中考數(shù)學總復習提升專項知識二次函數(shù)的應用(練習)含答案及解析

第三章函數(shù)第14講二次函數(shù)的應用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01最大利潤問題??題型02方案解決問題??題型03行程問題??題型04拱橋問題??題型05隧道通車問題??題型06噴水問題??題型07投球問題??題型08利用圖像構建函數(shù)模型解決問題??題型09圖形問題??題型10動點問題??題型01最大利潤問題1．（2024·廣東湛江·模擬預測）某超市以每件10元的價格購進一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該文具的每天銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關系：y=?2x+60．(1)若該超市每天銷售這種文具獲利192元，則銷售單價為多少元？(2)設銷售這種文具每天獲利w（元），求w關于x的函數(shù)關系式（寫出自變量的取值范圍），并求出當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？2．（2023·江蘇揚州·一模）農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量n（千克）與銷售價格x（元/千克）之間的關系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分數(shù)據(jù)如表：銷售價格x（元/千克）3035404550日銷售量n（千克）6004503001500(1)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定n與x之間的函數(shù)表達式，并直接寫出n與x的函數(shù)表達式為______；(2)農(nóng)經(jīng)公司應該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？(3)農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出a元a>0的相關費用，當40≤x≤45時，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為2430元，求a的值．（日獲利=日銷售利潤?日支出費用）3．（2024·貴州遵義·模擬預測）某數(shù)學興趣小組在暑假開展社會實踐活動，銷售某品牌書包，平均每天可以銷售20個，每個盈利12元，為了擴大銷售，增加盈利，該小組決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每個書包每降價1元，平均每天可以多賣5個．(1)若每個書包降價x元，則可多賣__________個，每個盈利__________元；(2)若該興趣小組同學想要一天盈利300元，每個書包應降價多少元；(3)該興趣小組同學想要一天盈利最大，應降價多少元，所得最大利潤是多少元？4．（2024·湖北黃岡·模擬預測）大學生小麗暑假期間從小商品批發(fā)市場批發(fā)了一種新商品，新商品的進價為30元/件，經(jīng)過一段時間的試銷，她發(fā)現(xiàn)每月的銷售量會因售價的調(diào)整而不同，若設每月的銷售量為y件，售價為x元/件.(1)當售價在40—50元/件時，每月的銷售量都為60件，則此時每月的總利潤最多是多少元?(2)當售價在50—70元/件時，每月的銷售量與售價的關系如圖所示，求y與x的關系式；(3)小麗決定每賣出一件商品就向福利院捐贈m(m為整數(shù))元，若要保證小麗每月獲利仍隨x的增大而增大，請你幫她計算m的最小值是多少，并求此時售價為多少元時，她每月獲利最大.??題型02方案解決問題5．（2024·山東濰坊·一模）某無人機租賃方案有50架某種型號的無人機對外出租，該方案有兩種租賃方案：方案A：如果每架無人機月租費300元，那么50架無人機可全部租出．如果每架無人機的月租費每增加5元，那么將少租出1架無人機．另外，方案為每架租出的無人機支付月維護費20元．方案B：每架無人機月租費350元，無論是否租出，方案均需一次性支付月維護費共計185元．說明：月利潤=月租費-月維護費．設租出無人機的數(shù)量為x架，根據(jù)上述信息，解決下列問題：(1)當x=10時，按方案A租賃所得的月利潤是__________元，按方案B租賃所得的月利潤是__________元；(2)如果按兩種方案租賃所得的月利潤相等，那么租出的無人機數(shù)量是多少？(3)設按方案A租賃所得的月利潤為yA，按方案B租賃所得的月利潤為yB，記函數(shù)w=y6．（2024·湖北宜昌·模擬預測）某商場計劃用5400元購買一批商品，若將進價降低10%，則可以多購買該商品30件．市場調(diào)查反映：售價為每件25元時，每天可賣出250件．如果調(diào)整價格，一件商品每漲價1元，每天要少賣出10件．(1)求該商品原來的進價；(2)在進價沒有改變的條件下，若每天所得的銷售利潤為2000元，且銷售量盡可能大時，該商品的售價是多少元/件？(3)在進價沒有改變的條件下，商場的營銷部在調(diào)控價格方面，提出了A，B兩種營銷方案．方案A：每件商品漲價不超過5元；方案B：每件商品的利潤至少為16元．請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．7．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預測）呼和浩特素有“召城”之稱，塞上老街是一個重要的旅游街區(qū)，不僅有各式傳統(tǒng)文化遺物向游人訴說著歷史，更有新興的現(xiàn)代手工制品吸引著世人的目光，現(xiàn)塞上老街某文創(chuàng)專賣店在旅游文化節(jié)期間準備購進甲、乙兩種圍巾，其中乙種圍巾的進價比甲種圍巾的進價少10元，已知甲種圍巾的售價為每條120元，乙種圍巾的售價為每條100元，若用2000元購進甲種圍巾的數(shù)量與用1800元購進乙種圍巾的數(shù)量相同．(1)求甲、乙兩種圍巾每條的進價；(2)要使購進的甲、乙兩種圍巾共300條的總利潤不少于4000元，且不超過4100元，問該文創(chuàng)專賣店有幾種進貨方案；(3)文創(chuàng)專賣店準備對甲種圍巾進行價格調(diào)整，甲種圍巾每星期可賣出40條，市場調(diào)查反映，如調(diào)整價格，甲種圍巾每降價1元，每星期可多賣出10條，乙種圍巾售價不變，若該專賣店一星期要購進甲、乙共200條圍巾且全部售出，如何給甲種圍巾定價才能使一星期總利潤最大，此時甲、乙兩種圍巾各賣出多少條?8．（2024·陜西西安·一模）有一建筑的一面墻近似呈拋物線形，該拋物線的水平跨度OQ=8m，頂點P的高度為4m，建立如圖所示平面直角坐標系．現(xiàn)計劃給該墻面安裝門窗，已經(jīng)確定需要安裝矩形門框ABCD（點B，C在拋物線上，邊AD方案一：在門框的兩邊加裝兩個矩形窗框（點G，H在拋物線上），AE=DF=1m方案二：在門框的上方加裝一個矩形的窗框（點G，H在拋物線上），BE=CF=1m

