專題02 方案問題（二元一次方程組的應(yīng)用） 帶解析

2022-2023學年湘教版七年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題02方案問題（二元一次方程組的應(yīng)用）評卷人得分一、選擇題(每題2分，每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023春·浙江·七年級專題練習）在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識競賽中，為獎勵成績突出的學生，學校計劃用180元購買A、B、C三種獎品（三種都買），A種每個10元，B種每個20元，C種每個40元，在C種獎品不超過兩個且錢全部用完的情況下，共有幾種購買方案（

）A．8種 B．9種 C．10種 D．11種【答案】C【思路點撥】有兩個等量關(guān)系：購買A種獎品錢數(shù)購買B種獎品錢數(shù)購買C種獎品錢數(shù)；C種獎品個數(shù)為1或2個．設(shè)兩個未知數(shù)，得出二元一次方程，根據(jù)實際含義確定解．【規(guī)范解答】解：設(shè)購買A種獎品m個，購買B種獎品n個，當C種獎品個數(shù)為1個時，根據(jù)題意得，整理得：，∵m、n都是正整數(shù)，，∴，2，3，4，5，6；當C種獎品個數(shù)為2個時，根據(jù)題意得，整理得：，∵m、n都是正整數(shù)，，∴，2，3，4；∴有種購買方案，故C正確．故選：C．【考點評析】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．要注意題中未知數(shù)的取值必須符合實際意義．2．(本題2分)（2022秋·全國·八年級專題練習）小明要用80元錢買A、B兩種型號的口罩，兩種型號的口罩必須都買，80元錢全部用盡，A型每個6元，B型口罩每個4元，則小明的購買方案有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．10種【答案】B【思路點撥】設(shè)買A型號的口罩x個，B型號的口罩y個，得，根據(jù)題意列出符合題目的購買方案即可解答；【規(guī)范解答】解：設(shè)買A型號的口罩x個，B型號的口罩y個，且x、y均為正整數(shù)，即有，變形，得，根據(jù)題意，且x、y均為正整數(shù)，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；符合題意，所以小明的購買方案有6種；故選：B．【考點評析】本題主要考查了求解二元一次方程的正整數(shù)解的知識，正確理解題意，找到兩種口罩的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．(本題2分)（2023春·全國·七年級專題練習）為迎接2022年北京冬奧會，清華附中初二級部開展了以“綠色冬奧，人文冬奧，科技冬奧”為主題的演講比賽，計劃拿出240元錢全部用于購買獎品，獎勵優(yōu)勝者，已知一等獎品每件15元，二等獎品每件10元，則兩種獎項齊全的購買方案有（

）A．6種 B．7種 C．8種 D．9種【答案】B【思路點撥】設(shè)購買x件一等獎品，y件二等獎品，由題意：現(xiàn)計劃拿出240元錢全部用于購買獎品，已知一等獎品每件15元，二等獎品每件10元，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)購買x件一等獎品，y件二等獎品，由題意得：15x+10y=240，∴，又∵x，y均為正整數(shù)，∴或或或或或或，∴購買方案有7種，故選：B．【考點評析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．4．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習）某校組織一批學生去研學，若單獨租用45座新能源客車若干輛，則有15人沒有座位；若單獨租用35座新能源客車，則用車數(shù)量將增加2輛，并空出15個座位．現(xiàn)在要求同時租用45座和35座兩種車型的新能源客車，既保證每人有座位，又保證每輛車不空座位，則需45座和35座兩種車型的數(shù)量分別為（

）A．3輛、2輛 B．2輛、3輛 C．1輛、4輛 D．4輛、1輛【答案】B【思路點撥】設(shè)租用45座新能源客車x輛，根據(jù)參與研學師生人數(shù)不變，列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，將其代入（45x+15）中可求出參與研學師生人數(shù)，設(shè)需m輛45座新能源客車，n輛35座新能源客車，根據(jù)“要保證每人有座位，又要保證每輛車不空座位”，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為整數(shù)，即可得出保證每人有座位，又保證每輛車不空座位．【規(guī)范解答】解：設(shè)租用45座新能源客車x輛，根據(jù)題意得：45x+15＝35（x+2）﹣15，解得：x＝4，∴45x+15＝45×4+15＝195．設(shè)需m輛45座新能源客車，n輛35座新能源客車，根據(jù)題意得：45m+35n＝195，∴n＝．