2025新高考數學改革下新型題目結構：新定義解答題綜合強化訓練（學生版）

2025新高考改革下新型題目結構:新定義解答題綜合訓練

目錄

題型一函數及導數新定義綜合.............................................................1

題型二數列新定義綜合...................................................................14

題型三集合新定義綜合..................................................................24

題型四平面向量新定義綜合..............................................................37

題型五立體幾何新定義綜合..............................................................48

題型六解析幾何新定義綜合..............................................................52

考情探究

2025新高考改革:新定義解答題強化訓練與思維提升

(1)新定義引入：2025年高考數學引入新定義，提供更嚴謹全面的數學語言，要求學生理解函數背后的邏

輯和應用，增強學習深度和廣度。

(2)融化思堆訓練：新高考注重思維品質和思維能力的考察，通過新定義解答題，訓練學生的邏輯思維和

綜合能力，減少死記硬背。

(3)試題形式創(chuàng)新:增加試題的開放性、探索性和創(chuàng)新性，優(yōu)化試卷結構，豐富呈現方式，引導學生提升思

維品質和創(chuàng)新能力。

(4)綜合訓練提升:通過綜合訓練，幫助學生熟練掌握新定義,并靈活運用解決實際問題,提升跨學科思

維能力和綜合素質。

(5)此次改革旨在培養(yǎng)學生的綜合素質和創(chuàng)新能力，以適應未來學術和職業(yè)生涯的需求

試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設計的題目，引導學生深入思考

和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。

面對新高考新結構試卷的5個解答題，新定義版塊作為一個重要的考查領域，通常在第19題這樣的壓軸

大題中，分值為17分，將考查學生的解題能力和思維深度,是高考數學的分水嶺，難度極大。

本文緊密圍繞新高考新結構試卷的核心特征，深入剖析了新定義解答題的命題規(guī)律與解題技巧。通過

結合具體、生動的新定義解答題實例，本文旨在為廣大師生提供一份全面、詳盡的新定義解答題綜合訓

練指南。這份指南不僅涵蓋了新定義解答題的基本概念與解題步驟，還深入探討了如何運用這些技巧

在新高考中取得優(yōu)異成績的策略。???

題型一函數及導致新定義綜合

1.(2024.廣西.二模)已知函數/Q)=lnz,若存在g(c)&/Q)恒成立，則稱g(c)是/㈤的一個“下界函

數”.

(1)如果函數g(rr)=上—Inrc為了(為的一個“下界函數”，求實數t的取值范圍；

X

(2)設函數F(z)=/(力),試問函數斤(乃是否存在零點？若存在，求出零點個數;若不存在，

請說明理由.

2.(2024?湖南?二模)羅爾定理是高等代數中微積分的三大定理之一，它與導數和函數的零點有關,是由法

國數學家米歇爾?羅爾于1691年提出的.它的表達如下:如果函數/(⑼滿足在閉區(qū)間［a,b］連續(xù),在開區(qū)

間(Q,b)內可導，且/(a)=/(b),那么在區(qū)間(Q,b)內至少存在一點使得/〈恒)=0.

(1)運用羅爾定理證明:若函數/Q)在區(qū)間［a,6］連續(xù),在區(qū)間(a,6)上可導，則存在gG(a,b),使得廣

(切-b-a.

(2)已知函數/(力)=xlnx,g(x)=-^-x2—bx+1,若對于區(qū)間(1,2)內任意兩個不相等的實數力i,力2,都有

1/(^1)—/(^2)1>歷(力1)—g(e2)1成立,求實數b的取值范圍.

(3)證明：當p>l,n>2時，有」-~1――——三二

npP-1L(n-l)p-xnP-1J

???

3.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習）帕德近似是法國數學家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定

函數的方法.給定兩個正整數小，打，函數〃為在C=0處的［m,n］階帕德近似定義為：RQ）=

獨此竺士二墳Q,且滿足：/(0)=砥0),廣(0)=R(0),/"(0)=R"(0),……，/m+")(0)=Rg+n)(0),

n

l+brX-\---\~bnx

注:廣⑺=注㈤]'，1r㈤=Lf"3)r，*3)=LTQ)]'，/⑸⑺=[/⑷(切'，……

已知函數/(6)=ln(ic+l).

（1）求函數/（t）=111（宓+1）在2=0處的［1,1］階帕德近似RQ）,并求lnl.1的近似數（精確到0.001）；

⑵在（1）的條件下:

①求證：占

<1;

②若/（力）一+（力）＜1—COS/恒成立，求實數772的取值范圍.

???

4.(2024.河北滄州.一模)對于函數0=/3),/e/,若存在/,使得/(3)=如則稱應為函數/(⑼的一

階不動點；若存在ge/,使得/(/(0))=如，則稱g為函數“⑼的二階不動點；依此類推，可以定義函

數了(①)的"階不動點.其中一階不動點簡稱為“不動點”，二階不動點簡稱為“穩(wěn)定點”，函數/(⑼的“不

動點"和“穩(wěn)定點”構成的集合分別記為A和8,即/={“/3)=2},8={力卜(/(2：))=2}.

