高考《算法初步》的命題趨向與教學建議

高考《算法初步》的命題趨向與教學建議算法是《普通高中數(shù)學課程標準》中新增加的內(nèi)容。設(shè)置算法的目的是：讓學生集中學習算法的初步知識，主要包括算法的基本結(jié)構(gòu)、基本語句、基本思想等，算法思想將貫穿高中數(shù)學課程的相關(guān)部分，在其他相關(guān)部分還將進一步學習算法．2008年山東、廣東、海南、寧夏四地的高考數(shù)學《考試說明》與往年相比，出現(xiàn)了一些新變化，其中“算法與框圖”是高考新增加的內(nèi)容之一，對其考查力度要達到《標準》的要求，不能低估教材新增內(nèi)容在2008年高考中的地位。本文根據(jù)2008年高考《考試說明》和對實施新課標的幾個省市的高考真題進行研究，旨在總結(jié)和預測算法初步試題的考題類型，并提示解決此類問題的方法與規(guī)律。1．考查的形式與特點算法不僅是數(shù)學及其應用的重要組成部分，也是計算機科學的重要基礎(chǔ)。算法初步雖然是新課標增加的內(nèi)容，但與前面的知識有著密切的聯(lián)系，并且與實際問題的聯(lián)系也非常密切。因此，在高考中算法初步知識將與函數(shù)、數(shù)列、三角、概率、實際問題等知識點進行整合，是高考試題命制的新“靚”點。這樣試題就遵循了“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題”的命制原則，既符合高考命題“能力立意”的宗旨，又突出了數(shù)學的學科特點。這樣做，可以從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，可以揭示數(shù)學各知識之間得到的內(nèi)在聯(lián)系，可以使考查達到必要的深度?？疾樾问脚c特點是：選擇題、填空題主要考查算法的含義、流程圖、基本算法語句等內(nèi)容，一般在每份試卷中有1～2題，多為中檔題出現(xiàn)。在解答題中可通過讓學生讀程序框圖去解決其它問題，此類試題往往是與數(shù)列題結(jié)合在一起，具有一定的綜合性，可以考查學生的識圖能力及對數(shù)列知識的掌握情況。2．命題趨向與預測2．1考查算法的基本語句這類題型主要考查對基本算法語句的理解和應用，高考對算法語句的考查一般以選擇題、填空題的形式考查，一是對一個算法程序中缺少的關(guān)鍵語句進行補充，二是寫出一個算法執(zhí)行后的結(jié)果，難度不會太大。解答這類題目應注意熟練掌握賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的格式，能夠根據(jù)題目的要求，利用恰當?shù)乃惴ㄕZ句設(shè)計算法?！皒=3*5”，“x=x+1”是某一程序中的先后相鄰的兩個語句，那么下列說法中正確的是()x=3*5的意思是x=3*5=15，此式與算術(shù)中的式子是一樣的；x=3*5是將數(shù)值15賦給x；x=3*5可以寫成3*5=x；x=x+1語句執(zhí)行時，“=”右邊x的值是15，執(zhí)行后左邊x的值是16。A．①③ B．②④ C．①④ D．②③解析：由賦值語句的特點本題應選B。點評：本題主要考查賦值語句，在賦值語句中變量必須在等號的左邊，表達式必須在等號的右邊；一個語句只能給一個變量賦值，將一個變量的賦值給另一個變量，前一個變量的值保持不變；可先后給一個變量賦多個不同的值，但變量的取值總是最近被賦予的值。給出以下算法：S1 i=3，S=0S2 i=i+2S3 S=S+iS4 S≥2009？如果S≥2009，執(zhí)行S5；否則執(zhí)行S2S5 輸出iS6 結(jié)束則算法完成后，輸出的i的值等于。解析：根據(jù)算法可知，i的值in構(gòu)成一個等差數(shù)列{in}，S的值是數(shù)列{in}相應的前n項的和，且i1=5，d=2，所以in=2n+1。