2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點突破 抽象函數(shù)模型歸納總結(jié)（八大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點突破01抽象函數(shù)模型歸納總結(jié)

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................3

題型一：一次函數(shù)模型..........................................................................3

題型二：二次函數(shù)模型..........................................................................4

題型三：幕函數(shù)模型............................................................................4

題型四：指數(shù)函數(shù)模型..........................................................................5

題型五：對數(shù)函數(shù)模型..........................................................................5

題型六：正弦函數(shù)模型..........................................................................6

題型七：余弦函數(shù)模型..........................................................................6

題圜I：正切函數(shù)模型..........................................................................7

03過關(guān)測試.....................................................................7

//\\

一次函數(shù)

(1)對于正比例函數(shù)=(kwO),與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為〃x±y)=/(x)±/(y).

(2)對于一次函數(shù)〃司=丘+可左#0),與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x±y)=/(x)±/(y)干小

二次函數(shù)

(3)對于二次函數(shù)/(X)=加+Zzx+c(a/0),與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為

f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

塞函數(shù)

(4)對于塞函數(shù)〃%)=%",與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為/(肛)=/(力/(田.

xn，其抽象函數(shù)還可以是/{2]=44.

(5)對于暴函數(shù)/(%)=

UJf(y)

指數(shù)函數(shù)

(6)對于指數(shù)函數(shù)“九)=/與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x+y)=/(x)/(y).

(7)對于指數(shù)函數(shù)/(x)=a*,其抽象函數(shù)還可以是/(x-

其中(〃〉0,awl)

對數(shù)函數(shù)

(8)對于對數(shù)函數(shù)/(九)=log。％,與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為/(沖)=/(x)+/(y).

(9)對于對數(shù)函數(shù)/(x)=logaX,其抽象函數(shù)還可以是7-=f(x)-f(y).

W7

(10)對于對數(shù)函數(shù)/(x)=log0x,其抽象函數(shù)還可以是/(x")=W(x).

其中(〃〉0,〃wl)

三角函數(shù)

(11)對于正弦函數(shù)〃x)=sinx,與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x+y)〃x—y)=/2⑺一/(y)

注：此抽象函數(shù)對應(yīng)于正弦平方差公式：sin2a-sin2/?=sin(or+yff)sin(?-/?)

與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x)+/(y)=24苫)

(12)對于余弦函數(shù)/(x)=cosx,

ccBcc—B

注：此抽象函數(shù)對應(yīng)于余弦和差化積公式：cosa+cos/3=2cos-----cos...-

22

(13)對于余弦函數(shù)/(x)=cosx,其抽象函數(shù)還可以是/(x)/(y)=g[/(x+y)+/(x—y)]

cos(cr+/?)+COS(6T-/?)

注：此抽象函數(shù)對應(yīng)于余弦積化和差公式：cosacosj3=

2

(14)對于正切函數(shù)/(X)=tanx,與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為7(x土y)=J

注：此抽象函數(shù)對應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式：tan(a±0=tana±tan一

1+tanoftan/?

題型一：一次函數(shù)模型

【例1】已知/(x+y)=/(x)+/(y)—1且/⑴=2,則/⑴+〃2)+L+/(〃)不等于

A./(l)+2/(l)+L+nf(l)--B.f+n-l

C.〃2；3〃D.小+1)

【變式1-1】已知函數(shù)/(X)的定義域為R,且，￡|工。，若F(x+y)+〃x)〃y)=4^,則下列結(jié)論錯誤

的是()

A.小J。B.啊=-2

C.函數(shù)，是偶函數(shù)D.函數(shù)[x+j是減函數(shù)

【變式1-2](2024.河南新鄉(xiāng)?一模)已知定義在R上的函數(shù)/⑴滿足V無,yeR,

“2孫-l)=/(x>/(y)+/(y)+2x-3,/(0)=-1,則不等式/(力>3-2,的解集為()

A.(1,+co)B.(-1,+co)C.(-81)D.(-oo,-l)

【變式1-3】已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)/(x),其值域也是R,并且對于任意的尤,yeR,都有

/("))=孫,則|〃2022)|等于()

A.0B.1C.20222D.2022

題型二：二次函數(shù)模型

【例2】(2024.高三.河北保定.期末)已知函數(shù)了⑺滿足：Vx,yeZ,y)=f(x)+f(y)+2孫+1成

立，且f(-2)=1,則”2〃)(〃eN*)=()

