2)①后=±G;②--—,0

【分析】(1)利用點到直線的距離公式求解橢圓參數即可；

(2)①把直線與橢圓聯立方程組，利用弦長公式和點到直線的距離公式，即可求出面積等式，最后求解k

的值；

②把菱形問題轉化為對角線互相垂直問題，最后轉化為兩對角線的斜率之積為-1,通過這個等式轉化為，的

函數，即可求解取值范圍.

【詳解】(1)由雙曲線.長-『=2的漸近線方程為x±y=O,

再由橢圓C:]+/=l(a>b>0)的右焦點分別為八30)到漸近線的距離為當可得:

'=因為c>0,所以解得c=l,

7TW

再由橢圓的一個頂點為N(-2,0),可得a=2,

所以由〃=片-/=4-1=3,

即橢圓C的標準方程為—+^=1；

(2)①直線/：N二6+冽化wO)過橢圓右焦點Fz可得：0=k+m,即加=-左，

所以由直線/：了=左(》-1)與橢圓c的標準方程[+[=1聯立方程組，消去y得:

(4后2+3)x2-8左?x+4左2-12=0,

設兩交點A(x>yjB(X,y).則有x,+x=x=工

222Xl2J,

^rK十3^TK十3

44k2-12_12（H+

所以|/兇=J1+左"卜］—X?|=yjl+k

4k2+3-41+3

/、I-2A-I

又橢圓左焦點Fi(-1,0)到直線/：k(x-l)-y=0的距離為,

12（左2+1）86

所以S4崗5=——?

4k2+35

解得：后2=3或左2=-.(舍去)，即4=±若；

②假設存在點T&0)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，

由于直線過定點次0,2),且左>0,可知直線方程為>=日+2,

22

與橢圓土+匕=1聯立方程組，消去y得：(4F+3)Y+16丘+4=0,

由A=192左2—48>0,且左>0,解得左

2

設兩交點A(Xi，yjB(X2，y2),48中點?(%,%),則有七=標*,中2=艱工p

b1、iM+x-8k7.6

//1*?,y(\-kx(\+2=~，

024k2+3°4左2+3

—r—2k2

即％=一i=飛動一，整理得'=-燈=-二，

--二

4斤2+3-t---------------------------Kk

又因為左>；,所以軟+N46+力)，貝!he-骼，。［

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是把以以，窗為鄰邊的平行四邊形為菱形，轉化為對角線互相垂直，再

利用求解中點坐標來表示加斜率，最后利用斜率乘積等于-1,從而得到關于f的函數來求取值范圍.

19.(17分)對于函數/(X),若在定義域內存在實數%,且滿足/(-%)=/(%),則稱「(X)為“弱

偶函數”.若在定義域內存在實數看,滿足〃-/)=-則稱/'(X)為“弱奇函數”.

,、一，x<0

⑴判斷函數/(%)=X是否為“弱奇函數”或“弱偶函數”并說明理由；

x3,x>0

(vY-2m-V-4Y>-1

(2)已知函數%(%)=i)9~,為其定義域上的“弱奇函數”，求實數冽的取值范圍；

-4,x<—1

~31

⑶已知a>1,對于任意的此1,-,函數〃(x)=ln(x+l+a)+f+尤-6都是定義域為［-1,1］上的“弱奇函數”,

求實數。的取值范圍.

【答案】⑴/(尤)不是“弱偶函數"，/'(x)是“弱奇函數”，理由見解析

3

⑵加m>——

2

(3)l<6z<e-l

【分析】(1)根據題意“弱偶函數”、