又S≥2009，所以n≥43，故in=89，所以輸出的i的值為89。點評：本題主要結(jié)合數(shù)列的知識考查用自然語言描述的算法，解題的關(guān)鍵是要理解S4。2．2考查程序框圖的功能此類題目有兩種題型：一是給出程序框圖來指出功能；二是指出程序框圖輸出的結(jié)果?？梢钥疾閷W生閱讀算法程序框圖的能力，對算法理解的程度，這是算法初步試題的重要題型之一。如圖，下列程序框圖可用來估計π的值(假設(shè)函數(shù)CONRND(－1，1)是產(chǎn)生隨機數(shù)的函數(shù)，它能隨機產(chǎn)生區(qū)間(－1，1)內(nèi)的任何一個實數(shù))。如果輸入1000，輸出的結(jié)果為788，則運用此方法估計的π的近似值為(保留四位有效數(shù)字)。是是否結(jié)束輸入ni=1m=0i≤NA=CONRND(－1，1)B=CONRND(－1，1)A2+B2≤1？m=m+1i=i+1輸出m開始否是是否結(jié)束輸入nS=0，T=0n=n－1n<2?S=S+nT=T+nn=n－1輸出S，T開始解析：本題轉(zhuǎn)化為用幾何概型求概率的問題。根據(jù)程序框圖知，如果點在圓x2+y2=1內(nèi)，m就相加一次；現(xiàn)N輸入1000，m起始值為0。輸出結(jié)果為788，說明是否結(jié)束輸入nS=0，T=0n=n－1n<2?S=S+nT=T+nn=n－1輸出S，T開始∴π=4p=4×EQ\f(788,1000)≈3.152點評：本題是算法框圖與幾何概型的整合，融合自然，具有創(chuàng)新性，有力地考查了基礎(chǔ)知識和邏輯思維能力，同時又能體會到求無理數(shù)近似值的一種算法，可培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識。(07高考山東)閱讀右邊的程序框圖，若輸入的n是100，則輸出的變量S和T的值依次是( )A．2500，2500 B．2550，2550C．2500，2550 D．2550，2500解析：由程序框圖知，S=100+98+96+……+2=2550T=99+97+95+……+1=2500，選D點評：該題主要考查算法流程圖、等差數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，以及算法思想、數(shù)據(jù)處理能力、語言轉(zhuǎn)換能力。本題采用直到型循環(huán)語句描述算法，解題的關(guān)鍵是循環(huán)體中兩個n=n－1的理解，明確循環(huán)一次后n的值就減少了2。2．3完善程序框圖中的條件或內(nèi)容是否是否結(jié)束i=1，sum=0，s=0sum=sum+1i=i+1s=s+1/(sum*i)輸出s開始一個算法的程序框圖如右圖所示，若該程序輸出的結(jié)果為EQ\f(4,5)，則判斷框中應填入的條件是。解析：由循環(huán)體可知，當sum=1時，s=0+EQ\f(1,1×2)；當sum=2時，s=EQ\f(1,2)+EQ\f(1,2×3)=EQ\f(2,3)，……，當sum=4時，s=EQ\f(3,4)+EQ\f(1,4×5)=EQ\f(4,5)，因此，判斷框中應填：“i<5?”或“sum<4？”點評：本題設(shè)計角度比較新穎，具有探索性，同時答案又具開放性。此題融算法、數(shù)列求和于一體，雖屬常規(guī)題，但由于問法不同，有力考查學生對數(shù)列、框圖等知識的掌握情況以及分析問題和解決問題的能力。(07高考廣東)如圖1是某縣參加2007年高考的學生身高條形統(tǒng)計圖，從左到右的各條形表示的學生人數(shù)依次記為A1、A2、……、A10(如A2表示身高(單位：cm)在[150，155)內(nèi)的學生人數(shù))。圖2是統(tǒng)計圖1中身高在一定范圍內(nèi)學生人數(shù)的一個算法流程圖?