中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)圖形的相似與位似(練習(xí))含答案及解析

第四章三角形第20講圖形的相似與位似TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用比例的性質(zhì)求解??題型02黃金分割??題型03由平行線分線段成比例判斷式子正誤??題型04平行線分線段成比例??題型05平行線分線段成比例—A型??題型06由平行線分線段成比例—X型??題型07平行線分線段成比例與三角形中位線綜合??題型08平行線分線段成比例常的輔助線—平行線??題型09平行線分線段成比例常的輔助線—垂線??題型10位似圖形的識(shí)別??題型11求兩個(gè)位似圖形的相似比??題型12求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)??題型13已知位似圖形的相似比求線段長(zhǎng)度??題型14求位似圖形的周長(zhǎng)??題型15求位似圖形的面積??題型16在坐標(biāo)系中畫位似中心??題型17在坐標(biāo)系中畫位似圖形??題型01利用比例的性質(zhì)求解1．（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a=3b B．a(chǎn)+b=5 C．a(chǎn)+ba=52．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項(xiàng)．如果AB=2，那么AP=．3．（2022·江蘇淮安·一模）在比例尺為1：40000的南京交通旅游圖上，玄武湖隧道約長(zhǎng)7cm，它的實(shí)際長(zhǎng)度約為km4．（2024·安徽蕪湖·一模）已知四個(gè)數(shù)a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值為（

）A．2 B．3 C．43 D．5．（2024·福建南平·一模）如圖，線段AB上的點(diǎn)C滿足關(guān)系式：AC2=BC·AB，且AB=2，則ACA．5?1或3?5 B．5?12 C．??題型02黃金分割1．（2024·天津和平·一模）如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為2m，設(shè)雕像下部BC高xmA．雕像的上部高度AC與下部高度BC的關(guān)系為：AC:BC=BC:2B．依題意可以列方程xC．依題意可以列方程xD．雕塑下部高度為52．（2024·寧夏吳忠·一模）如圖，在正五邊形AFGBE中，連接它們的對(duì)角線，其中點(diǎn)C是對(duì)角線AB與對(duì)角線EG的交點(diǎn)，已知點(diǎn)C為BD的黃金分割點(diǎn)，BE=2，則CD的長(zhǎng)度為（

）A．3+5 B．3?5 C．?1+53．（2024廣東模擬預(yù)測(cè)）如果一個(gè)等腰三角形的頂角為36°，那么可求其底邊與腰之比等于5?12，我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，△ABC看作第一個(gè)黃金三角形；作∠ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)D，△BCD看作第二個(gè)黃金三角形；作∠BCD的平分線CE，交BD于點(diǎn)E，△CDE看作第三個(gè)黃金三角形……以此類推，第2024個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是（A．5?122023 B．5?122024??題型03由平行線分線段成比例判斷式子正誤1．（2020·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、AC、BC邊上，連接DE、EF，若DE∥BC,EF∥AB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AEEC=BFFC B．ADBF=2．（23-24九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、A．ACCE=BDBF B．ACAE=4．（2024深圳市模擬）如圖，在△ABC中，EG∥BD，F(xiàn)G∥A．ABAE=AGAD B．AEBE=5．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在三角形ABC中，D、F是AB邊上的點(diǎn)，E是AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥DC，則下列式子中不正確的是（

）A．AFAD=AEAC B．ADAB=??題型04平行線分線段成比例1．（2023·江蘇南京·三模）如圖，已知直線AD∥BE∥CF，如果ABBC=2

2．（2024·遼寧·二模）如圖，AD∥BE∥CF，若AB=4,BC=8,DE=3，則DF的長(zhǎng)是（

）A．1.5 B．6 C．9 D．123．（2024寧波市模擬）如圖，已知l1∥l2∥l3，它們依次交直線l4、l5于點(diǎn)A、B、C

A．2 B．4 C．245 D．??題型05平行線分線段成比例—A型1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，帶有刻度的直尺結(jié)合數(shù)軸作圖，已知圖中的虛線相互平行，若點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是?2，則點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是．2．（2020·北京·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=133．（2024浙江部分城市模擬）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，M是DF的中點(diǎn)，連結(jié)CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，則A．15 B．29 C．164．（2023·安徽·中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F，連接DE并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)M，交邊AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若AF=2，F(xiàn)B=1，則MG=（

）

A．23 B．352 C．55．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E．

(1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度數(shù)．(2)若OB=2,BD=1，求CE的長(zhǎng)．

??題型06由平行線分線段成比例—X型1．（2024·山西朔州·三模）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，EF與AC相交于點(diǎn)H．若FH=3，EH=6，AH=4，則CH的長(zhǎng)為．2．（2020·山東菏澤·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，且BP=BA，連接AP并延長(zhǎng)，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接BQ，則BQ的長(zhǎng)為．3．（2023·吉林長(zhǎng)春·三模）【閱讀理解】構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問(wèn)題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則易證E是線段

【經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用】請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問(wèn)題．

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE=CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．求證：①G是EF的中點(diǎn)；②CG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE=2CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．探究BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；

4．（2023邵陽(yáng)市模擬）如圖，在△ABC中，BC=4，D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC=3CD，∠CBD=∠A，過(guò)D作DH∥AB，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

(1)試說(shuō)明：△HCD∽△HDB．(2)求DH的長(zhǎng)．??題型07平行線分線段成比例與三角形中位線綜合1．（2024·江西吉安·二模）如圖，“趙爽弦圖”是一個(gè)由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接成的大正方形，若E是AF的中點(diǎn)，AD=5，連接BF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M，則DM的長(zhǎng)為（

）A．34 B．1 C．54 2（2024·四川內(nèi)江·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，M為AO的中點(diǎn)，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF=∠MFE，則AD的值為（

）A．4 B．33 C．323．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且BD=3CD，連接AD，并取AD的中點(diǎn)E，連接BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為．4．（2024羅湖區(qū)模擬）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=BC，取CD的中點(diǎn)F，連接DE、BF，DE與BF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)為（）

A．53a B．253a ??題型08平行線分線段成比例常用的輔助線—平行線1．（2023南充高級(jí)中學(xué)二模）如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F．若AD=3AF，則AEAC=2．（2024·天津和平·三模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接CE，

