專題02 平方差公式 帶解析

2022-2023學(xué)年北師大七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題02平方差公式一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?佛山月考）化簡(jiǎn)（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的結(jié)果是（）A．232﹣1 B．232+1 C．（216+1）2 D．（216﹣1）2解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（28﹣1）（28+1）（216+1）＝（216﹣1）（216+1）＝232﹣1，故選：A．2．（2分）（2021秋?重慶期末）觀察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，據(jù)此規(guī)律，當(dāng)（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0時(shí)，代數(shù)式x2021﹣1的值為（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝12021﹣1＝0．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝12021﹣1＝﹣2．故選：D．3．（2分）（2020秋?烏魯木齊期末）如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，再將剩下的陰影部分剪開(kāi)，拼成右邊的長(zhǎng)方形．根據(jù)圖形的變化過(guò)程可以驗(yàn)證下列哪一個(gè)等式成立（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2解：由題意這兩個(gè)圖形的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：D．4．（2分）（2021春?武宣縣期中）若|x+y﹣5|+（x﹣y﹣3）2＝0，則x2﹣y2的結(jié)果是（）A．2 B．8 C．15 D．16解：由題意可知：x+y﹣5＝0，x﹣y﹣3＝0，∴∴原式＝（x+y）（x﹣y）＝3×5＝15故選：C．5．（2分）（2018秋?大同期末）如圖1，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿圖1中的虛線剪開(kāi)后重新拼成一個(gè)梯形（如圖2），利用這兩幅圖形面積，可以驗(yàn)證的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2解：圖1陰影部分的面積等于a2﹣b2，圖2梯形的面積是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）根據(jù)兩者陰影部分面積相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2比較各選項(xiàng)，只有D符合題意故選：D．6．（2分）（2019春?江陰市期中）觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根據(jù)規(guī)律計(jì)算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值為（）A．22019﹣1 B．﹣22019﹣1 C． D．解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]，＝（﹣2）2019﹣1，＝﹣22019﹣1，∴（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1＝．故選：D．7．（2分）（2014秋?羅平縣期末）若|x+y﹣5|+（x﹣y﹣3）2＝0，則x2﹣y2的結(jié)果是（）A．2 B．8 C．15 D．無(wú)法確定解：由|x+y﹣5|+（x﹣y﹣3）2＝0，得x+y﹣5＝0，x﹣y﹣3＝0，即x+y＝5，x﹣y＝3，故x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×3＝15．故選：C．8．（2分）（2020?黃州區(qū)校級(jí)模擬）如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過(guò)2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）A．255024 B．255054 C．255064 D．250554解：設(shè)相鄰的兩奇數(shù)分別為2n+1，2n﹣1（n≥1，且n為正整數(shù)），（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，根據(jù)題意得：8n≤2017，∴n≤252，∴n最大為252，此時(shí)2n+1＝505，2n﹣1＝503，∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．故選：A．9．（2分）（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將剩余部分通過(guò)割補(bǔ)拼成新的圖形．根據(jù)圖形能驗(yàn)證的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：圖中陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積之差，即為a2﹣b2；剩余部分通過(guò)割補(bǔ)拼成的平行四邊形的面積為（a+b）（a﹣b），∵前后兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．10．（2分）（2021秋?新野縣期中）若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，則A的值是（）A．0 B．1 C． D．解：A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）+1＝﹣（1﹣）+1＝故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?郫都區(qū)校級(jí)期中）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝．解：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××…××××＝×＝，故答案為：．12．（2分）（2022春?杏花嶺區(qū)校級(jí)月考）①（x﹣1）?（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）?（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）?（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A題：猜想（x﹣1）?（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1．B題：當(dāng)（x﹣1）?（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代數(shù)式x2023﹣1＝﹣2或0．