18.1.2+平行四邊形的判定（第3課時+三角形的中位線）（教學設計）八年級數(shù)學下冊(人教版)

.1.2平行四邊形的判定（第3課時三角形的中位線）教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務教育教科書?數(shù)學》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第十八章“平行四邊形”18.1.2平行四邊形的判定（第三課時）.這節(jié)課主要學習的內(nèi)容有：1.三角形中位線的概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；3.運用三角形中位線定理進行相關(guān)的計算和證明.2.內(nèi)容解析三角形中位線是三角形中重要的線段，它與三角形的中線不同，教學時需著重引導學生區(qū)分兩者概念.三角形中位線定理揭示了三角形中位線與第三邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，是后續(xù)解決幾何問題，如證明線段平行、計算線段長度的重要依據(jù).該定理的證明方法多樣，可通過構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)來證明，這不僅能加深學生對定理的理解，還能讓學生體會數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想.在實際應用中，三角形中位線定理常與其他幾何知識（如相似三角形、平行四邊形等）綜合運用，培養(yǎng)學生的邏輯思維和解決問題的能力.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：探索并掌握三角形的中位線定理.二、目標和目標解析1.目標（1）理解三角形中位線的概念，掌握三角形中位線定理.（2）應用三角形的中位線定理解決問題．2.目標解析理解三角形中位線的概念，即讓學生明確三角形中位線的定義和構(gòu)成方式，能夠準確識別三角形的中位線.掌握三角形中位線定理，不僅要記住定理的內(nèi)容，還要理解其證明過程和應用條件.在定理的探索過程中，學生通過觀察三角形中位線與第三邊的關(guān)系，提出猜想，然后通過測量、拼圖等操作進行驗證，最后進行邏輯證明，這一系列活動能提高學生的推理能力和自主探究能力.在小組合作中，學生相互交流、討論，共同解決問題，培養(yǎng)合作意識和團隊精神.通過解決實際問題，讓學生感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，增強學習數(shù)學的動力.三、教學問題診斷分析學生可能出現(xiàn)的問題：1.概念混淆：容易將三角形中位線與三角形中線混淆，對兩者的定義和性質(zhì)區(qū)分不清.2.定理理解困難：對于三角形中位線定理中“平行于第三邊且等于第三邊的一半”這一關(guān)系，學生可能難以理解其內(nèi)在邏輯，在證明過程中也可能存在思維障礙.3.應用能力不足：在實際解題中，學生可能無法準確識別題目中可以運用三角形中位線定理的條件，或者不能靈活添加輔助線再運用定理進行推理和計算.基于以上學情分析，確定本節(jié)課的教學難點為：應用三角形的中位線定理解決問題．四、教學過程設計（一）情境引入有一位老農(nóng)夫，他有一塊三角形土地，準備分給四個孩子.如何公平分地才能讓四個人都滿意呢？隨機將四塊地分給四兄弟你有更好的辦法嗎？前面我們研究平行四邊形時，常常把它分成幾個三角形.利用三角形全等的性質(zhì)研究平行四邊形的有關(guān)問題.下面我們利用平行四邊形研究三角形的有關(guān)問題.【設計意圖】通過實際生活中的情境導入新課并設置疑問，激發(fā)學生的求知，感受到數(shù)學知識在生活中處處有數(shù)學.（二）新知探究如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，連接DE.像DE這樣，連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.思考1：一個三角形有幾條中位線？請在△ABC中畫出它所有的中位線.有三條.如圖所示，△ABC的中位線是DE、DF、EF.思考2：三角形的中位線與中線一樣嗎？思考3：如圖，DE是△ABC的中位線，DE與BC有怎樣的關(guān)系？思考4：度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結(jié)論？并用文字表述你的猜想．提出猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．思考5：如何證明你的猜想？證明猜想：如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC邊的中點.求證：DE∥BC，DE=12BC證法1：延長DE到F，使EF=DE．連接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F，AD=CF,∴CFAD,∴BDCF．∴四邊形BCFD是平行四邊形．∴DFBC．又∵DE=12DF∴DE∥BC，DE=12BC證法2：延長DE到F，使EF=DE，連接AF、CF、DC.∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∴CFAD.∴CFBD.∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DFBC．又∵DE=12DF∴DE∥BC，DE=12BC【小結(jié)】三角形問題可以通過構(gòu)造平行四邊形解決.【歸納小結(jié)】三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.思考6：根據(jù)三角形的三條中位線能得到什么結(jié)論？【回顧引入】作出三角形地的三條中位線，由上述推導，即可分出四塊全等的三角形地.【設計意圖】用問題串的方式，層層遞進，引導學生探索并證明中位線定理，鍛煉學生的推理能力，學習規(guī)范、正確的證明過程，培養(yǎng)有條理的思維模式.（三）典例精析一、利用中位線定理求線段長度例1.如圖，D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點．連接DE，過點B作BF平分∠ABC，交DE于點F．若EF=4，AD=7，求BC的長.解：∵D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點，∴DE∥BC，DE=12BC，BD=AD=7∴∠DFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DFB=∠DBF，∴∠DBF=∠FBC，∴DF=BD=7，∴DE=DF+EF=11，∴BC=2DE=22.