A.4"+6B.8n-lC.W+2n-lD.8n2+2/1-5

【變式2-1](2024?山東濟南三模)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且才⑴-燈'(y)=^(x-y),則下列結(jié)

論一定成立的是()

A.f(l)=lB./⑴為偶函數(shù)

C./(x)有最小值D.“X)在[0,1]上單調(diào)遞增

【變式2-2](2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且滿足

/(%)+f(J)=/(-x+y)-2xy+2,/(I)=2,則下列結(jié)論正確的是()

A./(4)=12B.方程/(尤)=》有解

C.+是偶函數(shù)D.是偶函數(shù)

【變式2-3](2024?河南三模)已知函數(shù)/⑴滿足：/⑴23,且Vx,yeR,

9

/(x+y)=/(x)+/(y)+6到，則2/(，)的最小值是()

Z=1

A.135B.395C.855D.990

題型三：幕函數(shù)模型

【例3】已知函數(shù)〃x)的定義域為(y,0)U(0,y),且由x)=(y+l)〃y+l),則()

A./?>0B./(1)=1C./(x)是偶函數(shù)D./(無)沒有極值點

【變式3-1](2024.河北.模擬預(yù)測)己知定義在(y,0)U(0,M)上的函數(shù)〃尤)滿足

9)=J+3+L則(

)

yxxy

A./(x)是奇函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減

B.是奇函數(shù)且在(-8,0)上單調(diào)遞增

C./(x)是偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減

D./（x）是偶函數(shù)且在（-8,0）上單調(diào)遞增

題型四：指數(shù)函數(shù)模型

【例4】（多選題）（2024.山西晉中.三模）已知函數(shù)/（x）的定義域為R,滿足

〃x+y）=〃x）〃y）+〃x）+〃y）,且〃0）H-1,/（1）>-1,則下列說法正確的是（）

A./(0)=0B./（x）為非奇非偶函數(shù)

C.若/⑴=1,則"4)=15D./（">-1對任意》€(wěn)川恒成立

【變式4-1】已知函數(shù)/（尤）滿足，/（p+q）=〃p）?/⑷J⑴=3,則

/⑴+“2）r2）+〃4）*3）+〃6）/（4）+〃8）/（5）+〃10）

的值為（)

“1）”3）/（5）/（7）/（9）

A.15B.30C.60D.75

【變式4-2】如果/（“+b）=/（a）/㈤且/⑴=2,貝4鋁+米+霏=（）

1237

A.—B.—C.6D.8

55

【變式4-3】已知函數(shù)〃尤）對一切實數(shù)。力滿足“。+3=/（。/僅），且"1）=2,若

%則數(shù)列｛%｝的前幾項和為（）

J1/

A.〃B.2〃C.4〃D.8〃

題型五：對數(shù)函數(shù)模型

【例5】（多選題）已知函數(shù)/（尤）的定義域為R,/（^）=r/W+x7（y）,則（）.

A./（0）=0B."1）=0

c.“X）是偶函數(shù)D.尤=0為/（尤）的極小值點

【變式5-1】已知定義在（0,+⑹上的函數(shù)/（x）,滿足〃刈）+l=〃x）+/（y）,且=則/（2"）=

A.1B.11C.12D.-1

【變式5?2】（2024?四川涼山三模）已知〃”為定義在R上且不恒為零的函數(shù)，若對Vx,”R,都有

/（盯）=4⑴+必⑺成立，則下列說法中正確的有（）個.

①〃0）=/。）=。；

②若當(dāng)x>l時，/（x）>o,則函數(shù)g（x）=?在（0,+⑹單調(diào)遞增；

③對VweN*,=

④若=則￡牛=2-2.

A.1B.2C.3D.4

【變式5?3】（2024.山西.一模）已知函數(shù)/（“是定義在｛xlxwO｝上不恒為零的函數(shù)，若

〃孫）=少+少,則（）

y%

A./⑴=1B./（-1）=1

C./（x）為偶函數(shù)D./（x）為奇函數(shù)

