2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：規(guī)律探究

專題規(guī)律探究

](2015安徽中考第13題)按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：2]，22,23,25,28,213,若尤，y,z表示這列

數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù)，猜想x,y,z滿足的關(guān)系式是.

2.(2024安徽中考第18題)數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為x2—丁(居y均為

自然數(shù))”的問(wèn)題.

(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下(〃為正整數(shù))：

N奇數(shù)4的倍數(shù)

1=12-024=22-02

3=22—1?8=32—y

5=32-2212=42-22

表示結(jié)果

7=42—3216=52—32

9=52—4220=62-42

一般結(jié)論2n~1=n2—(n—I)24n=________

按上表規(guī)律，完成下列問(wèn)題：

(i)24=()2-(＞；

(ii)4〃=；

(2)興趣小組還猜測(cè)：像2,6,10,14,…這些形如4〃一2(”為正整數(shù))的正整數(shù)N不能表示為y

均為自然數(shù)).師生一起研討，分析過(guò)程如下：

假設(shè)4a—2=f—y2,其中無(wú)，y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若x,y均為偶數(shù)，設(shè)尤=2左，y—2m,其中左，機(jī)均為自然數(shù)，

則V—yZu(2左＞一(2%＞=火爐一根2)為4的倍數(shù).

而4〃一2不是4的倍數(shù)，矛盾.故x,y不可能均為偶數(shù).

②若無(wú)，y均為奇數(shù),設(shè)尤=2左+1,y—2m+l,其中左，機(jī)均為自然數(shù)，

則x2~y2—(2k+l)2—(2m+l)2—為4的倍數(shù).

而4"一2不是4的倍數(shù)，矛盾.故x,y不可能均為奇數(shù).

③若無(wú)，y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則x2—y2為奇數(shù)，

而4〃一2是偶數(shù)，矛盾.故無(wú)，y不可能一'個(gè)是奇數(shù)一■個(gè)是偶數(shù).

由①②③可知，猜測(cè)正確.

閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫(xiě)所缺內(nèi)容.

3.(2023安徽中考第18題)

【觀察思考】

◎

◎

◎?*?◎**◎

◎◎**◎◎***◎

◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請(qǐng)用含n的式子填空：

⑴第ri個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為；

⑵第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為詈，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為等，第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可

表示為等,第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為等，……，第九個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為.

【規(guī)律應(yīng)用】

（3）結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)加使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+…+n等于第兀個(gè)

圖案中“◎，，的個(gè)數(shù)的2倍.

4.（2022安徽中考第18題）觀察以下等式：

第1個(gè)等式：（2x1+1）2=（2x2+1）2-（2x2）2,

第2個(gè)等式：（2x2+=（3x4+1尸—（3x4）2,

第3個(gè)等式：（2X3+I7=（4x6+一（4X6尸，

第4個(gè)等式：（2x4+=（5x8+一（5x8）2,

按照以上規(guī)律.解決下列問(wèn)題：

⑴寫(xiě)出第5個(gè)等式：；

（2）寫(xiě)出你猜想的第w個(gè)等式（用含〃的式子表示），并證明.

5.（2021安徽中考第18題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列

而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

［觀察思考］

當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地放有2塊時(shí)，等腰直角三角

形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，

［規(guī)律總結(jié)］

（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加

(2)若一條這樣的人行道一共有w(〃為正整數(shù))塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為(用

含w的代數(shù)式表示).

［問(wèn)題解決］

(3)現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地豉剩余最少，

則需要正方形地磚多少塊？

6.(2020安徽中考第17題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：jx(l+|)=2-i

第2個(gè)等式：］x(l+|)=2—

第3個(gè)等式：|x(1+|)=2-|

第4個(gè)等式：：x(l+：)=2—；

第5個(gè)等式：|X(1+|)=2-1

按照以上規(guī)律.解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式；

(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：(用含n的等式表示)，并證明.

