《大學物理(下冊)》課件-第13章

第13章波動13.1波動的基本概念13.2平面簡諧波的波函數13.3-波的能量13.4波的疊加、干涉和駐波13.5惠更斯原理和波的衍射13.6多普勒效應13.7平面電磁波本章小結習題

13.1波動的基本概念13.1.1機械波的形成機械振動在彈性介質(固體、液體或氣體)內傳播就形成了機械波。這是因為在彈性介質中各質點間是以彈性力相互作用著的,若介質中某一質點A因受外界擾動而離開其平衡位置,其鄰近質點將對它施加彈性恢復力,使它回到平衡位置并在平衡位置附近作振動;與此同時,當A偏離其平衡位置時,A鄰近的質點也受到A所作用的彈性力,迫使鄰近質點也在自己的平衡位置附近振動起來。

這樣介質中一個質點的振動會引起鄰近質點的振動,以此類推,鄰近質點的振動又會引起較遠質點的振動,于是振動就由近及遠地傳播出去,形成波動。

由此可見,機械波的產生依賴兩個條件:作為激發(fā)擾動的波源和能夠傳播這種機械振動的介質。波動有如下特征:

(1)波動只是振動狀態(tài)的傳播,介質中各質點僅在各自的平衡位置附近振動。因為振動狀態(tài)可以用振動的相位來描述,所以也可以說波動是相位的傳播。

(2)波動形成時,介質中各質點將依次振動,這是因為不同位置的兩質點在振動的步調上存在一個時間差,即兩質點的振動有相位差,離波源較遠的點的振動相位要相對滯后。

(3)振動傳播過程中,質點的振動和介質的形變均以一定的速度向前傳播,波動伴隨著能量的傳播。

13.1.2波動的分類

1.橫波與縱波

按照質點振動方向和波的傳播方向之間的關系,機械波可分為橫波與縱波兩種基本模式。若質點振動方向與波的傳播方向相互垂直,這種波稱為橫波;若質點的振動方向與波的傳播方向相互平行,這種波稱為縱波。

2.平面波與球面波

在波動過程中振動相位相同的點組成的面稱為波陣面或波面。在某一時刻,最前面的波面稱為波前。代表波的傳播方向的直線叫做波線。在各向同性的介質中波線總是與波面垂直。

波面為球面的波動稱為球面波,波面為平面的波動稱為平面波,如圖13.1所示。在各向同性的均勻介質中,點波源激起球面波。無論何種波源,在離波源較遠處,其波面上的某一個局部總可以近似看成是一個平面,因此離波源較遠的波一般都可近似認為是平面波。例如太陽發(fā)出的光波應該是球面波,但是當照射到地球上時,可以把它近似看做平面波。圖13.1平面波與球面波

3.簡諧波與非簡諧波

若波源作簡諧振動,則介質中各質點也作簡諧振動,這時的波動稱為簡諧波。簡諧波是最簡單的波。若波源的振動不是簡諧振動,則它產生的波為非簡諧波。本章中主要討論簡諧波。非簡諧波可看成簡諧波的疊加。

13.1.3-描述波動的物理量

1.波長在同一波線上兩個相鄰的、相位差為2π的振動質點之間的距離稱為波長,用λ表示。因為相位差為2π的兩質點其振動步調完全一致,所以波長就是一個完整波形的長度,反映了波動這一運動形式在空間具備周期性特征。對于簡諧橫波,波長等于兩相鄰波峰之間或兩相鄰波谷之間的距離;對于簡諧縱波,波長等于兩相鄰密部中心之間或兩相鄰疏部中心之間的距離。

2.波的周期

波前進一個波長的距離所需要的時間稱為波的周期,用T表示。周期的倒數稱為波的頻率,用ν表示。當波源作一次完全振動時,波動就傳播一個波長的距離,所以波的周期(或頻率)等于波源的振動周期(或頻率)。一般來說,波的周期(或頻率)由波源決定,而與介質性質無關。波在不同介質中傳播時頻率不變,而波長要改變。

3.波速

單位時間內某一振動狀態(tài)傳播的距離稱為波速,這一速度就是振動相位的傳播速度,故也稱為相速度,用u表示。波速的大小取決于介質的性質,在不同的介質中波速是不同的。波速是振動狀態(tài)的傳播速度,而不是介質中質點的振動速度,兩者是截然不同的兩個概念。