又∵m，n均為整數(shù)，∴，∴需2輛45座新能源客車，3輛35座新能源客車．故選：B．【考點評析】本題考查二元一次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．5．(本題2分)（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）唐代初期數(shù)學家王孝通撰寫的《緝古算經(jīng)》一書中有這樣一道題：“僅有三十鹿進舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍幾何？”大意為：今有30只鹿進圈舍，小圈舍可以容納4只鹿，大圈舍可以容納6只鹿，則需要大圈舍、小圈舍各多少間？依據(jù)題意，鹿進圈舍的方案共有(

)A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】C【思路點撥】設(shè)需要大圈舍x間，小圈舍y間，根據(jù)題意列出二元一次方程，并結(jié)合x、y都是非負整數(shù)解方程即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)需要大圈舍x間，小圈舍y間，根據(jù)題意列方程，得，∵x、y都是非負整數(shù)，∴或或，答：鹿進圈舍的方案共有3種，即需要大圈舍5間或大圈舍1間，小圈舍6間或大圈舍3間，小圈舍3間．故選：C．【考點評析】本題主要考查了二元一次方程（組）的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確列出二元一次方程，并根據(jù)題意求出該方程的所有解．6．(本題2分)（2022秋·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）在某學校舉行的課間“桌面操”比賽中，為獎勵表現(xiàn)突出的班級，學校計劃用260元錢購買A、B、C三種獎品，A種每個10元，B種每個20元，C種每個30元，在C種獎品只能購買3個或4個且錢全部用完的情況下（注：每種方案中都有三種獎品），共有多少種購買方案（

）A．12種 B．13種 C．14種 D．15種【答案】C【思路點撥】有兩個等量關(guān)系：購買A種獎品錢數(shù)+購買B種獎品錢數(shù)+購買C種獎品錢數(shù)=260；C種獎品個數(shù)為3或4個，設(shè)兩個未知數(shù)，得出二元一次方程，根據(jù)實際含義確定解．【規(guī)范解答】設(shè)購買A種獎品m個，購買B種獎品n個，當C種獎品個數(shù)為3個時根據(jù)題意得整理得都是正整數(shù)，當C種獎品個數(shù)為4個時根據(jù)題意得整理得都是正整數(shù)，有種購買方案故選：C．【考點評析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解.要注意題中未知數(shù)的取值必須符合實際意義．7．(本題2分)（2022秋·黑龍江綏化·七年級期末）在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識競賽中，為獎勵成績突出的學生，學校計劃用200元錢購買A、B、C三種獎品，A種每個10元，B種每個20元，C種每個30元，在C種獎品不超過兩個且錢全部用完的情況下，有多少種購買方案（

）A．12種 B．15種 C．16種 D．14種【答案】D【思路點撥】有兩個等量關(guān)系：購買A種獎品錢數(shù)＋購買B種獎品錢數(shù)＋購買C種獎品錢數(shù)＝200；C種獎品個數(shù)為1或2個．設(shè)兩個未知數(shù)，得出二元一次方程，根據(jù)實際含義確定解．【規(guī)范解答】解：設(shè)購買A種獎品m個，購買B種獎品n個，當C種獎品個數(shù)為1個時，根據(jù)題意得10m＋20n＋30＝200，整理得m＋2n＝17，∵m、n都是正整數(shù)，0＜2n＜17，∴n＝1，2，3，4，5，6，7，8；當C種獎品個數(shù)為2個時，根據(jù)題意得10m＋20n＋60＝200，整理得m＋2n＝14，∵m、n都是正整數(shù)，0＜2n＜14，∴n＝1，2，3，4，5，6；∴有8＋6＝14種購買方案．故選：D．【考點評析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．要注意題中未知數(shù)的取值必須符合實際意義．8．(本題2分)（2022秋·全國·八年級專題練習）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐步成為人們喜愛的交通工具．某汽車公司計劃正好用190萬元購買，兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），其中型汽車進價為20萬元/輛，型汽車進價為30萬元/輛，則，型號兩種汽車一共最多購買（