⑴若/(為=ee(±>0),證明:集合人={巾3)=必}中有且僅有一個元素；

(2)若/(c)=(a+l)rr—2+旦竽(a>—1),討論集合B的子集的個數.

xe2

5.(2024-山東聊城.二模)對于函數/(⑼，若存在實數3,使/(g)/(g+#=1,其中4#0,則稱/(⑼為“可移

A倒數函數”,x0為“于(x)的可移4倒數點”.已知g{x)=e\h(x)=c+a(a>0).

(1)設4⑼=。(⑼3儂),若方為“%Q)的可移—2倒數點”，求函數卬3)的單調區(qū)間；

'g(rr),x>0

(2)設03)=i-c，若函數s(c)恰有3個“可移1倒數點”，求a的取值范圍.

［聽c<°

???

6.（2024?浙江寧波?二模）定義:對于定義在區(qū)間［a,b］上的函數，若存在實數cC（a,b）,使得函數在區(qū)間

［a,c］上單調遞增（遞減）,在區(qū)間［c,b］上單調遞減（遞增），則稱這個函數為單峰函數且稱c為最優(yōu)點.已

知定義在區(qū)間［a,b］上的函數/（乃是以c為最優(yōu)點的單峰函數，在區(qū)間（a,b）上選取關于區(qū)間的中心

號對稱的兩個試驗點如芯，稱使得1/（^.）-/（c）|（i=l,2）較小的試驗點Xi為好點（若相同，就任選其

一），另一個稱為差點.容易發(fā)現,最優(yōu)點c與好點在差點的同一側.我們以差點為分界點,把區(qū)間［a,切分

成兩部分，并稱好點所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設存優(yōu)區(qū)間為［出,仇］，再對區(qū)間［出,法］重復以上操作，可以

找到新的存優(yōu)區(qū)間92也］，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間-，3，匕4&］,…，滿足［a,b］2［的,仇］N［aM2

［a3,b3］N必4也］二…，可使存優(yōu)區(qū)間長度逐步減小.為了方便找到最優(yōu)點（或者接近最優(yōu)點），從第二次操

作起，將前一次操作中的好點作為本次操作的一個試驗點，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長度與操作前

區(qū)間的長度的比值為同一個常數。，則稱這樣的操作是“優(yōu)美的”,得到的每一個存優(yōu)區(qū)間都稱為優(yōu)美存

優(yōu)區(qū)間，。稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數.對區(qū)間［a也進行4次“優(yōu)美的”操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間

，圖］，令.=與二&，我們可任取區(qū)間［%,bn］內的一個實數作為最優(yōu)點c的近似值，稱之為/（功在區(qū)

間［a,切上精度為en的“合規(guī)近似值”，記作已知函數/⑺=Q+l）cosx-l,xC,函

數g（2）=sinrc—ln（l+7T—G［告，兀］.

（1）求證:函數/Q）是單峰函數；

（2）已知c為函數/（①）的最優(yōu)點，d為函數g（c）的最優(yōu)點.

（i）求證：c+d＜兀；

5）求證：%（9,，兀］）一%（6［°，5］）＞d_C_荒.

注：，~1.414,73?1.732.V5?2.236,V7?2.646.

???

7.(2024?廣西?二模)設ceR,用［句表示不超過土的最大整數，則"=［①］稱為取整函數，取整函數是德國

數學家高斯最先使用，也稱高斯函數.該函數具有以下性質：

①沙二［句的定義域為R，值域為Z;

②任意實數都能表示成整數部分和純小數部分之和，即①=［句+{/}(0W{C}<1),其中［句為①的整數

部分，{4}=①一［句為①的小數部分；

(3)［n+x］=n+［a;］(nGZ)；

④若整數a,b滿足a=bq+r(b>0,q,rCZ,0令Vb)，則［y］=q.

⑴解方程［平］二號Z；

(2)已知實數r滿足［T+瑞■］+卜+樣"+卜+君+…+卜+齡■］=546,求［100r］的值；

(3)證明：對于任意的大于等于3的正整數n,均有［坐士?］>［若1］.

［4Tl—2JI4J

???

8.(2024?湖北?模擬預測)歐拉函數在密碼學中有重要的應用.設4為正整數，集合X.=｛1,2,…，九―1｝,歐

拉函數？仇)的值等于集合X"中與"互質的正整數的個數；記M(x,y)表示*除以"的余數｛x和y均為

正整數)，

(1)求？(6)和以15)；

⑵現有三個素數p，q,e(p<Q<e),n=pq,存在正整數d滿足Al(de,0(n))=1；已知對素數a和；cC

X”均有M(xQ-1,a)=L證明:若a;CX”,則x=M([M(xe,n)]d,n)；

(3)設n為兩個未知素數的乘積，由，e2為另兩個更大的已知素數，且2e1=3e2+1;又q=M[^,n),c2

=M(xet,n),xEX",試用Ci，C2和n求出x的值.

