專題10-分式與分式方程壓軸題真題(解析版)-初中數(shù)學(xué)七年級上學(xué)期重難點(diǎn)題型分類高分必刷題(人教版)

專題10分式與分式方程壓軸題真題-高分必刷題（原卷版）專題簡介：本份資料包含《分式與分式方程》這一章在各次月考、期末中的主流壓軸題，所選題目源自各名校月考、期末試題中的典型考題，本專題資料適合于培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師培養(yǎng)尖子生時(shí)使用或者學(xué)生想挑戰(zhàn)高分時(shí)刷題使用。題型一：分式方程的無解問題1.（長郡）（1）若關(guān)于的方程無解，求的值；（2）若n是自然數(shù)，關(guān)于x的分式方程的解為，且，求的值?！窘獯稹拷猓海?）去分母，得：x+3+k（x﹣3）＝3+k，即（1+k）x＝4k，∴k＝﹣1時(shí)，方程無解，∵分式方程無解，即x2﹣9＝0，解得：x＝3或x＝﹣3，當(dāng)x＝3時(shí)，3+3+0＝3+k，解得：k＝3；當(dāng)x＝﹣3時(shí)，﹣3+3﹣6k＝3+k，解得：k＝﹣．去分母，得：(x+n)(2-x)+n(x+2)=(x+2)(2-x)，∴x=2-2n，∵方程的解為t，解不為増根，最簡公分母(x+2)(2-x)≠0，∴x≠-2且x≠2，∴2-2n≠-2，得n≠2且2-2n≠2得n≠0，2-2n=t，，∴t≥0，∴2-2n≥0，∴n≤1，n為自然數(shù)，∴n=0（舍）或n=1，當(dāng)n=1時(shí)，t=2-2n=0，(t+1)-n=(0+1)-1=1綜上，原式的值為1．2.（中雅）對于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中為常數(shù)，且）則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“系雅培點(diǎn)”。例如：的“3系雅培點(diǎn)”為，即。（1）點(diǎn)的“2系雅培點(diǎn)”的坐標(biāo)為；（2）若點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)的“系雅培點(diǎn)”為點(diǎn)，若在△中，，求的值；（3）已知點(diǎn)在第四象限，且滿足。點(diǎn)是點(diǎn)的“系雅培點(diǎn)”，若分式方程無解，求的值?！窘獯稹拷猓海?）點(diǎn)P（6，1）的“2系雅培點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（6+2×1，1+），即點(diǎn)P′（8，4），故答案為（8，4）；（2）設(shè)點(diǎn)P（0，m）（m＞0），同理可得：點(diǎn)P′（km，m），則PP′＝|km|＝2OP＝2m，解得：k＝±2；（3）點(diǎn)A是點(diǎn)B（m，n）的“﹣3系雅培點(diǎn)”，同理可得：點(diǎn)A（m﹣3n，n﹣m），∵xy＝﹣12，故（m﹣3n）（n﹣m）＝﹣12，即（m﹣3n）2＝36，∵點(diǎn)A（x，y）在第四象限，故m﹣3n＞0，∴m﹣3n＝6，解分式方程＝1得：x＝，①當(dāng)c＝﹣4時(shí)，方程無解；②當(dāng)x＝＝3時(shí)，方程無解，即c+4＝（4m﹣12n﹣6）＝×（24﹣6）＝6，解得c＝2，綜上，c＝2或﹣4．3．（師大）已知，關(guān)于x的分式方程．（1）當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，求分式方程的解；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，求b為何值時(shí)分式方程無解；（3）若a＝3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程的解為整數(shù)時(shí)，求b的值．【解答】解：（1）把a(bǔ)＝1，b＝0代入分式方程＝1中，得﹣＝1，方程兩邊同時(shí)乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）+x（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x＝2x2﹣7x﹣15，x＝﹣，檢驗(yàn)：把x＝﹣代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝﹣．答：分式方程的解是x＝﹣．（2）把a(bǔ)＝1代入分式方程＝1得﹣＝1方程兩邊同時(shí)乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，（11﹣2b）x＝3b﹣10①當(dāng)11﹣2b＝0時(shí)，即b＝，方程無解；②當(dāng)11﹣2b≠0時(shí)，x＝x＝時(shí)，分式方程無解，即＝﹣，b不存在；x＝5時(shí)，分式方程無解，即＝5，b＝5．綜上所述，b＝或b＝5時(shí)，分式方程＝1無解．（3）把a(bǔ)＝3b代入分式方程＝1，得：，方程兩邊同時(shí)乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），整理得：（10+b）x＝18b﹣15，∴x＝，∵＝＝18﹣，且b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195＝3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，但1、3、5小于11，不合題意，故10+b可以取13、15、39、65、195這五個(gè)數(shù)．對應(yīng)地，方程的解x為3、5、13、15、17，由于x＝5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去．對應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，所以滿足條件的b可取3、29、55、185這四個(gè)數(shù)．題型二：分式的分子有理化類壓軸題4.（青竹湖）閱讀下列材料：我們定義：在分式中，對于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”.

