中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專(zhuān)題20幾何變式與類(lèi)比探究綜合問(wèn)題（原卷版）

專(zhuān)題20幾何變式與類(lèi)比探究綜合問(wèn)題（最新模擬40題預(yù)測(cè)）一、解答題1．（2023春·陜西延安·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE．將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)α=0°時(shí)，AEBD=______；②當(dāng)α=180°時(shí)，(2)拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α<360°時(shí)，AEBD(3)問(wèn)題解決△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BD的長(zhǎng)______．2．（2022秋·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【問(wèn)題背景】在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，試探究圖1中線(xiàn)段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是___________．【探索延伸】在四邊形ABCD中如圖2，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=1【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．3．（2023秋·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線(xiàn)上，連接AE．①∠AEC的度數(shù)為_(kāi)_____；②線(xiàn)段AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線(xiàn)上，CM為△EDC中DE邊上的高，連接AE，試求∠AEB的度數(shù)及判斷線(xiàn)段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，點(diǎn)B、D，E在同一條直線(xiàn)上，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EAB+∠ECB的度數(shù)．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）問(wèn)題背景：（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF=60°．探究圖中線(xiàn)段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，先證明探索延伸：（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且5．（2021秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題探究(1)如圖①，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥AC于點(diǎn)E，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_________；(2)如圖②，四邊形ABCD與四邊形EFGH都是正方形，點(diǎn)E、F分別在AC、BC上，連接CH，求證：CF=2問(wèn)題解決(3)為打造宜居環(huán)境，建設(shè)美麗家園，計(jì)劃對(duì)如圖③所示的菱形空地ABCD進(jìn)行綠化改造，菱形ABCD足夠大，∠D=60°，EF是一條水渠，點(diǎn)E、F分別是AB、CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H分別在EF、FC上，點(diǎn)M在菱形ABCD內(nèi)部，現(xiàn)將四邊形GMHF改造成草地，并沿線(xiàn)段FH、FG、FM種植喬木綠化帶，已知GM=HM，∠GMH=60°，GF+HF=40米，且種植喬木綠化帶每米費(fèi)用約為200元（不計(jì)寬度），請(qǐng)計(jì)算種植上述三條喬木綠化帶大約需花多少錢(qián)？6．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校?）問(wèn)題探究：如圖1，在正方形ABCD，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD、AB上，GP⊥AE．①判斷DQ與AE的數(shù)量關(guān)系：DQAE；②推斷：GFAE的值為：（2）類(lèi)比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，BCAB=23．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究（3）拓展應(yīng)用1：如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC、AB上，求DNAM（4）拓展應(yīng)用2：如圖2，在（2）的條件下，連接CP，若BEBF=34，7．（2022秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°（2）問(wèn)題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)50°的角，角的兩邊分別交AB、8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）綜合與實(shí)踐??探究特殊三角形中的相關(guān)問(wèn)題問(wèn)題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α0°<α<90°，如圖2，AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，(1)初步探究：勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=時(shí)，△AMC是等腰三角形；(2)深入探究：敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線(xiàn)是線(xiàn)段CE的垂直平分線(xiàn)，請(qǐng)幫他們證明；(3)再探究：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí)，求△ABC與△AFE重疊的面積；(4)拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說(shuō)明理由．9．（2021秋·福建漳州·九年級(jí)漳州三中?？计谥校┤鐖D1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將△AEF沿直線(xiàn)EF對(duì)折，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．