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)若要求門框AB的高度為3m，判斷哪種方案透光面積（窗框和門框的面積和）較大？（窗框與門框的寬度忽略不計）??題型03行程問題9．（2024·浙江·模擬預測）問題情境：如圖1，兩條寬為16米、互相垂直的馬路組成十字路口，為中心對稱圖形，兩交通白線AB，CD間的距離與EF，GH間的距離均為64米，雙向安裝紅綠燈．安全條件：當綠燈亮時的最后一秒（即綠燈讀數(shù)為0），甲從交通白線AB騎出，能及時穿過路口，不與另一方向綠燈亮時從交通白線EF出來的汽車相撞，即可保證交通安全．實驗數(shù)據(jù)：測試時，甲沿BC騎行，汽車按公路中線行駛．當綠燈亮起，汽車起步后的速度v（米/秒）、行駛距離s（米）關于時間t（秒）的函數(shù)圖象分別為圖2、圖3，已知s=a(t?1)解決問題：(1)求圖3中m的值．(2)當t>4時，求s關于t的函數(shù)表達式．(3)如圖1，若甲騎車速度為5米/秒，汽車與摩托車長度忽略不計，設紅綠燈時間差為T秒．當T要滿足什么條件時，才能使汽車與甲不相撞？試通過計算說明．10．（2024·浙江杭州·一模）如圖，小車從點A出發(fā)，沿與水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑過程中小車速度逐漸增加，設小車出發(fā)點A離水平地面BE的高度為h，小車從點A滑行到最低點B所用的時間為t（秒），小車滑行到點B時的速度為v（厘米/秒）．速度v與時間t滿足關系：v=10t，高度h與時間t滿足關系：?=12gt2（g≠0，g是常數(shù)），當小車出發(fā)點小車出發(fā)點A離水平地面BE(1)當小車出發(fā)點A離水平地面BE的高度為45（厘米）時，小車滑到最低點B需要幾秒鐘？此時小車到達B點時的速度是多少？(2)小車繼續(xù)在粗糙的水平地面BE上滑行，設滑行的距離為s（厘米），小車從斜坡滑行到點B時速度為v（厘米/秒），小車在水平地面BE上滑行的時間為T（秒），若s與v，T之間滿足以下關系：g=?12aT2+vT（a≠0，a是常數(shù)），當v=20（厘米/秒）時，s=50（厘米），T=5（秒）．如果把小車出發(fā)點A離水平地面BE的距離11．（2024·安徽宿州·二模）賽龍舟是我國傳統(tǒng)的體育競技項目，有著悠久的歷史和廣泛的群眾基礎．某龍舟隊進行800米直道訓練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程s(m)與時間t(s)的近似函數(shù)圖象．啟航階段的函數(shù)表達式為s=kt2(k≠0)

(1)求出k的值，并寫出啟航階段自變量t的取值范圍；(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s，當t=90(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/12．（2022·湖北武漢·中考真題）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始減速，此時白球在黑球前面70cm小聰測量黑球減速后的運動速度v（單位：cm/s）、運動距離y（單位：cm）隨運動時間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表．運動時間t01234運動速度v109.598.58運動距離y09.751927.7536小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數(shù)關系，運動距離y與運動時間t之間成二次函數(shù)關系．(1)直接寫出v關于t的函數(shù)解析式和y關于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）(2)當黑球減速后運動距離為64cm(3)若白球一直以2cm/s??題型04拱橋問題13．（2024·廣東·模擬預測）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，拋物線的頂點C到ED的距離是11m，以ED所在的直線為x(1)根據(jù)題意，填空：①頂點C的坐標為；②點B的坐標為(2)求拋物線的解析式．(3)已知從某時刻開始的40h內(nèi)，水面與河底ED的距離l(單位：m)隨時間t(單位：h)的變化滿足函數(shù)關系l=?1128t?19214．（2024·河南駐馬店·模擬預測）如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，左右兩個拋物線是全等的，正常水位時，大孔水面寬AB為20m，頂點M距水面8m（即MO=8m），小孔頂點N距水面6(1)求出大孔拋物線的解析式；(2)航管部門設定警戒水位為正常水位上方2m處，汛期某天水位正好達到警戒水位，有一艘頂部高出水面3m，頂部寬(3)當水位上漲到剛好淹沒小孔時，則大孔的水面寬度EF=m．15．（2024·安徽合肥·模擬預測）如圖1，懸索橋兩端主塔塔頂之間的主索，其形狀可近似地看作拋物線，水平橋面與主索之間用垂直吊索連接．已知兩端主塔之間水平距離為800m，兩主塔塔頂距橋面的高度為42m，主索最低點P離橋面的高度為2m，若以橋面所在直線為x(1)求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)若在拋物線最低點P左下方橋梁上的點M?30,?1處放置一個射燈，該射燈光線恰好經(jīng)過點P和右側主索最高點D（i）求主索到射燈光線的最大豎直距離；（ii）現(xiàn)將這個射燈沿水平方向向右平移，并保持光線與原光線平行，若要保證該射燈所射出的光線能照到右側主索．則最多向右平移___________米．??題型05隧道通車問題16．（2024·貴州六盤水·一模）如圖①，桐梓隧道位于遵義市桐梓縣境內(nèi)，是貴州省高速公路第一長隧道．如圖②是桐梓隧道的部分截面，圖③是其截面簡化示意圖，由矩形ABCD和拋物線的一部分CED構成，矩形ABCD的邊AB=12m，AD=2m，拋物線的最高點E離地面8m．以AB的中點為原點、AB所在直線為x(1)求拋物線的解析式，并注明自變量的取值范圍；(2)為了行駛安全，現(xiàn)要在隧道洞口處貼上黃黑立面標記．已知將該拋物線向上平移1m所掃過的區(qū)域即為貼黃黑立面標記的區(qū)域，則貼黃黑立面標記的區(qū)域的面積為m(3)該隧道為單向雙車道，且規(guī)定車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于117．（2024·河南平頂山·三模）小明發(fā)現(xiàn)有一處隧道的截面由拋物線的一部分和矩形構成，他對此展開研究：測得矩形的寬為OC=2m，長為OA=8m，最高處點P到地面的距離PQ為6m，建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為y=ax??2+k，其中ym表示拋物線上任一點到地面(1)求拋物線的解析式．(2)為了保障貨車在道路上的通行能力及行車安全，根據(jù)我國交通運輸部的相關規(guī)定，普通貨車的寬度應在2m?2.55m之間，高度應在3.8m?4.2m之間，小明發(fā)現(xiàn)隧道為單行道，一貨車EFGH沿隧道中線行駛，寬FG為18．（2024·湖北·模擬預測）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段A．表示水平的路面，O為AB的中點，以O為坐標原點，以AB所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據(jù)設計要求：拋物線底面寬度AB=12米，該拋物線的頂點P到AB的距離為9米．(1)求拋物線的解析式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)整上同一高度安裝照明燈，即在該拋物線上的點M，N處分別安裝照明燈．已知照明燈M，N的水平距離為10米，求照明燈距地面的高度；(3)如圖，現(xiàn)需在隧道上方安裝一塊高度為1米、寬度為3米的LED電子顯示屏CDEF，為確保行車安全，要求電子顯示屏距地面至少6米，并且距左右墻緊需各留至少1米的安全距離，試通過計算說明能否滿足安裝設計要求．??題型06噴水問題19．（2024·陜西西安·模擬預測）一所大學在剛進入校門的廣場處修建了一個噴泉，在水池中央垂直于地面處安裝了柱子，在柱子頂端A處安裝了一個噴頭向外噴水．水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖是該噴泉其中一股水流的平面示意圖．以柱子底部為坐標原點，以水平地面為x軸，過原點且垂直于x軸的直線為y軸建立平面直角坐標系．已知柱子在水面以上的部分OA的高度為1.25m，為使水流形狀較為漂亮，要求水流在距離柱子1m處達到距水平面最高，且最高為(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)若不計其他因素，當噴泉池的半徑為2.8米時，噴出的水流是否會落到池外？20．（2024·河南信陽·模擬預測）小華在走讀淮河文化園游玩，發(fā)現(xiàn)公園的草地自動澆水裝置噴灑出的水流呈拋物線型，小華通過多次測量數(shù)據(jù)，在平面直角坐標系中繪制了水流噴出的高度ym與距離澆水裝置的水平距離xm之間的函數(shù)圖象，如圖所示，已知點A0,1(1)求水流所形成的拋物線的表達式．(2)小華通過觀察發(fā)現(xiàn)距離噴水裝置5?m(3)通過與園區(qū)工作人員交談，小華發(fā)現(xiàn)這個噴水裝置還可以上下移動，且移動之后水流的形狀、大小保持不變，若想讓（2）中的古樹能被此澆水裝置澆到，則此噴水裝置需要向上移動的最小距離是多少？請直接寫出答案．21．（2024·貴州貴陽·二模）某公園要在圓形水池上修建噴泉，在池中心豎直水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的水柱呈拋物線型，如圖所示，線段OA表示圓形水池的半徑，以O為坐標原點，以線段OA所在直線為x軸，以水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．按照設計師的設計，水管的高度為2.25m，且拋物線型水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，且高度為