9.(2024.河北石家莊.二模)設集合河是一個非空數集,對任意x,yGM,定義p(x,y)=口—引，稱p為集合

M的一個度量，稱集合雙為一個對于度量P而言的度量空間，該度量空間記為(M,p).

定義1：若f河是度量空間(M,p)上的一個函數,且存在aE(0,1)，使得對任意⑨4CM,均有：p

(/(⑼，AS)WapQ,y),則稱/是度量空間(河,p)上的一個“壓縮函數”.

定義2：記無窮數列a0,如42,…為｛冊｝著°,若｛垢｝著。是度量空間(河,p)上的數歹U，且對任意正實數￡>

0，都存在一個正整數N,使得對任意正整數項,九〉N,均有p(a3<￡,則稱｛a/著,是度量空間(M,

p)上的一個“基本數列”.

(1)設/(⑼=sin①+9，證明：/是度量空間([]，2],p)上的一個“壓縮函數”；

⑵已知fRtR是度量空間(R,p)上的一個壓縮函數,且劭CA,定義a?+1=/(a?),n=0,1,2,…,證明:

｛冊｝著為度量空間(凡p)上的一個“基本數列”.

???

10.（22-23高二上?上海普陀?階段練習）給出下列兩個定義：

，對于函數定義域為。，且其在。上是可導的，若其導函數定義域也為。，則稱該函數是“同定

義函數”.

〃.對于一個“同定義函數=/（乃，若有以下性質：

①尸（力）=。（/（乃）；②/（，）=〃/'（⑦）），其中。=。（，）,9=人（必）為兩個新的函數，沙=/'（⑦）是。=/（為

的導函數.

我們將具有其中一個性質的函數沙=八為稱之為“單向導函數”，將兩個性質都具有的函數沙=/（①）稱

之為“雙向導函數"，將夕=9（0稱之為“自導函數”.

⑴判斷函數4=tame和夕=lmc是“單向導函數"，或者''雙向導函數”，說明理由.如果具有性質①，則寫

出其對應的“自導函數”；

（2）已知命題p:y=f（x）是“雙向導函數”且其“自導函數”為常值函數,命題q:f（x）=k-a\kER,a>0,

a￥1）.判斷命題p是q的什么條件，證明你的結論；

（3）已知函數/Q）=（xa—b）ex.

①若/（①）的“自導函數”是"=以試求a的取值范圍；

②若a=b=1,且定義[Q）=ex/（rr）—/+A;田，若對任意k€[l,2],a;G[0,A;]，不等式/（rr）&c恒成

0

立，求C的取值范圍.

???

題型二數列新定義綜合

1.（2024?廣東梅州?二模）已知｛冊｝是由正整數組成的無窮數列，該數列前八項的最大值記為跖，即跖=

max｛ai,a2,…,冊｝；前九項的最小值記為mn,即7Tmin｛ai,a2,…,冊｝,令p“=峪—雙加=1,2,3,―）,

并將數列｛為｝稱為｛冊｝的“生成數列”.

⑴若冊=3",求其生成數列｛p?｝的前幾項和；

（2）設數列｛“J的“生成數歹『'為｛M｝,求證：p“=q”；

（3）若｛pj是等差數列，證明:存在正整數叫,當n>為時，冊，a.，%+2,…是等差數列.

2.（2024?安徽池州?模擬預測）定義:若對V%C乂#>2,耿-1+隊+142以恒成立,則稱數列｛廝｝為“上凸數

歹廣.

（1）若冊=石』，判斷｛冊｝是否為“上凸數列”，如果是，給出證明;如果不是,請說明理由.

（2）若｛a?｝為"上凸數列"，則當m>71+2（m,nGN*）時，%+%W0mT+an+1.

（i）若數列S”為｛aj的前ri項和,證明：S”>葭4+冊）；

._____

（ii）對于任意正整數序列力1,力2,如…，孫…,一（九為常數且九>2,九GN*）,若媛一1》

i=l

1恒成立，求才的最小值.

???

3.(2024.北京東城?一模)有窮數列①,。2,…，>2)中，令S(p,q)=CLpCLp+i+,,?

+Qq(l<p<q<?2,p,qeN*),當p=q時，規(guī)定S(p,q)=ap.