(1)如圖2，當(dāng)EF∥BD，且點(diǎn)G落在對(duì)角線(xiàn)BD上時(shí)，求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)；(2)如圖3，連接DG，當(dāng)EF∥BD且點(diǎn)D，G，E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)；(3)當(dāng)AE＝2AF時(shí)，F(xiàn)G的延長(zhǎng)線(xiàn)交△BCD的邊于點(diǎn)H，是否存在一點(diǎn)H，使得以E，H，G為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似，若存在，請(qǐng)求出線(xiàn)段AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ=90°，連接CQ、則BP和CQ(2)變式探究：如圖2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰Rt△CPQ，連接AQ，判斷BP和AQ(3)問(wèn)題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是正方形DPEF兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，連接CQ．若正方形DPEF的邊長(zhǎng)為10，CQ=2，求正方形ABCD11．（2022春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）寬與長(zhǎng)的比是5?1如希臘的巴特農(nóng)神廟等．下面我們折疊出一個(gè)矩形：第一步，在一張寬為2的矩形紙片一端，用下圖的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．第二步，如下圖，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線(xiàn)AB，并把AB折到下圖中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)D處折出DE，得到矩形BCDE．(1)證明矩形BCDE（下圖）是黃金矩形．(2)定義：直線(xiàn)l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1<S2），如果S1(3)下圖中，以C為原點(diǎn)，CD、CB所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，直接寫(xiě)出△END中經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“黃金分割線(xiàn)”的解析式．（不要求寫(xiě)過(guò)程）12．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣4，0），（0，8），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線(xiàn)BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．以CP，CO為鄰邊構(gòu)造?PCOD，在線(xiàn)段OP延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)E，使PE＝AO，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段OB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OB上時(shí)，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；(3)在線(xiàn)段PE上取點(diǎn)F，使PF＝3，過(guò)點(diǎn)F作MN⊥PE，截取FM＝3，F(xiàn)N＝1，且點(diǎn)M，N分別在第一、四象限，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M，N中，有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的t的值．13．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）已知：△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點(diǎn)M，連接BM和DM．(1)如圖1，分別取AC和AE的中點(diǎn)G、H，連接BG、MG、MH、(2)將圖1中的△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．(3)已知正方形ABCP的邊長(zhǎng)為2，正方形ADEQ的邊長(zhǎng)為10，現(xiàn)將正方形ABCP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)．14．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）【問(wèn)題探究】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF，求證：AE=DF．【知識(shí)遷移】如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，且BE⊥MN，求BEMN【拓展應(yīng)用】如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB=m，BC=n，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，當(dāng)∠EFC與∠MNC的度數(shù)之間滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，有EFMN15．（2023·山東泰安·寧陽(yáng)二中?？家荒＃┮阎?，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上．【基本圖形】如圖1，以AD為一邊作等邊三角形△ADE，連結(jié)CE．可得CE+CD=AC（不需證明）．【遷移運(yùn)用】如圖2，點(diǎn)F是AC邊上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角△DEF．求證：CE+CD=CF．【類(lèi)比探究】如圖3，點(diǎn)F是AC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角△DEF．試探究線(xiàn)段CE，CD，CF三條線(xiàn)段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．16．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)P是射線(xiàn)BC上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，在AP的右邊作∠PAQ=12∠BAC，交射線(xiàn)BC(1)當(dāng)BP=1時(shí)，求點(diǎn)P到AB的距離．(2)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記BP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍．(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不再連結(jié)其他線(xiàn)段，當(dāng)圖中存在某個(gè)角為45°時(shí)，求BQ的長(zhǎng)，并指出相應(yīng)的45°角．17．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考一模）已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，點(diǎn)E、F分別在AB，BC上，BE=CF，AF與CE交于點(diǎn)P．(1)求證：∠APE=60°；(2)當(dāng)PC=1，PA=5時(shí)，求PD的長(zhǎng)？(3)當(dāng)AB=23時(shí)，求PD18．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）九年級(jí)一班同學(xué)在數(shù)學(xué)老師的指導(dǎo)下，以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．