）A．9輛 B．8輛 C．7輛 D．6輛【答案】A【思路點撥】設(shè)購買A，B型號汽車分別購買m，n輛，列出二元一次方程，根據(jù)m，n的實際意義，分別求出m，n的對應(yīng)值，即可求解．【規(guī)范解答】設(shè)購買A，B型號汽車分別購買m，n輛，∵兩種型號的汽車均購買，∴m≥1，n≥1，且m，n均為整數(shù)，由題意得：20m+30n=190，即2m+3n=19，∴1≤n≤5，又∵2m為偶數(shù)，則3n為奇數(shù)，∴n為奇數(shù)，即：n=1，3，5，當n=1時，m=8，當n=3時，m=5，當n=5時，m=2，∴，型號兩種汽車一共最多購買9輛．故選Ａ．【考點評析】本題主要考查二元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵．9．(本題2分)（2020春·黑龍江·九年級統(tǒng)考階段練習）為獎勵在五四愛國運動主題演講比賽中表現(xiàn)優(yōu)異的同學，張老師計劃用400元購買兩種獎品．一等獎獎品每件40元，二等獎獎品每件30元，在購買資金恰好用完的情況下，購買方案共有（

）A．4種 B．3種 C．2種 D．1種【答案】B【思路點撥】設(shè)購買一等獎獎品x件，二等獎獎品y件，由題中等量關(guān)系：一等獎獎品的錢數(shù)+二等獎獎品的錢數(shù)=400列出方程，根據(jù)x、y為正整數(shù)討論即可解答．【規(guī)范解答】設(shè)購買一等獎獎品x件，二等獎獎品y件，由題意得：40x+30y=400，即，∵x、y為正整數(shù)，∴符合題意得方案有：x=7，y=4；x=4，y=8；x=1，y=12，由此可知共有3種購買方案，故選：B．【考點評析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用-方案問題，能根據(jù)題意找出等量關(guān)系，挖掘題中隱含條件（x、y是正整數(shù)）是解答的關(guān)鍵．10．(本題2分)（2021秋·七年級單元測試）某市在“五水共治”中新建成一個污水處理廠．已知該廠庫池中存有待處理的污水a(chǎn)噸，另有從城區(qū)流入庫池的待處理污水（新流入污水按每小時b噸的定流量增加）．若污水處理廠同時開動2臺機組，需30小時處理完污水；若同時開動3臺機組．需15小時處理完污水．現(xiàn)要求恰好用5個小時將污水處理完畢，則需同時開動的機組數(shù)為（）A．6臺 B．7臺 C．8臺 D．9臺【答案】B【思路點撥】設(shè)1臺機組每小時處理污水v噸，要在5小時內(nèi)處理完污水，至少需開動x臺機組，根據(jù)題意列出方程組，將求得的值再代入不等式，求不等式的解集即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意列二元一次方程組：設(shè)每臺機器每小時處理s（噸）解得：a=30s，b=1s,設(shè)需同時開動的機組數(shù)為x臺，則s，∴x=7.答：要在5小時內(nèi)處理完污水，至少需同時開動7臺機組．故選B．【考點評析】本題考查的是用二元一次方程組來解決實際問題，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2022春·湖南湘西·七年級統(tǒng)考階段練習）將一張面值50元的人民幣，兌換成同時含有5元和2元的零錢，兌換方案有_______種．【答案】4【思路點撥】設(shè)可以兌換m張5元的零錢，n張2元的零錢，根據(jù)零錢的總和為50元，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：設(shè)可以兌換m張5元的零錢，n張2元的零錢，依題意，得：5m+2n=50，∴m=10-n．∵m，n均為正整數(shù)，∴當n=5時，m=8；當n=10時，m=6；當n=15時，m=4；當n=20時，m=2．∴共有4種兌換方案．故答案為

：4．【考點評析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．12．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習）小明家準備裝修一套新房，若甲、乙兩家裝修公司合作需6周完成，裝修費用為5.2萬元；若甲公司單獨做4周，剩下的由乙公司做，還需9周完成，此時裝修費用為4.8萬元．若小明只選甲公司單獨完成，則他需要付給甲公司裝修費用________萬元．【答案】6【思路點撥】設(shè)甲公司的工作效率為x，乙公司的工作效率為y，根據(jù)題意列出方程組可求得兩個公司的工作效率；再設(shè)甲一周的裝修費是m萬元，乙一周的裝修費是n萬元，根據(jù)題意列出方程組即可求解．【規(guī)范解答】解：設(shè)甲公司的工作效率為x，乙公司的工作效率為y．依題意列方程組，得，解這個方程組，得，所以，甲公司單獨做需10周，乙公司單獨做需15周；設(shè)甲一周的裝修費是m萬元，乙一周的裝修費是n萬元．依題意列方程組，得，解這個方程組，得，甲單獨做的裝修費：×10=6（萬元），故答案為：6．【考點評析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．13．(本題2分)（2022秋·全國·八年級專題練習）某公司需要到指定超市采購礦泉水和功能飲料，3月采購24箱礦泉水和32箱功能飲料花費3480元，4月采購32箱礦泉水和24箱功能飲料花費3240元，5月份該指定超市中該款礦泉水和功能飲料有部分因保質(zhì)期臨近進行打六折促銷，公司根據(jù)實際購買了原價或打折礦泉水和功能飲料，共花費2850元，其中打折的礦泉水箱數(shù)是5月份購買所有礦泉水和功能飲料總箱數(shù)的，5月份購買所有礦泉水和功能飲料共_______箱．