【數(shù)學(xué)】乘法公式(2)課件-2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

1.3乘法公式第一章整式的乘除1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn);（重點(diǎn)）2.會(huì)運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算；(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)第3課時(shí)完全平方公式的認(rèn)識(shí)平方差公式：

(a+b)(a－b)=a2－b2

2.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：

左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積；右邊是兩數(shù)的平方差.1.由下面的兩個(gè)圖形你能得到哪個(gè)公式？復(fù)習(xí)鞏固新課導(dǎo)入3.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的結(jié)果相加

.單項(xiàng)式×多項(xiàng)式單項(xiàng)式×單項(xiàng)式多項(xiàng)式×多項(xiàng)式情境引入一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因需要將其邊長(zhǎng)增加b米.形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積,并進(jìn)行比較.你發(fā)現(xiàn)了什么？aabb直接求：總面積=(a+b)(a+b)間接求：總面積=a2+ab+ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方公式講授新課觀察下面算式及其運(yùn)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2·3x+9x2=4+2×2×3x+9x2=4+12x+9x2根據(jù)上面的規(guī)律，你能直接下面式子的寫(xiě)出答案嗎？a2+2ab+b2(a＋b)2=

.你能用右圖解釋這一公式嗎？總面積=(a+b)2

；總面積=a2+ab+ab+b2.=a2+2ab+b2

(a+b)2=a2+2ab+b2

議一議(a-b)2=?你是怎么做的呢？方法一：(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2方法二：(a-b)2=[a+(-b)][a+(-b)]=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2(a-b)2=

.a2-2ab+b2要點(diǎn)歸納完全平方公式（a+b)2=

.a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2

兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個(gè)公式叫作完全平方公式.

簡(jiǎn)記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”

公式特征：1.積為二次三項(xiàng)式；2.積中的兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方；3.另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與乘式中間的符號(hào)相同.4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.你能根據(jù)圖中的面積解釋(a－b)2=a2－2ab+b2嗎?baba

圖

1思考:a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2典例精析例1

運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：解:(2x－3)2==4x2(1)(2x－3)2；(a－

b)2=a2

－2ab+b2(2x)2－2?(2x)?3+32－12x+9；(a

+

b)2=a2

+

2ab+b2y2(2)(y+)2.=y2+y

++()2+2?y?

解：(y+)2=

思考(a+b)2與(-a-b)2相等嗎?(a-b)2與(b-a)2相等嗎?(a-b)2與a2-b2相等嗎?為什么?(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2(a-b)2與a2-b2不一定相等.只有當(dāng)b=0或a=b時(shí)，(a-b)2=a2-b2.例2

運(yùn)用乘法公式計(jì)算:(1)(x+2y－3)(x－2y+3);

解:原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)]=x2－(2y－3)2=x2－(4y2－12y+9)=x2－4y2+12y－9.方法總結(jié)：需要分組.分組方法是“符號(hào)相同的為一組，符號(hào)相反的為另一組”.(2)(a+b－5)2.解：原式=[(a+b)－5]2=(a+b)2－10(a+b)+52=a2+2ab+b2－10a－10b+25方法總結(jié)：把其中兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，再運(yùn)用完全平方公式計(jì)算.例3

如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個(gè)完全平方式，求m的值．解：因?yàn)?6x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，

所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，

所以m＋1＝±60，

所以m＝59或－61.方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．例4

如圖的三角形可解釋(a＋b)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱(chēng)為“楊輝三角”.其中(a＋b)0＝1，(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，根據(jù)“楊輝三角”計(jì)算(a＋b)4.解：原式＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4

1．在等號(hào)右邊的括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)：（1）a+b－c=a+（）（2）a－b+c=a－（）（3）a－b－c=a－（）（4）a+b+c=a－（）b-cb-cb+c-b-c能否用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確?當(dāng)堂練習(xí)

2.下面各式的計(jì)算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？（1）(x+y)2=x2+y2(2)(x

－y)2=x2－y2(3)(－x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××x2+2xy+y2x2－2xy+y2

x2－2xy+y24x2+4xy+y23.如圖，將完全相同的四張長(zhǎng)方形紙片和一張正方形紙片拼成一個(gè)較大的正方形，則可得出一個(gè)等式為(

)A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4abD4.若代數(shù)式x2＋kx＋25是一個(gè)完全平方式，則k=_______．10或－105.若(x-y)2=(x+y)2+a,則a為

.-4xy(1)(6a+5b)2；

(2)(4x－3y)2

；

=16x2－24xy+9y2；(3)(2m－1)2

；

=4m2－4m+1；(4)(－2m－1)2

.

=4m2+4m+1.6.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:=36a2+60ab+25b2；完全平方公式法則注意(a±b)2=a2±2ab+b21.項(xiàng)數(shù)、符號(hào)、字母及其指數(shù)2.不能直接應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算的式子，需要先添括號(hào)變形3.弄清完全平方公式和平方差公式的不同點(diǎn)（從公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及結(jié)果兩方面）課堂小結(jié)1.進(jìn)一步掌握完全平方公式；2.靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．(重點(diǎn)，難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)第4課時(shí)完全平方公式的運(yùn)用2.想一想：（1）兩個(gè)公式中的字母都能表示什么?（2）完全平方公式在計(jì)算化簡(jiǎn)中有些什么作用?（3）根據(jù)兩數(shù)和或差的完全平方公式，能夠計(jì)算多個(gè)數(shù)的和或差的平方嗎?

(a+b)

2=a2+2ab+b2(a－b)

2=a2－2ab+b2

1.完全平方公式：復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課導(dǎo)入完全平方公式的運(yùn)用講授新課思考：怎樣計(jì)算1022,1972更簡(jiǎn)便呢？分析：1022和1972是改寫(xiě)成(a+b)2還是(a-b)2呢？a和b怎么確定呢？(1)1022；解：原式=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)1972.解：原式=(200–3)2=40000-1200+9=38809.=1002+2×2×100+22=2002-2×3×200+32典例精析例1計(jì)算：(1)(x+3)2－x2；(2)(a+b+3)(a+b－3)；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).解：(1)(x+3)2－x2=

x2+6x+9－x2=6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=[(a+b)+3][(a+b－3]=(a+b)2－32

=a2+2ab+b2－9；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=

x2+10x+25－(x2－5x+6)=

x2+10x+25－x2+5x－6=

15x+19.例2

運(yùn)用乘法公式計(jì)算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);

原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.解:(1)方法總結(jié)：用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，需要分組.分組方法是“符號(hào)相同的為一組，符號(hào)相反的為另一組”.(2)(a+b+c)2.解：原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.方法總結(jié)：要把其中兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，再按照完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.例3

化簡(jiǎn)：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)=(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4.方法總結(jié)：先運(yùn)用平方差公式，再運(yùn)用完全平方公式.例4

已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2

的值．解：因?yàn)閍＋b＝7，所以(a+b)2＝49.所以a2＋b2＝(a+b)2-2ab=49-2×10＝29.(a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9.解題時(shí)常用結(jié)論：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.1.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)962

；(2)2032.解：原式=（100－4）2=1002+42－2×100×4=10000+16－800=9216；解：原式=（200+3）2=2002+32++2×200×3=40000+9+1200=41209.當(dāng)堂練習(xí)2.若a+b=5,ab=－6,

求a2+b2,a2－ab+b2.3.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y.解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37；a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43.解：因?yàn)閤+y=4,所以