題型六：正弦函數(shù)模型

【例6】（多選題）（2024.遼寧?模擬預(yù)測）已知函數(shù)Ax）的定義域為R,且

f（x+y）f（x-j）=f\x）-f\y\/（I）=2,/（2）=0,則下列說法中正確的是（）

2024

A./（尤）為偶函數(shù)B./⑶=—2C./（-1）=/（5）D.￡于*）=-2

左=2

【變式6-1］（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)“X）的定義域為R,且

/（工+田/（工一丫）=尸。）-尸（）；）,〃1）=1,/（2）=。，則下列說法中正確的是（）

2023

A./(x)為偶函數(shù)B.〃3)=-1C./(-1)--/(5)D.工于*)=1

k=\

題型七：余弦函數(shù)模型

【例7】(多選題)己知定義域為R的函數(shù)“X)滿足/(x+y)=f(x)"(y)-f(2-x)/(2-y),且

/(0)^0,/(-2)=0,則()

A./(2)=1

B.是偶函數(shù)

C.[/(X)]2+[/(2+X)]2=1

D.〃1)+〃2)+〃3)+…+”2024)=1

【變式7-11(多選題)(2024?遼寧.二模)已知定義城為R的函數(shù)/(x).滿足

/(x+y)=/(x)/(y)-/(l-x)/(l-y),且〃0)*0,/(-1)=0,則()

A.f(l)=0B./(x)是偶函數(shù)

2024

c.[/(A-)]2+[/(1+<=ID.=

【變式7-2](2024.吉林?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/⑺的定義域為R,且/(x+y)+/(尤-y)=2/(無)/(y),

2024

f(0)=l,/(3^+l)=-/(-3x+l),則￡/伏)=()

斤=0

A.-2B.-1C.0D.1

【變式7-3](2024?安徽?模擬預(yù)測)若定義在R上的函數(shù)/(x),滿足2/(x+y)/(x-y)=/(2x)+/(2y),

且/(1)=-1,則〃0)+〃1)+〃2)+…+”2024)=()

A.0B.-1C.2D.1

題型八：正切函數(shù)模型

【例8】定義在(-1,1)上的函數(shù)“X)滿足：〃無)一〃>)=/二]￡|，當(dāng)x?T，0)時，有/(力>0,且

/1力=1.設(shè)一+…J,心2,—N*,則實數(shù)加與-1的大小關(guān)系為()

A.m<-\B.m=-lC.m>-\D.不確定

【變式8?1】(2024?浙江?二模)已知函數(shù)”“滿足對任意的x,y<l,w)且尤J都有

=

f[Y~f~f~，若?！?/(_—\￡N*,貝!J%+%+。3+…+%024=()

U-孫J{yj+5n+5J

A-"/2麗531IB-/253、C/」〔篇2531D-」253、

1.已知函數(shù)〃x)對于一切實數(shù)均有/(x+y)-/(y)=x(x+2y+l)成立，且/⑴=0,則當(dāng)時,

不等式〃尤)+2<log.x恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是().

2.設(shè)函數(shù)f：R-R滿足f(O)=l,且對任意尤,yeR,都有/(孫+1)=/(力〃H_/(丫)_%+2,貝|

7(2017)=()

A.0B.2018C.2017D.1

3.滿足對任意的實數(shù)都有〃a+b)=〃a)?〃6),且/⑴=2,則

“2)"4)/(6),/(2018)

------------------r???d-()

/(I)/(3)/(5)--------/(2017)

A.2017B.2018C.4034D.4036

4.如果函數(shù)/(x)對任意滿足/(。+。)=/(。)/(力)，且/⑴=2,則與引+。^+4^+…+彳占3=

A.4032B.2016C.1008D.504

5.設(shè)函數(shù)〃X)的定義域為R,對任意實數(shù)x,y,只要尤+尸0,就有/(盯成立,則函

數(shù)/(X)()

A.一定是奇函數(shù)B.一定是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

6.(2024.全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域為R,f{x)f{y}-f[x)=xy-y,則()

A./(0)=0B.f(-l)=l

C./(x+1)為偶函數(shù)D./(x+1)為奇函數(shù)

7.設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為((),+◎,/(孫)=/(x)+/(y),若"9)=6,則/(3也)等于()

399

A.—B.2C.—D.—

242

8.(多選題)(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃力的定義域為R,Vx,yeR,

=且=則()

A./(%)為偶函數(shù)

B.卻比)

C./⑴+2/(2)+3/⑶+…+2023/(2023)=1

—_2

D."(x)f+1-可=1

9.(多選題)已知函數(shù)的定義域為R,/(x+y)-f(x-y)=f^+|p^+|^f(0)^0,則()