(1)已知數列—3,2,—1,3,寫出所有的有序數對(p,q),且pVq,使得S(p,q)>0；

(2)已知整數列ag…,時,"為偶數，若S(i,九—i+D(i=l,2,…號)，滿足:當i為奇數時，

S(i,n—i+1)>0；當i為偶數時，S(i,n—i+1)V0.求|QJ+|a2|4---F|an|的最小值；

(3)已知數列a1;a2,…，a”滿足S(1,TI)>0,定義集合人={i|s(i+l,n)>0,i=l,2,…,n—1}.若人=

伍上,…,i/J(keN*)且為非空集合，求證：S(l,n)>ait+ai2-\---

4.(2024.遼寧大連.一模)對于數列4即&2?3@6乂1=1,2,3),定義“7變換”：T將數列A變換成數列8：

瓦也也，其中“=匕+1—應。=1,2),且/=血一電|.這種“T變換”記作8=T(4),繼續(xù)對數列8進行

“T變換”，得到數列C：C1,C2,C3,依此類推，當得到的數列各項均為。時變換結束.

(1)寫出數列A：3,6,5經過5次“T變換”后得到的數列：

(2)若ai,a2,a3不全相等，判斷數列A：ai,a2,a3不斷的“T變換”是否會結束，并說明理由；

(3)設數列42020,2,2024經過R次“T變換”得到的數列各項之和最小，求k的最小值.

???

5.（2024?遼寧?三模）若實數列｛an｝滿足VnCN*,有％+冊+2>2冊+1，稱數列｛冊｝為“T數列”.

⑴判斷飆==是否為“T數列”，并說明理由；

（2）若數列｛④｝為“T數列”，證明：對于任意正整數及巾，出且kVmV",都有馬）純子

n—mm—k

2024

（3）已知數列｛冊｝為“T數列”，且〉2氏=。?令M=max｛|Qi|」Q2024]｝,其中max｛a,b｝表示a,b中的較大

i=i

者.證明：Vke｛1,2,3,--,2024｝,都有—券|河《念《河.

6.（2024?廣東深圳?二模）無窮數列m，…，M，…的定義如下:如果n是偶數，就對n盡可能多次地除以

2,直到得出一個奇數,這個奇數就是狐；如果"是奇數，就對3%+1盡可能多次地除以2,直到得出一

個奇數，這個奇數就是冊.

（1）寫出這個數列的前7項；

⑵如果冊=771且a根=求？71,71的值；

（3）記a?=f（n）,nEN*,求一個正整數n,滿足</（/（n））VY/（/（…/⑺…

2024個/

???

7.（2024.遼寧.二模）如果數列｛琢｝，｛%｝，其中為6Z,對任意正整數"都有|4—點，則稱數列｛久｝為

數列｛g｝的“接近數列”.已知數列｛0｝為數列｛冊｝的“接近數列”.

⑴若冊=2n+日（71CN*）,求bl,b2,b3的值；

（2）若數列｛%｝是等差數列,且公差為d（dGZ），求證:數列｛bn｝是等差數列；

（3）若數列｛“｝滿足電=得，且an+1=-^-an+條,記數列｛冊｝、值｝的前幾項和分別為Sn,Tn,試判

-LUUJ.UNU

斷是否存在正整數打，使得S.VT；?若存在，請求出正整數八的最小值;若不存在,請說明理由.（參考

數據：log_2_詈-16.7）

8.（2023?山西?模擬預測）對于數列｛飆｝,若存在M>0,使得對任意4GN*,總有匯加+i—<7，則稱

k=l

｛冊｝為“有界變差數列”.

（1）若各項均為正數的等比數列｛冊｝為有界變差數列,求其公比q的取值范圍；

（2）若數歹U｛bj滿足勾+1+十=2,且優(yōu)=2,證明：｛0｝是有界變差數列；

（3）若｛為｝,｛勿｝均為有界變差數歹U,且為>%>0,證明：（叁4是有界變差數列.

??

9.(2024?江西上饒二模)對于數列入:的42,03a6乂1=1,2,3),定義“9變換”：尸將數列入變換成數列口:

仇也也，其中仇=|&-a/(i=l,2),且63=展一向|.這種“尸變換”記作8=F(⑷，繼續(xù)對數列8進行

“尸變換”，得到數列C：C1,C2,C3,依此類推，當得到的數列各項均為0時變換結束.

(1)寫出數列A2,5,3,經過6次“F變換”后得到的數列；

⑵若aiQO不全相等，判斷數列入：的42?3經過不斷的變換”是否會結束，并說明理由；

(3)設數列4185,3,188經過％次“F變換”得到的數列各項之和最小，求看的最小值.

10.(2024.河北石家莊.二模)設集合M是一個非空數集,對任意x,yG河,定義p(x,y)=上—引，稱p為集合

M的一個度量,稱集合M為一個對于度量P而言的度量空間，該度量空間記為(M,p).

定義1：若九M-M是度量空間(河,p)上的一個函數，且存在aC(0,1),使得對任意力,4C河,均有：p

(/(⑼，/(4))&&。3，夕)，則稱/是度量空間(河，。)上的一個“壓縮函數”.