7.(2019安徽中考第18題)觀察以下等式:

第1個(gè)等式：|=：+%

第2個(gè)等式:|=：+g

第3個(gè)等式4號(hào)

第4個(gè)等式六；+或，

第5個(gè)等式總

……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式：；

(2)寫(xiě)出你猜想的第〃個(gè)等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

8.(2018安徽中考第18題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：：+T+：x；l，

第2個(gè)等式：l+l+lXi=1,

2323

第3個(gè)等式：+

3434

第4個(gè)等式：-+l+-xl=l,

4545

第5個(gè)等式：|+i+lxi=i,

5656

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式：；

(2)寫(xiě)出你猜想的第〃個(gè)等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

9.(2017安徽中考第19題)

【閱讀理解】

我們知道,1+2+3+…+”=也羅,那么產(chǎn)+22+32+…+/結(jié)果等于多少呢？

在圖1所示的三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1,即H第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2,即

22；……；第〃行〃個(gè)圓圈中數(shù)的和為T(mén)I+71+…+71,即/.這樣，該三角形數(shù)陣中共有中個(gè)圓圈,

所有圓圈中數(shù)的和為l2+22+32+-+n2.

【規(guī)律探究】

將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置

圓圈中的數(shù)（如第n-1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為止1,2,〃）,發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和

均為,由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和

^/:3（12+22+32HFn2）=,因此,12+2?+32H1-/?2=.

第19題圖2

【解決問(wèn)題】

根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算，|察言符的結(jié)果為

10.（2016安徽中考第18題）（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空

?o

??

?01+3=22

??

?*

?1+3+5=32；

oo

??o

??o

???

1+3+5+7=

?0O

??o-O

??O

??od-O

-

1+3+5+7+?一+(2〃-1)

OOOO????第九行

（2）觀察下圖，根據(jù)（1）中結(jié)論,計(jì)算圖中黑球的個(gè)數(shù)，用含有〃的代數(shù)式填空:

第〃行

第〃+1行

????第〃+2行

???????

1+3+5+…+(2〃-1)+()+(2九-1)+…+5+3+1

參考答案與解析

1.(2015安徽中考第13題)按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：2、22,23,25,28,213,...?若尤，y,z表示這列

數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù)，猜想尤，》z滿足的關(guān)系式是.

【答案】xy=z

【詳解】解：觀察數(shù)列可發(fā)現(xiàn)：21x22=23,22x23=25,23x25=28……，

前兩個(gè)數(shù)的積等于第三個(gè)數(shù)，

?.”、y、z表示這列數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù)，

...X、y、z滿足的關(guān)系式是xy=z.

故答案為：xy=z.

2.(2024安徽中考第18題)數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為一一產(chǎn)(尤，丁均為

自然數(shù))”的問(wèn)題.

(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下("為正整數(shù))：

N奇數(shù)4的倍數(shù)

1=12-024=22-02

3=22—128=32—12

5=32—2212=42—22

表示結(jié)果

7=42—3216=52—32

9=52—4220=62-42

一般結(jié)論2n-1=n2—(n—I)24n=________

按上表規(guī)律，完成下列問(wèn)題：

(i)24=()2-(

(ii)4〃=；

(2)興趣小組還猜測(cè)：像2,6,10,14,…這些形如4〃一2("為正整數(shù))的正整數(shù)N不能表示為y2。，y

均為自然數(shù)).師生一起研討，分析過(guò)程如下：

假設(shè)4a—2=f—j2,其中無(wú)，y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若尤，y均為偶數(shù)，設(shè)尤=2匕y=2m,其中左，機(jī)均為自然數(shù)，

則％2—產(chǎn)=(2左)2—(2根)2=4(產(chǎn)一源)為4的倍數(shù).

而4”一2不是4的倍數(shù)，矛盾.故無(wú)，y不可能均為偶數(shù).

②若無(wú)，y均為奇數(shù),設(shè)尤=24+1,y—2m+l,其中左，機(jī)均為自然數(shù)，

則x2-/=(2)t+l)2-(2m+l)2=為4的倍數(shù).

而4〃一2不是4的倍數(shù)，矛盾.故x,y不可能均為奇數(shù).

③若x,y一'個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則x2—;/為奇數(shù)，

而4〃一2是偶數(shù)，矛盾.故無(wú)，y不可能一'個(gè)是奇數(shù)一■個(gè)是偶數(shù).

由①②③可知，猜測(cè)正確.

閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫(xiě)所缺內(nèi)容.

