2025年中考數(shù)學總復習：尺規(guī)作圖 學案（含答案）

微專題40尺規(guī)作圖

1.（2024佛山模擬）如圖，在R3ABC中，ZACB=90°.

（1）尺規(guī)作圖：在AC上確定一點。，使點。到CB,AB的距離相等（要求保

留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，過點Z）作。交A5于點E,若AC=6,AB=10,

求△AOE的周長.

第1題圖

2.如圖，在矩形A5CD中，E為C5延長線上一點，連接AE,AC.

（1）實踐與操作：作5尸交AC于點尸；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與計算：在（1）的條件下，若AE=3,BE=W,ZBFC=ZABE,求

BC的長.

第2題圖

3.（2024廣東黑白卷）如圖，在等邊△A5C中，A。為5C邊上的高.

（1）實踐與操作：利用尺規(guī)，以為邊在8下方作等邊ACQE,延長石。交

AB于點V；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與證明：在（1）的條件下，證明

Rnc

第3題圖

4.（2024廣州）如圖，在RSA5C中,45=90°.

（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線50（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線50繞點。逆時針旋轉180°得到。O,連接

AD,CD,求證：四邊形A5CD是矩形.

第4題圖

5.如圖，△人呂。為等腰三角形.

（1）實踐與操作：求作菱形4EOR使得NA為菱形的一個內(nèi)角，點Z）,E,F

分別在邊5C,AB,AC上；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與計算：在（1）的條件下，若A5=AC=10,BC=S,求菱形AE。尸

的面積.

第5題圖

6.如圖，在R3A5C中，ZABC=90°.

（1）實踐與操作：在邊AC上取點0,以0。為半徑作。0,使得。。與相

切；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應用與計算：在（1）的條件下，若求經(jīng)的值.

第6題圖

7.（2024香洲區(qū)二模）如圖，在△A5C中，ZABC=90°+ZA,以A5為直徑

的交AC于D

（1）實踐與操作：過點5作仍，A5,交AC于點E；（保留作圖痕跡，不要求

寫作法）

（2）應用與計算：在（1）的條件下，當BE=0A,5。=10時，求。石的長度.

第7題圖

8.（2024佛山一模）綜合與實踐

數(shù)學活動課上，同學們用尺規(guī)作圖法探究在菱形內(nèi)部作一點到該菱形三個頂點的

距離相等.

【動手操作】如圖，已知菱形A5C。，求作點E,使得點E到三個頂點A,D,C

的距離相等.小紅同學設計如下作圖步驟；

①連接BD-,

②分別以點4。為圓心，大于］。的長為半徑分別在的上方與下方作??；

上方兩弧交于點下方兩弧交于點N,作直線交于點E；

③連接AE,EC,則EA=E0=EC

(1)根據(jù)小紅同學設計的尺規(guī)作圖步驟，在圖中完成作圖過程.(保留作圖痕跡，

不要求寫作法).

【證明結論】

(2)證明：EA=ED=EC.

【拓展延伸】

(3)當NABC=72°時，求△與△的面積比.

1.解：(1)如解圖，點。即為所求；

C

BEA

第1題解圖

(2)如解圖，在R3A5C中，ZACB=90°,AC=6,AB=1Q,

：.BC=8,

?/5。平分NABC,

：.ZCBD=ZABD,

VZC=90°=ZBED,BD=BD,

：.4BCDQABED(KAS),

：.CD=DE,BC=BE,

：.EA=BA-BE^BA~CB=2,

：.△ADE的周長=4。+。石+4石=4。+。。+4石=人。+人力=6+2=8.

2.解：（1）如解圖①或解圖②，點尸即為所求；（作法不唯一）

圖①圖②

第2題解圖

(2Y：BF//AE,

：.ZBFC=ZEAC,

,?ZBFC=ZABE,

：.ZEAC=ZABE,

,?ZAEC=ZAEB,

:ABEs△CAE,

.BEAE.V33

??,??,

AECE3CE

解得CE=343,

:.BC=CE—BE=2?

