二重積分的計(jì)算法教案

宿州學(xué)院第六屆“青年教師教學(xué)比賽”教案參賽教師:楊星星職稱(chēng):助教所在院系:數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院所授課程:高等數(shù)學(xué)20XX年5月第十章重積分第二節(jié)二重積分的計(jì)算法（第1課時(shí)）教學(xué)目的：理解二重積分計(jì)算公式導(dǎo)出的方法，理解公式中符號(hào)的意義；熟練掌握X-型區(qū)域與Y-型區(qū)域上的積分公式，并能根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)姆e分次序計(jì)算二重積分.重點(diǎn)：X-型區(qū)域上二重積分的積分公式；根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)姆e分次序計(jì)算二重積分.難點(diǎn)：選擇合適的方法計(jì)算二重積分.教學(xué)方法：直觀教學(xué)，啟發(fā)式講授.教學(xué)過(guò)程：一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分1．積分區(qū)域D的分類(lèi)（1）積分區(qū)域D為X-型區(qū)域圖1圖2圖1，圖2表示的區(qū)域都是X-型區(qū)域.X-型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)D的內(nèi)部平行于y軸的直線(xiàn)與D的邊界的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)兩個(gè).用不等式組表示為（2）積分區(qū)域D為Y-型區(qū)域圖3圖4圖3，圖4表示的都是Y-型區(qū)域.Y-型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)D的內(nèi)部平行于y軸的直線(xiàn)與D邊界交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于兩個(gè).當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閅-型區(qū)域時(shí)，即2．二重積分計(jì)算公式（1）積分區(qū)域D為X-型區(qū)域時(shí)的計(jì)算公式.當(dāng)時(shí)，由二重積分的幾何意義的值等于以D為底，以為頂?shù)那斨w（圖5）的體積.即.過(guò)軸上點(diǎn)作平行于的平面,.圖5截得一以長(zhǎng)為底,為曲邊的曲邊梯形,其面積為..根據(jù)平行截面面積已知的立體求體積的方法，可得.于是.（2）積分區(qū)域D為Y-型區(qū)域時(shí)的計(jì)算公式說(shuō)明：這是在的條件下得到的計(jì)算公式,但是對(duì)于一般的情況這個(gè)公式依然成立.當(dāng)在D上變號(hào)時(shí)，由于，記，則在D上非負(fù)，在D上可以應(yīng)用上面的公式計(jì)算.于是.3．例題應(yīng)用例1.計(jì)算，其中D是拋物線(xiàn)及直線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域.解：把看成Y-型區(qū)域（圖6），則圖6另解：把看成X-型區(qū)域（圖7），則圖7例2.計(jì)算二次積分yy解：將所給的積分區(qū)域用不等式組表示xo畫(huà)出草圖（圖8），改寫(xiě)為：xo圖8.二次積分交換積分次序的步驟：（1）寫(xiě)出積分區(qū)域D；（2）畫(huà)出草圖；（3）將D改寫(xiě)為另一類(lèi)型的不等式組，交換積分次序。例題反思：化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分次序。這時(shí)，既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性。小結(jié)直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟：畫(huà)出積分區(qū)域二、選擇積分次序（依據(jù)：容易積分；分塊少）三、若D為X-型區(qū)域：若D為Y-型