A./f|KoB./(0)=-2

2022(八

c.八元)的一個周期為3D.￡/-=2

k=\u

10.(多選題)(2024?江西九江?二模)已知函數(shù)/(尤)的定義域為R,Vx,yeR,

f(xy)+xy=xf(y)+yf(x),則下列命題正確的是()

A./(%)為奇函數(shù)B.“X)為R上減函數(shù)

C.若x#0,則4一+—"X)為定值D.若"2)=2,貝|士/(叫=2046

\XJxk=\

11.(多選題)(2024?江蘇南京?二模)已知函數(shù)/a)滿足〃x)/(y)=y(孫)+kl+lyl,貝I()

A./(0)=1B./(D=-lC./*)是偶函數(shù)D./⑴是奇函數(shù)

12.(多選題)(2024?廣西?二模)已知函數(shù)y=/(x)的定義域與值域均為。+,且

=+產(chǎn)(y)+時(y)(feN*),則()

A.41)=1B,函數(shù)〃X)的周期為4

C./(X)=X2(XGQ+)D.t=2

13.(多選題)已知非常數(shù)函數(shù)””的定義域為R,且〃x)〃y)=/3)+孫(％+y),則()

A./(0)=0B./(1)=-2或/(1)=1

C./H是｛x|xeR且％20｝上的增函數(shù)D.〃尤)是R上的增函數(shù)

14.(多選題)己知/(無)是定義在R上的函數(shù)，VxeR,/(x)>0,且/(肛)=〃x>/(y)-V-必，則

()

A./(1)=1

B./(無)是偶函數(shù)

C.7(尤)的最小值是1

D.不等式“a2)<10的解集是(-1,5)

15.(多選題)已知函數(shù)"X)滿足F(x+y)=/(x)+f(y),x,yeR,則()

A./(0)=0B.f(k)=kf(V),keZ

C./(工)="力,(左70)D./(-x)f(%)<0

16.(多選題)(2024?高三.云南昆明?開學(xué)考試)已知函數(shù)"X)的定義域為R,且

f[x-y)=f(rx)+f[y)-2xy,則()

A./(0)=0

B./⑵=4

C.y=f(x)-2x是奇函數(shù)

D.y=/(x)-2/是偶函數(shù)

17.(多選題)(2024?重慶?三模)函數(shù)/(尤)是定義在R上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對任意的無，yeR均滿足:

(x+y)-f(x)f(y)=xy-f{x+y),f(1)=2,則()

A./(0)=0B."2)=8

C./'(1)=4D.￡/(Q=(wT)-2向+2

k=\

18.(多選題)(2024全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)的定義域為R,且

〃x+y)=/(x)/(y)+/(x)+/(y)，x>o時,/(%)>o,42)=3,則()

A./(1)=1

B.函數(shù)在區(qū)間(0,+功單調(diào)遞增

C.函數(shù)是奇函數(shù)

D.函數(shù)〃x)的一個解析式為=

19.(多選題)已知函數(shù)y=/(x),對于任意x,yeR,需=/(》一>),則()

A."0)=1B./(x2)=27(%)

C./(x)>0D.亨j

20.(多選題)(2024?高三?遼寧?期中)已知函數(shù)的定義域為〃無)一〃y)=/二二且

=當(dāng)xe(O,l)時，/(x)>0,則()

A./(0)=0

B./(無)是偶函數(shù)

C.當(dāng)A,B是銳角AABC的內(nèi)角時，/(sinA)</(cosB)

11X21

D.當(dāng)匕>0,且——=L，&=不時，/(Z)=2i

加2斗2

21.(多選題)函數(shù)/(x)的定義域為R,若〃x+y)+/(x)〃y)=4孫，則下列選項正確的有

A./[-JoB,=

C.函數(shù)(x+j是增函數(shù)D.函數(shù)是奇函數(shù)

22.(多選題)定義在(0,+8)上的函數(shù)〃尤)，對Vx,y>0,均有〃個)=#(y)+0'(x),當(dāng)x>l時，

〃力<0,令g(x)=#,則下列說法正確的是()

A.g⑴=0B.g(x)gQ^j>0

C.Va>0,g(a)<g(a+l)D.X/a>0,"eN*,g(a")=〃g(a)

23.(多選題)已知定義在(0,+")上的函數(shù)滿足：對Vx,ye(O,M),都有/(孫)=/(x)+/(y),貝U

對于Vx,yw(O,y),〃eN*,下式成立的有()

A./(x+y)=/(x)/(y)B.,。="司-/3

C./(%")=?/1(%)D./(五)=/(無)

24.(2024.山西臨汾.三模)已知函數(shù)“X)的定義域為R,且/(x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),/(1)=1,

貝廳(2024)=一

25.已知函數(shù)/")的定義域為R,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),/(0)=1,請寫出滿足條件的一個

〃x)=—(答案不唯一).