在一個周期內,波前進一個波長的距離,波速u和波長λ及周期T(或頻率ν)的關系為

13.2平面簡諧波的波函數13.2.1波函數概述1.波函數的概念

機械波是彈性介質內大量質點參與的一種集體運動形式,這種運動形式可以用數學函數式來描述。以沿x軸方向傳播的一維橫波為例,若要描述它,就應該知道x處的質點在任意時刻t的位移y,而位移y顯然是空間坐標x和時間坐標t的函數,即這個描述波動的函數稱為波函數,又叫波動表達式。

2.平面簡諧波的波函數

當簡諧波傳播時,介質中的各個質點都作簡諧振動,若其波陣面是平面,就稱為平面簡諧波。在理想的無吸收的均勻無限大介質中,如果有一個平面上的質點都同相位地作同頻率且同方向的簡諧振動,這種振動就會沿垂直于平面的方向傳播而形成空間的行波。因為同一波陣面上各點的振動狀態(tài)相同,所以在研究平面簡諧波傳播規(guī)律時,只要討論與波陣面垂直的任意一條波線上波的傳播規(guī)律即可。

設平面簡諧波沿x軸正方向傳播,波速為u。取任意一條波線為x軸,并取O作為坐標原點,如圖13.2所示。已知原點處(即x=0處)質點作簡諧振動,其振動表達式為

式中,y0表示O點處質點離開其平衡位置的位移?，F在考察波線上另一任意點P處質點的運動情況,P點的橫坐標為x。

若波在無吸收的均勻無限大介質中傳播,則P點處的質點將以相同的振幅和頻率重復O點處質點的振動,但時間要晚一點。振動從O點傳播到P點所需時間Δt=x/u,因而O點t-x/u時刻的振動狀態(tài)在t時刻傳播到P點。這就是說,P點處質點在t時刻離開平衡位置的位移y(x,t),等于O點處質點在t-x/u時刻離開平衡位置的位移,即有圖13.2平面簡諧波的波函數

利用關系式ω=2π/T和u=λ/T,沿x軸正方向傳播的簡諧波的波函數還可以寫成下列形式:

如果簡諧波是沿x軸負方向傳播的,那么P點處質點的振動在步調上要超前于O點處質點的振動,所以只要將式(13-2)中的負號改為正號即可得到相應的波函數,即

13.2.2波函數的物理意義

平面簡諧波的波函數是一個余弦函數,含有x和t兩個自變量。從式(13-3)可以看出,波函數在時間上和空間上都具有周期性特征,即滿足

上面兩式可作為平面簡諧波的周期和波長的定義式。波的周期T和波長λ是表征波動的時間周期性和空間周期性的物理量。

若想觀察在給定時刻介質中各質點的位移情況,則將給定時刻t=t0代入波函數,得到y只是x的周期函數,并可得此時(t=t0時刻)波線上各個不同質點的位移。將這個余弦函數用圖表示出來就得到波形圖。波形曲線的“周期”為λ。一峰一谷為一個“完整波形”,其長度就是波長。如果t取不同值,則波函數給出不同時刻的波形圖。圖13.3中分別繪出了對應t0時刻和t0+Δt時刻的波形圖,它反映了波動過程中波形的傳播。圖13.3-簡諧波的波形

【例13.1】(1)有一平面簡諧波以波速u=4m/s沿x軸正方向傳播,已知位于坐標原點處的質點的振動曲線如圖13.4(a)所示,求該平面簡諧波函數。

(2)有一平面簡諧波以波速u=4m/s沿x軸正方向傳播,已知t=0時的波形如圖13.4(b)所示,求該平面簡諧波函數。圖13.4例13.1圖

13.3-波的能量

13.3.1波的能量分布我們以如圖13.5所示的簡諧縱波在棒內傳播為例來進行分析。設介質的密度為ρ。當平面簡諧波圖13.5波的能量

在介質中傳播時,介質中坐標為x,體積為dV的介質元的振動速度為

則介質元的振動功能為

可以證明,介質元dV的彈性勢能

介質元的總機械能為其振動動能與彈性勢能之和,即

簡諧振動系統的機械能是守恒的,因為振動系統為孤立的保守系統。波動中的介質元屬于開放系統,與相鄰的介質元有能量交換,因此它的機械能不守恒。對于某一介質元來說,它不斷地從后面的介質獲得能量,又不斷地把能量傳遞給前面的介質,這樣能量就隨著波動向前傳播,所以說波動是能量傳遞的一種方式。