定義2：記無窮數列a0,ai,a2,…為｛飆｝獸。，若｛冊｝獸。是度量空間(M,p)上的數列，且對任意正實數￡>

0，都存在一個正整數N,使得對任意正整數小,九>N,均有。(為“冊)<￡,則稱｛冊上二是度量空間(M,

p)上的一個“基本數列”.

(1)設/(工)=尤1!力+9,證明：/是度量空間上的一個“壓縮函數”；

(2)已知九R~R是度量空間(_R,p)上的一個壓縮函數，且劭W兒定義M+i=/(an),九=0,1,2,…，證明:

｛冊｝著為度量空間(Rp)上的一個“基本數列”.

??

題型三集合新定義綜合

1.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習）已知集合皿?=｛a；eN*|cW2n｝5CN*,n>4）,若存在數陣7=

"J'"滿足:①｛如02,…,冊｝U｛仇也,…也｝=Mn；②瓢一1）卜=k（k=1,2,???,n）；則稱跖為“好

-仇,匕2,,,,,匕九-

集合”，并稱數陣T為塢的一個“好數陣”.

（1）已知數陣T=15儀切］是昭的一個好數陣，試寫出小小z,w的值；

.7,3,2,2.

（2）若集合Mn為“好集合”，證明:集合“的“好數陣”必有偶數個；

（3）判斷M是否為“好集合”.若是,求出滿足條件"6｛出42,…,飆｝的所有“好數陣”;若不是，說明理

由.

2.（2024?廣東?模擬預測）已知集合y1中含有三個元素多,4,2,同時滿足①①<沙<z；②a;+v>z；③c+夕

+z為偶數,那么稱集合A具有性質P.已知集合Sn=｛1,2,3,???,2n｝（nCN*,n>4）,對于集合Sn的非空

子集8,若S”中存在三個互不相同的元素a,b,c,使得a++c,c+a均屬于B,則稱集合B是集合S”

的“期待子集”.

（1）試判斷集合A=｛1,2,3,579｝是否具有性質P,并說明理由；

（2）若集合B=｛3,4,a｝具有性質P,證明:集合8是集合S」的“期待子集”；

（3）證明:集合"具有性質P的充要條件是集合"是集合S”的“期待子集”.

???

3.(2024.北京延慶.一模)已知數列{%},記集合T={S(iJ)|s(ij)=劣+a.+…+a”&i</,i,j6N*).

(1)若數歹U{%}為1,2,3,寫出集合T；

⑵若冊=2n,是否存在i,7CN*,使得S(i#)=512?若存在，求出一組符合條件的i,/；若不存在,說明理

由；

(3)若冊=n,把集合T中的元素從小到大排列，得到的新數列為仇也,若黑42024,求7n的最

大值.

4.(2024.湖南邵陽.二模)給定整數n>3,由九元實數集合P定義其隨影數集@={|/—"leyeR/Wy}.

若min(Q)=1,則稱集合P為一個n元理想數集,并定義P的理數t為其中所有元素的絕對值之和.

(1)分別判斷集合S={—2,—1,2,3},T={-0.3,-1.2.2.1,2.5)是不是理想數集；(結論不要求說明理由)

⑵任取一個5元理想數集P,求證：|min(F)|+|max(P)|>4；

⑶當P={現電，…,x202i}取遍所有2024元理想數集時,求理數t的最小值.

注：由ri個實數組成的集合叫做?1元實數集合，max(P),min(P)分別表示數集P中的最大數與最小數.

5.（2024.北京.模擬預測）已知集合人={1,2,3,…，"}，其中n€N*,AX,A2,…，4n都是人的子集且互不相

同，記皿=4的元素個數，%=（AA4）的元素個數（iJG{i,2,

⑴若九=4,4={1,2},4={1,3},縱3=購=1,直接寫出所有滿足條件的集合4；

（2）若九=5,且對任意1WiV，Wm,都有N戶。，求m的最大值；

（3）若%＞7，MW3（i=l,2,…,m）且對任意1Wi＜，Wm,都有%=L求m的最大值.

6.（24-25高三上?河北滄州?階段練習）已知有限集A={的“2?3「一,冊}（九＞2）,若人中的元素

a4i=l,2,…,8）滿足CZQ…%=S+a2H-kM，則稱A為“門兀重生集”.

（1）集合{0，是否為“2元重生集”，請說明理由;

乙乙）

（2）是否存在集合中元素均為正整數的“3元重生集”？如果有，請求出有幾個，如果沒有,請說明理由；

（3）若OiCN*,證明：“n元重生集”A有且只有一個，且n=3.

7.（23-24高三上?北京昌平?期末）已知Q:QS2,…，耿為有窮正整數數歹!J，且的&。2&…C&，集合X=

{-1,0,1}.若存在①2弋X,i=l,2,…#，使得gai+ga2H-^^=力，則稱力為k一可表數，稱集合7=

{tIt=x1a1+x2a2-\--卜力能丁為eX,i=l,2,…，k}為k—可表集.