/、/、/(0.5)/(I)/(0.5n)-*

26.已知函數(shù)y=/(x),xeR,且“0)=2,了⑼=2)(05)=工…7(05("1))="""，則函數(shù)

y=/(力的一個解析式為.

27.(2024?高三.江蘇揚州.開學(xué)考試)寫出滿足/(x-y)=/(尤)+/3-2到的函數(shù)的解析式.

28.(2024?高三?河南?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)滿足：①對V機，力>0,/(，〃)+/(")=f(aw)；②

=T.請寫出一個符合上述條件的函數(shù)/(x)=—.

29.已知函數(shù)y=/(x),xeR,且〃。)=2,3=2,溫J=2,…，/血/尸,〃入，

則滿足條件的函數(shù)/(無)的一個解析式為—.

30.若函數(shù)/⑺滿足V.yeRJ(孫)=〃x)〃y),寫出一個符合要求的解析式/(尤)=.

31.同時滿足下列兩個條件：①/(/)="(可力>()；②[〃石)一〃無2)](%-%)>。的函數(shù)可以為

重難點突破01抽象函數(shù)模型歸納總結(jié)

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................3

題型一：一次函數(shù)模型..........................................................................3

題型二：二次函數(shù)模型..........................................................................4

題型三：幕函數(shù)模型............................................................................4

題型四：指數(shù)函數(shù)模型..........................................................................5

題型五：對數(shù)函數(shù)模型..........................................................................5

題型六：正弦函數(shù)模型..........................................................................6

題型七：余弦函數(shù)模型..........................................................................6

題型八：正切函數(shù)模型..........................................................................7

03過關(guān)測試.....................................................................7

亡法牯自與.柒年

//\\

一次函數(shù)

⑴對于正比例函數(shù)/(%)=依(4#0),與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x±y)=/(x)±/(y).

(2)對于一次函數(shù)/(%)=日+可左#0),與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為了(尤士y)=/(x)±/(y)干》.

二次函數(shù)

(3)對于二次函數(shù)/(%)=依2+Jx+c(a彳0),與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為

f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

塞函數(shù)

(4)對于嘉函數(shù)/(尤)=%",與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為〃肛)=/(x)/(y).

M/W

(5)對于幕函數(shù)/(%)=xn,其抽象函數(shù)還可以是了=

<y)〃y)

指數(shù)函數(shù)

(6)對于指數(shù)函數(shù)/(%)=",與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x+y)=/(x)/(y).

(7)對于指數(shù)函數(shù)/(%)=優(yōu)，其抽象函數(shù)還可以是/(x—丁)=彳］.

其中(〃>0,QWl)

對數(shù)函數(shù)

(8)對于對數(shù)函數(shù)/(x)=log〃x,與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為/(盯)=/(x)+/(y).

(9)對于對數(shù)函數(shù)/(X)=log/,其抽象函數(shù)還可以是/：=/(%)-/(y).

(10)對于對數(shù)函數(shù)/(x)=log/,其抽象函數(shù)還可以是/(x')=d(x).

其中(Q>0,QW1)

三角函數(shù)

(11)對于正弦函數(shù)〃%)=sinx,與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為/(x+y)/(x—丁)=產(chǎn)(%)—尸什)

注：此抽象函數(shù)對應(yīng)于正弦平方差公式：sin2cr-sin2/?=sin(6/+/?)sin(6/-^)

x+y

(12)對于余弦函數(shù)〃x)=cosx,與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為“%)+〃y)=2/

22

注：此抽象函數(shù)對應(yīng)于余弦和差化積公式：cosa+cos尸=2cos~~~~cos

(13)對于余弦函數(shù)/(x)=cosx,其抽象函數(shù)還可以是/(力/")=3[/"+田+/卜—y)]

cos(cr+/?)+cos(cr-/?)

注：此抽象函數(shù)對應(yīng)于余弦積化和差公式：cosacos分=

2

(14)對于正切函數(shù)/(%)=tarn;,與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為7?(%土y)=1c

注：此抽象函數(shù)對應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式：tan(a±0=tana±tan.