（Ⅰ）△ACE的面積為；（Ⅱ）若點(diǎn)F為OD的中點(diǎn)，連接EF交OA于點(diǎn)G，OG=1，則線段CE的長(zhǎng)為．3．（2024·四川成都·一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC，延長(zhǎng)AB至D，使得AB：BD=m：n，連接CD，E是BC邊上的中點(diǎn)，連接AE，并延長(zhǎng)AE交CD與點(diǎn)F，連接FB

??題型09平行線分線段成比例常用的輔助線—垂線1．（2024南山區(qū)模擬）如圖，在四邊形ACBD中，對(duì)角線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠ACB=90°，BD=CD且sin∠DBC=35，若∠DAB=2∠ABC，則AD

2．（2023·廣東深圳·一模）五線譜是一種記譜法，通過(guò)在五根等距離的平行橫線上標(biāo)以不同時(shí)值的音符及其他記號(hào)來(lái)記載音樂．如圖，A，B，C為直線l與五線譜的橫線相交的三個(gè)點(diǎn)，則ABBC的值是3．（2023·天津南開·一模）如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)B作BG⊥AE于G，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F使∠CFB=45°，延長(zhǎng)FC、AE交于點(diǎn)M，連接BM，若C為FM中點(diǎn)，BM=10，則FG的長(zhǎng)為．4．（2024·江蘇南通·一模）如圖，直線AB交雙曲線y=kx于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C，且AB=3BC，連接OA．若S△OAC??題型10位似圖形的識(shí)別1．（2024·山西大同·一模）下列選項(xiàng)中的兩個(gè)相似圖形，不是位似圖形的是（

）A． B． C．D．2．（2024·寧夏銀川·一模）大約在兩千四百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)，并在《墨經(jīng)》中做了記載，如圖，在實(shí)驗(yàn)中，物和像屬于以下哪種變換（

）A．平移變換 B．對(duì)稱變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．位似變換3．（2023·河北廊坊·三模）在研究相似問(wèn)題時(shí)，嘉嘉和淇淇?jī)赏瑢W(xué)的觀點(diǎn)如下：嘉嘉：將邊長(zhǎng)為1的正方形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新正方形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新正方形與原正方形相似，同時(shí)也位似；淇淇：將邊長(zhǎng)為1的正方形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新正方形，每條對(duì)角線向其延長(zhǎng)線兩個(gè)方向各延伸1，則新正方形與原正方形相似，同時(shí)也位似．對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．嘉嘉對(duì)，淇淇不對(duì) D．嘉嘉不對(duì)，淇淇對(duì)4．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在5×5網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形①、②均為格點(diǎn)三角形，則下列關(guān)于三角形①、②的說(shuō)法正確的是（A．一定不相似，周長(zhǎng)比為1:2 B．一定位似，位似比為1:2C．一定相似，面積比為1:4 D．一定相似，相似比為1:4??題型11求兩個(gè)位似圖形的相似比1．（2024·重慶渝中·二模）如圖，△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)O位似，位似比為3:4，已知AC=3，則DF的長(zhǎng)等（）

A．3 B．163 C．283 2．（2024北京大學(xué)附屬中學(xué)零模）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國(guó)家曾發(fā)行過(guò)紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖2），我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'

A．四邊形ABCD與四邊形A'BB．四邊形ABCD與四邊形A'BC．四邊形ABCD與四邊形A'BD．四邊形ABCD與四邊形A'B3．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，△ABC與△DEF是位似三角形，點(diǎn)O為位似中心．OA=AD，則△ABC與△DEF的位似比為（

）A．1:1 B．2:3 C．1:2 D．1:34．（2024·四川成都·三模）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，已知OA:AD=1:2，則AC:DF=．??題型12求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)1．（2023·浙江嘉興·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A1,2,B2,1,C3,2，現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC

A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,42．（2020·浙江舟山·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為13的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣43，﹣1） C．（﹣1，﹣43）3．（2023巴中區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A-4,2，B-6,-4，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)BA．-3,-2 B．-3,-2或3,2 C．-12,-8 D．-12,-8或12,8??題型13已知位似圖形的相似比求線段長(zhǎng)度1．（2024寶豐區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，若A點(diǎn)坐標(biāo)為1，2，C點(diǎn)坐標(biāo)為2，4，A．2 B．4 C．25 D．2．（2023·黑龍江綏化·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)，按照位似比2:3，將△OAB放大得到△OCD，且A點(diǎn)坐標(biāo)為2，3，B點(diǎn)坐標(biāo)為3，3，則線段??題型14求位似圖形的周長(zhǎng)1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC和△A1B1C1是以點(diǎn)P為位似中心的位似圖形，若AP=1A．8 B．12 C．18 D．242．（2024·重慶開州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，若OD:OA=2:3，則△DEF與△ABC的周長(zhǎng)之比為（

）．A．2:3 B．4:9 C．9:4 D．3:23．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）《墨子·天志》記載：“輪匠執(zhí)其規(guī)、矩，以度天下之方圓．”知圓度方，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，以正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'，若四邊形A

??題型15求位似圖形的面積1．（2023·四川資陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC與△DEF是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且OF=3OC，則△ABC與△DEF的面積之比是．2．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，OB=2BE．若△ABC的面積為4，則△DEF的面積是．3．（2023·遼寧沈陽(yáng)·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為0,0，3,0，2,?3，△A'B'O與△ABO關(guān)于點(diǎn)O位似，A'與A，B'與B是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，且△A'4．（2023·重慶九龍坡·二模）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為O．△ABC與△A'BA．6 B．12 C．18 D．205．（2024·四川成都·二模）如圖，△A'B'C'是△ABC以點(diǎn)O為位似中心經(jīng)過(guò)位似變換得到的，若A．3:5 B．4:9 C．4:25 D．9:25??題型16在坐標(biāo)系中畫位似中心1．（2022·河北邯鄲·三模）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則位似中心的坐標(biāo)是（）A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）2．（2023·山東濟(jì)南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A'B'C'關(guān)于點(diǎn)3．（2021·安徽蕪湖·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0，A2,1，(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出△OAB的一個(gè)位似△OA1B1，使它與(2)畫出將△OAB向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的△O(3)判斷△OA1B1和△O??題型17在坐標(biāo)系中畫位似圖形1．（2023·廣東深圳·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(4,8),B(4,4),C(10,4)，△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為(1)△A1B1C(2)請(qǐng)畫出△A(3)BC邊上有一點(diǎn)M(a,b)，在B1C1邊上與點(diǎn)M(4)△A1B2．（2022·廣東廣州·二模）已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A0,3、B3,4、(1)△ABC的面積是____________；(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A1BC1，使△3．（2020·安徽合肥·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A?2,?2，B?5,?4，(1)請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A(2)以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大為原來(lái)的2倍，得到△A2B(3)①點(diǎn)B1的坐標(biāo)為．②求△1．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，連接AG，BH，CE，DF，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形MNPQ的面積為（

