2024-2025學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.已知直線(xiàn)與直線(xiàn)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.下列四個(gè)數(shù)中最大的是（）A. B. C. D.4.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量（單位：與時(shí)間（單位：h）之間的關(guān)系式為，其中為初始污染物含量，均為正的常數(shù)，已知過(guò)濾前后廢氣的體積相等，且在前4h過(guò)濾掉了的污染物．如果廢氣中污染物的含量不超過(guò)時(shí)達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)，那么該工廠產(chǎn)生的廢氣要達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要過(guò)濾的時(shí)間為（）A.4h B.6h C.8h D.12h5.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（）A. B.C. D.8.定義x為不超過(guò)的最大整數(shù)，區(qū)間（或）的長(zhǎng)度記為．若關(guān)于的不等式的解集對(duì)應(yīng)區(qū)間的長(zhǎng)度為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，若，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10.已知，且，則（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)分別為與，且的定義域均為，，，為奇函數(shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若“”是假命題，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_____．13.若函數(shù)在時(shí)取得極小值，則的極大值為_(kāi)_____．14.已知函數(shù)，若存在兩條不同的直線(xiàn)與曲線(xiàn)和均相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）已知函數(shù)滿(mǎn)足，求在區(qū)間上的值域；（2）若函數(shù)最小值為，且，求的最小值.16.設(shè)是函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為曲線(xiàn)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有“拐點(diǎn)”，且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心．已知函數(shù)13的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為．（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；（2）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù).17.已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）若且存在，使得成立，求取值范圍．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的極值；（3）若恒成立，求的取值范圍．19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性．（2）當(dāng)時(shí)．（?。┳C明：當(dāng)時(shí)，；（ⅱ）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，證明：．附：當(dāng)時(shí)，．2024-2025學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由函數(shù)定義域知識(shí)求出集合，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式求出集合，最后結(jié)合交集運(yùn)算的概念即可得答案.【詳解】由已知，得，由，得，所以，所以．故選：B.2.已知直線(xiàn)與直線(xiàn)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由垂直關(guān)系求出a的值，再結(jié)合充分、必要條件的概念即可得答案.【詳解】若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.3.下列四個(gè)數(shù)中最大是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可得答案.【詳解】由的單調(diào)性可知，即．故最大的是．故選:C.4.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量（單位：與時(shí)間（單位：h）之間的關(guān)系式為，其中為初始污染物含量，均為正的常數(shù)，已知過(guò)濾前后廢氣的體積相等，且在前4h過(guò)濾掉了的污染物．如果廢氣中污染物的含量不超過(guò)時(shí)達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)，那么該工廠產(chǎn)生的廢氣要達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要過(guò)濾的時(shí)間為（）A.4h B.6h C.8h D.12h【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出值，再由廢氣中的污染物含量不超過(guò)的列出不等式求解即得.【詳解】依題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，可得，即，所以，當(dāng)時(shí)，解得，故至少需要過(guò)濾8h才能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)．故選：C.5.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由時(shí)即可排除A；由奇偶性可排除B；時(shí)0，則可排除C，故答案可求.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，排除A；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由0，得，排除C，故選：D．6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】分段函數(shù)的單調(diào)性需要考慮每段函數(shù)的單調(diào)性，還要考慮銜接點(diǎn)位置的取值大小關(guān)系，列不等式組即可求得答案.【詳解】易知在上單調(diào)遞減，要使在上單調(diào)遞減，則需滿(mǎn)足解得，即的取值范圍是．故選：B.7.已知函數(shù)，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】首先得出為奇函數(shù)，且易知在上單調(diào)遞增，再解不等式即可.【詳解】令為奇函數(shù)，且易知在上單調(diào)遞增．原不等式可轉(zhuǎn)化為，，解得．故選：D.8.定義x為不超過(guò)的最大整數(shù)，區(qū)間（或）的長(zhǎng)度記為．若關(guān)于的不等式的解集對(duì)應(yīng)區(qū)間的長(zhǎng)度為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合新定義構(gòu)成不等式組，解不等式組即可得答案.【詳解】設(shè)，作出的圖象，因?yàn)椴坏仁降慕饧瘜?duì)應(yīng)區(qū)間的長(zhǎng)度為2，所以解集只可能為或．當(dāng)解集為時(shí)，如圖（1），數(shù)形結(jié)合易知即無(wú)解．當(dāng)解集為時(shí)，如圖，數(shù)形結(jié)合易知即，解得所以．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，若，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】ABC【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)得，通過(guò)代入即可判斷A；由二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；代入即可求出a的值，則可判斷C；由可得，可解得a的取值范圍，則可判斷D.【詳解】由題意知，所以，所以．對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，則，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，解得，故C正確；對(duì)于D，若，則，不能得到，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.10.