解：（1）（x﹣1）?（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1，故答案為x50﹣1；（2）∵（x﹣1）?（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，∴x＝1或﹣1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；當(dāng)x＝1時(shí)，x2023﹣1＝12023﹣1＝1﹣1＝0，∴x2023﹣1＝﹣2或0，故答案為﹣2或0．13．（2分）（2021春?蓮湖區(qū)期末）若m2﹣n2＝40，且m﹣n＝5．則m+n＝8．解：∵m2﹣n2＝40，∴（m+n）（m﹣n）＝40，∵m﹣n＝5，∴m+n＝8．故答案為：8．14．（2分）（2021春?婺城區(qū)校級(jí)期末）一個(gè)自然數(shù)若能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差，則這個(gè)自然數(shù)稱為“智慧數(shù)”．比如：22﹣12＝3，則3就是智慧數(shù)；22﹣02＝4，則4就是智慧數(shù)．（1）從0開(kāi)始第7個(gè)智慧數(shù)是8；（2）不大于200的智慧數(shù)共有151．解：（1）首先應(yīng)該先找到智慧數(shù)的分布規(guī)律．①∵02﹣02＝0，∴0是智慧，②因?yàn)?n+1＝（n+1）2﹣n2，所以所有的奇數(shù)都是智慧數(shù)，③因?yàn)椋╪+2）2﹣n2＝4（n+1），所以所有4的倍數(shù)也都是智慧數(shù)，而被4除余2的偶數(shù)，都不是智慧數(shù)．由此可知，最小的智慧數(shù)是0，第2個(gè)智慧數(shù)是1，其次為3，4，從5起，依次是5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20…即按2個(gè)奇數(shù)，一個(gè)4的倍數(shù)，三個(gè)一組地依次排列下去．∴從0開(kāi)始第7個(gè)智慧數(shù)是：8；故答案為：8；（2）∵200÷4＝50，∴不大于200的智慧數(shù)共有：50×3+1＝151．故答案為：151．15．（2分）（2020春?嶗山區(qū)期末）[（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）+1]÷3的個(gè)位數(shù)為7．解：原式＝[（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×…×（332+1）+1]÷3＝[（34﹣1）×（34+1）×…×（332+1）+1]÷3＝[（38﹣1）×…×（332+1）+1]÷3＝[364﹣1+1]÷3＝364÷3＝363，∵31＝3，32＝9，33＝2734＝81，35＝243，∴個(gè)位數(shù)字是3，9，7，1四個(gè)數(shù)字的循環(huán)，∵63÷4＝15……3，∴個(gè)位數(shù)為7．故答案為：7．16．（2分）（2020春?邛崍市期中）已知a2﹣4b2＝12，且a﹣2b＝﹣3，則a+b＝﹣3.75．解：∵a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝12，a﹣2b＝﹣3，∴﹣3（a+2b）＝12，a+2b＝﹣4，聯(lián)立a﹣2b＝﹣3，可得2a＝﹣7，解得a＝﹣3.5，把a(bǔ)＝﹣3.5代入a+2b＝﹣4得﹣3.5+2b＝﹣4，解得b＝﹣0.25，則a+b＝﹣3.5﹣0.25＝﹣3.75．故答案為：﹣3.75．17．（2分）（2019秋?克東縣期末）請(qǐng)你計(jì)算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）（1+x+x2），…猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）的結(jié)果是1﹣xn+1（n為大于2的正整數(shù)）解：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3，…猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1，故答案為：1﹣xn+118．（2分）（2020春?昌圖縣期末）計(jì)算：（a+1）（a﹣1）（a2+1）（a4+1）＝a8﹣1．解：原式＝（a2﹣1）（a2+1）（a4+1）＝（a4﹣1）（a4+1）＝a8﹣1，故答案為：a8﹣1．19．（2分）（2018春?成都期末）觀察下列等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4…觀察發(fā)現(xiàn)：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn．根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：32018+32017+32016+…+32+3+1＝．解：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn．∵（3﹣1）（32018+32017+32016+…+32+3+1）＝32019﹣1，∴32018+32017+32016+…+32+3+1＝．故答案為：an﹣bn；20．（2分）（2018春?慈溪市期末）如圖，從邊長(zhǎng)為（a+5）的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正方形，剩余部分沿虛線剪開(kāi)再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），則拼成的長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)是a+10．解：拼成的長(zhǎng)方形的面積＝（a+5）2﹣52，＝（a+5+5）（a+5﹣5），＝a（a+10），∵拼成的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為a，∴另一邊長(zhǎng)是a+10．故答案為：a+10．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?東鄉(xiāng)區(qū)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形．（1）通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗(yàn)證的等式是：B．A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）D．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②計(jì)算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．解：（1）圖中兩個(gè)陰影部分的面積分別為a2﹣b2和（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：B．（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，∴（a+b）（a﹣b）＝3（a+b）＝21，∴a+b＝7．②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝×???×＝×???+＝＝．22．（6分）（2022春?