）A．1 B．2 C．5 D．102．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B及AC的中點(diǎn)M，BC∥x軸，AB與y軸交于點(diǎn)N．則ANA．13 B．14 C．153．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的邊長(zhǎng)為5，它的頂點(diǎn)D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長(zhǎng)為4．（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W外一點(diǎn)，點(diǎn)Q在PO的延長(zhǎng)線上，使得POQO=12，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱點(diǎn)P是圖形W的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，例如：如圖1，A(2,4),B(2,2),P?1,?32是線段AB外一點(diǎn)，Q2,3在PO的延長(zhǎng)線上，且POQO(1)如圖1，已知圖形W1：線段AB，A2,4，B2,2，在P(2)如圖2，已知圖形W2：線段BC，B2,2，C5,2，若直線MN:y=?x+b上存在點(diǎn)P是圖形W(3)如圖3，已知圖形W3：以Tt,1為圓心，半徑為1的⊙T，若以D?1,?2，E?1,1，F(xiàn)2,1為頂點(diǎn)的等腰直角三角形DEF上存在點(diǎn)P1．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點(diǎn)．按下列要求作圖：①以點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段BO于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E；②以點(diǎn)O為圓心、BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段OA于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心、DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)G，點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線AB同側(cè)；④作直線OG，交AC于點(diǎn)M．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=2．（2024·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)E為?ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AC=5，CE=1，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得EF=DE，連接BF，則BF為（

）A．52 B．3 C．723．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點(diǎn)：畫法圖形1．以A為端點(diǎn)畫一條射線；2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長(zhǎng)線段AC、CD、DE，連接BE；3．過(guò)點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點(diǎn)M、N，M、N就是線段AB的三等分點(diǎn)．

這一畫圖過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等B．兩條平行線之間的距離處處相等C．垂直于同一條直線的兩條直線平行D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例4．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

A．直線PQ是AC的垂直平分線 B．CD=C．DE=12BC5．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，

A．165 B．167 C．26．（2023·四川遂寧·中考真題）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABC、△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（

A．(?1,0) B．(0,0) C．(0,1) 7．（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點(diǎn)A，B分別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點(diǎn)C處，且BCAB=5?18．（2024·四川成都·中考真題）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無(wú)其他差別．從盒中隨機(jī)取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，則xy的值為9．（2023·浙江溫州·中考真題）圖1是4×4方格繪成的七巧板圖案，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“房子”造型(如圖2)，過(guò)左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形CDEF作為題字區(qū)域(點(diǎn)A，E，D，B在圓上，點(diǎn)C，F(xiàn)在AB上)，形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為．若點(diǎn)A，N，M在同一直線上，AB∥PN，DE=6EF，則題字區(qū)域的面積為

10．（2023·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=4，以A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF，交DE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB交BC于點(diǎn)N．則

11．（2023·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

（1）若∠A=30°,AB=6，則BD的長(zhǎng)是（結(jié)果保留π）；（2）若CFAF=1312．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O0，0，A1，0，B2，3，C

13．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△AB'C'的相似比為1∶2，點(diǎn)A是位似中心，已知點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)C(a,b)，∠C=90°．則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為

14．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在邊AB上，且AE=1(1)如圖1所示，點(diǎn)F在邊CD上，且DF=13CD，聯(lián)結(jié)EF(2)已知AD=AE=1；①如圖2所示，聯(lián)結(jié)DE，如果△ADE外接圓的心恰好落在∠B的平分線上，求△ADE的外接圓的半徑長(zhǎng)；②如圖3所示，如果點(diǎn)M在邊BC上，聯(lián)結(jié)EM、DM、EC，DM與EC交于N，如果BC=4，且CD2=DM?DN，∠DMC=∠CEM15（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)．連接PC，將PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到PE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，EF交直線AD于點(diǎn)F．連接PF、DE，分別取PF、DE的中點(diǎn)M、N，連接MN，交AD(1)若點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，則線段MN的長(zhǎng)度為______．(2)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，MN與AQ的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求出MN與AQ的長(zhǎng)度；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉璧，玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無(wú)刻度的直尺，解決下列問(wèn)題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫出內(nèi)孔．17．（2023·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=?x+5與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=kx的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為B(a,4)，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．

第四章三角形第20講圖形的相似與位似TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用比例的性質(zhì)求解??題型02黃金分割??題型03由平行線分線段成比例判斷式子正誤??題型04平行線分線段成比例??題型05平行線分線段成比例—A型??題型06由平行線分線段成比例—X型??題型07平行線分線段成比例與三角形中位線綜合??題型08平行線分線段成比例常的輔助線—平行線??題型09平行線分線段成比例常的輔助線—垂線??題型10位似圖形的識(shí)別??題型11求兩個(gè)位似圖形的相似比??題型12求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)??題型13已知位似圖形的相似比求線段長(zhǎng)度??題型14求位似圖形的周長(zhǎng)??題型15求位似圖形的面積??題型16在坐標(biāo)系中畫位似中心??題型17在坐標(biāo)系中畫位似圖形??題型01利用比例的性質(zhì)求解1．（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a=3b B．a(chǎn)+b=5 C．a(chǎn)+ba=5【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、由a:b=2:3，得3a=2b，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、當(dāng)a=4，b=6時(shí)，a:b=2:3，但是a+b=10，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、由a:b=2:3，得a+baD、當(dāng)a=4，b=6時(shí)，a:b=2:3，但是a+3b+2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識(shí)點(diǎn)：在比例里，兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)的積，比較簡(jiǎn)單．2．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項(xiàng)．如果AB=2，那么AP=．【答案】3?5/【分析】根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合已知條件得BP=5【詳解】解：∵點(diǎn)P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項(xiàng)，∴BP∴根據(jù)黃金分割的定義可得出：BP=5∴AP=AB?BP=2?5故答案為：3?5【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割．3．（2022·江蘇淮安·一模）在比例尺為1：40000的南京交通旅游圖上，玄武湖隧道約長(zhǎng)7cm，它的實(shí)際長(zhǎng)度約為km【答案】2.8【分析】根據(jù)旅游圖上的距離與實(shí)際距離的比就是比例尺，列出比例式求解即可．【詳解】解：設(shè)它的實(shí)際長(zhǎng)度是xcm，根據(jù)題意得：7：x=1：40000，解得：x=280000，280000cm故它的實(shí)際長(zhǎng)度約為2.8km故答案為：2.8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺的定義，實(shí)際就是比例的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是由題意列出比例式求解．4．（2024·安徽蕪湖·一模）已知四個(gè)數(shù)a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值為（