如：、這樣的分式就是假分式，再如：、這樣的分式就是真分式，類似地，假分式也可以化為帶分式.如：.

解決下列問題：分式是（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化為帶分式的形式；（2）如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)的值；（3）求分式的最值。

【解答】解：（1）分式是真分式；＝＝1﹣；（2）＝＝1+，x﹣1＝﹣6，解得x＝﹣5；x﹣1＝﹣3，解得x＝﹣2；x﹣1＝﹣2，解得x＝﹣1；x﹣1＝﹣1，解得x＝0；x﹣1＝1，解得x＝2；x﹣1＝2，解得x＝3；x﹣1＝3，解得x＝4；x﹣1＝6，解得x＝7．故滿足條件的整數(shù)x的值為﹣5，﹣2，﹣1，0，2，3，4，7；（3）＝＝6﹣，故當(dāng)x＝﹣時(shí)，分式的最小值為6﹣＝﹣．故答案為：真分式；1﹣．5.（一中）閱讀下列材料：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù).如：.我們定義：在分式中，對于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”。如，這樣的分式就是假分式；，這樣的分式就是真分式.類似地，假分式也可以化為帶分式(即：整式與真分式的和的形式).如：；解決下列問題：（1）分式是________分式(填“真”或“假”)；（2）將假分式化為帶分式；（3）如果為整數(shù)，分式的值為整數(shù)，求所有符合條件的的值.【解答】解：（1）由題意得：分式是真分式，故答案為：真；（2）＝＝＝x﹣2+；（3）原式＝＝＝＝2（x﹣1）+，由于分式的值為整數(shù)，故x+1＝±1或±5，∴x＝0或﹣2或4或﹣6．∵x是整數(shù)，∴x＝0或﹣2或4或﹣6．6.（廣益）閱讀與應(yīng)用：我們知道，即，所以我們可以得到，（當(dāng)且僅當(dāng)）類比學(xué)習(xí)：若和為實(shí)數(shù)且，則必有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；其證明如下：，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有）例如：求的最小值，即，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最小值為.（1）閱讀上面材料，當(dāng)時(shí)，則代數(shù)式的最小值為.（2）求的最小值，并求出當(dāng)取最小值時(shí)，的值.（3）若，求代數(shù)式的最大值，并求出此時(shí)的值.【解答】解：（1）∵a+≥2＝4，∴當(dāng)a＝2時(shí)，則代數(shù)式a+（a＞0）的最小值為4；故答案為：2，4；（2）當(dāng)y＝＝＝（m+1）+，∵y≥2＝8有最小值，∴m+1≥，∴當(dāng)m＝3時(shí)，y取得最小值8；（3）∵0≤x≤4，∴2x+（8﹣2x）≥2，∴≤4，∴≤2，∴最大值2．7.（郡維）我們學(xué)過單項(xiàng)式驗(yàn)以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，那么多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式該怎么計(jì)算呢？我們可以用整式進(jìn)行演算，即先把被除式、除式按某個(gè)字母作降冪排列，并把所缺的項(xiàng)用零補(bǔ)齊，再類似數(shù)的整式除法求出商式和余式，其中余式為0或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)。這個(gè)過程暫且稱之為“大除法”例如計(jì)算由過程得：∴（1）類似小學(xué)學(xué)過的：，我們有類似的結(jié)論：被除式（2）請你用豎式計(jì)算：（3）己知，求多項(xiàng)式（4）若取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)，則（5）求分式的取值范圍【解答】解：（1）=除式×商式+余式；（2）；（3）2018；（4）0；（5）.題型三：其它壓軸題8.