3.(1)解：如解圖①，ACDE即為所求作的三角形；(答案不唯一)

一題多解法

如解圖②，ACDE即為所求作的三角形.

(2)證明：?.,△A5C為等邊三角形，AZ)為邊上的高,

：.ZB=ZACB=60°,BD=CD,

,/ACQE為等邊三角形，

ZECD=60°,：.ZB=ZECD,

,?ZMDB=ZEDC,

：.△WD^ACED(ASA),

：.CE=BM.

4.(1)解：如解圖①，線段50即為所求;

第4題解圖①

(2)證明：如解圖②，由題可得A0=C0,由旋轉可得

???四邊形ABCD為平行四邊形，

VZABC=90°,

J四邊形A5CD為矩形.

第4題解圖②

5.解：（1）如解圖，菱形AE。尸即為所求（作法不唯一，合理即可）;

A

RDC

第5題解圖

（2）如解圖，設與石尸交于點0,

?「AZ）是NBAC的平分線，

1

:.AD1BC,BD=CD=-BC=4.

2

在R3A5。中，AD=JAB2-BD2=J102-42=2V21，

'：EF±AD,

J.EF//BC.

'：A0=0D,

：.E,尸分別為AB和AC的中點,

1

：.EF=/C=4,

2

S菱形4EO尸=10.石尸

6.解：（1）如解圖①②，。。即為所求;

（2）如解圖③，連接0。,

:。0與A5相切，

：.OD=OC,OD±AB,

VZABC=90°,

：.OD//BC,

.?.△ADOs△AB。，

.OD_A0_AO

''CBACAO+OC'

"：AO=BC,OD=OC,

.OD_OC_AO

,,BCAOAO+OC，

即AO2=OC1+OCAO,

.AO2OC2,OCAO

''AO2AO2AO2'

即1=(—)2+—,

VAOAO

設"=a,則l=q2+a,

OA

整理得〃+a—1=0,

解得。=等(負值已舍去),

.OCV5-1

??.

OA2

第6題解圖③

7.解：(1)如解圖，5E即為所求;

第7題解圖

(2)如解圖，連接0A

：AB±BE,

：.ZABE^90°,

VZABC=ZABE+ZEBC=90°+NA,

ZA=ZEBC,

'：zc=zc,

.*.△CBEs^CAB,

.CB_CE_BE_BE_1

''CACBAB20A2,

'：BC=10,

：.CE=5,CA=20,

：.AE^AC-CE=20~5=15,

?「A5是。0的直徑，

ZADB=ZBDE=90°,

VZA+ZABD=90°,ZABD+ZDBE=90°,

ZA=ZDBE,

：.^ADB^ABDE,

.ABDBAD_

..—BE=—DE=—DB=2,

：.BD=2DE,AD=1BD=4DE,

1

：.DE=-AE=3.

5

8.(1)解：根據(jù)小紅同學設計，完成作圖過程如解圖所示;

第8題解圖

(2)證明：在菱形中，ZADE=ZCDE,AD=DC,

'：DE=DE,

：.△ADE咨ACDE(SAS),

：.AE^EC,

?「MN垂直平分A。，

:.AE=DE,

：.AE=DE=EC；

(3)解：?.?在菱形A5C。中，ZABC=72°,

：.ZABD=ZDBC=36°,

\'AD//BC,

：.ZADB=ZDBC=36°,ZDAB=180°-ZABC=108°.

?；AE=DE,

：.ZEAD=ZADB=36°,

：.ZEAD=ZABD=36°,

ZADE=ZBDA,

：.XADEsABDA,

§PAD2=BDDE.

BDAD

?：/BAE=/BAD—/EAD=72°,ZBEA=ZEAD+ZADE=72°,

：.NBAE=ZBEA,

:.BE=AB.

^AB=x=BE,。石=a(其中％,a>0),

則%2=(%+Q).Q,

.".x2—ax—a2=0