）A．2 B．3 C．43 D．【答案】D【分析】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，利用成比例線段的定義得到a:b=c:【詳解】解：根據(jù)題意得a:即3：解得d=8故選：D．5．（2024·福建南平·一模）如圖，線段AB上的點(diǎn)C滿足關(guān)系式：AC2=BC·AB，且AB=2，則ACA．5?1或3?5 B．5?12 C．【答案】C【分析】本題主要考查黃金分割，設(shè)AC=x，則BC=AB?AC=2?x，x2=22?x【詳解】解：設(shè)AC=x，則BC=AB?AC=2?x，∵AC∴x2整理得，x2解得，x=5?1或∴AC=5故選：C．??題型02黃金分割1．（2024·天津和平·一模）如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為2m，設(shè)雕像下部BC高xA．雕像的上部高度AC與下部高度BC的關(guān)系為：AC:BC=BC:2B．依題意可以列方程xC．依題意可以列方程xD．雕塑下部高度為5【答案】B【分析】本題考查了黃金分割，一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：由題意得：AC:BC=BC:AB，∵AB=2，∴AC:BC=BC:2，∵BC=xm，∴AC=AB?BC=(2?x)m∴(2?x):x=x:2，∴x整理得：x2解得：x=5?1或∴BC=(5∴雕塑下部高度為(5故A、C、D都正確，B不正確，故選：B2．（2024·寧夏吳忠·一模）如圖，在正五邊形AFGBE中，連接它們的對(duì)角線，其中點(diǎn)C是對(duì)角線AB與對(duì)角線EG的交點(diǎn)，已知點(diǎn)C為BD的黃金分割點(diǎn)，BE=2，則CD的長(zhǎng)度為（

）A．3+5 B．3?5 C．?1+5【答案】B【分析】本題主要考查了正多邊形的相關(guān)性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握黃金分割點(diǎn)的計(jì)算方法是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)C為線段BD的黃金分割點(diǎn)，設(shè)CD=x,則BC=BD?CD=2?x，得到x2?x=2?x2，解得【詳解】解：∵五邊形AFGBE為正五邊形∴AE=BE=2，∠AEB=∠EBG=180°×5?25∴∠EAB=∠EBA=36°，∠BEG=∠BGE=180°?108°∴∠DEC=108°?36°?36°=36°，∴∠BDE=180°?∠BED?∠EBD=72°∴∠ECD=180°?∠DEC?∠BDE=72°∴BE=BD=2,∵點(diǎn)C為線段BD的黃金分割點(diǎn)，設(shè)CD=x,則BC=BD?CD=2?x∴x化簡(jiǎn)得，x2∴x=3±5∵CD<2∴CD=3?故選：B．3．（2024廣東模擬預(yù)測(cè)）如果一個(gè)等腰三角形的頂角為36°，那么可求其底邊與腰之比等于5?12，我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，△ABC看作第一個(gè)黃金三角形；作∠ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)D，△BCD看作第二個(gè)黃金三角形；作∠BCD的平分線CE，交BD于點(diǎn)E，△CDE看作第三個(gè)黃金三角形……以此類推，第2024個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是（A．5?122023 B．5?122024【答案】A【分析】本題考查了黃金三角形，規(guī)律型等知識(shí)；由黃金三角形的定義得BC=5?12AB=5?12，同理求出CD=5?122，DE=5?123，可得第1個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)為AB=AC=1，第2個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是5?1【詳解】解：∵△ABC是第1個(gè)黃金三角形，第1個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)為AB=AC=1，∴BCAB∴BC=5∵△BCD是第2個(gè)黃金三角形，∴CDBC=5?12，∴CD=5∵△CDE是第3個(gè)黃金三角形，∴DECD=5?12，∴DE=5∴第4個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是5?1…∴第n個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是5?1∴第2024個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)是5?1故選：A．??題型03由平行線分線段成比例判斷式子正誤1．（2020·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、AC、BC邊上，連接DE、EF，若DE∥BC,EF∥AB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AEEC=BFFC B．ADBF=【答案】C【分析】利用平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、EF∥AB，∴AEECB、∵DE∥BC，∴ADAB∵DE∥BC,EF∥AB，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴DE=BF，∴ADAB∴ADBFC、∵EF∥AB，∴EFAB∵CF與DE的大小關(guān)系不能確定，∴EFABD、∵EF∥AB，∴CEEA∴CECF故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，正確應(yīng)用平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．2．（23-24九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、A．ACCE=BDBF B．ACAE=【答案】D【分析】本題考查平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．【詳解】∵a∥∴ACCE=BDDF，∴選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，不符合題意；D正確，符合題意；故選：D．4．（2024深圳市模擬）如圖，在△ABC中，EG∥BD，F(xiàn)G∥A．ABAE=AGAD B．AEBE=【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：∵EG∥∴由平行線分線段成比例定理可知ABAE∵EG∥BD，∴由平行線分線段成比例定理可知AEBE=AG∵FG∥∴由平行線分線段成比例定理可知DFCF∵EG∥BD，∴△AEG∽∴FGAC=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行線性質(zhì)，結(jié)合已知圖形，準(zhǔn)確得到線段成比例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在三角形ABC中，D、F是AB邊上的點(diǎn)，E是AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥DC，則下列式子中不正確的是（