1+tanortan/?

題型一：一次函數(shù)模型

【例1】已知/(x+y)=/(x)+/(y)—l且"1)=2,貝葉⑴+/(2)+L+/(〃)不等于

A./(l)+2/(l)+L+硬⑴B.f+n-l

萬n2+3〃n/,

C.---D.幾

【答案】C

【解析】Q/(x+y)=/(x)+/(^)-l,.?./(x+y)-l=[/(x)-l]+[/(y)-l],

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)—l,則g(x+y)=g(x)+g(y),旦g(l)=/⑴—1=1,

令%=g(w)=/(九)一1，則q=/(l)T=l,

令％=",y=l,得g(“+l)=g(〃)+g⑴，

an+l=。〃+4=?！?1，即an+l~an=1，

所以，數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列，且首項為1,公差為1,.=1+(〃-1)x1=%

f｛n)-\=n,貝!=〃+

2

〃/l)、+〃/2、)+L+"〃/)、=2+3+L+(/〃+1、)=，〃(2+〃_+1)2=〃(幾+3)n+3n，

(、/、/、n(n-\\+/、n(n-\\/、n(n-i\n2+3n人▼匚工打

f(i)+2/(i)+L+^(i)—==合乎題意;

H(H+1)n(n+i)"+3〃

+n—1\』+〃T=一-一，合乎題思;

2

故選D.

【變式1-1】已知函數(shù)/（無）的定義域為R,且/弓卜°，若/（x+y）+f（x）/（y）=4D,則下列結(jié)論錯誤的

D.函數(shù)/?是減函數(shù)

是偶函數(shù)

【答案】A

【解析】對于A,令x=jk。，則有d，+/gjx〃O）=dJ［l+〃O）］=O,

又/6/。，故1+/（。）=0,即/（0）=-1,

1

令了=；、、=-：，則有了4x-x

2

即/⑼+了3了T，由/（0）=-1,可得了0,

乂故4-￡|=。，故A正確；

對于C,令y=-g，貝第（x-J+〃x）/U=4xx（-J,

貝=故函數(shù)一是奇函數(shù)，故C錯誤；

對于D,W/^+1_=-2（x+l）=—2,x—2,g|J/=—lx-2,

則函數(shù)/［x+gj是減函數(shù)，故D正確；

對于B,由一；］=-2x,令無=1,W/Q^=-2xl=-2,故B正確.

故選：C

【變式1-2］（2024?河南新鄉(xiāng)?一模）已知定義在R上的函數(shù)/（尤）滿足Vx,yeR,

f（2xy-l）=/（x）-f（y）+f（y）+2x-3,/（0）=-1,則不等式/'（x）>3-2氏的解集為（）

A.(l,+oo)B.(-l,+oo)C.(-8,1)D.(-oo,-l)

【答案】B

【解析】令尤=y=0,/(-I)=/(0)-/(0)+/(0)-3--3.

令產(chǎn)。,得/(T)=/(元)f(0)+/(0)+2x-3,解得f(x)=21,

貝U不等式/(X)>3-2,轉(zhuǎn)化為2尤+2*-4>0,

因為，=2x+2'-4是增函數(shù)，且2xl+2i-4=0,

所以不等式/?>3-2'的解集為(1,+?).

故選：A

【變式1-3】已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)/(%),其值域也是R,并且對于任意的x,yeR,都有

/H(y))=個，則/(2022)1等于()

A.0B.1C.20222D.2022

【答案】C

【解析】由于/⑺在R上單調(diào)，且值域為R,則必存在為eR,使得〃%)=1,

令y=x>得,f(V(y0))=^y0,即/(x)=%x,

于是V尤,yeR,/H(y))=f3oy)=%3oy)=y：^=Ay,則%=±1,

從而〃x)=±x,有V(2022)=2022.