【答案】60【思路點撥】先由二元一次方程組求出礦泉水和功能飲料的原價；設(shè)5月份購買原價功能飲料b箱，一共購買a箱，則打折礦泉水箱，原價礦泉水和打折功能飲料箱；再根據(jù)打折后的價格建立二元一次方程，結(jié)合題意求方程的正整數(shù)解即可；【規(guī)范解答】解：設(shè)礦泉水原價每箱x元，功能飲料原價每箱y元，由題意得：，解得：，∴礦泉水原價每箱45元，功能飲料原價每箱75元，打折后：礦泉水每箱27元，功能飲料每箱45元，設(shè)5月份購買原價功能飲料b箱，一共購買a箱，則打折礦泉水箱，原價礦泉水和打折功能飲料（）箱，由題意得：27×+45×（）+75b=2850，化簡得：，a，b為正整數(shù)，∴或或∵a＞b，∴，∴5月份購買所有礦泉水和功能飲料共60箱，故答案為：60；【考點評析】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，二元一次方程的正整數(shù)解；理清題意中的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．14．(本題2分)（2022秋·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）有三個家庭團隊結(jié)伴到一景區(qū)游玩，一號家庭團隊有3個成年人和4個小孩參加，共交費150元，二號家庭團隊有2個成年人和1個小孩參加，共交費75元，按照這樣的收費標準，三號家庭團隊有1個成年人和3個小孩參加，所需的費用為______元．【答案】75【思路點撥】設(shè)每張成人票的價格為x元，每張兒童票的價格為y元，根據(jù)“一號家庭團隊有3個成年人和4個小孩參加，共交費150元，二號家庭團隊有2個成年人和1個小孩參加，共交費75元”，即可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，兩方程相減即可求出三號家庭團隊所需的費用．【規(guī)范解答】解：設(shè)每張成人票的價格為x元，每張兒童票的價格為y元，根據(jù)題意得：，①-②，得：x+3y=75，所以，三號家庭團隊有1個成年人和3個小孩參加，所需的費用為75元故答案為：75．【考點評析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，列出方程組是解題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2022春·貴州銅仁·七年級校聯(lián)考階段練習）現(xiàn)有20噸貨物，要租用貨車運走．汽車公司有兩種貨車，大貨車每車可以裝7噸貨物，運一次要600元，小貨車每車可以裝4噸，運一次要400元．要使貨物全部運走，至少需要運費___元．【答案】1800【思路點撥】設(shè)需要大貨車為x次，需要小貨車為y次，根據(jù)題意列出方程，求出的范圍，分三種情況進行討論，分別求解每種情況所需運費，即可求解．【規(guī)范解答】解：設(shè)需要大貨車為x次，需要小貨車為y次，由題意可得∵都為非負的整數(shù)∴當時，，需要小貨車運送0次，費用為（元）當時，，需要小貨車運送2次，費用為（元）當時，，需要小貨車運送4次，費用為（元）當時，，需要小貨車運送5次，費用為（元）∵∴最低費用為1800元故答案為：1800【考點評析】此題考查了方案的選擇問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確求出每種情況下的費用．16．(本題2分)（2023春·七年級單元測試）“無社團，不青春！”為豐富同學們的校園文化，學校在初一年級開展了豐富多彩的社團活動，某老師對參加音樂社、街舞社、動漫社的同學都準備、兩種禮品．初步預算，三個社團各需兩種禮品數(shù)量和之比為，需的數(shù)量之比為，并且音樂社和街舞社需禮品數(shù)量之比為．在實際購買時，的價格比預算低，的價格比預算高，購買數(shù)量減少了，結(jié)果發(fā)現(xiàn)總費用與預算相等．則實際購買的總費用與實際購買的總費用之比為______．【答案】##31:54【思路點撥】設(shè)音樂社、街舞社、動漫社需要兩種禮品的數(shù)量和分別為x，x，，需的數(shù)量分別為，，，根據(jù)音樂社和街舞社需禮品數(shù)量之比為列式求出，然后根據(jù)實際總費用與預算相等列方程求出a和b的關(guān)系，再計算實際購買的總費用與實際購買的總費用之比即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)音樂社、街舞社、動漫社需要兩種禮品的數(shù)量和分別為x，x，，需的數(shù)量分別為，，，∴音樂社和街舞社需禮品數(shù)量分別為：，，∴，∴，∴音樂社、街舞社、動漫社需要兩種禮品的數(shù)量和分別為，，，∴音樂社、街舞社、動漫社需的數(shù)量分別為，，，設(shè)原先的價格為a，的價格為b，根據(jù)題意可得，，整理得：，∴實際購買的總費用與實際購買的總費用之比為：．故答案為：．【考點評析】本題主要考查了三元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，并表示出其余的未知量，求出及是解題關(guān)鍵．17．