【小結(jié)】中點→中位線→中位線定理【針對練習】1.如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是邊AB的中點．已知BC＝10，則OE＝____5____.2.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的中點，AC＝4，則EF的長為_____1_____.二、利用中位線定理求角度例2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M，N，P分別是AD，BC，BD的中點，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度數(shù)．解：∵M，N，P分別是AD，BC，BD的中點，∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線.∴PM=12AB，PN=12DC，PM∥AB，PN∥∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形.∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°.∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°.∴∠PMN=(180°?130°)÷2=25°．【針對練習】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，點F在BC上，ED平分∠AEF.若∠C＝70°，則∠EFB的度數(shù)是____110°___.三、利用中位線定理判斷平行四邊形例3.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：連接AC.∵E，F(xiàn)，G，H分別為各邊的中點，∴EF∥AC，EF=12AC，HG∥AC，HG=12∴EF∥HG，EF=HG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.【小結(jié)】順次連接四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.你還有其他方法嗎？【針對練習】如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中點，AB＝5，CD＝7，請判斷四邊形EFGH的形狀，并求出四邊形EFGH的周長．解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中點，AB＝5，CD＝7，∴EF∥AB，EF＝12AB＝2.5，GH∥AB，GH＝12AB∴EF∥GH，EF＝GH.∴四邊形EFGH為平行四邊形．同理可得EH∥FG，EH＝FG＝12CD＝∴四邊形EFGH的周長為2(EF＋EH)＝2×（2.5+3.5）＝12.四、構(gòu)造中位線解決問題問題：如圖，A，B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C，連接AC和BC，怎樣測出A，B兩點的實際距離？根據(jù)是什么？分別取AC和BC的中點M，N，測出MN的長，則AB=2MN.根據(jù)：中位線定理如果，MN兩點之間還有阻隔，你有什么解決辦法？例4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為AB的中點，在AB的延長線上取一點D，使BD＝AB，求證：CD＝2CE.證明：取AC的中點F，連接BF.∵BD＝AB，∴BF為△ADC的中位線，∴DC＝2BF.∵E為AB的中點，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.【小結(jié)】恰當?shù)貥?gòu)造三角形中位線是解決線段倍分關(guān)系的關(guān)鍵．【能力提升】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點O，F(xiàn)，E分別是AC，BD的中點，連接EF，求證：EF＝12(BC－AD證明：連接AE并延長交BC于點M.∵AD∥BM，∴∠ADE＝∠MBE.∵E是BD的中點，∴DE＝BE.∵∠AED＝∠MEB，∴△ADE≌△MBE(ASA).∴AD＝BM，AE＝EM.∵F是AC的中點，∴EF是△ACM的中位線．∴EF＝12CM＝12(BC－BM)＝12(BC【小結(jié)】靈活添加輔助線構(gòu)造中位線模型.【設計意圖】鞏固三角形中位線定理的理解和運用，鍛煉學生的應用意識和證明能力.（四）當堂鞏固1.如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm，AC＝5cm，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，則EF＝(A)A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm2.如圖，在△ABC中，點D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD，垂足為E，點F是AB的中點．若AC＝6，BC＝10，則EF的長為__2__.3.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點．(1)圖中平行四邊形共有_____3_____個；(2)若AB＝10cm，AC＝6cm，則四邊形ADEF的周長為____16______cm；(3)若△ABC周長為6cm，面積為12cm2，則△DEF的周長為_____3_____cm，面積為____3______cm2.4.如圖，D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點．求證：AD與EF互相平分．證明：連接DE，DF.∵D，E分別為BC，AB的中點，∴DE∥AC.同理可得DF∥AB.∴四邊形DFAE為平行四邊形．∴AD與EF互相平分．5.如圖，點O是△ABC內(nèi)一點，連接OB，OC，線段AB，OB，OC，AC的中點分別為D，E，F(xiàn)，G，連接DE，EF，F(xiàn)G，DG.(1)判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由；(2)若∠OBC與∠OCB互余，OE＝3，OF＝4，求線段BC的長．解：(1)四邊形DEFG是平行四邊形．理由：∵E，F(xiàn)分別為線段OB，OC的中點，∴EF