）A．AFAD=AEAC B．ADAB=【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，通過(guò)證明△ADC∽【詳解】解：∵EF∥DC，∴△ADC∽∴AFAD=AE∵DE∥BC，∴ADAB∴ADAB∴AD故只有C選項(xiàng)不正確故選：C．??題型04平行線分線段成比例1．（2023·江蘇南京·三模）如圖，已知直線AD∥BE∥CF，如果ABBC=2

【答案】6【分析】由平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例可知ABBC=DE【詳解】解：∵AD∥∴ABBC∵DE=4，∴EF=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例，熟練掌握比例線段的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．2．（2024·遼寧·二模）如圖，AD∥BE∥CF，若AB=4,BC=8,DE=3，則DF的長(zhǎng)是（

）A．1.5 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理作答即可．本題考查的是平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵AD∥BE∥CF，∴ABBC∵AB=4，BC=8，DE=3，∴48∴EF=6，∴DF=DE+EF=3+6=9，故選：C．3．（2024寧波市模擬）如圖，已知l1∥l2∥l3，它們依次交直線l4、l5于點(diǎn)A、B、C

A．2 B．4 C．245 D．【答案】C【分析】由平行線分線段成比例定理即可求解．【詳解】解：∵DE:DF=3:5，∴EF:DF=2:5．∵l1∴BCAC∴BC12∴BC=24故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握這一定理是關(guān)鍵，注意定理中要求線段是對(duì)應(yīng)的．??題型05平行線分線段成比例—A型1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，帶有刻度的直尺結(jié)合數(shù)軸作圖，已知圖中的虛線相互平行，若點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是?2，則點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是．【答案】4【分析】本題考查的是數(shù)軸，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式和平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為x，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得8?xx?(?2)=5?3【詳解】解：由圖可知，A點(diǎn)在直尺的0刻度上，點(diǎn)B在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的數(shù)為8，圖中的虛線相互平行，∵點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是?2，設(shè)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為x，∴8?xx?(?2)=5?3解得：x=4，即點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為4，故答案為：4．2．（2020·北京·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=13【答案】（1）見解析；（2）2．【分析】（1）連接OD，根據(jù)CD是⊙O的切線，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根據(jù)OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根據(jù)OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可證明；（2）設(shè)半徑為r，根據(jù)在Rt△OCD中，sinC=13，可得OD=r，OC=3r，AC=2r，由AB為⊙O的直徑，得出∠ADB=90°，再根據(jù)推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行線分線段成比例定理可得OE【詳解】（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）設(shè)半徑為r，在Rt△OCD中，sinC=∴ODOC∴OD=r，OC=3r，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴OEBD∴OE=4，∵OFBD∴OF=6，∴EF=OF?OE=2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是90°，靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2024浙江部分城市模擬）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，M是DF的中點(diǎn)，連結(jié)CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，則A．15 B．29 C．16【答案】D【分析】本題考查的是平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)；先證明△GFM∽NDM結(jié)合中點(diǎn)的含義可得GM=MN，再證明CGGN【詳解】解：如圖，記EF與CN的交點(diǎn)為G，∵EF∥AB，∴△GFM∽NDM，∴GMMN∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，即DM=FM，∴GM=MN，∵DE∥BC，∴CEAE∵EF∥AB，∴CGGN∴CG=3GN=3GM+MN∴MNCM故選D4．（2023·安徽·中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F，連接DE并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)M，交邊AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若AF=2，F(xiàn)B=1，則MG=（

）

A．23 B．352 C．5【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出DEEM=AFFB=2，根據(jù)△ADE∽△CME，得出ADCM=DEEM=2，則CM=1【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，AF=2，F(xiàn)B=1，∴AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3，AD∥CB，∵EF⊥AB，∴AD∴DEEM=AF∴ADCM則CM=1∴MB=3?CM=3∵BC∥∴△GMB∽△GDA，∴BG∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E．

(1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度數(shù)．(2)若OB=2,BD=1，求CE的長(zhǎng)．【答案】(1)115°(2)CE=【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，∠ACD=∠AEC+∠EAC即可求解．（2）根據(jù)CD是⊙O的切線，可得∠OCD=90°，在Rt△OCD中，勾股定理求得CD=5，根據(jù)OC∥AE，可得【詳解】（1）解：∵AE⊥CD于點(diǎn)E，∴∠AEC=90°，∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°．

（2）∵CD是⊙O的切線，OC是⊙O的半徑，∴∠OCD=90°．在Rt△OCD∵OC=OB=2,OD=OB+BD=3，∴CD=O∵∠OCD=∠AEC=90°，∴OC∥AE∴CDCE=OD∴CE=2【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵??題型06由平行線分線段成比例—X型1．（2024·山西朔州·三模）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，EF與AC相交于點(diǎn)H．若FH=3，EH=6，AH=4，則CH的長(zhǎng)為．【答案】20【分析】延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．證明△AFE≌△BGEAAS，得出EF=EG，求出EG=9，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出AH【詳解】如圖，延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥∴∠EAF=∠EBG，∠AFE=∠G．∵點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，∴AE=BE．在△AFE和△BGE中，∠EAF=∠EBG∠AFE=∠G∴△AFE≌△BGEAAS∴EF=EG．∵FH=3，EH=6，∴EF=EH+FH=9．∴EG=9，∴GH=EG+EH=9+6=15．∵AD∥∴AHCH=解得CH=20．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明△AFE≌△BGE．2．（2020·山東菏澤·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，且BP=BA，連接AP并延長(zhǎng)，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接BQ，則BQ的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】由矩形的性質(zhì)求得BD，進(jìn)而求得PD，再由AB∥CD得BPPD=ABDQ=【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，AB=5，AD=12，∴∠BAD=∠BCD=90o，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，∴BD=AB2∴PD=8，∵AB∥DQ，∴BPPD=解得：CQ=3，在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，BQ=B故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，會(huì)利用平行線成比例定理列相關(guān)比例式是解答的關(guān)鍵．3．（2023·吉林長(zhǎng)春·三模）【閱讀理解】構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問(wèn)題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則易證E是線段