(本題2分)（2022秋·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學?？茧A段練習）山間白云繚繞，似霧非霧，似煙非煙，磅礴郁積，氣象萬千，古人稱“赤多白少”為“縉”，故名縉云山．正是這特殊的地理環(huán)境，獨特的氣候，賦予了縉云山甜茶湯色碧綠清爽，氣味芳鮮醇和．甜茶還富含人體所需的8鐘氨基酸，大量維生素及微量元素，健康養(yǎng)生，獨具風味．故來此游玩的人們，臨走時都會帶一些回家送親朋好友．商家為了促銷，采取以套盒包裝的方式進行銷售，套盒A：買三大袋和一中袋送一中袋；套盒B：買兩大袋和兩中袋送一小袋．套盒A和套盒B的售價之比為37∶34．小華計劃購買一定數(shù)量的套盒A與套盒B，由于資金不夠，他思考了一下，決定將原本計劃買套盒A和套盒B的數(shù)量進行調(diào)換，同時商店老板決定將套盒A打8折賣給他，套盒B價格不變，這樣原計劃所用花費與實際所用花費之差恰好可以購買7袋中袋的甜茶，則小華一共購買了___________個套盒．【答案】14【思路點撥】設(shè)一大袋的售價為x元，一中袋的售價為y元，原計劃買套盒A的數(shù)量為a個，買套盒B的數(shù)量為b個，先根據(jù)套盒A和套盒B的售價之比可得，再根據(jù)“原計劃所用花費與實際所用花費之差恰好可以購買7袋中袋的甜茶”建立方程，化簡得，然后根據(jù)為正整數(shù)求解即可得．【規(guī)范解答】設(shè)一大袋的售價為x元，一中袋的售價為y元，原計劃買套盒A的數(shù)量為a個，買套盒B的數(shù)量為b個，由套盒A和套盒B的售價之比得：，解得，由題意得：原計劃所用花費為，實際所用花費為，則，整理得：，將代入得：，都是正整數(shù)，，則小華一共購買套盒的數(shù)量為（個），故答案為：14．【考點評析】本題考查了二元一次方程的實際應(yīng)用，依據(jù)題意，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．(本題2分)（2020春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）三位先生A、B、C帶著他們的妻子a、b、c到超市購物，至于誰是誰的妻子現(xiàn)在只能從下列條件來推測：他們6人，每人花在買商品的錢數(shù)（單位：元）正好等于商品數(shù)量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元錢，又知先生A比b多買9件商品，先生B比a多買7件商品．則先生A的妻子是__________．【答案】【思路點撥】設(shè)一對夫妻，丈夫買了x件商品，妻子買了y件商品，列出關(guān)于x、y的二元二次方程，再根據(jù)x、y都是正整數(shù)，且與有相同的奇偶性，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，求出x、y的值，再找出符合和的情況即可進行解答．【規(guī)范解答】設(shè)一對夫妻，丈夫買了件商品，則錢數(shù)為，妻子買了件商品，則錢數(shù)為，依題意有x2-y2=48，即，∵x、y都是正整數(shù)，且與有相同的奇偶性，又∵，48=24×2=12×4=8×6，∴或或，解得，或，或，，符合的只有一種，可見A買了13件商品，b買了4件，同時符合的也只有一種，可知B買了8件，a買了1件，∴C買了7件，c買了11件．由此可知三對夫妻的組合是：A、c；B、b；C、a．故答案為：c．【考點評析】本題考查了不定方程組的解及數(shù)的奇偶性，根據(jù)題意列出關(guān)于x、y的不定方程是解答此題的關(guān)鍵．19．(本題2分)（2022秋·九年級課時練習）某單位現(xiàn)要組織其市場和生產(chǎn)部的員工游覽該公園，門票價格如下：購票人數(shù)1～5051～100100以上門票價格13元/人11元/人9元/人如果按部門作為團體，選擇兩個不同的時間分別購票游覽公園，則共需支付門票費為1245元；如果兩個部門合在一起作為一個團體，同一時間購票游覽公園，則需支付門票費為945元．那么該公司這兩個部的人數(shù)之差的絕對值為_____．【答案】15【思路點撥】根據(jù)945不能被11和13整除，能被9整除，可得兩個部門的人數(shù)之和為105；再根據(jù)1245不能被11和13整除可知兩個部門的人數(shù)分別在1～50和51～100的范圍，結(jié)合門票價格和人數(shù)之間的關(guān)系列出方程組進行求解即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)人數(shù)較少的部門有x人，人數(shù)較多的部門有y人，∵945不能被11和13整除且945÷9=105（人），∴兩個部門的人數(shù)之和為105（人），∵1245不能被11和13整除，∴1≤x≤50，51≤y≤100，依題意，得：，解得：，∴，故答案為：15．【考點評析】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用問題和學生分析問題的能力，結(jié)合門票和人數(shù)之間的關(guān)系，建立方程是解題的關(guān)鍵．20．