已知，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】直接利用基本不等式即可判斷A、C；利用基本不等式結(jié)合乘“1”法即可判斷B；將代入原式化簡(jiǎn)，再結(jié)合基本不等式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11.已知函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)分別為與，且的定義域均為，，，為奇函數(shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.【正確答案】ACD【分析】選項(xiàng)A由奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；選項(xiàng)B由條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到有關(guān)的關(guān)系式，由函數(shù)奇偶性的判定得出結(jié)論；選項(xiàng)C由已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到，從而得出結(jié)論；選項(xiàng)D，通過(guò)前面的對(duì)稱(chēng)性和周期性等結(jié)論，驗(yàn)證出一個(gè)周期內(nèi)的整數(shù)函數(shù)值的和，從而得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，令，得，故A正確；對(duì)于B，由，得，又，∴，即，∴，又的定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，可得為常數(shù)），，又，∴，∴，，∴，所以是周期為8的函數(shù)，同理也是周期為8的函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，令，得，則，再令，得，又是周期為8的函數(shù)，所以，∵，∴，又，∴，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若“”是假命題，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合全稱(chēng)量詞命題的概念即可得參數(shù)m的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤啊笔羌倜}，所以“”是真命題，所以，故實(shí)數(shù)的最小值為．故．13.若函數(shù)在時(shí)取得極小值，則的極大值為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】由題意得，則可求得，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求得極大值.【詳解】由題意可得，，解得，所以，故當(dāng)x<1或x>2時(shí)，,當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為．故答案為.14.已知函數(shù)，若存在兩條不同的直線(xiàn)與曲線(xiàn)和均相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，進(jìn)而，利用方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.【詳解】設(shè)曲線(xiàn)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則公切線(xiàn)的方程為，即．設(shè)曲線(xiàn)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則公切線(xiàn)的方程為，即，所以，消去，得．若存在兩條不同的直線(xiàn)與曲線(xiàn)均相切，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．設(shè)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由可得，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，則的大致圖象如圖所示，由圖可知，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程相等，消去得，利用數(shù)形結(jié)合的思想將方程的根個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）已知函數(shù)滿(mǎn)足，求在區(qū)間上的值域；（2）若函數(shù)的最小值為，且，求的最小值.【正確答案】（1）；（2）最小值為1【分析】（1）首先求出的值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得值域；（2）先結(jié)合（1）中的結(jié)論得，再利用基本不等式求最小值即可.【詳解】（1）由題意得，即，所以且，解得．所以，則在上單調(diào)遞增，在12,1上單調(diào)遞減，又，所以在區(qū)間上的值域?yàn)椋?），當(dāng)時(shí)，，由（1）知，所以，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為1.16.設(shè)是函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為曲線(xiàn)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有“拐點(diǎn)”，且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心．已知函數(shù)13的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為．（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；（2）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【正確答案】（1）（2）3個(gè)零點(diǎn)．【分析】（1）利用拐點(diǎn)的概念，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值情況即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)榈膱D象的對(duì)稱(chēng)中心為，所以即解得【小問(wèn)2詳解】由（I）知，，所以，令，得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：-31+0-0+↗14↘-18↗所以的極大值為，極小值為，又，所以有3個(gè)零點(diǎn)．17.已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）若且存在，使得成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求出函數(shù)的最值，則可得證.（2）由題意只需函數(shù)在上最小值小于，求出，討論a的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值，則a的范圍可求.【小問(wèn)1詳解】若，則，所以由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以有極小值，也是最小值，且，所以．【小問(wèn)2詳解】由題意得，因?yàn)?，所以令，得，令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.若，則在上的最小值為.要使條件成立，只需，解得.若，則在上的最小值為，令，無(wú)解．故的取值范圍為．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的極值；（3）若恒成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2），無(wú)極大值．（3）．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值；（3）令，由，得，再結(jié)合的單調(diào)性可求得，然后再利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)時(shí)，即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無(wú)極大值．【小問(wèn)3詳解】令，由得，令，則在上單調(diào)遞減，又，故．下面證明當(dāng)時(shí)，．易知．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，則，即．故，則．故所求的取值范圍是．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、解決不等式恒成立問(wèn)題，第（3）問(wèn)解題的關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合求出的取值范圍再證明，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性．（2）當(dāng)時(shí)．（?。┳C明：當(dāng)時(shí)，；（ⅱ）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，證明：．附：當(dāng)時(shí)，．【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【