（青竹湖）湘一“追逐夢想”數(shù)學(xué)興趣小組編了一個(gè)“詩·遠(yuǎn)方”的計(jì)算程序，規(guī)定：輸入數(shù)據(jù)，時(shí)，若輸出的是代數(shù)式稱為“詩”，若輸出的是等式稱為“遠(yuǎn)方”.回答下列問題：（1）當(dāng)輸入正整數(shù)，時(shí)，得到“遠(yuǎn)方”和“詩”，若“遠(yuǎn)方”為，求證“詩”：是完全平方式.（溫馨提示：對于一個(gè)整式，如果存在另一個(gè)整式，使的條件，則稱是完全平方式，比如，是完全平方式）（2）當(dāng)輸入，時(shí)，求“遠(yuǎn)方”：的，的正整數(shù)解.（3）若正數(shù)，互為倒數(shù)，求“詩”：的最小值?！窘獯稹拷猓?y＝x2﹣1代入2（x+y+1），得2（x+y+1）＝2x+2y+2＝2x+x2﹣1+2＝x2+2x+1＝（x+1）2為完全平方式．（2）∵x（x﹣1）+xy+y＝51，∴x2﹣x﹣2+xy+y＝49，（x+1）（x﹣2）+y（x+1）＝49，（x+1）（x+y﹣2）＝49，∵x，y都是正整數(shù)，∴或或解得或（舍去）或（舍去），∴x，y的正整數(shù)解為6和3；（3）∵正數(shù)x，y互為倒數(shù)，∴xy＝1，S＝＝＝1﹣，當(dāng)x+2y取最小值時(shí)，S有最小值，∵x+2y≥2＝2，即x＝，y＝，S＝1﹣＝1+2﹣3＝2﹣2．答：“詩S”：S＝的最小值為2﹣2．9.（雅禮）對，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：(其中、均為非零常數(shù))，這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：.(1)已知，.①求，的值；②若關(guān)于的不等式組無解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)若對任意實(shí)數(shù)，都成立(這里和均有意義)則，應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？【解答】解：（1）①根據(jù)題意得，，∴；②根據(jù)題意得，無解，化簡不等式組得無解，∴，∴；（2）∵R（x，y）＝R（y，x），∴，∴axy+2ax2+by2+2bxy＝axy+2ay2+bx2+2bxy，∴2ax2﹣bx2+by2﹣2ay2＝0，（2a﹣b）x2﹣（2a﹣b）y2＝0，（2a﹣b）（x2﹣y2）＝0，∵R（x，y）＝R（y，x）對任意實(shí)數(shù)x，y都成立（這里R（x，y）和R（y，x）均有意義），∴（2a﹣b）（x2﹣y2）＝0對任意實(shí)數(shù)x，y都成立，∴2a﹣b＝0，∴b＝2a．10.（雅實(shí)）閱讀：對于兩個(gè)不等的非零實(shí)數(shù)、，若分式的值為零，則或.又因?yàn)?，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)解，分別為，.應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：（1）方程的兩個(gè)解分別為，，則_________，_________；（2）方程的兩個(gè)解中較大的一個(gè)為；（3）關(guān)于x的方程的兩個(gè)解分別為x1、x2（x1＜x2），則x1＝，x2＝．【解答】解：（1）由已知可得：p＝﹣1×4＝﹣4；q＝﹣1+4＝3；故答案為：﹣4；3；（2）∵ab＝3，a+b＝4，∴這兩個(gè)數(shù)為：3和1，∴兩解中較大的一個(gè)為3；故答案為：3；（3）∵，∴2x﹣1+＝（n+2）+（n﹣1），∴2x﹣1＝n+2或2x﹣1＝n﹣1，∵x1＜x2，∴x1＝，x2＝，故答案為：；．11.（青竹湖）若多項(xiàng)式與都是常數(shù)，，滿足，則稱這兩個(gè)多項(xiàng)式為“湘一相依”多項(xiàng)式.⑴填空：寫出“湘一相依”多項(xiàng)式為 ；分解因式為. ⑵求證：若，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式互為“湘一相依”多項(xiàng)式；⑶正數(shù)m，n滿足多項(xiàng)式與，并且將，若兩多