(1)求拋物線型水柱的解析式；(2)若此時有一個工人在清理水池，已知工人的身高為1.8m，求他站在距離A(3)為了使噴泉更加美觀，如圖所示，設計人員計劃在中心水管上面延長一段增加一個噴水頭，并使得該噴水頭噴出的拋物線型水柱也在與池中心的水平距離為1m處達到最高，且比原拋物線水柱高1.5m，且落地處B點與點O的距離比OA短22．（2024·河南商丘·模擬預測）大自然中有一種神奇的魚——射水魚，它能以極快的速度從口中射出水柱擊落昆蟲來捕食，射出的水柱呈拋物線形．如圖，以射水魚所在的位置為原點O建立平面直角坐標系，設水柱距水面的高度為ydm，與射水魚的水平距離為xdm,y與x的函數(shù)表達式為y=a(1)求y關于x的函數(shù)表達式．(2)一只昆蟲位于點A3,16323．（2024·山東臨沂·一模）消防汽車自從上世紀初問世以后，經(jīng)過不斷的發(fā)展完善，很快成了消防工作的主力軍，也徹底改變了人類與火災斗爭的面貌，隨著現(xiàn)代建筑水平的提高，高層建筑越來越多、越來越高，消防車也隨之發(fā)生了變化，云梯消防車出現(xiàn)了，云梯消防車的水槍固定在云梯上，水槍可在云梯打開的過程中升高或平移，在一次消防演練中，模擬建筑物AB某樓層發(fā)生火災，此時消防車停放在火災樓AB正前方的點O處，O到AB的水平距離35米，在不打開消防云梯的狀態(tài)下，水槍出水口D距地面高度DO為4米，噴出水的路線近似為拋物線，水離出水口水平距離20米時，水柱達到最大高度，此時離水平地面68米，如圖1，以DO所在的直線為y軸，以OB所在的水平線為x軸建立直角坐標系，（注：若水槍出水口位置發(fā)生改變，噴出水的路線的拋物線開口大小不變）(1)求出水口在D點時拋物線的解析式:(2)若著火樓層的窗戶的頂端C到地面B的高度為80米，窗戶的底端E到地面B的高度為76米，打開云梯后，水槍的出水口到達點F，點F距離y軸10米，距離x軸19米，如圖2，問此時水能否射進著火窗戶CE內(nèi)？(3)若火源的中心在距離窗口CE水平距離5米的地面上，調(diào)整水槍的位置，使水柱的最高點恰好沿著窗戶的上邊緣C處射進窗戶，問射進里的水能否正好擊中地面火源的中心位置？請說明理由.??題型07投球問題24．（2023·安徽合肥·二模）如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠程攻擊的武器，將發(fā)石車置于山坡底部O處，以點O為原點，水平方向為x軸方向，建立如圖2所示的平面直角坐標系，將發(fā)射出去的石塊當作一個點看，其飛行路線可以近似看作拋物線y=ax?202+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墻，其豎直截面為ABCD，墻寬BC=2米，BC與x軸平行，點B與點O的水平距離為28(1)若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10米，①求拋物線的解析式；②試通過計算說明石塊能否飛越防御墻；(2)若要使石塊恰好落在防御墻頂部BC上（包括端點B、C），求a的取值范圍，25．（23-24九年級上·江蘇南京·階段練習）擲實心球是南京市高中階段學校招生體育考試的選考項目．如圖1，一名女生投擲實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度ym與水平距離xm之間的函數(shù)關系如圖2所示，已知擲出時起點處高度為53m，當水平距離為(1)求y關于x的函數(shù)表達式；(2)根據(jù)南京市高中階段學校招生體育考試評分標準（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.9m26．（2023·河南三門峽·一模）如圖，在某中學的一場籃球賽中，李明在距離籃圈中心5.5m（水平距離）處跳起投籃，球出手時離地面2.2m，當籃球運行的水平距離為3m時達到離地面的最大高度4(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，求籃球運動路線所在拋物線的函數(shù)解析式；(2)場邊看球的小麗認為，李明投出的此球不能命中籃圈中心．請通過計算說明小麗判斷的正確性；(3)在球出手后，未達到最高點時，被防守隊員攔截下來稱為蓋帽．但球到達最高點后，處于下落過程時，防守隊員再出手攔截，屬于犯規(guī)．在（1）的條件下，防守方球員張亮前來蓋帽，已知張亮的最大摸球高度為3.2m27．（2024·湖北武漢·模擬預測）乒乓球被譽為中國國球。2023年的世界乒乓球錦標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術分析是分不開的。甲乙兩人訓練打乒乓球，讓乒乓球沿著球臺的中軸線運動。圖為從側面看乒乓球臺的視圖，MN為球臺，EF為球網(wǎng)，點E為MN的中點，MN=274cm，EF=15.25cm，甲從M正上方的A處擊中球完成發(fā)球，球沿直線撞擊球臺上的B處再彈起到另一側的C處，從C處再次彈起到P，乙再接球。以M為原點，MB所在直線為x軸，MA所在直線為y軸，1cm為單位長度建立平面直角坐標系，將乒乓球看成點，兩次彈起的路徑均為拋物線且形狀不變，BC段拋物線的解析式為y1=?1(1)當球在球網(wǎng)左側距球網(wǎng)17cm時到達最高點，求y1(2)球從B處彈起至最高點后下落過程中，球剛好擦過球網(wǎng)EF，視為網(wǎng)球重發(fā)，求m的值；(3)若球第二次的落點C在球網(wǎng)右側53cm處，球再次彈起最高為12.5cm，乙的球拍（看作線段GH）在N的正上方8cm處，GH=15cm，若將球拍向前水平推出n（cm）可接住球（不包括球剛好碰到邊沿點G、H??題型08利用圖像構建函數(shù)模型解決問題28．（2024·浙江·模擬預測）某個農(nóng)場有一個花卉大棚，是利用部分墻體建造的．其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE，F(xiàn)G，相關數(shù)據(jù)如圖1所示，其中支架DE=BC，