式(13-8)指出,波動中不同位置的質元具有不同的能量。為了描述波動中的能量分布,引入了能量密度的概念,把單位體積介質中波的能量稱為波的能量密度,用w表示。由式(13-8)可得

可見,波在空間任一點處的能量密度也是隨時間變化的,通常取其在一個周期內的平均值稱為平均能量密度,記做,則

即對于確定的彈性介質,平均能量密度與波的振幅的二次方成正比。這個結論具有普遍意義,它不但對簡諧彈性縱波成立,對于其他彈性波也同樣適用。

圖13.6平均能流與能流密度

單位時間內垂直通過單位面積的平均能量,稱為能流密度或波的強度,用I表示,即

能流密度的單位是W·m-2,也可以將能流密度表示為矢量,它的方向代表能量的傳播方向,即波速方向。因此能流密度的矢量式可寫成

13.4波的疊加、干涉和駐波

13.4.1波的疊加原理當幾列波在介質中傳播時,無論是否相遇,每列波都保持自己原有的振動特性(如頻率、波長、振動方向等),并按自己原來的傳播方向繼續(xù)前進,不受其他波的影響,這叫波傳播的獨立性原理。

13.4.2波的干涉

幾列振幅、頻率、相位等均不同的波,在空間某一點合成時的情況較為復雜?，F在我們考察一種簡單而又重要的情況,即兩列頻率相同、振動方向相同、相位相同或相位差恒定的波在空間傳播。滿足這些條件的兩列波在空間某點相遇時,該點的兩個分振動也有恒定的相位差,但是對于空間不同的點,這一相位差不同,因此其合振幅也將逐點不同。

在兩列波相遇的區(qū)域,有一些點其合成振動始終加強,有一些點其合成振動始終減弱,這種現象叫做波的干涉現象。滿足上述條件的兩列波稱為相干波,其波源稱為相干波源。下面我們討論干涉現象的加強和減弱的條件。

如圖13.7所示,設有兩個振動方向均垂直于紙面的相干波源S1和S2,振動方程分別為圖13.7波的干涉

式中,ω為兩波源的角頻率,A1和A2為波源的振幅,φ1和φ2分別為兩波源的初相。如果這兩個波源發(fā)出的波在同一介質中傳播,它們的波長均為λ,不考慮介質的能量吸收,設兩列相干波分別經過r1和r2的距離后在P點相遇,則它們在P點的振動表達式分別為

P點的合成振動為

式中,A為合振動的振幅,φ為合振動的初相。聯系前面學過的同方向同頻率振動的合成式(1219),合振動的振幅A為可表示為

式中

為兩個相干波在P點所引起的兩個振動的相位差。

對空間不同的點,若Δφ不同,則合成的結果就不同。當相位差Δφ滿足下述條件

時,合成結果加強,合振幅最大,這時A=A1+A2。當Δφ滿足

時,合成結果減弱,合振幅最小,這時A=|A1+A2|。

如果φ1=φ2,即對于初相相同的相干波源,則上述條件可簡化為

13.4.3-駐波

兩列振幅相同的相干波相向傳播時疊加而成的波稱為駐波。駐波是波干涉的一種特殊情況,在聲學和光學中有著重要的應用。在有限大小介質內向前傳播的波,垂直入射到兩種介質的分界面時,會發(fā)生反射,反射回來的波和原來向前傳播的入射波合成的結果,就會形成駐波。

1.駐波的形成

如圖13.8(a)所示,設有兩列振幅相同的相干簡諧波,一列向右傳播,另一列向左傳播。設在t=0時,兩波波形相互重疊,合成的波中各點的合位移最大。經過1/8周期后,即t=T/8時,兩波分別向右和向左移動1/8波長的距離,這時各點的合振動位移如圖13.8(b)所示。再經1/8周期后,即t=T/4時,兩波合成抵消,如圖13.8(c)所示。接著出現圖13.8(d)、(e)的合成波形,圖13.8(e)中各點合位移又最大,但位移方向和t=0時情況相反,以后依此類推。

