專題05 完全平方公式 帶解析

2022-2023學年蘇科版七年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題05完全平方公式一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?北碚區(qū)校級期中）設a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，若a2+b2＝56，則c2＝（）A．27 B．24 C．22 D．20解：∵a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，∴a＝c+1，b＝c﹣1，∵a2+b2＝56，∴（c+1）2+（c﹣1）2＝56，∴c2＝27．故選：A．2．（2分）（2022春?碑林區(qū)校級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為x，其中AI＝5，JC＝3，兩個陰影部分都是正方形且面積和為60，則重疊部分FJDI的面積為（）A．28 B．29 C．30 D．31解：設ID＝y(tǒng)，DJ＝z，∵兩個陰影部分都是正方形，∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y(tǒng)，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，∴AI+ID＝CJ+DJ，∵AI＝5，CJ＝3，∴5+y＝3+z，∴y＝z﹣2，：∵陰影部分面積和為60，∴y2+z2＝60，方法1：將y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：（z﹣2）2+z2＝60，解得：z＝1+或z＝1﹣（舍），∴y＝z﹣2＝﹣1，∴ID＝﹣1，DJ＝1+，∴S長方形FJDI＝ID?DJ＝（﹣1）×（1+）＝28；方法2：∵z﹣y＝2，所以（z﹣y）2＝4，∴y2+z2﹣2yz＝4，∴60﹣2yz＝4，yz＝28，∴S長方形FJDI＝ID?DJ＝28．故選：A．3．（2分）（2022春?碑林區(qū)校級期中）如圖，有兩個正方形A，B，現(xiàn)將B放置在A的內(nèi)部得到圖甲，將A、B并列放置，以正方形A與正方形B的邊長之和為新的邊長構造正方形得到圖乙，若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和8，則正方形A、B的面積之和為（）A．8 B．9 C．10 D．12解：設大小正方形邊長分別為a、b，S陰1＝（a﹣b）2＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，S陰2＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝8，得：ab＝4．∴a2+b2﹣2×4＝1，∴a2+b2＝9．故選：B．4．（2分）（2022春?碑林區(qū)校級期中）已知（a+b）2＝29，（a﹣b）2＝13，則ab的值為（）A．42 B．16 C．8 D．4解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴29﹣13＝4ab，∴ab＝4．故選：D．5．（2分）（2021秋?溫嶺市期末）如圖，點C是線段BG上的一點，以BC，CG為邊向兩邊作正方形，面積分別是S1和S2，兩正方形的面積和S1+S2＝40，已知BG＝8，則圖中陰影部分面積為（）A．6 B．8 C．10 D．12解：設BC＝a，CG＝b，則S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴陰影部分的面積等于ab＝×12＝6．故選：A．6．（2分）（2021秋?金鄉(xiāng)縣期末）如圖有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內(nèi)部，測得陰影部分面積為2，圖2將正方形AB并列放置后構造新正方形，測得陰影部分面積為20，若將3個正方形A和2個正方形B并列放置后構造新正方形如圖3，（圖2，圖3中正方形AB紙片均無重疊部分）則圖3陰影部分面積（）A．22 B．24 C．42 D．44解：設正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，由圖1可知，陰影部分面積a2﹣b2＝2，圖2可知，陰影部分面積（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，所以ab＝10，由圖3可知，陰影部分面積（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．故選：C．7．（2分）（2021秋?臨沂期末）如圖所示，將四張全等的長方形硬紙片圍成一個正方形，根據(jù)圖形陰影部分面積的關系，可以直觀地得到一個關于a、b的恒等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）解：方法一陰影部分的面積為：（a﹣b）2，方法二陰影部分的面積為：（a+b）2﹣4ab，所以根據(jù)圖形陰影部分面積的關系，可以直觀地得到一個關于a、b的恒等式為（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故選：C．8．（2分）（2021春?遷安市期末）對于等式（a+b）2＝a2+b2，甲、乙、丙三人有不同看法，則下列說法正確的是（）甲：無論a和b取何值，等式均不能成立．乙：只有當a＝0時，等式才能成立．丙：當a＝0或b＝0時，等式成立．A．只有甲正確 B．只有乙正確 C．只有丙正確 D．三人說法均不正確解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴當（a+b）2＝a2+b2，則a2+2ab+b2＝a2+b2．∴2ab＝0．