專項10 新定義型試題

專項10新定義型試題類型一與二次根式有關的新定義型問題1.定義:若兩個二次根式a,b滿足ab=c,且c是有理數,則稱a與b是關于c的共軛二次根式.問題解決:(1)若a與23是關于6的共軛二次根式,求a的值;(2)若4+3與8-3m是關于26的共軛二次根式,求m的值.類型二與一元二次方程有關的新定義型問題2.(2023安徽滁州定遠三中第一次月考)定義:如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足a-b+c=0,那么我們稱這個方程為“黃金方程”.(1)判斷一元二次方程2x2+5x+3=0是不是黃金方程,并說明理由.(2)已知3x2-ax+b=0是關于x的黃金方程,若a是此黃金方程的一個根,求a的值.類型三與勾股定理有關的新定義型問題3.【新考法】定義:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c滿足ac+a2=b2,則稱這個三角形為“類勾股三角形”.請根據以上定義解決下列問題:(1)如圖1所示,若等腰三角形ABC是“類勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,求∠A的度數.(2)如圖2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.請證明△ABC為“類勾股三角形”.圖1 圖24.閱讀下面的材料,然后解答問題:定義:兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形.(1)理解并填空:①根據奇異三角形的定義,判斷:等邊三角形一定是奇異三角形嗎?(填“一定是”或“一定不是”).

②若某三角形的三邊長分別為1、7、2,則該三角形(填“是”或“不是”)奇異三角形.

(2)探究:在Rt△ABC中,兩邊長分別是a、c,且a2=50,c2=100,則這個三角形是不是奇異三角形?請說明理由.5.如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長,那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”.(1)如圖,在△ABC中,AB=AC=25,BC=4,求證:△ABC是“美麗三角形”;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=43,若△ABC是“美麗三角形”,求BC的長. 備用圖

專項10新定義型試題答案全解全析1.解析(1)∵a與23是關于6的共軛二次根式,∴23a=6,∴a=623=(2)∵4+3與8-3m是關于26的共軛二次根式,∴(4+3)(8-3m)=26,∴8-3m=264+3=26(4?3∴m=2.2.解析(1)一元二次方程2x2+5x+3=0是黃金方程.理由:由題意得,a=2,b=5,c=3,∴a-b+c=2-5+3=0,∴一元二次方程2x2+5x+3=0是黃金方程.(2)∵3x2-ax+b=0是關于x的黃金方程,∴3-(-a)+b=0,∴b=-a-3,∴原方程為3x2-ax-a-3=0.∵a是此黃金方程的一個根,∴3a2-a2-a-3=0,即2a2-a-3=0,∴(a+1)(2a-3)=0,解得a=-1或a=323.解析(1)∵AB=BC,AC>AB,∴a=c,b>c.∵△ABC是類勾股三角形,∴ac+a2=b2,∴c2+a2=b2,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠A=45°.(2)如圖,在AB邊上取點D,連接CD,使∠ACD=∠A,作CG⊥AB于G,∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A.∵∠B=2∠A,∴∠CDB=∠B,∴CD=CB=a.∵∠ACD=∠A,∴AD=CD=a,∴DB=AB-AD=c-a.∵CG⊥AB,∴DG=BG=12∴AG=AD+DG=a+12(c-a)=1在Rt△ACG中,CG2=AC2-AG2=b2-12在Rt△BCG中,CG2=BC2-BG2=a2-12∴b2-12(a+c)2=a2∴b2=ac+a2,∴△ABC是“類勾股三角形”.4.解析(1)①設等邊三角形的邊長為a,則a2+a2=2a2,∴等邊三角形一定是奇異三角形.②∵12+(7)2=8,2×22=8,∴12+(7)2=2×22,∴該三角形是奇異三角形.(2)當AB為斜邊時,b2=c2-a2=100-50=50,則a2+b2≠2c2,a2+c2≠2b2,∴Rt△ABC不是奇異三角形;當AC為斜邊時,b2=a2+c2=150,則有a2+b2=50+150=200=2c2,∴Rt△ABC是奇異三角形.答:當AB為斜邊時,Rt△ABC不是奇異三角形;當AC為斜邊時,Rt△ABC是奇異三角形.5.解析(1)證明:過點A作AD⊥BC于D,如圖1,∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD為△ABC的中線,∴BD=12由勾股定理,得AD=AB即△ABC是“美麗三角形”.(2)當AC邊上的中線BD等于AC時,如圖2,AD=CD=23,BD=AC=43,∴BC=BD當BC邊上的中線AE等于BC時,如圖3,AC2=AE2-CE2,即BC2-12BC2=(43Rt△AB