由圖13.8可見,上述兩波疊加后,波線上某些點始終靜止不動,如b、d、f、h等,另一些點振幅取最大值,它等于每列波振幅的兩倍,如a、c、e、g等;其他各點的振幅則在零與最大值之間。始終靜止不動的點叫波節(jié),振幅最大的點叫波腹。圖13.8駐波的形成

駐波可用實驗演示。如圖13.9所示,左邊固定一個音叉,音叉末端系一水平的細繩AB,B點可以左右移動以變更AB間的距離。細繩經滑輪P后,末端懸一重物m,使繩中產生一定的張力。音叉振動時,繩中產生波動向右傳播,到達B點時,在B點反射,產生反射波向左傳播。這樣入射波和反射波在同一繩子上沿相反方向進行。當AB間的距離和重物m的重量大小配置得適當時,在繩中就會產生駐波。圖13.9駐波實驗

2.駐波的波函數

下面對弦線上形成的駐波作定量分析。選擇向x軸正向和負向傳播的簡諧波波形重疊時為計時起點(t=0),并以此時兩列波的波峰為原點O(x=0),則這兩列波的波函數分別為

兩波疊加后,介質中各點的合位移

這就是合成后所得的駐波的波函數。它表明,在某一給定的坐標x處的質點,作振幅為

從駐波的波函數式(13-19)可以看出,波函數中x和t分別出現在兩個因子中,這樣的波函數不滿足

因而波形不傳播。我們把這樣一個“駐扎在弦上的波”形象地稱為駐波。

由式(13-20)可知,當x滿足

時振幅有極大值2A0,滿足式(13-21(a))的點為波腹的位置。當x滿足

時振幅為零,這些點是波節(jié)的位置。由式(13-21(a))和式(13-21(b))可知相鄰兩波節(jié)或波腹間的距離

由式(13-19)還可以看出,當x點使得cos(2πx/λ)>0時,此點振動相位為2πνt,此時對應x'=x+λ/2的另一點,必有cos(2πx/λ)<0,該點與x點反相。因此,若把相鄰兩個波節(jié)之間的各點稱為一段,則同一段上各點的振動同相,而相鄰兩段中各點的振動反相。

3.半波損失

在如圖13.9所示的駐波實驗中,反射點B處的細繩是固定不動的,所以形成波節(jié)。這說明入射波與反射波在此處的相位正好時時相反,即反射波在B點的相位較之入射波躍變了π,相當于波在反射時突然損失(或增加)了半個波長的波程。這種現象稱為半波損失。若波在自由端反射,則在反射點會形成波腹,即無半波損失。

一般情況下,波在兩種介質的分界處反射時,反射波是否存在半波損失,與波的種類、兩種介質的性質、入射角等因素有關。對機械波而言,當入射波垂直入射時,它由介質的密度ρ和波速u所決定。ρu較大的介質稱為波密介質,ρu較小的介質稱為波疏介質。當波從波疏介質垂直入射到波密介質,而在分界面處反射時,反射波有相位π的突變,即有半波損失,分界面處形成駐波的波節(jié);反之,當波從波密介質垂直入射到波疏介質時,無半波損失,分界面處形成駐波的波腹。

【例13.2】如圖13.10所示,兩個相干波源S1和S2相距L=9m,S2的相位比S1超前π/2,波源S1和S2發(fā)出的兩簡諧波的波長λ=4m,問:在S1和S2連線上的各點(包括S1左側、S2右側以及S1和S2之間各點),哪些點兩簡諧波的振動相互加強?哪些點兩簡諧波的振動相互減弱?圖13.10例13.2圖

13.5惠更斯原理和波的衍射

13.5.1惠更斯原理波在各向同性的均勻介質中以直線傳播時,有一個很有趣的現象:當波在傳播過程中遇到障礙物時,會繞過障礙物繼續(xù)傳播。圖13.11表示一列平面水波在通過一狹縫時繞過了兩側的障礙,繼續(xù)向前沿各個方向傳播。波繞過障礙物繼續(xù)傳播的現象稱為衍射。圖13.11水波的衍射現象