故選：D

題型二：二次函數(shù)模型

[例2](2024?高三?河北保定?期末)已知函數(shù)/(x)滿足：Vx,yeZ,

」(x+y)=/(x)+/(y)+2?+l成立,且〃-2)=1,貝4(2〃)(〃eN*)=()

A.4幾十6B.8n-lC.4n2+2n-lD.8n2+2n-5

【答案】A

【解析】令尤=y=o,則/(o)=/(o)+/(o)+i,所以〃0)=—1,

令x=yr貝0/(一2)=/(—1)+/(—1)+2+1=2/(—1)+3=1,

所以/(T=T，

令x=l,y=T,則/(0)=/(1)+/(-1)-2+1=/。)—2=—1,所以"1)=1,

令x=〃,y=l,〃eN",貝=/(〃)+/(1)+2/1+1=f(n)+2n+2,

所以小+1)-*”)=2〃+2,

則當(dāng)“22時，f(n)-f(n-l)=2n,

則/(")=〃")一〃"T)+〃"T)一〃九一2)+…+〃2)—+

=2n+(2n-2)+---+4+l=^2，i+^W-^+l=M2+n-l,

當(dāng)〃=1時，上式也成立，

所以/(〃)="2+〃-K〃eN*),

所以/(2zj)=4/z2+2〃—1(〃eN*).

故選：C.

【變式2-1](2024?山東濟南?三模)已知函數(shù)〃尤)的定義域為R,且才(》)-W(，)=孫卜-y),則下

列結(jié)論一定成立的是()

A./(1)=1B./(x)為偶函數(shù)

C./")有最小值D./(X)在[0』上單調(diào)遞增

【答案】A

【解析】由于函數(shù)“X)的定義域為R,且才⑴-獷(y)="(x-y),

令y=i,則/⑺-獷⑴=x(x-i),得〃同=尤2+[/⑴_i]尤，

x=l時，/■⑴=產(chǎn)+[/。)一1]恒成立，無法確定/⑴=1,A不一定成立；

由于"1)=1不一定成立，故〃尤)=尤2+[〃1)-1卜不一定為偶函數(shù)，B不確定；

由于〃同=/+"⑴-l]x的對稱軸為x=與[0』的位置關(guān)系不確定，

故/(%)在[0,1]上不一定單調(diào)遞增，D也不確定，

由于〃尤)=爐+"⑴-l]x表示開口向上的拋物線，故函數(shù)/(無)必有最小值，C正確，

故選：C

【變式2-2](2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且滿足

/(X)+f(y)=/(-X+y)-2xy+2,/(I)=2,則下列結(jié)論正確的是()

A./(4)=12B.方程/(x)=x有解

C./(x+g)是偶函數(shù)D.是偶函數(shù)

【答案】A

【解析】對于A,因為函數(shù)/5)的定義域為R,且滿足f(x)+/(y)=/(x+y)-2q+2，Al)=2,

取x=y=l,得+/?⑴=/(2)-2+2,則/(2)=4,

取x=y=2,得/(2)+/(2)=/(4)—8+2,則"4)=14,故A錯誤；

對于B,取》=1,得/(x)+/(l)=f(x+l)-2x+2,貝|/(x+l)-/(x)=2x,

所以〃x)-f(x-1)=2(x-l),/(x-1)-f{x-2)=2(x-2),-,/(2)-/(I)=2,

以上各式相加得/(X)_/⑴」2(x_1)；2].(x_1)=:7,

所以/(x)=x2-x+2,

f(x)=X2-x+2=X,得％2_2%+2=0,此方程無解，故B錯誤.

對于CD,由B知/(x)=x2-x+2,

所以/[x+；[=[x+g：_1x+；]+2=x2+：是偶函數(shù)，

=(尤-g]-(x-；)+2=x2-2x+?不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤.

故選：C.

【變式2-3](2024?河南?三模)已知函數(shù)滿足：/。)23,且V元,yeR,

9

/(x+y)=/(x)+/(y)+6xy,貝U￡/(。的最小值是()

1=1

A.135B.395C.855D.990

【答案】A

【解析】由/(x+y)=/(x)+/(y)+6孫，得〃x+y)-3(x+y)2=/(x)-3/+/()；)-3y:令

g(%)=f(x)-3x2,得g(x+y)=g(x)+g(y),

令x=",y=l,得ge+i)_g(〃)=g⑴，

故g(〃)=[g(〃)_g(〃T)]+[g(〃T)_g(〃_2)]+--+|^2)_g(l)]+g(l)=〃g(l),又g⑻=/(〃)-3〃2,

所以/'(")=g(")+3"=3〃2+[/(1)一3]",

9999

所以2〃i)=3Z『+[〃i)_3]￡i=855+45[〃l)-3],因為〃1)23,當(dāng)〃1)=3時,Z〃力)的最小值

f=l1=1Z=1Z=1

為855.

故選：C.