（1）若k=10s=2i,i=l,2,…#，判定31,1024是否為卜一可表數，并說明理由；

⑵若{1,2,…,n}GT,證明鱉廣;

（3）設a2=3'T,i=1,2,…，k,若{1,2,…,2024}GT,求k的最小值.

8.（23-24高三下?北京?階段練習）設A是正整數集的一個非空子集,如果對于任意比C4,都有t—1eA

或力+ieA,則稱A為自鄰集.記集合An={l,2,?,"}S>2,neN）的所有子集中的自鄰集的個數為

Q九.

（1）直接寫出4的所有自鄰集；

（2）若n為偶數且71>6,求證：人”的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數是偶數；

（3）若>4,求證：冊W2冊

???

9.（24-25高三上?四川瀘州?階段練習）已知正整數集合S0={X|X=（*i，力2,…，型），{O,l},i

=1,2,-??,n}.對于Sh中的元素A=（°i，02,…，QJ，8=（仇，慶，…也），定義入出二口也+的與+…

+a7bl.令7；={xesMx?x=3}.

（1）直接寫出16的兩個元素及或的元素個數；

（2）已知4,4,…，4ne或，滿足對任意i<i都有44=1，求館的最大值；

（3）證明:對任意4,4,…，4+ieTn，總存在+使得Ai,Aj=1.

10.（2024?北京豐臺?一模）已知集合={cGN*,W2n}（nCN,n>4）,若存在數陣T=

Q1…冊］滿

02/灑足：

①{Q1Q，…，為}U{仇也，…也}=跖；

②（1卜—1）卜=k（k=L2,…,n）.

則稱集合“為“好集合”，并稱數陣T為跖的一個“好數陣”.

⑴已知數陣T=［VZ］是此的一個“好數陣”，試寫出以y,z,w的值；

_7w12.

（2）若集合Mn為“好集合”，證明：集合跖的“好數陣”必有偶數個；

⑶判斷監(jiān)⑺=5,6）是否為“好集合”.若是,求出滿足條件nC{SQ,…,詼}的所有“好數陣”;若不

是，說明理由.

??

題型四平面向量新定義綜合

1.（21-22高一下?北京豐臺?期末）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，對任意兩個向量方=（如協），n

=（g,紡），作曲=歸，而=日.當慶，行不共線時，記以OAf,ON為鄰邊的平行四邊形的面積為

S（m,n）=限以一電加；當沆,一共線時，規(guī)定S（流日）=0.

（1）分別根據下列已知條件求S（左⑹：

①后=（2,1）,日=（-1,2）；②后=（1,2）,n=（2,4）；

（2）若向量/=4晶+〃日（4〃6凡#+//2￥0），求證:S依詞+S（p,n）=（|/l|+|//|）S（m,n）；

（3）若48,。是以。為圓心的單位圓上不同的點，記方=4,OB=b,OC=c.

⑴當日時，求S0㈤+S0E）的最大值；

（ii）寫出S（a,b）+S（6,c）+S（c,a）的最大值.（只需寫出結果）

???

2.(21-22高一下?山東日照?期末)已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，定義非零向量而=(a,b)的

"相伴函數"為y=asinrc+bcosx(xGR),向量OM=(a,b)稱為函數0=asinrc+bcosx(xGR)的“相伴

向量”;記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S

(1)已知aER,h(x)=cos(a;+a)+2cos若函數%(rr)為集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值

范圍；

(2)已知點M(a,b)滿足條件：a=3,0<bWA/^,若向量OM的"相伴函數""=g(x)在①=g處取得最

大值，當b在區(qū)間(0,四］變化時，求tan2&的取值范圍；

(3)當向量而=(四,1)時，“相伴函數”為了(⑼,若cG［0,皆］,方程產(⑼+(2—a)f(x)+a—3=0存

在4個不相等的實數根,求實數a的取值范圍.

??

ai飛、

3.(2024.全國.模擬預測)設有八維向量4=:b==，稱[a,b]=Q/i+a262T--FQ也為向量4和1的

1Q九)Ibn)

內積，當位同=0,稱向量4和1正交.設S九為全體由一1和1構成的71元數組對應的向量的集合.

rn

9

(1)若4=，寫出一個向量|使得［a,b］=0.

3

、4,

⑵令B={［落艮Jes”}.若me_8,證明：m+n為偶數.

⑶若n=4,/(4)是從S,中選出向量的個數的最大值,且選出的向量均滿足［4,同=0,猜測/⑷的值,

并給出一個實例.

??

4.（23—24高一下?福建福州?期中）對于向量集｛尻蒞，…總｝（7iCN且n>3）,記向量Sn=房+扇+…，晨】

+an.如果存在向量裁pC｛1,2,3,…,n｝），使得硝>同―編，那么稱乙，是向量集｛貳W，…,誦的“長

向量”.