設在各向同性均勻介質中有一個點波源O,波在此介質中的傳播速度為u,如圖13.12(a)所示。已知時刻t的波面是半徑為R1=ut的球面S1?；莞拐J為:S1上的各點都可以看做是發(fā)射子波的點波源,子波的波面是以S1上各點為中心,以r=uΔt為半徑的球面,再作公切于這些子波波面的包絡面,就得到t+Δt時刻的新的波面S2。顯然,波面S2是以O為中心,以R1=u(t+Δt)為半徑的球面,它仍以球面波的形式向前傳播。

如果波面在t時刻為平面S1,如圖13.12(b)所示。同樣平面S1的各點可以看做是發(fā)射子波的波源,在下一個時刻t+Δt,這些子波波面的包絡面就是新的波面S2,顯然S2仍為平面,只是向前移動了一段距離r=uΔt,仍然以平面波的形式向前傳播。圖13.12惠更斯原理

13.5.2用惠更斯原理解釋波的衍射現象

如圖13.13-所示,在水中用一塊擋板把水分為兩個區(qū)域,擋板上開有一個口子。當水波傳播到擋板位置時,根據惠更斯原理,開口處的各點可以作為新的子波源,由這些子波源發(fā)出球面子波,繼續(xù)向前面各個方向傳播。這些子波的包跡即為下一個時刻新波面。顯然,新波面的形狀以及波的傳播方向都發(fā)生了很大的變化,這就是衍射現象。圖13.13-用惠更斯原理解釋波的衍射

惠更斯原理適用于任何形式的波動,無論是機械波還是電磁波,無論波是在均勻介質或非均勻介質中傳播,只要知道某一時刻的波前,就可以根據這一原理用幾何作圖法確定下一時刻的波前。

與干涉一樣,衍射現象也是波動的一個重要特征。但是,衍射現象顯著與否與障礙物的大小有關,當波長遠大于障礙物的線度時,衍射現象很不明顯,僅當障礙物的線度與波長差不多時,才會出現明顯的衍射現象。

13.6多普勒效應

迄今為止,我們所討論的都是波源與觀察者相對于介質靜止的情況,所以觀察者接收到的頻率與波源發(fā)出的頻率是相同的。如果波源、觀察者或兩者都相對于介質運動,那么觀察者接收到的頻率與波源發(fā)出的頻率就不相同了,這種現象叫做多普勒效應。在日常生活中可以發(fā)現,當高速行駛的火車鳴笛而來時,人們聽到的汽笛音調變高,即頻率變大;反之,當火車鳴笛離去時,人們聽到的音調變低,即頻率變小。這就是聲波的多普勒效應。

首先要把波源的頻率、觀察者接收到的頻率和波的頻率分清楚:波源的頻率ν是波源在單位時間內振動的次數,或在單位時間內發(fā)出完整波的數目;觀察者接收到的頻率ν'是觀察者在單位時間內接收到的振動次數或完整波數;波的頻率νb則是介質內質點在單位時間內振動的次數,或單位時間內通過介質中某點的完整波數,并且νb=u/λb,其中u為介質中的波速,λb為介質中的波長。這三個頻率可能互不相同,下面分幾種情況進行討論。為簡單起見,只討論波源和觀察者沿著它們的連線相對于介質運動的情況。

(1)波源不動,觀察者相對于介質以速度v0運動。若觀察者在P點向著波源(S點)運動。如圖13.14所示,先假定觀察者不動,波以速度u向著P'傳播,dt時間內波傳播距離為udt,觀察者接收到的完整波數即為分布在距離udt中的波數。現在觀察者是以v0迎著波的傳播方向運動的,dt時間內移動的距離是v0dt,因而分布在距離v0dt中的波也應被觀察者接收到?？傮w來看,在(v0+u)dt距離內的波都被觀察者接收到了,所以觀察者接收到的頻率為

式中,λb為介質中的波長,且λb=u/νb

。由于波源是在介質中靜止的,所以波的頻率νb

等于波源的頻率ν。這樣,上式可寫為

這表明當觀察者向著靜止波源運動時,觀察者接收到的頻率為波源頻率的(1+v0/u)倍,即ν'高于ν。

當觀察者原理波源運動時,通過類似的分析,不難求得觀察者接收到的頻率為

即此時接收到的頻率低于波源的頻率。

(2)觀察者不動,波源相對介質以速度vs運動。當波源運動時,介質中的波長將發(fā)生變化。圖13.15是波源在水中向右運動時所激起的水面波照片,它顯示出沿著波源運動的方向,波長變短了,而背離運動的方向,波長變長了。眾所周知,波長是介質中相位差為2π的兩個振動狀態(tài)之間的距離,而由于波源是運動的,因此它所發(fā)出的這兩個相位差為2π的振動狀態(tài)就是在不同的地點發(fā)出的。圖13.15波源運動時的多普勒效應