∴a＝0或b＝0．故選：C．9．（2分）（2021春?廬陽區(qū)期末）如圖，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么陰影部分的面積是（）A．30 B．34 C．40 D．44解：如圖，∵a﹣b＝2，ab＝26，∴a2﹣2ab+b2＝4，∴a2+b2＝4+2ab＝4+52＝56，陰影部分的面積＝S△ABC+S△CDM+S△AEF+S△GHM＝2×（a﹣b）×a+2×b×b＝a（a﹣b）+b2＝a2+b2﹣ab＝56﹣26＝30．故選：A．10．（2分）（2021春?拱墅區(qū)期中）用若干個形狀，大小完全相同的長方形紙片圍成正方形，4個長方形紙片圍成如圖1所示的正方形，其陰影部分的面積為81；8個長方形紙片圍成如圖2所示的正方形，其陰影部分的面積為64；12個長方形紙片圍成如圖3所示的正方形，其陰影部分的面積為（）A．22 B．24 C．32 D．49解：設長方形的長為a，寬為b，由圖1得，（a+b）2﹣4ab＝81，即：a﹣b＝9，由圖2得，（a+2b）2﹣8ab＝64，即：a﹣2b＝8，解得：a＝10，b＝1，由圖3得，（a+3b）2﹣12ab＝（a﹣3b）2＝49，即陰影部分的面積為49，故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?和平區(qū)校級期末）（1）已知x+y＝7，xy＝5，則x2+y2的值為39．（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，則（x﹣y）2的值為5．（3）已知x滿足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，則（x﹣2023）2的值為5．解：（1）∵x+y＝7，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝72﹣2×5＝49﹣10＝39；故答案為：39；（2）∵（x+y）2＝49，x2+y2＝27，∴x2+2xy+y2＝49，即27+2xy＝49，∴xy＝11，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝27﹣2×11＝27﹣22＝5；故答案為：5；（3）設x﹣2023＝a，∵x滿足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝12，化簡整理得：a2＝5，∴（x﹣2023）2的值為5．故答案為：5．12．（2分）（2022春?榆次區(qū)期中）如圖，兩個正方形的邊長分別為a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，則陰影部分的面積為41．解：S陰影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2+2ab）﹣ab＝（a+b）2﹣ab∵a+b＝10，ab＝6；∴原式＝×102﹣×6＝×100﹣9＝41故答案為：41．13．（2分）（2022春?鄞州區(qū)期中）如果多項式x2﹣2（m+1）xy+16y2是個完全平方式，則m＝3或﹣5．解：∵（x±4y）2＝x2±8xy+16y2，∴﹣2m﹣2＝±8，∴m＝﹣5或3，故答案為：﹣5或3．14．（2分）（2022春?會寧縣期末）若a2+b2＝2，a+b＝3，則ab的值為．解：把a+b＝3兩邊平方得：（a+b）2＝9，即a2+b2+2ab＝9，將a2+b2＝2代入得：2+2ab＝9，解得：ab＝，故答案為：15．（2分）（2022春?寧陽縣期末）請看楊輝三角（1），并觀察下列等式（2）：根據(jù)前面各式的規(guī)律，則（a+b）6的第三項的系數(shù)為15．解：由題意可得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，則（a+b）6的第三項的系數(shù)為：15．故答案為：15．16．（2分）（2022春?成都期末）如圖，在一塊邊長為a的正方形紙片的四角各剪去一個邊長為b的正方形，若a＝3.6，b＝0.8，則剩余部分的面積為10.4．解：由題意可得：剩余部分的面積為：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），將a＝3.6，b＝0.8代入上式可得：原式＝（3.6+2×0.8）（3.6﹣2×0.8）＝10.4．故答案為：10.4．17．（2分）（2022春?武侯區(qū)校級期中）如果a2+（k﹣1）ab+9b2是一個完全平方式，那么k＝7或﹣5．解：a2+（k﹣1）ab+9b2是一個完全平方式，∴①a2+（k﹣1）ab+9b2＝（a﹣3b）2+（k﹣1﹣6）ab，∴k﹣1﹣6＝0，即k＝7；②a2+（k﹣1）ab+9b2＝（a﹣3b）2+（k﹣1+6）ab，∴k﹣1+6＝0，即k＝﹣5．故答案為：7或﹣5．18．（2分）（2021春?全椒縣期中）有兩個正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部如圖1，將A，B并排放置后構造新的正方形如圖2，若圖1和圖2中陰影部分的面積分別為和，則正方形A，B的面積之和為3.5．解：設A的邊長為x，B的邊長為y，由甲、乙陰影面積分別是和，可列方程組：，將②化簡得2xy＝③，由①得x2+y2﹣2xy＝，將③代入可知x2+y2＝3.5．故答案為：3.5．19．（2分）（2021春?南潯區(qū)期末）建黨100周年主題活動中，702班潯潯設計了如圖1的“紅色徽章”其設計原理是：如圖2，在邊長為a的正方形EFGH四周分別放置四個邊長為b的小正方形，構造了一個大正方形ABCD，并畫出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標．現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作S1，每一個邊長為b的小正方形面積記作S2，若S1＝6S2，則的值是．