(本題2分)（2019秋·重慶渝北·九年級統(tǒng)考期末）2018年10月21日，重慶市第八屆中小學藝術(shù)工作坊在渝北區(qū)空港新城小學體育館開幕，來自全重慶市各個區(qū)縣共二十多個工作坊集中展示了自己的藝術(shù)特色．組委會準備為現(xiàn)場展示的參賽選手購買三種紀念品，其中甲紀念品5元/件，乙紀念品7元/件，丙紀念品10元/件．要求購買乙紀念品數(shù)量是丙紀念品數(shù)量的2倍，總費用為346元．若使購買的紀念品總數(shù)最多，則應(yīng)購買紀念品共_____件．【答案】62【思路點撥】設(shè)購買甲紀念品x件，丙紀念品y件，則購進乙紀念品2y件，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為非負整數(shù)，即可求出x，y的值，進而可得出（x+y+2y）的值，取其最大值即可得出答案.【規(guī)范解答】設(shè)購買甲紀念品x件，丙紀念品y件，則購進乙紀念品2y件，依題意，得：5x+7×2y+10y＝346，∴x＝，∵x，y均為非負整數(shù)，∴346﹣24y為5的整數(shù)倍，∴y的尾數(shù)為4或9，∴，，，∴x+y+2y＝62或53或44．∵62＞53＞44，∴最多可以購買62件紀念品．故答案為：62．【考點評析】本題主要考查二元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)題意，求出x，y的非負整數(shù)解，是解題的關(guān)鍵.評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）為預防新冠肺炎病毒，市面上等防護型口罩出現(xiàn)熱銷．已知3個A型口罩和2個B型口罩共需31元；6個A型口罩和5個B型口罩共需70元．(1)求一個A型口罩和一個B型口罩的售價各是多少元？(2)小紅打算用160元（全部用完）購買A型，B型兩種口罩（要求兩種型號的口罩均購買），正好趕上藥店對口罩價格進行調(diào)整，其中A型口罩售價上漲40%，B型口罩按原價出售，則小紅有多少種不同的購買方案？請設(shè)計出來．【答案】(1)一個A型口罩的售價為5元，一個B型口罩的售價為8元(2)小紅有2種不同的購買方案，方案1：購買8個A型口罩，13個B型口罩；方案2：購買16個A型口罩，6個B型口罩【思路點撥】（1）根據(jù)題意，列二元一次方程組即可；（2）根據(jù)題意，可得，將二元一次方程中和分別取正整數(shù)值，即可得出購買方案．【規(guī)范解答】（1）設(shè)一個A型口罩的售價為x元，一個B型口罩的售價為y元，依題意，得：，解得：，答：一個A型口罩的售價為5元，一個B型口罩的售價為8元；（2）解：設(shè)購買型口罩個，型口罩個，根據(jù)題意，得，即，滿足條件的，有：，或，，小紅有2種購買方案：第一種方案：型口罩購買8個，型口罩購買13個；第二種方案：型口罩購買16個，型口罩購買6個；【考點評析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列二元一次方程組進行求解．22．(本題6分)（2022秋·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）在太原市部分區(qū)域?qū)嵤┡R時靜默管理期間，某超市推出甲、乙兩種防疫保供?菜套餐，售價分別為75元/份、50元/份．已知靜默管理期間，該超市共配送兩種蔬菜套餐380份，總額為22750元，求該超市靜默管理期間配送兩種蔬菜套餐各多少份?【答案】該超市靜默管理期間配送甲、乙兩種蔬菜套餐各150份，230份．【思路點撥】設(shè)該超市靜默管理期間配送甲、乙兩種蔬菜套餐各x份，y份，則該超市共配送兩種蔬菜套餐份，總額為元，根據(jù)題意可列出二次一次方程組即可求解．【規(guī)范解答】解：設(shè)該超市靜默管理期間配送甲、乙兩種蔬菜套餐各x份，y份，根據(jù)題意得：解得答：該超市靜默管理期間配送甲、乙兩種蔬菜套餐各150份，230份．【考點評析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程．23．(本題6分)（2023秋·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）自行車廠計劃一年生產(chǎn)安裝24000輛自行車，若1名熟練工和2名新工人每月一共可安裝800輛自行車．且每名熟練工比每名新工人每月多安裝200輛自行車．(1)每名熟練工和每名新工人每月分別可以安裝多少輛自行車?(2)如果工廠招聘m（其中m大于0且小于8）名新工人，使得新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)．①工廠有哪幾種新工人的招聘方案?②若每名熟練工每月工資為6000元，每名新工人每月工資為4000元，那么工廠可適當安排熟練工和新工人人數(shù)，使新工人的人數(shù)多于熟練工，且工廠每月支出的工資總額最少，請直接寫出工廠每月支出工資總額最小值．