為增加棚內(nèi)空間，農(nóng)場決定將圖1中棚頂向上調(diào)整，支架總數(shù)不變，對應支架的長度變化，如圖2所示，調(diào)整后C與E上升相同的高度，增加的支架單價為60元/米（接口忽略不計），需要增加的經(jīng)費不超過32000元．(1)分別以OB和OA所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系．①求出改造前的函數(shù)解析式．②當CC'=1(2)只考慮經(jīng)費情況下，求出CC29．（2024·陜西安康·二模）如圖1，這是一款智能澆灌系統(tǒng)，水管OP垂直于地面并可以隨意調(diào)節(jié)高度（OP的最大高度不超過1.5m）．澆灌花木時，噴頭P會向四周噴射水流形成固定形狀的拋物線，水流的落地點M與點O的距離即為最大澆灌距離，各方向水流的落地點形成一個以點O為圓心，OM為半徑的圓形澆灌區(qū)域（區(qū)域內(nèi)均能被澆灌到）．當噴頭P位于地面與點O重合時，某一方向的水流上邊緣形成了如圖2所示的拋物線．經(jīng)測量，OM=2m(1)在圖中建立合適的平面直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．(2)當調(diào)節(jié)水管OP的高度時，圓形澆灌區(qū)域的面積會發(fā)生變化，請你求出圓形澆灌區(qū)域的最大面積．（結果保留π）30．（2024·遼寧鞍山·一模）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球錦標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術分析是分不開的．圖2是圖1所示乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度（距離球臺的高度）OA為28.75cm的點A乒乓球到球臺的豎直高度記為y（單位：cm），乒乓球運行的水平距離記為x（單位：cm）．測得如下數(shù)據(jù)：水平距離x0105090130170230豎直高度y28.7533454945330(1)如圖3，在平面直角坐標系xOy中，描出表格中各組數(shù)值所對應的點x,y，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象．(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是______cm，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是______cm．②求滿足條件的拋物線的表達式．(3)技術分析：如果只上下調(diào)整擊球高度OA，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出OA的取值范圍，以利于有針對性的訓練，如圖2，乒乓球臺長OB為270cm，球網(wǎng)高CD為15.25cm．現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球高度OA的值約為1.27cm．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B31．（2024·河南信陽·一模）如圖1所示的藉車是中國古代一種遠程火攻武器，將某加強版藉車置于山坡底部O處（原點O處），拋出物從藉車豎直方向上的點C處被拋出，OC=5米，將發(fā)射出去的拋出物當作一個點看，其飛行路線可以近似看作拋物線的一部分，當拋出物飛行的水平距離為50米時，達到最大高度25米．

(1)求拋物線的表達式；(2)為了阻擋拋出物的飛行，守城方在斜坡上的點A處建有防御工事M，其最高點B與O點的水平距離為45米，與斜坡的豎直距離AB=16米，斜坡的坡比i=1:6.25，通過計算說明拋出物能否飛越防御工事M．??題型09圖形問題32．（2023·湖北武漢·三模）某家禽養(yǎng)殖場，用總長為200m的圍欄靠墻（墻長為65m）圍成如圖所示的三塊矩形區(qū)域，矩形EAGH與矩形HGBF面積相等，矩形EAGH面積等于矩形DEFC面積的二分之一，設AD長為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為

(1)求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？(3)現(xiàn)需要在矩形EAGH和矩形DEFC區(qū)域分別安裝不同種類的養(yǎng)殖設備，單價分別為40元/平方米和20元/平方米，若要使安裝成本不超過30000元，請直接寫出x的取值范圍．33．（2024·湖北襄陽·模擬預測）如圖，某農(nóng)戶計劃用籬笆圍成一個矩形場地養(yǎng)殖家禽，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形場地一面靠墻(墻的長度為18m)，另外三面用籬笆圍成，中間再用籬笆把它分成三個面積相等的矩形分別養(yǎng)殖不同的家禽，計劃購買籬笆的總長度為32m，設矩形場地的長為xm，寬為y(1)分別求出y與x，s與x的函數(shù)解析式；(2)當x為何值時，矩形場地的總面積最大？最大面積為多少？(3)若購買的籬笆總長增加8m，矩形場地的最大總面積能否達到100m234．（2024·廣西·模擬預測）在銳角△ABC中，BC=6,SΔABC=12，矩形MPQN的兩個頂點M，N分別在AB,AC上，另兩個頂點P,Q均在BC上，高AD交MN于點E，設MN的長為x，矩形(1)求AD的長，并用含x的式子表示線段AE的長；(2)請求出y關于x的函數(shù)解析式；(3)試求y的最大值．35．（2022·浙江寧波·二模）如圖1是一架菱形風箏，它的骨架由如圖2的4條竹棒AC，BD，EF，GH組成，其中E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD四邊的中點，現(xiàn)有一根長為80cm的竹棒，正好鋸成風箏的四條骨架，設AC＝xcm，菱形ABCD(1)寫出y關于x的函數(shù)關系式：(2)為了使風箏在空中有較好的穩(wěn)定性，要求25cm≤AC≤43BD??題型10動點問題36．（2024·吉林·二模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=4cm．動點E，F(xiàn)分別從點A，B同時出發(fā)，點E沿折線A→C→B向終點B運動，在AC上的速度為2cm/s，在CB上的速度為22cm/s，點F以1cm/s的速度沿線段BA向終點A運動，連接EF，BE．設運動時間為x（s），△BEF的面積為y（cm2）（(1)AE的長為______cm（用含x的代數(shù)式表示）．(2)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．(3)當△BEF為鈍角三角形時，直接寫出x的取值范圍．37．（2024·四川資陽·二模）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點P、Q分別在射線CB、AC上（點P不與C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC．(1)若P在線段CB上，求證：△ABP∽(2)設BP=x、CQ=y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．38．（2024·天津紅橋·二模）在平面直角坐標系中，O為原點，矩形OABC的頂點A4,0，C0,33，等邊三角形ODE(1)填空：如圖①，點B的坐標為______________，點D的坐標為______________；(2)將△ODE沿x軸向右平移，得△O'D'E'，點O，D，E的對應點分別為O',D①如圖②，當△O'D'E'與矩形OABC重疊部分為五邊形時，邊O'D'與AB相交于點F，邊D'E②當1≤t≤6時，求S的取值范圍（直接寫出結果即可）．39．（23-24九年級上·重慶江津·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，CE⊥AB于點E，AE=8，BE=CE=4，DC=2．動點P從點A出發(fā)，沿A→B方向以每秒2個單位長度的速度運動，同時動點Q從點E出發(fā)，沿折線E→C→D方向以每秒1個單位長度的速度運動．當點Q到達點D時，P、Q兩點都停止運動．設動點P運動的時間為x秒，△PEQ的面積為y．(1)請直接寫出y關于x的函數(shù)關系式并注明自變量x的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標系中，畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)結合函數(shù)圖象，直接寫出△PEQ的面積為4時x的值．1．（2024·山東濰坊·中考真題）【問題提出】在綠化公園時，需要安裝一定數(shù)量的自動噴灑裝置，定時噴水養(yǎng)護，某公司準備在一塊邊長為18m說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為rm的圓面．噴灑覆蓋率ρ=ks，s【數(shù)學建?！窟@個問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學問題．【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，在該草坪中心位置設計安裝1個噴灑半徑為9m的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率ρ=（2）如圖3，在該草坪內(nèi)設計安裝4個噴灑半徑均為92m的自動噴灑裝置；如圖4，設計安裝9個噴灑半徑均為3m的自動噴灑裝置；??????，以此類推，如圖5，設計安裝n2（3）如圖6所示，該公司設計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率ρ=1．已知正方形ABCD各邊上依次取點F，G，H，E，使得AE=BF=CG=DH，設AE=xm，⊙O1的面積為ym2，求y關于x【問題解決】（4）該公司現(xiàn)有噴灑半徑為32m的自動噴灑裝置若干個，至少安裝幾個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設計了以下三個問題，請你解決．(1)如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為78米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道ACB(2)如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離OE=12米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離DE不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關于點B成中心對稱．①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；(3)為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架MN，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架BM．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與BM平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架MN上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結果保留根號）．3．（2024·山西·中考真題）大棚經(jīng)濟“金鑰匙”，激活鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興新引擎．劉叔叔計劃在自家菜地修建一個蔬菜大棚，圖1是其橫截面的示意圖，其中AB，CD為兩段垂直于地面的墻體，兩段墻體之間的水平距離為9米，大棚的頂部用拋物線形鋁合金骨架作支撐．已知骨架的一端固定在離地面3.5米的墻體A處，另一端固定在墻體D處，骨架最高點P到墻體AB的水平距離為2米，且點P離地面的高度為3.75米．