【經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用】請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問(wèn)題．

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE=CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．求證：①G是EF的中點(diǎn)；②CG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE=2CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．探究BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；【答案】（1）①見解析②BE=（2）BE=【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)E作EI∥BC交AC于點(diǎn)I，證明△EIG≌△FCG(ASA②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AI=2AE，由平行線得出AIAE=IC（2）作EI∥BC交AC于點(diǎn)I，由三角函數(shù)證出AE=2IE，得出IE=CF，證△EIG≌△FCG(ASA)，得出EG=FG，IG=CG，設(shè)IE=a，則AE=2a，求出AEAI【詳解】解：證明：①過(guò)點(diǎn)E作EI∥BC交AC于點(diǎn)

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠AEI=∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∴∠AIE=∠BAC=45°，∴AE=EI，∵AE=CF，∴CF=EI，∵EI∥∴∠EIG=∠FCG，∠IEG=∠CFG，在△EIG和△FCG中，∠EIG=∠FCGEI=CF∴△EIG≌△FCG(ASA∴EG=FG，∴G是EF的中點(diǎn)；②在Rt△AEI中，∠AEI=90°，AE=EI∴△AEI是等腰直角三角形，∴AI=2∴AIAE∵EI∥∴AIAE∴IC=2∵△EIG≌△FCG，∴IG=CG=1∴CG=1即CG=2（2）解：BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系為：BE=4

過(guò)點(diǎn)E作EI∥BC交AC于點(diǎn)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠AEI=∠ABC=90°，AB∥CD，在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC=∠AEI=90°，∴tan∴AE=2IE，∵AE=2CF，∴IE=CF，∵EI∥∴∠EIG=∠FCG，∠IEG=∠CFG，在△EIG和△FCG中，∠EIG=∠FCGEI=CF∴△EIG≌△FCG(ASA∴EG=FG，IG=CG，設(shè)IE=a，則AE=2a，在Rt△AEI中，∠AEI=90°∴AI=IE2即AEAI∵EI∥∴ICEB∴IC=5∵IG=CG=1∴CG=5∴BE=4【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；作輔助線構(gòu)建全等三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023邵陽(yáng)市模擬）如圖，在△ABC中，BC=4，D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC=3CD，∠CBD=∠A，過(guò)D作DH∥AB，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

(1)試說(shuō)明：△HCD∽△HDB．(2)求DH的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）由DH∥AB，可得∠A=∠HDC，再由∠CBD=∠A，可得（2）根據(jù)DH∥AB，AC=3CD，對(duì)應(yīng)線段成比例可得CH=43，再由（1）可知【詳解】（1）解：∵DH∥∴∠A=∠HDC，∵∠CBD=∠A，∴∠HDC=∠CBD，又∵∠H=∠H，∴△HCD∽△HDB；（2）解：∵DH∥∴CDAC∵AC=3CD，∴13∴CH=4∴BH=BC+CH=4+4由（1）知ΔHCD∽∴DHBH∴DH16∴DH=64∴DH=8答：DH的長(zhǎng)度為83【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．??題型07平行線分線段成比例與三角形中位線綜合1．（2024·江西吉安·二模）如圖，“趙爽弦圖”是一個(gè)由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接成的大正方形，若E是AF的中點(diǎn)，AD=5，連接BF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M，則DM的長(zhǎng)為（

）A．34 B．1 C．54 【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，根據(jù)題意找出角度、線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)K，由題意可知，四個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD、EFGH是正方形，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出DK=52，再證明△BEF≌△DGCSAS，結(jié)合平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角，得出∠MFK=∠MKF，∠FDM=∠DFM【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)K，由題意可知，四個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD、EFGH是正方形，∴AD=BC=CD=5，AE=DF=CG，BE=DG=AF，EF=FG，∵E是AF的中點(diǎn)，∴AE=EF=1∴CG=EF=DF=1∵AK∥∴DF∴DK=5在△BEF和△DGC中，BE=DG∠BEF=∠DGC=90°∴△BEF≌△DGCSAS∴∠DCG=∠BFE=MFK，∠EBF=∠GDC，∵AK∥CH，∴∠DKF=∠DCG，∠EBF=∠BFG=∠DFM∴∠MFK=∠MKF，∠FDM=∠DFM，∴FM=MK，DM=FM，∴DM=MK=1故選：C2（2024·四川內(nèi)江·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，M為AO的中點(diǎn)，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF=∠MFE，則AD的值為（

）A．4 B．33 C．32【答案】B【分析】由三角形中位線定理可得AB=2ME，OD=2MF，可得AB=OD，由矩形的性質(zhì)可得OD=OA=OB=AB，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，∵M(jìn)為AO的中點(diǎn)，ME∥AB，∴OEBE=OM∴ME是△ABO的中位線，MF是△AOD的中位線，∴AB=2ME，OD=2MF，∵∠MEF=∠MFE，∴ME=MF，∴AB=OD=3，∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=OC=OB=OD=3，∴BD=6，∴AD=B故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的應(yīng)用等知識(shí)，證明AO=OC=OB=OD=3是解題的關(guān)鍵．3．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且BD=3CD，連接AD，并取AD的中點(diǎn)E，連接BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為．【答案】58【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF，交AC于點(diǎn)G，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得CDBD=CGFG=13，AEED=AFFG=1，設(shè)CG=x，F(xiàn)G=3x，根據(jù)AC=4列方程可得【詳解】解：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=ED，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF，交AC于點(diǎn)G，∴CDBD=CG設(shè)CG=x，F(xiàn)G=3x，則AF=3x，∵AC=4，∴3x+3x+x=4，∴x=4∴AF=3x=12由勾股定理得：BF=A∵DG∥BF，∴△CDG∽△CBF，∴CDBC∴DG=1∵AE=ED，AF=FG，∴EF是△ADG的中位線，∴EF=1故答案為：5814【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線定理，三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．4．（2024羅湖區(qū)模擬）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=BC，取CD的中點(diǎn)F，連接DE、BF，DE與BF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)為（）