【答案】(1)每個新工人每月可以安裝輛自行車，每名熟練工每月安裝輛自行車(2)①共計3種方案，方案一：4名熟練工，2名新工人；方案二：3名熟練工，4名新工人；方案一：2名熟練工，6名新工人；②3名熟練工，4名新工人時，每月的總支出最少，為元【思路點撥】（1）設(shè)每個新工人每月可以安裝輛自行車，則每名熟練工每月安裝輛，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）①先求出平均每個月的安裝數(shù)量，設(shè)需要熟練工人，即可熟練工的人數(shù)為：，整理為：，結(jié)合，，均為正整數(shù)，即可作答；②要使新工人的人數(shù)多于熟練工，則①中的方案二和方案三滿足條件，分別計算出兩種方案的總支出即可作答．【規(guī)范解答】（1）設(shè)每個新工人每月可以安裝輛自行車，則每名熟練工每月安裝輛，根據(jù)題意，可得：，解得：，即：（輛），答：每個新工人每月可以安裝輛自行車，則每名熟練工每月安裝輛自行車；（2）①平均每個月的安裝數(shù)量為：（輛），設(shè)需要熟練工人，∵每個新工人每月可以安裝輛自行車，每名熟練工每月安裝輛自行車，工廠招聘m名新工人，∴熟練工的人數(shù)為：（人），整理為：∵，，均為正整數(shù)，∴可以為2、4、6，即：當時，；當時，；當時，；∴總的方案有3種：方案一：4名熟練工，2名新工人；方案二：3名熟練工，4名新工人；方案一：2名熟練工，6名新工人；②∵要使新工人的人數(shù)多于熟練工，則①中的方案二和方案三滿足條件，選擇方案二時，每月總支出為：（元）；選擇方案三時，每月總支出為：（元）；∵，∴選擇方案二時，每月總支出最少，且為元．【考點評析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式等知識，明確題意，列出一元一次方程是解答本題的關(guān)鍵．24．(本題6分)（2023秋·天津南開·七年級南開翔宇學校?？计谀┝幸辉淮畏匠蹋ńM）解應(yīng)用題．入秋后，某地發(fā)生了洪災，紅星集團及時為災區(qū)購進A，B兩種抗洪物資80噸，共用去200萬元，A種物資每噸萬元，B種物資每噸萬元．(1)求A，B兩種物資各購進了多少噸？(2)該集團租用了大、小兩種貨車若干輛將這些物資一次性運往災區(qū)，每輛大貨車可運8噸A種物資和2噸B種物資，每輛小貨車可運5噸A種物資和2.5噸B種物資，問租用的大、小貨車各多少輛？【答案】(1)購進A種物資60噸，則購進B種物資20噸(2)租用大貨車5輛，租用大貨車4輛【思路點撥】（1）根據(jù)A，B兩種抗洪物資80噸，共用去200萬元，找出等量關(guān)系式列方程即可解得．（2）根據(jù)題意列出二元一次方程組即可解得．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)購進A種物資x噸，則購進B種物資噸，根據(jù)題意得，解得，則，即購進A種物資60噸，則購進B種物資20噸，答：購進A種物資60噸，則購進B種物資20噸；（2）設(shè)租用大貨車m輛，租用大貨車n輛，根據(jù)題意得，解得，即租用大貨車5輛，租用大貨車4輛．答：租用大貨車5輛，租用大貨車4輛．【考點評析】此題考查了一元一次方程和二元一次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系式列出方程．25．(本題6分)（2022秋·山東青島·八年級?？计谀┠承蕚浣M織學生到濰坊進行社會實踐活動，為便于管理，所有人員必須乘坐同一列高鐵，高鐵單程票價格如下表所示，二等座學生票可打7.5折．若所有人員都買一等座單程火車票，共需花費5395元；若所有人員都買二等座單程火車票，在學生享受購票折扣后，總票款為2730元．青島北-濰坊

票價一等座二等座83（元）52（元）(1)參加社會實踐活動的老師與學生各有多少人？(2)若二等座火車票只能買到30張，則如何購票最省錢？此時總票款是多少元？【答案】(1)參加社會實踐的老師有15人，學生有50人；(2)30張二等座車票均為學生票，再購買35張一等座車票最省錢，此時總票款為4075元．【思路點撥】（1）設(shè)參加社會實踐的老師有x人，學生有y人，根據(jù)題意列出二元一次方程組，求解即可；（2）由于二等座學生票可打折，故30張二等座車票均為學生票，其余人購買一等座車票，求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)參加社會實踐的老師有x人，學生有y人，根據(jù)題意可得：，解得，∴參加社會實踐的老師有15人，學生有50人；（2）解：若二等座火車票只能買到30張，且均為學生票，則需購買張一等座火車票最省錢，此時總票價為：（元），答：30張二等座車票均為學生票，再購買35張一等座車票最省錢，此時總票款為4075元．【考點評析】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，找準等量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．26．(本題6分)（2022秋·河南鄭州·八年級校考期中）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據(jù)了解2輛A型汽車、3輛B型汽車的進價共計80萬元；3輛A型汽車、2輛B型汽車的進價共計95萬元．