數(shù)學建模（1）在圖1中，以B為原點，水平直線BC為x軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．設大棚頂部骨架上某處離地面的高度為y（米），該處離墻體AB的水平距離為x（米），求y與x之間的函數(shù)關系式；問題解決（2）為了大棚頂部更加穩(wěn)固，劉叔叔計劃在棚頂安裝“丁”字形鋁合金支架，如圖2所示，支架可以看成是由線段AE，F(xiàn)G組成，其中點E，F(xiàn)在頂棚拋物線形骨架上，F(xiàn)G⊥AE于點G．為不影響耕作，將點E到地面的距離定為1.5米．①點E的坐標為______，AE的長為______；②請你計算做一個“丁”字形支架所需鋁合金材料的最大長度．（結果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：17≈4.124．（2023·江蘇泰州·中考真題）某公司的化工產(chǎn)品成本為30元/千克．銷售部門規(guī)定：一次性銷售1000千克以內(nèi)時，以50元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價0.01元．考慮到降價對利潤的影響，一次性銷售不低于1750千克時，均以某一固定價格銷售．一次性銷售利潤y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數(shù)關系如圖所示．

(1)當一次性銷售800千克時利潤為多少元？(2)求一次性銷售量在1000～(3)當一次性銷售多少千克時利潤為22100元？5．（2023·廣東深圳·中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中點O，過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E，若以O點為原點，BC所在直線為x軸，OE為請回答下列問題：(1)如圖，拋物線AED的頂點E0,4

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求兩個正方形裝置的間距GM

(3)如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為BK，求BK的長．

6．（2023·湖北武漢·中考真題）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機．通過實驗，收集了飛機相對于出發(fā)點的飛行水平距離x（單位：m）以、飛行高度y（單位：m）隨飛行時間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)如下表．飛行時間t02468…飛行水平距離x010203040…飛行高度y022405464…探究發(fā)現(xiàn)：x與t，y與t之間的數(shù)量關系可以用我們已學過的函數(shù)來描述．直接寫出x關于t的函數(shù)解析式和y關于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．問題解決：如圖，活動小組在水平安全線上A處設置一個高度可以變化的發(fā)射平臺試飛該航模飛機．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題．

（1）若發(fā)射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；（2）在安全線上設置回收區(qū)域MN,AM=125m,MN=5m．若飛機落到MN1．（2024·天津·中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度?（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是?=30t?5t①小球從拋出到落地需要6?s②小球運動中的高度可以是30?m③小球運動2?s時的高度小于運動5其中，正確結論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的頂點E，G在同一水平線上，點G與AB的中點重合，EF=23cm，∠E=60°，現(xiàn)將菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向勻速運動，當點E運動到CD上時停止，在這個運動過程中，菱形EFGH與矩形ABCDA． B．C． D．3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，動點E，F(xiàn)同時從點A出發(fā)，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接EF，以EF為邊向下做正方形EFGH，設點E運動的路程為x0<x<12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面積為y，下列圖像能反映y與xA． B． C．D．4．（2023·天津·中考真題）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，共中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB,BC,CD用籬笆，且這三邊的和為40m．有下列結論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2③菜園ABCD面積的最大值為200m2其中，正確結論的個數(shù)是（

）

A．0 B．1 C．2 D．35．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，動點M，N分別從點A，B同時出發(fā)，沿射線AB，射線BC的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接DM，MN，ND．設點M運動的路程為x0≤x≤4，△DMN的面積為S，下列圖像中能反映S與x之間函數(shù)關系的是（

A．

B．

C．

D．

6．（2024·廣西·中考真題）如圖，壯壯同學投擲實心球，出手（點P處）的高度OP是74m，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是5m，高度是4m．若實心球落地點為M，則7．（2024·甘肅·中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：m）與距離停車棚支柱AO的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關系y=?0.02x2+0.3x+1.6的圖象，點B6，2.68在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長8．（2024·四川自貢·中考真題）九（1）班勞動實踐基地內(nèi)有一塊面積足夠大的平整空地．地上兩段圍墻AB⊥CD于點O（如圖），其中AB上的EO段圍墻空缺．同學們測得AE=6.6m，OE=1.4m，OB=6m，OC=5m，OD=3m．班長買來可切斷的圍欄16m，準備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大面積是m29．（2023·山東濱州·中考真題）要修一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管高度應為10．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，一位籃球運動員投籃時，球從A點出手后沿拋物線行進，籃球出手后距離地面的高度y(m)與籃球距離出手點的水平距離x(m)之間的函數(shù)關系式是①籃球行進過程中距離地面的最大高度為3.5m；②籃球出手點距離地面的高度為2.25m．

11．（2023·吉林長春·中考真題）2023年5月8日，C919商業(yè)首航完成——中國民商業(yè)運營國產(chǎn)大飛機正式起步．12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80米時，兩條水柱在物線的頂點H處相遇，此時相遇點H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A'、B'到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點H'

12．（2023·湖北十堰·中考真題）“端午節(jié)”吃粽子是中國傳統(tǒng)習俗，在“端午節(jié)”來臨前，某超市購進一種品牌粽子，每盒進價是40元，并規(guī)定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒，設每盒售價為x元，日銷售量為p盒．(1)當x=60時，p=__________；(2)當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W（元）最大？最大利潤是多少？(3)小強說：“當日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大，”小紅說：“當日銷售利潤不低于8000元時，每盒售價x的范圍為60≤x≤80．”你認為他們的說法正確嗎？若正確，請說明理由；若不正確，請直接寫出正確的結論．13．（2024·湖北·中考真題）學校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42m，籬笆長80m．設垂直于墻的邊AB長為x米，平行于墻的邊BC為y米，圍成的矩形面積為S(1)求y與x,s與x的關系式．(2)圍成的矩形花圃面積能否為750m2，若能，求出(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．14．（2024·山東煙臺·中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．(1)求y與x的函數(shù)關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？15．（2024·廣東·中考真題）廣東省全力實施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美．某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調(diào)查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸．該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）16．（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數(shù)關系，下表是y與x的幾組對應值．銷售單價x/元…1214161820…銷售量y/盒…5652484440…(1)求y與x的函數(shù)表達式；(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．17．（2024·河南·中考真題）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度?m滿足關系式?=?5t2+v(1)小球被發(fā)射后_________s時離地面的高度最大（用含v0(2)若小球離地面的最大高度為20m(3)按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時間為3s．”已知實驗樓高15