鐵嶺期中）如圖所示，圖甲由長(zhǎng)方形①，長(zhǎng)方形②組成，圖甲通過(guò)移動(dòng)長(zhǎng)方形②得到圖乙．（1）S甲＝（a+b）（a﹣b），S乙＝a2﹣b2（用含a、b的代數(shù)式分別表示）；（2）利用（1）的結(jié)果，說(shuō)明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量關(guān)系；（3）應(yīng)用所得的公式計(jì)算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）；（4）如圖丙，現(xiàn)有一塊如圖丙尺寸的長(zhǎng)方形紙片，請(qǐng)通過(guò)對(duì)它分割，再對(duì)分割的各部分移動(dòng)，組成新的圖形，畫(huà)出圖形，利用圖形說(shuō)明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量關(guān)系．解：（1）由題可得，S甲＝（a+b）（a﹣b）；S乙＝a2﹣b2；故答案為：（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2；（2）∵S甲＝S乙；∴a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量關(guān)系為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）???（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××???××××＝×＝；（4）如圖①所示，將圖丙分成四個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的小長(zhǎng)方形，再拼成如圖②所示的正方形．根據(jù)圖②可得：S大正方形＝（a+b）2，S大正方形＝（a﹣b）2+4ab，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．23．（8分）（2022春?丹陽(yáng)市期中）觀察下列等式4×1＝22﹣02．4×2＝32﹣12；4×3＝42﹣22；4×4＝52﹣32，…（1）請(qǐng)將2020寫(xiě)成兩整數(shù)平方差的形式：2020＝5062﹣5042．（2）用含有字母n（n≥1的整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律是4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2，并用已學(xué)的知識(shí)驗(yàn)證這一規(guī)律．（3）相鄰兩整數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由．解：（1）由題意可知：2020＝4×505，∴2020＝5062﹣5042（2）由題意可知：4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2證明：右邊＝（n+1）2﹣（n﹣1）2＝n2+2n+1﹣n2+2n﹣1＝4n＝左邊，（3）設(shè)相鄰的兩個(gè)整數(shù)分別：a，a+1根據(jù)題意可知：（a+1）2﹣a2＝2a+1化簡(jiǎn)結(jié)果為奇數(shù)，故不是4的倍數(shù)．故答案為：（1）506，504；（2）4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）224．（8分）（2021春?高明區(qū)期末）如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．（1）請(qǐng)直接用含a和b的代數(shù)式表示S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；寫(xiě)出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（用式子表達(dá)）．（2）應(yīng)用公式計(jì)算：．（3）應(yīng)用公式計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．解：（1）圖1中陰影部分的面積為大正方形與小正方形的面積差，即a2﹣b2，圖2中陰影部分是長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b）的長(zhǎng)方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），由圖1和圖2中陰影部分的面積相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝＝＝＝；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1＝（232﹣1）（232+1）+1＝264﹣1+1＝264．25．（8分）（2019春?南海區(qū)期末）（1）如圖1，陰影部分的面積是a2﹣b2．（寫(xiě)成平方差的形式）（2）若將圖1中的陰影部分剪下來(lái)，拼成如圖2的長(zhǎng)方形，面積是（a﹣b）（a+b）．（寫(xiě)成多項(xiàng)式相乘的積形式）（3）比較兩圖的陰影部分的面積，可以得到公式：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2．（4）應(yīng)用公式計(jì)算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．解：（1）如圖（1）所示，陰影部分的面積是a2﹣b2，故答案為：a2﹣b2；（2）根據(jù)題意知該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+b、寬為a﹣b，則其面積為（a+b）（a﹣b），故答案為：（a+b）（a﹣b）；（3）由陰影部分面積相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，故答案為：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（4）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）＝××××…××＝×＝．26．（8分）（2020春?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)正整數(shù)a可以表示為連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)的平方差的形式，如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，…，我們則稱形如8，16，24這樣的正整數(shù)a為“奇特?cái)?shù)”；（1）請(qǐng)寫(xiě)出最小的三位“奇特?cái)?shù)”是104，將它表示成連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)的平方差的形式為104＝272﹣252；（2）求證：任意一個(gè)“奇特?cái)?shù)”都是8的倍數(shù)．解：（1）根據(jù)“奇特?cái)?shù)”的特征可知，“奇特?cái)?shù)”是8的倍數(shù)，而8×12＝96，8×13＝104，所以最小的三位“奇特?cái)?shù)”是104，此時(shí)這兩個(gè)連