如圖13.16所示,假設波源以速度vs向著觀察者運動,則當波源從S1發(fā)出的某振動狀態(tài)經過一個周期T的時間傳到位置A時,波源已經運動到了S2(S1S2=vsT),此時才發(fā)出與該振動狀態(tài)相位差為2π的下一個振動狀態(tài),可見S2與A之間的距離即為此情況下介質中的波長λb。若波源靜止時的波長為λ(=uT),則從圖13.16可見,此時介質中的波長為

或者說,現在波的頻率為

由于觀察者靜止,所以他接收到的頻率就是波的頻率,即v'=vb,因此,觀察者接收到的頻率為

這表明,當波源向著靜止的觀察者運動時,觀察者接收到的頻率高于波源的頻率。

如果波源遠離觀察者運動,通過類似的分析,可求得觀察者接收到的頻率為

此時接收到的頻率低于波源的頻率。圖13.16波源運動的前方波長變短

(3)波源與觀察者同時相對介質運動。

綜合以上兩種情況,可得當波源與觀察者同時相對于介質運動時,觀察者所接收到的頻率為

式中,觀察者向著波源運動時v0前取正號,遠離時取負號;波源向著觀察者運動時,vs前取負號,遠離時取正號。

綜上可知,不論是波源運動,還是觀察者運動,或者兩者同時運動,定性地說,只要兩者互相接近,接收到的頻率就高于原來波源的頻率,兩者互相遠離,接收到的頻率就低于原來波源的頻率。

需要指出的是,即使波源與觀察者并非沿著它們的連線運動,以上所得各式仍然適用,只是其中vs和v0為運動速度沿連線方向的分量,而垂直于連線方向的分量是不產生多普勒效應的。

【例13.3】利用多普勒效應監(jiān)測車速,固定波源發(fā)出頻率為ν=100kHz的超聲波,當汽車向波源行駛時,與波源安裝在一起的接收器接收到從汽車反射回來的波的頻率為110kHz。已知空氣中的聲速為330m/s,求汽車的行駛速度。

第一步:波向著汽車傳播并被汽車接收,此時波源是靜止的。汽車作為觀察者迎著波源運動。設汽車的行駛速度為v0,則接收到的頻率為

第二步:波從汽車表面反射回來,此時汽車作為波源向著接收器運動,汽車發(fā)出的波的頻率即是它接收到的頻率ν',而接收器此時是觀察者,它接收到的頻率為

由此解得汽車行駛的速度為

【例13.4】利用多普勒效應測飛行的高度。飛機在上空以速度vs=200m·s-1沿水平直線飛行,發(fā)出頻率為ν0=2000Hz的聲波。當飛機越過靜止于地面的觀察者上空時,觀察者在4s內測出的頻率由ν1=2400Hz降為ν2=1600Hz。已知聲波在空氣中的速度為u=330m·s-1。試求飛機的飛行高度h。

【解】如圖13.17所示,飛機在4s內經過的距離AB為圖13.17例13.4圖

聲源沿AC、BC方向的速度分別為

由式(13-24)和式(13-25)可得

由式(2)、式(3)分別求出

代入式(1)得

13.7平面電磁波

13.7.1電磁波的產生與傳播欲產生電磁波,敞開的LC振蕩電路是適當的波源之一。理論上已經證明,電磁波在單位時間內輻射的能量與頻率的四次方成正比,即振蕩電路的固有頻率越高,越能有效地把能量輻射出去。但在第10.6節(jié)的封閉LC振蕩電路中,因L和C都比較大,即其固有頻率很低,故不適于作輻射電磁波的波源。

我們可以把電容器極板面積縮小,并把兩極板間的距離拉大,同時減少線圈的匝數并逐漸拉直,最后簡化成一根直導線,如圖13.18所示。這樣敞開的LC振蕩電路可以使電場和磁場分散到周圍的空間。同時,由于L和C的減小,也提高了電路的振蕩頻率,所以只要在直線型電路上引起電磁振蕩,直線型電路的兩端就會出現交替的等量異號電荷,這種改造后的LC振蕩電路叫做振蕩電偶極子。振蕩電偶極子可以作為發(fā)射電磁波的天線,其發(fā)射電路如圖13.19所示。圖13.18提高振蕩電路的固有頻率并開放電磁場的方法圖13.19發(fā)射無線電短波的電路示意圖