(1)操作探究：如圖1，△OAB為等腰三角形，OA=OB，∠AOB=60°，將△OAB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連接OF，則∠BAE=°，OF與DE的數(shù)量關(guān)系是(2)遷移探究：如圖2，（1）中的其他條件不變，當(dāng)△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D正好落在∠AOB的角平分線(xiàn)上，得到△ODE，求出此時(shí)∠BAE的度數(shù)及OF與DE的數(shù)量關(guān)系；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，在等腰三角形△OAB中，OA=OB=4，∠AOB=90°．將△OAB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連接OF．當(dāng)∠EAB=15°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出OF的長(zhǎng)．19．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）【背景】如圖1，矩形ABCD中，AB=43，AB<AD，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，折疊矩形ABCD使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)K處，折痕為BP【操作】（1）用直尺和圓規(guī)在圖1中的AD邊上作出點(diǎn)P（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；【應(yīng)用】（2）求∠BKM的度數(shù)和MK的長(zhǎng)；（3）如圖2，若點(diǎn)E是直線(xiàn)MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接EB，在EB左側(cè)作等邊三角形BEF，連接MF，則MF的最小值是__________；【拓展】（4）如圖3，若點(diǎn)E是射線(xiàn)KM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將△BEK沿BE翻折，得△BET，延長(zhǎng)CB至Q，使BQ=KE，連接TQ．當(dāng)△BTQ是直角三角形時(shí)，KE的長(zhǎng)為多少？請(qǐng)直接寫(xiě)出答案：__________．20．（2023·廣西南寧·校考一模）如圖甲，正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為CD邊上一點(diǎn)，且BE=CF，連接AE、BF交于點(diǎn)G．(1)求證：AE⊥BF；(2)如圖乙，連接GC，若GC平分∠EGF，求證：AB=2CF；(3)如圖丙，在（2）的條件下，連接GD，過(guò)點(diǎn)E作EH∥GD交CD邊于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)M，若FH=1，求線(xiàn)段FM的長(zhǎng)．21．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，圓O為△ABC的外接圓，BO延長(zhǎng)線(xiàn)與AC交于點(diǎn)D，OE⊥BC，點(diǎn)F在OE上，BD平分∠ABF．(1)如圖1，求證：△ABD∽△OBF；(2)如圖2，連結(jié)DF，求證：DF∥AB；(3)如圖3，連結(jié)CF并延長(zhǎng)分別交BA，BD于G，H兩點(diǎn)，若∠DFC=6∠BCG，BD=2FG，求GHBH22．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖甲，在△ABC中．∠ACB=90°．AC=4．BC=3．如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．它們的速度均為每秒鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒鐘（0<t<4）．(1)設(shè)△APQ的面積為S，當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，S取得最大值？S的最大值是多少？(2)在（1）的前提下．當(dāng)S取得最大值時(shí)．把此時(shí)的△APQ沿射線(xiàn)AC以每秒鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，當(dāng)點(diǎn)A平移至與點(diǎn)C重合時(shí)停止，△APQ與△ABC的重疊部分面積y與平移時(shí)間x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；(3)如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，當(dāng)四邊形PQP'C為菱形時(shí)，求實(shí)數(shù)t的值．23．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┩ㄟ^(guò)以前的學(xué)習(xí)，我們知道：“如圖1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，則CE=DF”．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上學(xué)習(xí)后，決定對(duì)該問(wèn)題進(jìn)一步探究：(1)【問(wèn)題探究】如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在線(xiàn)段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，試猜想EGFH(2)【知識(shí)遷移】如圖3，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在線(xiàn)段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，試猜想EGFH(3)【拓展應(yīng)用】如圖4，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線(xiàn)段AB，AD上，且CE⊥BF，求CEBF24．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)C為△ABC和△CDE的公共頂點(diǎn)，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<a<360°)，連接BD，AE，請(qǐng)完成如下問(wèn)題：(1)如圖1，若△ABC和△CDE均為等邊三角形，①線(xiàn)段BD與線(xiàn)段AE的數(shù)量關(guān)系是________；②直線(xiàn)BD與直線(xiàn)AE相交所夾銳角的度數(shù)是________；類(lèi)比探究：(2)如圖2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD=60°，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=22，當(dāng)點(diǎn)B，D，E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD25．（2023·陜西西安·?？级＃?）如圖，在△ABC中，∠B=120°，AB=4，則BC邊上的高為_(kāi)_____．