解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2＝2ab+b2，S2＝b2，S1＝6S2，∴2ab+b2＝6b2，∴．故答案為：．20．（2分）（2021秋?思明區(qū)校級期末）如圖，兩個正方形邊長分別為a，b，如果a+b＝10，ab＝18，則陰影部分的面積為23．解：S陰影＝a2﹣（a﹣b）b＝a2﹣ab+b2＝（a2﹣ab+b2）＝[（a+b）2﹣3ab]，又∵a+b＝10，ab＝18，∴S陰影＝[（a+b）2﹣3ab]＝[（10）2﹣3×18]＝23，故答案為23．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?渝北區(qū)校級期末）若a+b＝6，ab＝4，求a2+4ab+b2的值．解：∵a+b＝6，ab＝4，∴（a+b）2＝36，∴a2+2ab+b2＝36，∴a2+2×4+b2＝36，∴a2+b2＝28，∴a2+4ab+b2＝28+4×4＝28+16＝44．22．（6分）（2022春?淮北月考）探究規(guī)律并解決問題．（1）比較a2+b2與2ab的大?。ㄓ谩埃尽薄埃肌被颉埃健碧羁眨孩佼攁＝3，b＝3時，a2+b2＝2ab；②當a＝2，b＝時，a2+b2＞2ab；③當a＝﹣2，b＝3時，a2+b2＞2ab．（2）通過上面的填空，猜想a2+b2與2ab的大小關系，并說明理由．解：（1）①把a＝3，b＝3代入，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，所以a2+b2＝2ab；②把a＝2，b＝代入，a2+b2＝4+＝，2ab＝2×2×＝2，所以a2+b2＞2ab；③把a＝﹣2，b＝3代入，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，所以a2+b2＞2ab；故答案為：＝，＞，＞：（2）由（1）可得，a2+b2≥2ab，理由如下：∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab．23．（8分）（2022春?廬江縣月考）乘法公式的探究及應用．數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖1所示的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成了如圖2所示的大正方形．（1）請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（用含a，b的式子表示）：方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2．（2）觀察圖2，請你寫出代數(shù)式（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關系式（a+b）2＝a2+b2+2ab．（3）根據(jù)（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知a+b＝6，a2+b2＝26，求ab的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，求（x﹣2022）2的值．解：（1）方法1：大正方形的邊長為（a+b），∴S＝（a+b）2；方法2：大正方形＝各個部分相加之和，∴S＝a2+2ab+b2．故答案為：（a+b）2，a2+2ab+b2．（2）由圖2可得總面積減掉兩個小矩形面積等于兩個正方形面積之和，即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；故答案為：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①∵a+b＝6，∴（a+b）2＝36，∵a2+b2＝26，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝36﹣26＝10，∴ab＝5．②令a＝x﹣2022，∴x﹣2021＝[x﹣（2022﹣1）]＝x﹣2022+1＝a+1，x﹣2023＝[x﹣（2022+1）]＝x﹣2022﹣1＝a﹣1，∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝48，解得a2＝23．∴（x﹣2022）2＝23．24．（8分）（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖②）．（1）根據(jù)上述過程，寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）利用（1）中的結論，若x+y＝4，，則（x﹣y）2的值是7；（3）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應的等式，如圖③，請你寫出這個等式：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）兩個正方形ABCD，AEFG如圖④擺放，邊長分別為x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求圖中陰影部分面積和．