下面我們以上述振蕩電偶極子為例說明電磁波的產生與傳播。設振蕩電偶極子的電偶極矩p可表示為

式中,p0是電距的振幅,ω是角頻率。

由于振蕩電偶極子的正負電荷間距不斷地交替變化,因而電場和磁場也隨著時間不斷變化。如果我們把振蕩電偶極子的運動簡化為正、負電荷相對于它們的公共中心作簡諧運動,則其電場線的變化如圖13.20所示。設t=0時,正、負電荷都在圖13.20(a)的原點處。然后正、負電荷分別向上、下移動至某一距離時,兩電荷間的某一條電場線形狀如圖13.20(b)所示。接著,兩電荷逐漸向中心靠近,電場線的形狀也跟隨者變化,如圖13.20(c)所示。

之后它們又回到中心處重合(完成前半個周期的簡諧運動),其電場線便成閉合狀,而隨著兩電荷互易位置,新的電場線出現了,如圖13.20(d)所示。顯然,在后半個周期中,形成了一條與上述回轉方向相反的閉合電場線,如圖13.20(e)所示。由閉合電場線的形成表明,振蕩電偶極子所激發(fā)的電場是渦旋電場。

圖13.20不同時刻振蕩電偶極子附近的電場線

以上只分析了振蕩電偶極子附近電場線的形成過程,而磁場線則是與圖相垂直的閉合曲線。圖13.21畫出了某時刻振蕩電偶極子周圍電磁場的大致分布情況。圖中曲線代表電場線,×和·分別表示穿入紙面和由紙面穿出的磁場線。這些磁場線是環(huán)繞偶極子軸線的同心圓。圖13.21振蕩電偶極子周圍的電磁場

采用如圖13.22所示的極坐標系,振蕩電偶極子位于原點O,其電距p0的方向沿圖中極軸的方向。在半徑為r的球面上取任意點Q,其徑矢r沿波的傳播方向與極軸方向成θ角。計算結果表明:點Q處的電場強度E、磁場強度H和矢徑r三個矢量互相垂直,并形成右手螺旋系,E和H的值分別為圖13.22遠離振蕩電偶極子處的E和H的方向

式中,u為電磁波的傳播速度,它與介質的電容率ε和磁導率μ的關系為

式(13-28)和式(13-29)就是距離振蕩電偶極子足夠遠處的球面電磁波的波函數。

在離開偶極子很遠的地方,小范圍內θ和r的變化很小,E和H的振幅可以看做是常量,于是式(13-28)和式(13-29)可分別寫成

這就是平面電磁波的波函數,波沿Ox軸的正向傳播?？梢?在離偶極子很遠的區(qū)域,電磁波已呈現為平面波。圖13.23是平面電磁波的示意圖。

圖13.23-遠離振蕩電偶極子處E和H的方向

13.7.2平面電磁波的特性

根據以上論述,可將電磁波的特性歸納如下:

(1)電磁波是橫波。由于電場強度E和磁場強度H都垂直于波的傳播方向u,所以電磁波是橫波,E、H和u三者互相垂直,構成右手螺旋系(見圖13.23)。應當指出,

E和H只在各自所處的平面內振動這一特性,稱為橫波的偏振性。所以,電磁波具有偏振性。

(2)E和H同相位。這在式(13-28)、式(13-29)、式(13-31)、式(13-32)中已經表述清楚,即在任何時刻、任何地點E和H都是同步變化的。

(3)E和H的數值成比例。將式(13-28)和式(13-29)相除,即得

(4)真空中電磁波的傳播速度等于真空中的光速。由式(13-30)可見,電磁波傳播速度u的大小取決于介質的性質。對于真空,εr=1,μr=1,所以電磁波在真空中的速度為