A．53a B．253a 【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)C作CP∥BG，交DE于點(diǎn)P，連接BD，根據(jù)平行線等分線段定理的推論證得DG=GP=PE，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理可求出BD，DE，再在Rt【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CP∥BG，交DE于點(diǎn)P，連接∵BC=CE，∴GPPE∴GP=PE，∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，CP∥∴DGGP∴DG=GP，∴DG=GP=PE，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，CE=BC，∴CE=BC=CD=a，∠BCD=∠DCE=90°，∴BD=BDE=C∠BDC=∠CDE=45°，∴DG=13DE=∴BG=B故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正方形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，勾股定理，中點(diǎn)的定義等知識(shí)．通過(guò)作輔助線并根據(jù)平行線等分線段定理證明DG=GP=PE是解題關(guān)鍵．??題型08平行線分線段成比例常用的輔助線—平行線1．（2023南充高級(jí)中學(xué)二模）如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F．若AD=3AF，則AEAC=【答案】15【分析】如圖，作輔助線，由DG∥BE得到AFFD=AE【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BE，交AC于點(diǎn)∵AD=3AF，∴AFFD∵DG∥∴AFFD=AE∴EG=2AE，∵AD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴EG=CG，∴CG=EG=2AE，∴AC=AE+EG+CG=5AE，∴AEAC故答案為：15【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．2．（2024·天津和平·三模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接CE，

（Ⅰ）△ACE的面積為；（Ⅱ）若點(diǎn)F為OD的中點(diǎn)，連接EF交OA于點(diǎn)G，OG=1，則線段CE的長(zhǎng)為．【答案】123【分析】（1）根據(jù)三角形中線求面積即可；（2）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AO于點(diǎn)M，由菱形的性質(zhì)，EM是△ABO的中位線，得EM=12OB，因此OF=EM，推出△EMG≌△FOG，得到MG=OG=1，從而求出OA的長(zhǎng)，得到AC的長(zhǎng)，求出CM的長(zhǎng)，由三角形面積公式求出OB長(zhǎng)，得到EM【詳解】解：（1）∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE=EB，∴S（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AO于點(diǎn)M，

∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∴EM∥∴AM∵AE=EB，∴AM=OM，∴EM為△ABO的中位線，∴EM=1∵DF=FO=1∴EM=FO，∵∠FGO=∠EGM，∠OFE=∠MEF，∴△EMG≌△FOGAAS∴MG=OG=1，∴OM=2，∴OA=4，∴AC=2OA=8，∴S∴OB=6，∴EM=1∵CM=CO+OM=4+2=6，∴CE=C【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形中線求面積，平行線分線段成比例，勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AO于點(diǎn)M，證明△EMG≌△FOG，求出OA的長(zhǎng)．3．（2024·四川成都·一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC，延長(zhǎng)AB至D，使得AB：BD=m：n，連接CD，E是BC邊上的中點(diǎn)，連接AE，并延長(zhǎng)AE交CD與點(diǎn)F，連接FB

【答案】m：m+n【分析】本題主要考查的是平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．如圖：過(guò)點(diǎn)B作BH∥AF交CD于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到DHHF=BD【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BH∥AF交CD于∴△BDH∽△ADF∴DHHF

∵AB=AC，E是BC邊上的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴AF是線段BC的垂直平分線，∴BF=CF，∵EF∥BH∴△CEF∽△CBH,∴CFCH∴CF=12HF∴CF：∴BF：故答案為：m：??題型09平行線分線段成比例常用的輔助線—垂線1．（2024南山區(qū)模擬）如圖，在四邊形ACBD中，對(duì)角線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠ACB=90°，BD=CD且sin∠DBC=35，若∠DAB=2∠ABC，則AD

【答案】1【分析】本題考查求線段長(zhǎng)，涉及互余、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形全等判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、中點(diǎn)的定義等知識(shí)，過(guò)D作DE⊥BC于E，交AB于F，如圖所示，設(shè)∠ABC=α，∠ABD=β，由直角三角形兩銳角互余、等腰三角形性質(zhì)，在△DAO和△BCO構(gòu)成的8字形中，由三角形內(nèi)角和定理可知∠ADO=β，從而由三角形全等判定得到△DAC≌△BFDASA，進(jìn)而BF=AD，最后由平行線分線段成比例確定F【詳解】解：過(guò)D作DE⊥BC于E，交AB于F，如圖所示：

設(shè)∠ABC=α，∠ABD=β，∴∠DAB=2∠ABC=2α，∠DBC=α+β，∠BDF+α+β∵BD=CD，DE⊥BC，∴∠DCB=∠DBC=α+β，CE=BE，在△DAO和△BCO中，由三角形內(nèi)角和定理可知∠ADO+2α=α+β+α，即∵∠ACB=90°，∴∠ACO+α+β∴∠ACD=∠FDB，在△DAC和△BFD中，∠ACD=∠FDB∴△DAC≌∴BF=AD，∵AC⊥CB，∴AC∥DE，則BECE=BF∴F是AB的中點(diǎn)，∴AD故答案為：122．（2023·廣東深圳·一模）五線譜是一種記譜法，通過(guò)在五根等距離的平行橫線上標(biāo)以不同時(shí)值的音符及其他記號(hào)來(lái)記載音樂．如圖，A，B，C為直線l與五線譜的橫線相交的三個(gè)點(diǎn)，則ABBC的值是【答案】2【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥a于D，交b于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥a于D，交b于E，∵a∥b，∴ABBC故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·天津南開·一模）如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)B作BG⊥AE于G，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F使∠CFB=45°，延長(zhǎng)FC、AE交于點(diǎn)M，連接BM，若C為FM中點(diǎn)，BM=10，則FG的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BF于H點(diǎn)，證明△AGB≌△BHC，得出BG=CH，證明CH=12GM【詳解】解：過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BF于H點(diǎn)，如圖所示：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB=∠BHC=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°，∴∠BAG=∠FBE，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，∴△AGB≌∴BG=CH，∵C為FM的中點(diǎn)，∴CF=1∵CH⊥GF，AG⊥BF，∴CH∥∴CHGM∴CH=1∴BG=1∵BM=10，∠BGM=90°，∴BG∴BG解得：BG=25∴GM=45∵∠FGM=90°，∠GFM=45°，∴∠GMF=90°?45°=45°，∴∠GFM=∠GMF，∴FG=GM=45故答案為：45【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明△AGB≌4．（2024·江蘇南通·一模）如圖，直線AB交雙曲線y=kx于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C，且AB=3BC，連接OA．若S△OAC【答案】3【分析】作AD⊥x軸于D,BE⊥x軸于E,則BE∥AD,得到BEAD=BCAC=14，利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到S△OAD=S△OBE=12k,【詳解】連接OB,作AD⊥x軸于D,BE⊥x軸于E,則BE∥AD,∴設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為ka∵AB=3BC，∴AC=4BC，ABAC∴BE∴B點(diǎn)坐標(biāo)為4ka∵S∴S∵S∴12AD+BE∴1解得k=3，故答案為:3．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了平行線分線段成比例定理，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,由S△OAB=S??題型10位似圖形的識(shí)別1．（2024·山西大同·一模）下列選項(xiàng)中的兩個(gè)相似圖形，不是位似圖形的是（