【答案】(1)(i)7,5；(ii)(n+l)2-(n-l)2；

(2)4(左2—+左—相)

【小問(wèn)1詳解】

(i)由規(guī)律可得，24=72—52，

故答案為：7,5；

(ii)由規(guī)律可得，4n=(n+l)2-(n-l)2,

故答案為：("+1)2—(“—Ip；

【小問(wèn)2詳解】

解：假設(shè)4〃—2=爐—V，其中％y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若X，丁均為偶數(shù)，設(shè)x=2左，y=2m,其中％,加均為自然數(shù)，

則f—y2=Q左了—Q咐2=4(左2一療)為4的倍數(shù).

而4〃-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故劉V不可能均為偶數(shù).

②若劉y均為奇數(shù)，設(shè)％=2Z+1,y=2根+1,其中后加均為自然數(shù),

則無(wú)2一,2=(2左+行—(2m+行=4(/—療+女一同為4的倍數(shù).

而4〃-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故劉V不可能均為奇數(shù).

③若X，丁一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則必―/為奇數(shù).

而4〃-2是偶數(shù)，矛盾.故X,，不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù).

由①②③可知，猜測(cè)正確.

故答案為：4(左2-加+左-祖).

3.(2023安徽中考第18題)【觀察思考】

◎

◎

◎?*?◎**◎

◎◎*◎◎**??***◎

◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請(qǐng)用含n的式子填空：

⑴第ri個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為；

⑵第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為詈，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為等，第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可

表示為等,第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為等，……，第九個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為.

【規(guī)律應(yīng)用】

(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)加使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+…+n等于第九個(gè)

圖案中“◎，，的個(gè)數(shù)的2倍.

【答案】(1)3九⑵*f(3加=11

【詳解】(1)解：第1個(gè)圖案中有3個(gè)◎,

第2個(gè)圖案中有3+3=6個(gè)@,

第3個(gè)圖案中有3+2x3=9個(gè)@,

第4個(gè)圖案中有3+3x3=12個(gè)?,

...第九個(gè)圖案中有3幾個(gè)?,

故答案為：3n.

(2)第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為容，

第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為等，

第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為辭，

第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為等，……,

第w個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為外券，

(3)解：依題意，1+2+3+……+n=也產(chǎn),

第九個(gè)圖案中有3九個(gè)◎,

An(n+1)=3n><2；

2

解得：n-0(舍去)或=11.

4.(2022安徽中考第18題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：(2x1+1)2=(2x2+1)2-(2x2)2,

第2個(gè)等式：（2x2+=（3x4+1尸一（3x4）2,

第3個(gè)等式：（2X3+1尸=（4x6+一（4X6尸,

第4個(gè)等式：（2x4+=（5x8+一（5x8）2,

按照以上規(guī)律.解決下列問(wèn)題：

⑴寫(xiě)出第5個(gè)等式：；

⑵寫(xiě)出你猜想的第"個(gè)等式(用含力的式子表示)，并證明.

【答案】(1)(2x5+I)2=(6x10+I)2-(6x10)2

(2)(2n+I)2=[(n+1)-2n+I]2—[(n+1)-2n]2,證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)解：觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個(gè)等式為：(2X5+17=

(6x10+I)2-(6x10)2,故答案為：(2X5+I)2=(6X10+I)2-(6x10)2；

(2)解:第〃個(gè)等式為(2n+1尸=[(n+1)?2n+1產(chǎn)—[5+1)?2n]2,

證明如下：

等式左邊：(2n+I)2=4n2+4n+1,

等式右邊：[(九+1)-2n+I]2—[(n+1)-2n]2

=[(n+1)-2n+1+(n+1)-2n]?[(n+1)-2n+1—(n+1)-2n]

=[(n+1)-4n+1]X1

=4n2+4n+1,

故等式(2n+l)2=[(n+1)-2n+l]2-[(n+1)-2n]2成立.

5.(2021安徽中考第18題)某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列

而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

[觀察思考]

當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊(如圖2)；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角

形地磚有8塊(如圖3)；以此類推，

KXXJ

圖1圖2圖圖33

[規(guī)律總結(jié)]

(1)若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；

(2)若一條這樣的人行道一共有nCn為正整數(shù))塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為(用

含〃的代數(shù)式表示).