（2）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=43，BC=10，Rt△AEF的直角頂點(diǎn)E在邊BC上，頂點(diǎn)F在邊CD上，若（3）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=60°，AD=12，CD=16，△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，若∠AEF=60°，26．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考一模）如圖1，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD邊上，DE與CF交于點(diǎn)G．(1)若G為DE的中點(diǎn)．①求FGCG②連接EF，若∠EFC=90°，求證：DC=DF．(2)如圖2，若∠EGC=∠A，求證：AD?FC=2AE?DE．27．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE⊥DF，∠DEF=45°，(1)不添加輔助線(xiàn)，在圖中找出一個(gè)與△BDE相似的三角形（不需證明）；(2)若AD=1，AF=2，求(3)若tan∠BDE＝128．（2023·福建莆田·?？家荒＃┤鐖D，△ABC中，∠BAC=90°，以直角邊AC為腰，向外作等腰直角三角形ACD，AC=CD，∠ACD=90°，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且(1)探究：∠CDE與∠ACB的數(shù)量關(guān)系；(2)求證：BC=CF+AB；(3)若AD=42，AB=3，求EF29．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別在BC邊和AC邊上，AD，BE相交于點(diǎn)F．(1)如圖（1），已知：∠AEF=∠BDF．①若ACAB=3②若AD=BF，求證：AD?CD=AC?DF；(2)如圖（2），若AE=CD，BD=AC，EG⊥BE交AF于G，求證：EF=EG．30．（2023·湖北隨州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4.點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，且∠ECF=45°，CF的延長(zhǎng)線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，連接AC，EF，GH．(1)填空：∠AHC______∠ACG；(填>或<或=)(2)設(shè)AE=m，①△AGH的面積S有變化嗎？如果變化，請(qǐng)求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；如果不變化，請(qǐng)求出定值；②請(qǐng)直接寫(xiě)出使△CGH是等腰三角形的m值．31．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于點(diǎn)G，求證：【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CD，CG．若CG⊥DE，CD=10，AE=6，求DEBC【拓展提高】（3）如圖3，在?ABCD中，∠ADC=45°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為AO上一點(diǎn)，EG∥BD交AD于點(diǎn)G，EF⊥EG交BC于點(diǎn)F．若∠EGF=40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G=8，求32．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）已知平行四邊形ABCD中，AB=35,tan∠ABC=2,BC=5，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，作∠EPD=∠ABC，射線(xiàn)PE交射線(xiàn)BA于點(diǎn)(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，證明：△ABP∽△BCD；(2)如圖2，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，當(dāng)EP=AD時(shí)，求AE的長(zhǎng)；(3)當(dāng)△APE是以AP為底的等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．33．（2023·山東泰安·新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知兩個(gè)等腰Rt△ABC,Rt△CEF有公共頂點(diǎn)C，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF,M是AF(1)如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線(xiàn)上時(shí)，求證：MB∥CF；(2)如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME．34．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）如圖1，已知菱形ABCD，點(diǎn)E在邊BC上，∠BFE=∠ABC，AE交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)F．(1)求證△ABF∽△DBA；(2)如圖2，聯(lián)結(jié)CF．①當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，求∠ABC的大?。虎谌鐖D3，聯(lián)結(jié)DE，當(dāng)DE⊥FC時(shí)，求cos∠ABD35．（2023·湖南衡陽(yáng)·衡陽(yáng)市華新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎喝鐖D，矩形ABCD中和Rt△EBF中，點(diǎn)C在BF上，∠EBF=90°，AB=BF=8cm，AD=BE=6cm，連接BD，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，沿EF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，過(guò)點(diǎn)M解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，MF⊥BD？(2)連接MN，作NQ⊥BE交BE于Q，當(dāng)四邊形MHQN為矩形時(shí)，求t的值；(3)連接NC，NH，設(shè)四邊形NCGH的面積為S（cm2），求S與t36．（2023·陜西西安·?？家荒＃?）如圖1，⊙A的半徑為2，AB=5，點(diǎn)P為⊙A上任意一點(diǎn)，則BP的最小值為．（2）如圖2，已知矩形ABCD，點(diǎn)E為AB上方一點(diǎn)，連接AE，BE，作EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)P是△BEF的內(nèi)心，求∠BPE的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AP，CP，若矩形的邊長(zhǎng)AB=6，BC=4，BE=BA，求此時(shí)CP的最小值．37．（2023·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)?？家荒＃﹩?wèn)題提出：已知矩形ABCD，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB，交BD于點(diǎn)F．將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）問(wèn)題探究探究一：如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E為AB