解：（1）方法一：中間部分是邊長為a﹣b的正方形，因此面積為（a﹣b）2，方法二：中間部分的面積可以看作從邊長為a+b的正方形面積減去4個長為a，寬為b的長方形面積，即（a+b）2﹣4ab；∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案為：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）∵x+y＝4，xy＝，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝16﹣4×＝7，故答案為：7；（3）分別以大矩形的面積和幾個小矩形的面積為等量可得：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2，故答案為：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）∵x2+y2＝34，BE＝2，∴x﹣y＝2①，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴34﹣2xy＝4，∴xy＝15，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+30＝64，且x+y＞0，∴x+y＝8②，①+②得：x＝5，∴y＝3，圖中陰影部分面積和＝S△DFC+S△BEF＝?x（x﹣y）+?y（x﹣y）＝x2﹣xy+xy﹣y2＝（x2﹣y2）＝×（25﹣9）＝8．25．（8分）（2022春?皇姑區(qū)校級期中）圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于m﹣n；（2）觀察圖2寫出三個代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關系（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，則：①（m+n）2的值為13；②m2+n2的值為19；③m4+n4的值為343．解：（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于m﹣n；故答案為：m﹣n；（2）根據(jù)題意，方法1：陰影部分的面積等于大正方形的面積減去4個長方形面積，即（m+n）2﹣4mn；方法2，陰影部分小正方形的邊長為m﹣n，則面積為（m﹣n）2；∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；故答案為：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）知：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，∵mn＝﹣3，m﹣n＝5，①（m+n）2＝52+4×（﹣3）＝25﹣12＝13；故答案為：13；②m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝13﹣2×（﹣3）＝13+6＝19；故答案為：19；③m4+n4＝（m2+n2）2﹣2m2n2＝192﹣2×（﹣3）2＝361﹣18＝343；故答案為：343．26．（8分）（2022春?上虞區(qū)期末）圖1是一個長為2b，寬為2a的長方形，沿虛線平均分成四塊，然后按圖2拼成一個正方形．解答下列問題．（1）圖2中陰影部分的面積可表示為（b﹣a）2；對于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，這三者間的等量關系為（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab．（2）利用（1）中所得到的結論計算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣，則x﹣y＝±4．（3）觀察圖3，從圖中你能得到怎樣的一個代數(shù)恒等式？再根據(jù)你所得到的這個代數(shù)恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），試求的值．解：（1）陰影部分是邊長為b﹣a的正方形，因此面積為（b﹣a）2，根據(jù)拼圖以及面積之間的關系可得，（b﹣a）2，（b+a）2，ab，這三者間的等量關系為（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab，故答案為：（b﹣a）2；（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab；（2）由（1）可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9+7＝16，∴x﹣y＝±4，故答案為：±4；（3）整個長方形是長為a+3b，寬為a+b，因此面積為（a+3b）（a+b），整個長方形的面積也可看作8個部分的面積和，即a2+4ab+3b2，因此有（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；∵m2+4mn+3n2＝0（n≠0），即（m+n）（m+3n）＝0，∴m+n＝0或m+3n＝0，∴＝﹣1或＝﹣3．27．（8分）（2022春?新都區(qū)期末）【閱讀材料】眾所周知，圖形是一種重要的數(shù)學語言，它直觀形象，能表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關系，運用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題．在某次數(shù)學活動課上，王老師準備了若干張如圖1所示的甲，乙兩種紙片，其中甲種紙片是邊長為x的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，現(xiàn)用甲種紙片一張，乙種紙片一張，將甲種紙片放置在乙種紙片內(nèi)部右下角，如圖所示．【理解應用】（1）觀察圖2，用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式，請你直接寫出這個等式；【拓展升華】（2）利用（1）中的等式解決下列問題．①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值；②已知（4044x﹣2）?2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值．解：（1）圖2中大正方形