，F(xiàn)要統(tǒng)計身高在160～180cm(含160cm，不含180A．i<6 B．i<7 C．i<8 D．i<9EQ\f(,)EQ\f(,)人數(shù)(人)身高(cm)是否結(jié)束s=0，i=4s=s+Aii=i+1輸出s開始輸入A1、A2、……、A10圖1圖2解析：這題實質(zhì)是一個當型循環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計的算法，由題意要統(tǒng)計身高在160~180cm(含160cm，不含180cm)的學生人數(shù)，事實上，是圖1中條形圖從第四個矩形到第七個矩形所對應的人數(shù)之和，即A4+A5+A6+A7，因此由循環(huán)結(jié)構(gòu)，在流程圖中的判斷結(jié)構(gòu)內(nèi)應填寫的條件應是i點評：本題主要考查程序框圖中的當型循環(huán)結(jié)構(gòu)及統(tǒng)計學中的知識，體現(xiàn)出在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題的原則。解題的關(guān)鍵是了解條形圖的統(tǒng)計知識和當型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點，并注意WHILE型語句與UNTIL型語句之間的區(qū)別。2．4設(shè)計流程圖或編寫程序解決問題設(shè)計流程圖或編(改)寫程序解決問題，是算法初步試題中要求比較高難度也比較大的一種題型，此類試題一般會在解答題中出現(xiàn)，以算法為載體，同時也可與其它主干知識點進行交匯，要求學生對算法要有本質(zhì)的理解，這樣命題不僅關(guān)注學生的思維結(jié)果，更關(guān)注學生的思維過程。根據(jù)下面的要求，求滿足1+2+3+4+……+n>560的最小自然數(shù)n。要求畫出執(zhí)行該問題的程序框圖；以下是解決該問題的一個程序，但有幾處錯誤，請找出錯誤并在右邊改正。i=1s=1n=0Dos<=560s=s+ii=i+1n=n+1WENDPRINTn+1END解析：(1)程序框圖如下圖所示：是是否結(jié)束s=0s=s+is≤560？i=i+1輸出i－1開始i=1(2)應將“s=1”改為“s=0”；“Do”改為“WHILE”；“PRINTn+1”改為“PRINTn”(2)Y(2)YN結(jié)束(1)x≤50？輸出y開始輸入x2．5解決實際問題在編程的過程中，常常遇到實際問題，增加了解題的難度，處理這類問題的基本思路是：分析實際問題－－建立數(shù)學模型－－設(shè)計程序框圖－－用算法語言描述。此類試題情境設(shè)置比較新穎，可以考查學生的應用意識，使學生領(lǐng)悟算法思想不但體現(xiàn)在計算機程序設(shè)計中，還體現(xiàn)在日常生活中。鐵路托運行李，從甲地到乙地，按規(guī)定每張客票托運行李不超過50kg時，每千克0.2元，超過50kg時，超過部分按每千克0.25元計算，某同學畫出了計算行李價格的算法框圖(如圖所示)，則在程序框圖中(1)應填的內(nèi)容是；(2)應填的內(nèi)容是解析：由題意這兩處分別應填y=0.2*50+0.25*(x－50)和y=0.2*x。點評：本題主要考查關(guān)于條件語句的應用問題。通過數(shù)學建模，將實際問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問題，關(guān)于分段函數(shù)的題目在設(shè)計程序時都會用到條件語句，分類的標準是條件語句的條件。2．6算法初步知識的綜合應用算法初步的綜合應用主要體現(xiàn)在算法框圖與數(shù)列的綜合題聯(lián)系在一起，此類試題綜合性強、靈活性大，保持了能力立意的特點，備受命題者的青睞，成為新課標高考的一大亮點，是高考試題命制的全新嘗試。