將ε0、μ0的數值帶入式(13-34),得電磁波在真空中的速度

這個數值與光在真空中的速度完全相等。在空氣中,由于εr和μr都近似等于1,所以電磁波在空氣中的速度近似等于真空中的光速。

以上結論雖然是從振蕩電偶極子得出的,但它具有普遍性,適用于任何作加速運動的微觀帶點粒子所輻射的電磁波。例如,分子和原子中運動的帶電粒子、加速器中被加速的帶電粒子等所發(fā)射的電磁波(或所發(fā)的光)都具有這些性質。

13.7.3-電磁波的能量

電場和磁場都具有能量,隨著電磁波的傳播,就有能量的傳播,這種以電磁波形式傳播出去的能量叫做輻射能。顯然,輻射能傳播的速度和方向就是電磁波傳播的速度和方向。

按照13.3節(jié)中引入的能流密度的概念,弱電磁場的能量密度為w,則在介質不吸收電磁能量的條件下,單位時間內通過單位截面積的能量(即電磁波的能流密度),用符號S可為

13.7.4電磁波譜

實驗表明,電磁波的范圍很廣,波長沒有上下限的限制,從無線電波、紅外線、可見光、紫外線到X射線和γ射線等都是電磁波。它們的本質完全相同,只是波長(或頻率)有很大差異。由于波長不同,因此它們就有不同的特性,而且產生的方式也各不相同。為了便于比較,人們按照它們的波長大小依次排列成表,叫做電磁波譜(見圖13.24)。圖13.24電磁波譜

在電磁波譜中,波長最長的是無線電波(有人已在地球表面探測到頻率ν=10-2Hz的電磁波,其周期約100s,波長是地球半徑的5000倍)。無線電波又因波長的不同(從幾千米到幾毫米)而分為長波、中波、短波、超短波和微波等。長波在介質中傳播時損耗很小,故常用于遠距離通信和導航;中波多用于航海和航空定向及無線電廣播;短波多用于無線電廣播、電報、通信等;超短波、微波多用于電視、雷達、無線電導航以及其他專門用途。

紅外線的波長在600μm到0.76μm之間,由于它處于可見紅光的外側,故叫紅外線,它可用于紅外雷達、紅外照相和夜視儀上。因為紅外線有顯著的熱效應(亦叫熱波),故可用來取暖,在工農業(yè)生產上常用作紅外烘干等。波長在760nm到400nm之間的波可為人眼感知,叫可見光(一般簡稱為光波)。波長在400nm到5nm之間的叫紫外線,它能引起化學反應和熒光效應。醫(yī)學上常用紫外線殺菌,農業(yè)上可用紫外線誘殺害蟲。紅外線、可見光和紫外線這三部分電磁波合稱為光輻射。

X射線(亦稱倫琴射線)的波長在5nm到0.04nm之間,它的能量很大,具有很強的穿透能力,是醫(yī)療透視、檢查金屬部件內部損傷和分析物質晶體結構的有力工具。

波長最短的是γ射線,波長在0.04nm以下。γ射線的能量比X射線還大,穿透能力也比X射線強,可用來進行放射性實驗,產生高能粒子,還可借助它研究天體、認識宇宙。

需要指出的是,電磁波譜中上述各波段主要是按照產生方式或探測方法的不同來劃分的,隨著科學技術的發(fā)展,不同方式生產的波會有一些共同的波段,從而出現不同波段相重疊的情形。

本章小結

1.基本概念和公式

橫波:質點的振動方向與波的傳播方向垂直的波?？v波:質點的振動方向與波的傳播方向平行的波。波線:代表波傳播方向的直線。波面:相同振動相位的點所組成的平面。波前:在波的傳播方向上最前面的波面。平面波:波面為平面的波

球面波:波面為球面的波。

簡諧波:波源作簡諧振動的波。

非簡諧波:波源不作簡諧振動的波。

波長:在同一波線上兩個相鄰的、相位差為2π的振動質點之間的距離。

波的周期:波前進一個波長的距離所需要的時間。

波速:單位時間內某一振動狀態(tài)傳播的距離。

平面簡諧波的波函數:

波函數的物理意義:在波的傳播過程中,介質中任意質點x在任意時刻t偏離平衡位置的位移。

波的疊加:當幾列波在介質中某點相遇時,相遇處質點的振動將是各列波所引起的分振動的合成。

干涉:在兩列波相遇的區(qū)域,有一些點其合成振動始終加強,有一些點其合成振動始終減弱的現象。

駐波:兩列振幅相同的相干波相向傳播時