第三章函數(shù)第14講二次函數(shù)的應用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01最大利潤問題??題型02方案解決問題??題型03行程問題??題型04拱橋問題??題型05隧道通車問題??題型06噴水問題??題型07投球問題??題型08利用圖像構建函數(shù)模型解決問題??題型09圖形問題??題型10動點問題??題型01最大利潤問題1．（2024·廣東湛江·模擬預測）某超市以每件10元的價格購進一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該文具的每天銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關系：y=?2x+60．(1)若該超市每天銷售這種文具獲利192元，則銷售單價為多少元？(2)設銷售這種文具每天獲利w（元），求w關于x的函數(shù)關系式（寫出自變量的取值范圍），并求出當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)銷售單價為18元；(2)w=?2x2+80x?60010≤x≤19,【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，一元二次方程的應用等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）根據(jù)每天的獲利=每件的利潤×每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；（2）根據(jù)每天的獲利=每件的利潤×每天的銷售量，即可得出w關于x的函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：x?10整理得：x解得：x1答：銷售單價為18元；（2）解：根據(jù)題意得：w=x?10∵?2<0,∴當x<20時，w隨x的增大而增大，∵10≤x≤19,∴當x=19時，w取得最大值，最大值為：?2×19?20∴w關于x的函數(shù)關系式為：w=?2當銷售單價為19元時，每天獲利最大，最大利潤是198元．2．（2023·江蘇揚州·一模）農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量n（千克）與銷售價格x（元/千克）之間的關系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分數(shù)據(jù)如表：銷售價格x（元/千克）3035404550日銷售量n（千克）6004503001500(1)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定n與x之間的函數(shù)表達式，并直接寫出n與x的函數(shù)表達式為______；(2)農(nóng)經(jīng)公司應該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？(3)農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出a元a>0的相關費用，當40≤x≤45時，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為2430元，求a的值．（日獲利=日銷售利潤?日支出費用）【答案】(1)n=?30x+1500(2)這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格定為40元/千克，才能使日銷售利潤最大(3)2【分析】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求解析式，銷售問題中數(shù)量關系是解題的關鍵．（1）先判斷n與x成一次函數(shù)關系，設n與x之間的函數(shù)表達式為n=kx+bk≠0（2）設日銷售利潤為w元，由題意得：w=nx?30（3）設日獲利為w元，由題意得：W=nx?30?a【詳解】（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知：銷售價格每增加5元，日銷售量減少150kg∴n與x成一次函數(shù)關系，設n與x之間的函數(shù)表達式為n=kx+bk≠0將30,600，30k+b=60040k+b=300解得：k=?30b=1500∴n=?30x+1500；（2）解：設日銷售利潤為w元，由題意得：w=n==?30=?30x?40∵a=?30<0，拋物線開口向下，∴當x=40時，w有最大值3000．∴這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格定為40元/千克，才能使日銷售利潤最大；（3）解：設日獲利為W元，由題意得：W=n==?30x對稱軸為x=?2400+30a當0<a≤10時，40<40+12a≤45，則當x=40+12W=301當W=2430時，2430=301解得a1當a>10，40+12a>45，則當x=40時，WW=?30×=?48000+96000+1200a?1500a?45000=?300a+3000當W=2430時，2430=?300a+3000，解得：a1綜上所述，a的值為2．3．（2024·貴州遵義·模擬預測）某數(shù)學興趣小組在暑假開展社會實踐活動，銷售某品牌書包，平均每天可以銷售20個，每個盈利12元，為了擴大銷售，增加盈利，該小組決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每個書包每降價1元，平均每天可以多賣5個．(1)若每個書包降價x元，則可多賣__________個，每個盈利__________元；(2)若該興趣小組同學想要一天盈利300元，每個書包應降價多少元；(3)該興趣小組同學想要一天盈利最大，應降價多少元，所得最大利潤是多少元？【答案】(1)5x，12?x(2)每個書包降價6元(3)當降價4元時利潤最大，最大利潤為320元【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用以及二次函數(shù)的應用，解決本題的關鍵是：（1）根據(jù)每個書包降價x元，利用每個書包每降價1元，平均每天可以多賣5個，即可得出降價后書包多賣5x個，每個盈利(12?x)元；（2）利用書包降價后每天盈利=每個的利潤×賣出的個數(shù)=(12?降低的價格）×(20+增加的件數(shù)），把相關數(shù)值代入即可求解；（3）由（2）得關系式：y=?5x【詳解】（1）解：若每個書包降價x元，則可多賣5x個，每個盈利(12?x)元；故答案為：5x，(12?x)；（2）設每個書包降價x元，可盈利300元，則(12?x)(20+5x)=300，解得：x1=2（舍去），∴每個書包降價6元；（3）設每個書包降價x元，最大利潤為y元，則y=(12?x)(20+5x)=?5x=?5(=?5(x?4)∴當x=4時，y有最大值，最大值為320；答：當降價4元時利潤最大，最大利潤為320元．4．（2024·湖北黃岡·模擬預測）大學生小麗暑假期間從小商品批發(fā)市場批發(fā)了一種新商品，新商品的進價為30元/件，經(jīng)過一段時間的試銷，她發(fā)現(xiàn)每月的銷售量會因售價的調(diào)整而不同，若設每月的銷售量為y件，售價為x元/件.(1)當售價在40—50元/件時，每月的銷售量都為60件，則此時每月的總利潤最多是多少元?(2)當售價在50—70元/件時，每月的銷售量與售價的關系如圖所示，求y與x的關系式；(3)小麗決定每賣出一件商品就向福利院捐贈m(m為整數(shù))元，若要保證小麗每月獲利仍隨x的增大而增大，請你幫她計算m的最小值是多少，并求此時售價為多少元時，她每月獲利最大.【答案】(1)每月的總利潤最多是1200元(2)y=?2x+160(50≤x≤70)(3)m的最小值是30，售價為70元時，她每月獲利最大【分析】題目主要考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應用，理解題意，列出相應的函數(shù)關系式是解題關鍵．（1）根據(jù)題意得出總利潤w=60x?1800，再由一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）當售價在50≤x≤70元時，設每月銷售量y=kx+b，利用待定系數(shù)法進行計算即可；（3）求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的定義進行計算即可．【詳解】（1）解：當售價在40≤x≤50元時，每月的總利潤為w元.則總利潤w=60(x?30)=60x?1800，∵60>0，∴當x=50時，總利潤最多，為60×50?1800=1200(元)，∴每月的總利潤最多是1200元；（2）解：當售價在50≤x≤70元時，設每月銷售量y=kx+b，∴50k+b=60解得k=?2b=160∴每月銷售量y=?2x+160(50≤x≤70)．（3）解：當售價在50≤x≤70元時，設每月的總利潤為z元.∴每月的總利潤z=(x?30?m)y=(x?30?m)(?2x+160)=?2x2+220x?4800+2mx?160m=?2x∵?2<0，且要保證小麗每月獲利仍隨x的增大而增大，∴55+m2≥70∴m的最小值是30，此時z=?2∴當x=70時，z取得最大值，最大值為200元，∴m的最小值是30，此時售價為70元時，她每月獲利最大．??題型02方案解決問題5．（2024·山東濰坊·一模）某無人機租賃方案有50架某種型號的無人機對外出租，該方案有兩種租賃方案：方案A：如果每架無人機月租費300元，那么50架無人機可全部租出．如果每架無人機的月租費每增加5元，那么將少租出1架無人機．另外，方案為每架租出的無人機支付月維護費20元．方案B：每架無人機月租費350元，無論是否租出，方案均需一次性支付月維護費共計185元．說明：月利潤=月租費-月維護費．設租出無人機的數(shù)量為x架，根據(jù)上述信息，解決下列問題：(1)當x=10時，按方案A租賃所得的月利潤是__________元，按方案B租賃所得的月利潤是__________元；(2)如果按兩種方案租賃所得的月利潤相等，那么租出的無人機數(shù)量是多少？(3)設按方案A租賃所得的月利潤為yA，按方案B租賃所得的月利潤為yB，記函數(shù)w=y【答案】(1)4800，3315(2)如果按兩種方案租賃所得的月利潤相等，那么租出的無人機數(shù)量是37架；(3)w的最大值為1805元．【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應用．（1）用甲方案未租出的無人機數(shù)量算出每輛車的租金，再乘以10，減去維護費用可得甲方案的月利潤；乙方案租出的無人機租金乘以10，減去維護費用可得乙方案的月利潤；（2）先求出兩個方案月利潤函數(shù)關系式，再求y甲=y（3）根據(jù)題意得到函數(shù)w=y【詳解】（1）解：50?10×5+300當每個方案租出的無人機為10輛時，甲方案的月利潤是48000元；乙方案的月利潤為350×10?185=3315元，故答案為：4800，3315；（2）解：設甲方案的月利潤為y甲，乙方案的利潤為yy甲乙方案的利潤為y乙當y甲?5x解得x=37或x=答：如果按兩種方案租賃所得的月利潤相等，那么租出的無人機數(shù)量是37架；（3）解：由題意得w==?5=?5x?18∵?5<0，∴函數(shù)有最大值，又0<x≤50，∴當x=18時，w有最大值，為1805元．6．（2024·湖北宜昌·模擬預測）某商場計劃用5400元購買一批商品，若將進價降低10%，則可以多購買該商品30件．市場調(diào)查反映：售價為每件25元時，每天可賣出250件．如果調(diào)整價格，一件商品每漲價1元，每天要少賣出10件．(1)求該商品原來的進價；(2)在進價沒有改變的條件下，若每天所得的銷售利潤為2000元，且銷售量盡可能大時，該商品的售價是多少元/件？(3)在進價沒有改變的條件下，商場的營銷部在調(diào)控價格方面，提出了A，B兩種營銷方案．方案A：每件商品漲價不超過5元；方案B：每件商品的利潤至少為16元．請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．【答案】(1)該商品原來的進價為20元；(2)商品的售價是每件30元；(3)綜上所述，方案B最大利潤更高．【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意利用函數(shù)性質(zhì)得出最值是解題關鍵．（1）利用銷量×每件利潤=總利潤，進而求出即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出銷售單價；（3）分別求出兩種方案的最值進而比較得出答案．【詳解】（1）解：設該商品原來的進價為x元．由題意：5400x+30=5400經(jīng)檢驗，x=20是原方程的解，答：該商品原來的進價為20元；（2）解：設提價x元，根據(jù)題意得：(25+x?20)(250?10x)=2000，解得x=15或5，∵銷量盡可能大，∴x=5，∴商品的售價是每件30元；（3）解：w=(25+x?20)(250?10x)=?10x∵?10<0，拋物線對稱軸是直線x=10，開口向下，對稱軸左側w隨x的增大而增大，對稱軸右側w隨x的增大而減小，方案A：根據(jù)題意得，x≤5，則0≤x≤5，當x=5時，利潤最大，最大利潤為w=?10×52+200×5+1250=2000方案B：根據(jù)題意得，25+x?20≥16，解得：x≥11，則11≤x≤25，故當x=11時，利潤最大，最大利潤為w=?10×112+200×11+1250=2240∵2240>2000，∴綜上所述，方案B最大利潤更高．7．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預測）呼和浩特素有“召城”之稱，塞上老街是一個重要的旅游街區(qū)，不僅有各式傳統(tǒng)文化遺物向游人訴說著歷史，更有新興的現(xiàn)代手工制品吸引著世人的目光，現(xiàn)塞上老街某文創(chuàng)專賣店在旅游文化節(jié)期間準備購進甲、乙兩種圍巾，其中乙種圍巾的進價比甲種圍巾的進價少10元，已知甲種圍巾的售價為每條120元，乙種圍巾的售價為每條100元，若用2000元購進甲種圍巾的數(shù)量與用1800元購進乙種圍巾的數(shù)量相同．(1)求甲、乙兩種圍巾每條的進價；(2)要使購進的甲、乙兩種圍巾共300條的總利潤不少于4000元，且不超過4100元，問該文創(chuàng)專賣店有幾種進貨方案；(3)文創(chuàng)專賣店準備對甲種圍巾進行價格調(diào)整，甲種圍巾每星期可賣出40條，市場調(diào)查反映，如調(diào)整價格，甲種圍巾每降價1元，每星期可多賣出10條，乙種圍巾售價不變，若該專賣店一星期要購進甲、乙共200條圍巾且全部售出，如何給甲種圍巾定價才能使一星期總利潤最大，此時甲、乙兩種圍巾各賣出多少條?【答案】(1)甲、乙兩種圍巾每條的進價分別為100元和90元(2)11種(3)甲、乙兩種圍巾分別賣出70條和130條【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，二次函數(shù)的應用．熟練掌握分式方程的應用，一元一次不等式的應用，二次函數(shù)的應用是解題的關鍵．（1）設乙種圍巾的進價為x元，則甲種圍巾的進價為(x+10)元，依題意得：2000x+10（2）設購進甲種圍巾a條，則購進乙種圍巾(300?a)條，依題意得，4000≤(120?100)a+(100?90)(300?a)≤4100，計算求解，然后作答即可；（3）設甲種圍巾降了y元，則每星期可多賣出10y條，且0≤y≤16，該文創(chuàng)專賣店一星期的總利潤為w元，依題意得，w=(120?100?y)(40+10y)+(100?90)(200?40?10y)，整理得：w=?10y【詳解】（1）解：設乙種圍巾的進價為x元，則甲種圍巾的進價為(x+10)元，依題意得：2000x+10解得：x=90，經(jīng)檢驗，x=90是原分式方程的解且滿足題意，∴x+10=100（元），答：甲、乙兩種圍巾每條的進價分別為100元和90元．（2）解：設購進甲種圍巾a條，則購進乙種圍巾(300?a)條，依題意得，4000≤(120?100)a+(100?90)(300?a)≤4100，解得：100≤a≤110，∵a為正整數(shù)，∴該文創(chuàng)專賣店有11種進貨方案；（3）解：設甲種圍巾降了y元，則每星期可多賣出10y條，且0≤y≤16，該文創(chuàng)專賣店一星期的總利潤為w元，依題意得，w=(120?100?y)(40+10y)+(100?90)(200?40?10y)，整理得：w=?10y∵?10<0，∴當y=3時，w有最大值，此時，甲種圍巾的售價為：120?3=117（元），甲種圍巾售出：40+10×3=70（條），乙種圍巾售出：200?70=130（條），∴甲、乙兩種圍巾分別賣出70條和130條．8．（2024·陜西西安·一模）有一建筑的一面墻近似呈拋物線形，該拋物線的水平跨度OQ=8m，頂點P的高度為4m，建立如圖所示平面直角坐標系．現(xiàn)計劃給該墻面安裝門窗，已經(jīng)確定需要安裝矩形門框ABCD（點B，C在拋物線上，邊AD方案一：在門框的兩邊加裝兩個矩形窗框（點G，H在拋物線上），AE=DF=1m方案二：在門框的上方加裝一個矩形的窗框（點G，H在拋物線上），BE=CF=1m