［問(wèn)題解決］

(3)現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，

則需要正方形地磚多少塊？

【答案】(1)2；(2)2n+4；(3)1008塊

【詳解】解：(1)由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；故答案為：2；

(2)由(1)可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊，即2+4；

所以當(dāng)?shù)卮u有"塊時(shí)，等腰直角三角形地質(zhì)有(2n+4)塊；

故答案為：2n+4；

(3)令2n+4=2021則n=1008.5

當(dāng)71=1008時(shí)，2n+4-2020

此時(shí)，剩下一塊等腰直角三角形地磚

.?.需要正方形地磚1008塊.

6.(2020安徽中考第17題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：ix(l+|)=2-i

第2個(gè)等式：jX(l+|)=2-|

第3個(gè)等式：|x(l+|)=2-j

第4個(gè)等式：:x(l+3=2—；

第5個(gè)等式：1x(1+1)=2-1

按照以上規(guī)律.解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式___________；

(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：_(用含幾的等式表示)，并證明.

【答案】⑴芍X(1+5=2-&(2)^x(l+-)=2-i,證明見(jiàn)解析.

8'6，6n+2'71，n

【詳解】(1)由前五個(gè)式子可推出第6個(gè)等式為：^x(l+|)=2-i；

ooo

(2)-x(1+-)=2-

n+2'7/n

、-r□口??2n~l.2、2n—1n+22n—l1

證明：?左邊=_x(l+0=k7XH=k=n2-廣右邊,

，等式成立.

7.(2019安徽中考第18題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：|=；+：,

第2個(gè)等式:|=J+g

5zo

第3個(gè)等式:|=抖專，

第4個(gè)等式六

第5個(gè)等式V+福，

……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式：；

(2)寫(xiě)出你猜想的第w個(gè)等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

【答案】⑴?=；+(；(2)-=-+思F見(jiàn)解析

11ooo2n-ln

2

【詳解】解：(1)第6個(gè)等式:蕓+三

11666

1

(2)—=-+

2n-lnn(2n-l)

12n-l+l

證明：：右邊=2+=7^7=左邊?

nn(2n-l)n(2n-l)2n-l

J等式成立.

8.(2018安徽中考第18題)觀察以下等式:

第1個(gè)等式:]+

第2個(gè)等式：i+|+|xi=l,

第3個(gè)等式：|+j+ixj=l,

3434

第4個(gè)等式:；+|+；x|=l,

4545

第5個(gè)等式：l+i+ixi=l,

5o56

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式：；

（2）寫(xiě)出你猜想的第〃個(gè)等式：（用含〃的等式表示），并證明.

【答案】（1）|+|+|x|=1；（2）-+^—^+--^—^—1,證明見(jiàn)解析.

6767nn+1nn+1

【詳解】⑴觀察可知第6個(gè)等式為:*1，故答案為：

1,n-l,1n-1

（2）猜想:—I-----1—X—=1,

nn+1nn+1

n-l_n+l+n(n-l)+n-l_n(n+l)

證明：左邊=工+1+~X---=一1■'=1,

nn+1nn+1n(n+l)n(n+l)

右邊=1,

...左邊=右邊,

原等式成立,

1.n-l,1n-l

.?.第〃個(gè)等式為:—I-----1—X1,

nn+1nn+1

故答案為工+V+三x-=l.

nn+1nn+1

9.（2017安徽中考第19題）

【閱讀理解】

我們知道,1+2+3+…+冏=普2那么-+22+32+…+/結(jié)果等于多少呢？

在圖1所示的三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1,即上第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2,即

22；……；第”行〃個(gè)圓圈中數(shù)的和為71+TI+…+72,即〃2.這樣，該三角形數(shù)陣中共有中個(gè)圓圈,

所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+-+H2.

【規(guī)律探究】

將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置

圓圈中的數(shù)（如第n-l行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為〃-1,2,總發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和

均為.由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和

為:3（1?+2?+32H-----.因此,1_2+22+32_|------------------------\-rr-.

第19題圖2

【解決問(wèn)題】

根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算個(gè)黑：:若2的結(jié)果為

n(n4-l)(2n+l)n(n+l)(2n+l)

【答案】2"+1,1345.

26

【詳解】由題意知,每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為"-1+2+幾=2孔+1,

由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為

3(l2+22+32+---+H2)=(2n+l)x(l+2+3+---M=(2n+l)x^l)=n(n+1^2n+1\

因止匕,12+22+32+..?+川二小+1）（2九+1）；

6

-x2017x(2017+l)x(2x2