⑴設向量％=⑺逃+27i）,"CN*.若扇是向量集｛貳豆，扇｝的“長向量”，求實數工的取值范圍；

（2）設向量4=（sin等,cos等），"CN*,則向量集｛房，六…，匚｝是否存在“長向量”？給出你的結論并

說明理由；

（3）已知石，豆,區(qū)均是向量集｛房芯,易｝的“長向量"，其中尻=（sinrr,cosrr）,a2=（2cosc,2simr）.設在平

面直角坐標系xOy中的點集｛B4,…,2｝,其中至=6,證=五，且P2k+1與為人關于點Pi對稱，Et+2

與P2k+1關于點￡對稱（ReN*）,求|豆藐藍|的最小值.

???

5.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習）我們知道,在平面內取定單位正交基底建立坐標系后,任意一個平

面向量，都可以用二元有序實數對（出42）表示.平面向量又稱為二維向量.一般地，八元有序實數組

（如,a”…,心）稱為八維向量，它是二維向量的推廣.類似二維向量，對于打維向量,也可定義兩個向量的

數量積、向量的長度（模）等：設立=（a1）a2,,b=（仇也,…也），則4?X=（?Q,…?

（仇也，…也）=aibi+a2b2H|-anfen；|a|=---F成.已知向量日=（a1）a2,-??,0?）滿足冊=日，向

量擊=（必也,…也）滿足⑥=2".

⑴求日了的值；

Qn+12>22eJ2Z

⑵若A=（C?2,…,品），其中cn=In，當?且?N*時，證明：同>五?

6.（22—23高一下?北京?階段練習）對于向量X°=（劭也,/）,若a。，加，&三數互不相等，令向量Xm=

（應+i也+i,q+i），其中aM=\ai~b\,bi+1=,ci+1=l^-aj,i=0,l,2,3,?-?.

⑴當Xo=（5,2,1）時，試寫出向量Xi。。；

（2）證明:對于任意的iCM向量不中的三個數a”如q至多有一個為0；

⑶若aoMgCN,證明：存在正整數3使得Xt=X‘+3.

???

7.（22-23高一下?北京東城?期末）對于三維向量ak=（即外，%）（秋,以，為€N,k=0,l,2,…）,定義"尸變

換“：&+1=R（Q。，其中，曲+1=\xk~yk\yVk+l=\Vk-zk\yzk+l=\Zk~Xk\?記｛ak）=xkVkzk9llafcll~xk~^~Vk

+〃?

⑴若由=（3,1⑵，求〈正）及底11；

（2）證明:對于任意房，經過若干次尸變換后,必存在KGN*,使〈品）=0；

（3）已知房=（p,2,q）（q>p）,|腐||=2024,將￡再經過7n次F變換后，|扁||最小，求館的最小值.

8.(23—24高三下?湖南常德?階段練習)對于給定的正整數n,記集合R"=

{灑4=(如/2,g,???,4),叼￡凡/=1,2,3,…,n},其中元素4稱為一個八維向量.特別地，6=(0,0,—,0)稱

為零向量.設kGR,a—(Q1Q,…g)eRn，辰=(4也,…也)GA",定義加法和數乘：ka=

(kai，ka2,…,kaQ,4+6=(a1+b1,a2+b2,,,,,an+6n).對一組向量尻,a2,,Zs(sGN+，s＞2)，若存在一組

不全為零的實數自，無，…，鼠，使得卜有+自房+…+鼠2=6,則稱這組向量線性相關.否則,稱為線性無

關.

(1)對n=3,判斷下列各組向量是線性相關還是線性無關,并說明理由.

①2=(1,1,1),￡=(2,2,2)；

②a=(1,1,1)，B=(2,2,2),7=(5,1,4).

(2)已知落線性無關,判斷方+濟￡+落方+聲是線性相關還是線性無關，并說明理由.

(3)已知小(?。?)個向量Z,房，…，襦線性相關，但其中任意巾-1個都線性無關，證明：

①如果存在等式自Z+k2房H卜km襦=6(鼠eR,i=1,2,3,-??,m),則這些系數自，k2,…，k根或者全

為零，或者全不為零；

②如果兩個等式自房+k2O2H----卜除區(qū)＞=6,I布+l2a2H----FZ”疝X=百(總e_R,〃C_R,i=l,2,3,…，m)

同時成立，其中廿0,則與=書=”?=”

(1‘2Im

???