(1)求A、B兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃正好用180萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），請你幫助該公司設(shè)計購買方案；(3)若該汽車銷售公司銷售1輛A型汽車可獲利8000元，銷售1輛B型汽車可獲利6000元，在（2）中的購買方案中，假如這些新能源汽車全部售出，哪種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)、兩種型號的汽車每輛進價分別為25萬元、10萬元；(2)方案一：購買2輛型汽車，購買13輛型汽車；方案二：購買4輛型汽車，購買8輛型汽車；方案三：購買6輛型汽車，購買3輛型汽車；(3)購買2輛型汽車，購買13輛型汽車獲利最大，最大值為94000元．【思路點撥】（1）根據(jù)2輛型汽車、3輛型汽車的進價共計80萬元；3輛型汽車、2輛型汽車的進價共計95萬元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和該公司計劃正好用180萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），可以得到相應(yīng)的二元一次方程，然后求解即可；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果和題意，可以分別計算出各種方案獲得的利潤，從而可以得到最大利潤．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)種型號的汽車每輛進價為萬元，種型號的汽車每輛進價為萬元，由題意可得，解得，答：、兩種型號的汽車每輛進價分別為25萬元、10萬元；（2）解：設(shè)購買型號的汽車輛，種型號的汽車輛，由題意可得且，，解得或或，該公司共有三種購買方案，方案一：購買2輛型汽車，購買13輛型汽車；方案二：購買4輛型汽車，購買8輛型汽車；方案三：購買6輛型汽車，購買3輛型汽車；（3）解：當，時，獲得的利潤為：（元），當，時，獲得的利潤為：（元），當，時，獲得的利潤為：（元），由上可得，最大利潤為94000元，購買2輛型汽車，購買13輛型汽車獲利最大，最大值為94000元．【考點評析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．27．(本題8分)（2022春·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）某運輸公司現(xiàn)有190噸防疫物資需要運往外地，擬安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完（兩種貨車均滿載），已知A、B兩種貨車近期的三次運輸記錄，如下表：A貨車（輛）B貨車（輛）防疫物資（噸）第一次128360第二次1812▄第三次54160(1)表格中被污漬蓋住的數(shù)是______．(2)請問A、B兩種貨車每輛每次分別可以運送防疫物資多少噸？(3)請你通過計算說明所有可行的運輸方案．【答案】(1)540(2)A貨車每輛每次可以運貨20噸，B貨車每輛每次可以運貨15噸(3)①A貨車2輛，B貨車10輛；②A貨車5輛，B貨車6輛；③A貨車8輛，B貨車2輛【思路點撥】（1）設(shè)A、B兩種貨車每輛每次分別可以運送防疫物資x噸、y噸，則根據(jù)題意列出方程組，求解即可；（2）根據(jù)（1）知，運送防疫物資A種貨車每輛每次20噸，B種貨車每輛每次15噸；（3）設(shè)A、B兩種貨車各需要m輛、n輛，根據(jù)題意得到20m+15n=190，當m=2時，n=10；當m=5時，n=6；當m=8時，n=2．共三種運輸方案．（1）設(shè)A、B兩種貨車每輛每次分別可以運送防疫物資x噸、y噸，則根據(jù)題意，得，解得，（噸）；故答案為：540；（2）由（1）知，A、B兩種貨車每輛每次分別可以運送防疫物資20噸、15噸；（3）設(shè)A、B兩種貨車各需要m輛、n輛，則20m+15n=190,∴，①當m=2時，n=10；②當m=5時，n=6；③當m=8時，n=2．∴①A貨車2輛，B貨車10輛；②A貨車5輛，B貨車6輛；③A貨車8輛，B貨車2輛，共三種可行的運輸方案．【考點評析】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握每種車運輸總噸數(shù)與每車每次運輸噸數(shù)和車數(shù)的關(guān)系，列方程組，列方程解答．28．(本題8分)（2022春·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料2020年3月，某學校到商場購買A，B兩種品牌的足球，購買A種品牌的足球50個，B種品牌的足球25個，共花費4500元；已知購買一個B種品牌的足球比購買一個A種品牌的足球多花30元．（1）學校購買一個A種品牌足球________元，購買一個B種品牌的足球________元．（2）2021年9月，學校決定再次購進A，B兩種品牌足球共50個，正好趕上商場對商品價格進行調(diào)整，A品牌足球售價比第一次購買時提高4元，B品牌足球按第一次購買時售價的9折出售．如果學校此次購買A，B兩種品牌足球的總費用不超過第一次花費的70%，且保證這次購買的B種品牌足球不少于23個．學校第二次購買足球有哪幾種方案？（3）學校在第二次購買活動中最少需要資金_______元．【答案】（1）；（2）學校二次購買足球有三種方案：方案一：購買種足球25個，種足球25個；方案二：購買種足球26個，種足球24個；方案三：購買種足球27個，種