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)若要求門框AB的高度為3m，判斷哪種方案透光面積（窗框和門框的面積和）較大？（窗框與門框的寬度忽略不計）【答案】(1)y=?(2)方案一透光面積較大，見解析【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是根據(jù)點的坐標求出小矩形的邊長．（1）由題意可知，拋物線的頂點P的坐標4，4，設所求拋物線的解析式為y=ax?4（2）將y=3代入解析式求出A、B兩點的坐標，再根據(jù)已知條件分別求出方案一和方案二中小矩形的長和寬，求出面積比較即可．【詳解】（1）解：由題意可知，拋物線的頂點P的坐標4，設所求拋物線的解析式為y=a把0，0代入解析式y(tǒng)=ax?4解得：a=?所以該拋物線的表達式為y=?1（2）解：當y=3時，即3=?解得：x1所以點A的坐標為2，0，點B的坐標為2，方案一：EF=BC?BE?CF=2m∵AE=DF=1m∴點E的坐標為1，∴點G的橫坐標為1，當x=1時，y=?∴EG=∴S∴S方案二：∵BE=CF=1m∴點E的坐標為3，∴點G的橫坐標為3，當x=3時，y=?∴EG=∴S∵72∴方案一透光面積較大．??題型03行程問題9．（2024·浙江·模擬預測）問題情境：如圖1，兩條寬為16米、互相垂直的馬路組成十字路口，為中心對稱圖形，兩交通白線AB，CD間的距離與EF，GH間的距離均為64米，雙向安裝紅綠燈．安全條件：當綠燈亮時的最后一秒（即綠燈讀數(shù)為0），甲從交通白線AB騎出，能及時穿過路口，不與另一方向綠燈亮時從交通白線EF出來的汽車相撞，即可保證交通安全．實驗數(shù)據(jù)：測試時，甲沿BC騎行，汽車按公路中線行駛．當綠燈亮起，汽車起步后的速度v（米/秒）、行駛距離s（米）關于時間t（秒）的函數(shù)圖象分別為圖2、圖3，已知s=a(t?1)解決問題：(1)求圖3中m的值．(2)當t>4時，求s關于t的函數(shù)表達式．(3)如圖1，若甲騎車速度為5米/秒，汽車與摩托車長度忽略不計，設紅綠燈時間差為T秒．當T要滿足什么條件時，才能使汽車與甲不相撞？試通過計算說明．【答案】(1)m=22.5(2)s=15t?37.5(3)T大于3.9秒才能使車人不相撞，見解析【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，一元一次不等式的應用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學思想聯(lián)系起來，理解摩托車與汽車不相撞的條件，列出不等式關系式即可求解．（1）將題干中已知坐標3,10代入解析式求出a的值，再令t=4，即可求出m的值．（2）觀察圖二可發(fā)現(xiàn)，當t>3時，速度始終為15m/s，理解題意，將速度代入關系式中，即可得出s關于t的函數(shù)表達式．（3）根據(jù)已知條件，需要求出另一側綠燈亮時，摩托車通過路口的行駛時間，再求出汽車到路口MN行駛時間，摩托車通過路口要比汽車通過MN線要早一些方可避免碰撞事故，所以滿足摩托車通過路口的行駛時間大于汽車到路口MN行駛時間即可．【詳解】（1）解：（1）將3,10代入s=a(t?1)∴10=4a，∴a=2.5，即s與t的關系式為s=2.5(t?1)∴m=2.5(4?1)（2）由題意得，當t＞4時，∴s=22.5+(t?4)×15=15t?37.5．（3）BM=FN=(64?16)÷2=24（米），當綠燈亮時騎車出發(fā)到另一側綠燈亮時，摩托車可騎行路程BP=5T，此時摩托車到FG線的剩余路程為（40?5T），需要騎行時間40?5T5又∵汽車到路口MN行駛路程FN=24米＞22.5米，∴當s=24時，15t?37.5=24，解得t=4.1，∴汽車到路口MN行駛時間t=4.1秒．∵要保證安全，摩托車需及時通過路口，∴8?T≤4.1，解得T≥3.9，∴T大于3.9秒才能使車人不相撞．10．（2024·浙江杭州·一模）如圖，小車從點A出發(fā)，沿與水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑過程中小車速度逐漸增加，設小車出發(fā)點A離水平地面BE的高度為h，小車從點A滑行到最低點B所用的時間為t（秒），小車滑行到點B時的速度為v（厘米/秒）．速度v與時間t滿足關系：v=10t，高度h與時間t滿足關系：?=12gt2（g≠0，g是常數(shù)），當小車出發(fā)點小車出發(fā)點A離水平地面BE(1)當小車出發(fā)點A離水平地面BE的高度為45（厘米）時，小車滑到最低點B需要幾秒鐘？此時小車到達B點時的速度是多少？(2)小車繼續(xù)在粗糙的水平地面BE上滑行，設滑行的距離為s（厘米），小車從斜坡滑行到點B時速度為v（厘米/秒），小車在水平地面BE上滑行的時間為T（秒），若s與v，T之間滿足以下關系：g=?12aT2+vT（a≠0，a是常數(shù)），當v=20（厘米/秒）時，s=50（厘米），T=5（秒）．如果把小車出發(fā)點A離水平地面BE的距離【答案】(1)當小車出發(fā)點A離水平地面BE的高度為45（厘米）時，小車滑到最低點B需要3秒鐘，此時小車到達B點時的速度是30厘米/秒(2)小車在水平地面BE上滑行的距離為168【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準確求出函數(shù)解析式是解題關鍵．（1）先根據(jù)已知條件求出g的值，求出高度h與時間t的函數(shù)解析式，再把?=45代入解析式求出t，再把t的值代入y=10t求出速度v；（2）先把v=20，s=50，T=5代入s=?12aT2+vT求出【詳解】（1）解：當t=2，?=20時，解得g=10，∴?=1∴當?=45時，5t解得t=3或t=?3（舍去），此時v=10×3=30cm/s答：當小車出發(fā)點A離水平地面BE的高度為45（厘米）時，小車滑到最低點B需要3秒鐘，此時小車到達B點時的速度是30厘米/秒；（2）把v=20，s=50，則50=?1解得a=4，∴s=?2T當?=125時，5t解得t=5或t=?5（舍去），∴v=10×5=50cm/s∴s=?2×4答：小車在水平地面BE上滑行的距離為168cm11．（2024·安徽宿州·二模）賽龍舟是我國傳統(tǒng)的體育競技項目，有著悠久的歷史和廣泛的群眾基礎．某龍舟隊進行800米直道訓練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段．圖1，圖2分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程s(m)與時間t(s)的近似函數(shù)圖象．啟航階段的函數(shù)表達式為s=kt2(k≠0)