9.（23—24高二下.江蘇淮安.階段練習）九個有次序的實數a1，。2,…，M所組成的有序數組（QI,Q2,…,QQ

稱為一個九維向量，其中?（i=1,2…,？1）稱為該向量的第i個分量.特別地，對一個維向量2=

（Q1Q,…,冊），若［Q』=l（i=l,2,…,九），稱五為九維信號向量.設日=（Q1Q,…,Qn）,b=（瓦,甌…也）2則

n

4和b的內積定義為4?匕=220也,且4_Lb^a-b=Q.

i=l

（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；

⑵證明：不存在10個兩兩垂直的10維信號向量；

（3）已知k個兩兩垂直的2024維信號向量石，R…，耳滿足它們的前小個分量都是相同的,求證：

Vkm<45.

???

10.(20—21高一下.北京?期中)我們學過二維的平面向量，其坐標為日=(撲功仁GR,k=l,2),那么對于

n(nE7V*,n>2)維向量，其坐標為>=電,辦…,益)86耳卜=1,2,…,n).設n(n￡N*,n>2)維向量的所

有向量組成集合4九=同2=(撲表2,…小)m6外力=1，2,…,n}.當方=

⑸右,…力)(友?{0,。#=1,2,…,72)時，稱為4的“特征向量”，如A2=[a\a=(t1,t2),tkeR,k=l,2}的

“特征向量”有質=(0,0),房=(0,1),&=(1,0),&=(1,1).設》=(Xi,x2,和彼=(%,紡，…,外)為

4的“特征向量”,定義同川=[[(g+%—山—加)+但+紡―同一統(tǒng)|)H----\-{xn+yn—|x?—yn|)].

⑴若落mG4,且才=(1,1,0),%=(0,1,1),計算應國，同司的值；

⑵設且B中向量均為4的“特征向量”，且滿足：\/乙己68,當日=8時，B，同為奇數;當日w片

時，同同為偶數.求集合B中元素個數的最大值；

⑶設BG4dCN*,7i>2),且口中向量均為4的“特征向量”，且滿足：v落8且日片彼時，同同

=0.寫出一個集合8,使其元素最多，并說明理由.

??

題型五立體幾何新定義綜合

1.（22—23高三上?河北?階段練習）已知a=,b=@跖溝），c=（小統(tǒng)用），定義一種運算:

（axb）-c=C1U2Z3+x2y3z1+x3yAz2——x2yIZ3—x3y2z1,在平行六面體ABCD—AXBXCXDX中，AB

=（1,1,0）,AD=（0,2,2）,封=（1,—1,1）.

（1）證明：平行六面體ABCD-ABGA是直四棱柱；

（2）計算|（Mx益）并求該平行六面體的體積，說明|（國x國）?高|的值與平行六面體

ABCD-體積的關系.

???

2.(22-23高二上?北京?期中)“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀由赫爾曼?閔可夫斯基提出來

的.如圖是抽象的城市路網，其中線段的同是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網中，我們

只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用d(AB)表示，又稱

“曼哈頓距離”，即d(A,B)=\AC\+|CB|,因此“曼哈頓兩點間距離公式”:若4%%)，號(附,紡)，則

=\x2-xr\+\y2-yr\

(1)①點A(3,5),8(2,—1),求d(A,B)的值.

②求圓心在原點,半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.

(2)已知點B(1,O),直線2]—4+2=0,求3點到直線的“曼哈頓距離”最小值；

⑶設三維空間4個點為4=(?,%,&),i=123,4,且如為，z’C{0,1}.設其中所有兩點“曼哈頓距離”

的平均值即％求3最大值，并列舉最值成立時的一組坐標.

???

3.（20-21高一下?福建泉州?期末）球面三角學是球面幾何學的一部分，主要研究球面多邊形（特別是三角

形）的角、邊、面積等問題，其在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應用.定義:球的直徑的兩個端點

稱為球的一對對徑點;過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓;對于球面上不在同一個大圓上的點

A,B,C,過任意兩點的大圓上的劣弧最，BC,&所組成的圖形稱為球面△ABC,記其面積為

S球面AABb易知:球的任意兩個大圓均可交于一對對徑點，如圖1的/和；若球面上A,8,C的對徑點

分別為4,⑶，G,則球面/\A'B'C與球面△4BC全等.如圖2,已知球O的半徑為R,圓弧崩和布

所在平面交成的銳二面角8-AO-C的大小為a,圓弧溫和晶所在平面、圓弧CA和&所在平面

交成的銳一面角的大小分別為0,7.記S（a）=S球面4^0+S球面△A，BC+S球面2VJBO+S球面

圖1圖2

（1）請寫出S（兀），S居），S管）的值，并猜測函數S（a）的表達式；

⑵求S球面^^^/用a,7,R表不）.

??

4.(22—23高二上?上海徐匯?期中)設P為多面體"的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為1

-(NQFQ2+32PQ3+…+NQ—PQA+NQ/Qi)，其中Q?(i=1,2,…，A;,A;>3)為多面體M的所

2兀

有與點P相鄰的頂點，且平面Q1PC>2，平面QzPOs，…，平面Qk-^PQk和平面Q『Q