）A． B． C．D．【答案】C【分析】本題考查的是位似變換，掌握兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的定義解答即可．【詳解】解：根據(jù)位似圖圖形的定義可知選項(xiàng)A、B、D中的兩個(gè)圖形都是位似圖形，C中的兩個(gè)圖形不是位似圖形，故選：C．2．（2024·寧夏銀川·一模）大約在兩千四百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)，并在《墨經(jīng)》中做了記載，如圖，在實(shí)驗(yàn)中，物和像屬于以下哪種變換（

）A．平移變換 B．對(duì)稱變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．位似變換【答案】D【分析】本題考查了位似變換，熟練掌握位似變換的特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似變換的特征作答即可．【詳解】解：由題意知，物和像屬于位似變換，故選：D．3．（2023·河北廊坊·三模）在研究相似問(wèn)題時(shí)，嘉嘉和淇淇?jī)赏瑢W(xué)的觀點(diǎn)如下：嘉嘉：將邊長(zhǎng)為1的正方形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新正方形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新正方形與原正方形相似，同時(shí)也位似；淇淇：將邊長(zhǎng)為1的正方形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新正方形，每條對(duì)角線向其延長(zhǎng)線兩個(gè)方向各延伸1，則新正方形與原正方形相似，同時(shí)也位似．對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．嘉嘉對(duì)，淇淇不對(duì) D．嘉嘉不對(duì)，淇淇對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)相似與位似的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意知，嘉嘉向外擴(kuò)張得到的新的正方形的邊長(zhǎng)為3，且仍為正方形，故新正方形與原正方形相似，同時(shí)也位似，位似中心為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．淇淇向外擴(kuò)張得到的新的正方形的邊長(zhǎng)為2+1故新正方形與原正方形相似，同時(shí)也位似，位似中心為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．故兩人說(shuō)法正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似與位似．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在5×5網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形①、②均為格點(diǎn)三角形，則下列關(guān)于三角形①、②的說(shuō)法正確的是（A．一定不相似，周長(zhǎng)比為1:2 B．一定位似，位似比為1:2C．一定相似，面積比為1:4 D．一定相似，相似比為1:4【答案】C【分析】本題考查的是位似變換，根據(jù)勾股定理求出兩個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理以及位似圖形的概念判斷即可．掌握位似圖形的概念、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由勾股定理得：三角形①的三邊長(zhǎng)分別為2、5、5，三角形②的三邊長(zhǎng)分別為22、25、∴三角形①與三角形②相似，且相似比為1:2，∴三角形①與三角形②的面積比為1:4，∵三角形①與三角形②的對(duì)應(yīng)邊不平行也不在同一條直線上，∴三角形①與三角形②不位似，故選：C．??題型11求兩個(gè)位似圖形的相似比1．（2024·重慶渝中·二模）如圖，△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)O位似，位似比為3:4，已知AC=3，則DF的長(zhǎng)等（）

A．3 B．163 C．283 【答案】D【分析】本題主要考查位似的定義．解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形是相似圖形的特殊形式，位似比等于相似比的特點(diǎn)．位似圖形就是特殊的相似圖形位似比等于相似比．利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)O位似，位似比為3:4，∴AC:DF=3:4，∵AC=3，∴3:DF=3:4，則DF=4．故選：D．2．（2024北京大學(xué)附屬中學(xué)零模）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國(guó)家曾發(fā)行過(guò)紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖2），我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'

A．四邊形ABCD與四邊形A'BB．四邊形ABCD與四邊形A'BC．四邊形ABCD與四邊形A'BD．四邊形ABCD與四邊形A'B【答案】D【分析】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．兩個(gè)位似圖形必須是相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行或共線．先利用位似的性質(zhì)得到A'【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'∴OA∴A'∴四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'故選：D．3．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，△ABC與△DEF是位似三角形，點(diǎn)O為位似中心．OA=AD，則△ABC與△DEF的位似比為（

）A．1:1 B．2:3 C．1:2 D．1:3【答案】C【分析】本題考查求位似圖形的相似比，根據(jù)已知得到OA:OD=1:2即可求解．【詳解】解：∵OA=AD，∴OA:OD=1:2，∵△ABC與△DEF是位似三角形，∴△ABC與△DEF的位似比為1:2，故選：C．4．（2024·四川成都·三模）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，已知OA:AD=1:2，則AC:DF=．【答案】1:3/1【分析】本題考查位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)相似比等于位似比，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵OA:AD=1:2，∴OA:OD=1:3，∵△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，∴AC:DF=OA:OD=1:3；故答案為：1:3．??題型12求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)1．（2023·浙江嘉興·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A1,2,B2,1,C3,2，現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC

A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,4【答案】C【分析】直接根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵△ABC的位似比為2的位似圖形是△A'B∴C'2×3,2×2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2020·浙江舟山·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為13的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣43，﹣1） C．（﹣1，﹣43）【答案】B【分析】根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，把A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以?1【詳解】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，位似比為13而A（4，3），∴A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（?4故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．3．（2023巴中區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A-4,2，B-6,-4，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)BA．-3,-2 B．-3,-2或3,2 C．-12,-8 D．-12,-8或12,8【答案】D【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)乘以2或-2即可求解．【詳解】解：∵已知點(diǎn)A-