(1)求出k的值，并寫出啟航階段自變量t的取值范圍；(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s，當t=90(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/【答案】(1)k=18(2)400(3)158.5【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法，根據(jù)條件準確得到表達式是解題關鍵．（1）把A(20,50)代入s=kt2得出（2）設s=5t+b，把(20,50)代入，得出50=5×20+b，求得b=?50，當t=90時，求出s=400，則可得出答案；（3）由（1）可知k=18，把(90,400)代入s=18(t?70)【詳解】（1）解：把A(20,50)代入s=kt2，得50=400k，解得∴啟航階段總路程s關于時間t的函數(shù)表達式為s=1（2）解：設s=5t+b，把(20,50)代入，得50=5×20+b，解得b=?50，∴s=5t?50．當t=90時，s=450?50=400．∴當t=90s時，該龍舟劃行的總路程為400（3）解：由（1）可知k=18，把(90,400)代入s=1∴函數(shù)表達式為s=把t=91代入s=18(t?70)∴(800?405.125)÷5.85=67.5(s∴91+67.5=158.5(s答：該龍舟隊完成訓練總程所需時間為158.5s12．（2022·湖北武漢·中考真題）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始減速，此時白球在黑球前面70cm小聰測量黑球減速后的運動速度v（單位：cm/s）、運動距離y（單位：cm）隨運動時間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表．運動時間t01234運動速度v109.598.58運動距離y09.751927.7536小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數(shù)關系，運動距離y與運動時間t之間成二次函數(shù)關系．(1)直接寫出v關于t的函數(shù)解析式和y關于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量