x=1，y=2，n=1x=x+2YN結(jié)束n=n+1n≤2008？開始輸出x，yy=3yx=1，y=2，n=1x=x+2YN結(jié)束n=n+1n≤2008？開始輸出x，yy=3y+2求數(shù)列{xn}的通項公式xn；寫出y1，y2，y3，y4，由此猜想出數(shù)列{yn}的一個通項公式y(tǒng)n，并證明你的結(jié)論；求zn=x1y1+x2y2+……+xnyn(x∈N*，n≤2008)解析：(1)由題意和框圖知，數(shù)列{xn}中，x1=1，xn+1=xn+2∴xn=1+2(n－1)=2n－1(n∈N*，n≤2008)(2)y1=2，y2=8，y3=26，y4=80由此猜想yn=3n－1(n∈N*，n≤2008)證明：由框圖知，數(shù)列{yn}中，yn+1=3yn+2∴yn+1+1=3(yn+1)∴EQ\f(yn+1+1,yn+1)=3，y1+1=3∴數(shù)列{yn+1}是以首項為3，公比為3的等比數(shù)列?！鄖n+1=3·3n－1=3n∴yn=3n－1(n∈N*，n≤2008)(3)zn=x1y1+x2y2+……+xnyn=1×(3－1)+3×(32－1)+……+(2n－1)·(3n－1)=1×3+3×32+……+(2n－1)·3n－[1+3+……+(2n－1)]記Sn=1×3+3×32+……+(2n－1)·3n ①則3Sn= 1×32+3×33+……+(2n－1)·3n+1 ②①－②得－2Sn=3+2×32+2×33+……+2×3n－(2n－1)·3n+1=2(3+32+……+3n)－3－(2n－1)·3n+1=2×EQ\f(3(1－3n),1－3)－3－(2n－1)·3n+1=2(1－n)·3n+1－6∴Sn=(n－1)·3n+1+3而1+3+……+(2n－1)=n2∴zn=(n－1)·3n+1+3－n2(n∈N*，n≤2008)點評：本題主要考查學生對流程圖的識別能力以及數(shù)列中的歸納、猜想、論證等能力，同時考查通過構(gòu)造數(shù)列求通項公式、錯位相減法求和等重點方法。試題體現(xiàn)了以能力立意、一般能力、研究型問題的特點和要求，同時在算法的考查中對流程圖的閱讀理解能力的要求越來越高。3教學建議算法雖然是高中數(shù)學課程第一次引入的內(nèi)容，需要一個熟悉的過程，但實際上算法的思想大家并不陌生，只是過去沒有明確提“算法”一詞而已。然而，我們在高三復習時不夠重視，往往都是這部分內(nèi)容放到最后，復習時基本上做兩套試卷就算過去，學生對這部分的學習多是機械的，難以從本質(zhì)上加以理解，導致學生對此內(nèi)容掌握不到位，解決問題能力較差。因此，在高三復習階段，必須重視對算法初步的深入學習。3．1突出重點，突破難點，體會算法思想在算法的學習中，首先應當克服畏難情緒，應從以前學過的典型實例中，分析其中蘊含的算法思想，體會算法“通用化”、“機械化”、“程序化”的特點以及對算法步驟“明確”、“有效”、“有限”的要求。其次，以具體算法案例為載體，通過分析和闡明算理、明確算法步驟、用程序框圖表示、將程序框圖翻譯成計算機語言(寫程序語句)等體會算法思想；利用“思考”、“探究”等欄目，思考和探究算法的特點，認識程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)等；通過比較同一個問題的不同算法中的算理，體會好算法的特點，并學會改進算法；鼓勵算法的多樣性，鼓勵通過討論和交流豐富學生對算法的認識，提高算法設(shè)計的能力。3．2重視基礎(chǔ)知識和理解和掌握學習算法首先要掌握算法概念和算法的基本思想，注意算法與一般意義上具體問題的解法的聯(lián)系與區(qū)別。其次，了解算法的含義，了解算法的思想、理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件分支結(jié)構(gòu)