2024-2025學(xué)年江蘇省靖江市高三第一冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省靖江市高三第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則或B.若，則點(diǎn)Z的集合為以為圓心，1為半徑的圓C.若，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為D.若，則點(diǎn)Z的集合中有且只有兩個(gè)元素3.若，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.4.設(shè)是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，則“存在最小值”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知平面向量，，滿(mǎn)足，，，，則的最小值為（）A.1 B. C.3 D.46.已知函數(shù)，若數(shù)列滿(mǎn)足且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為（）A2 B.3 C.4 D.58.若函數(shù)f(x)=x2?22x+asinax?π3(a>0)A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，以的角速度逆時(shí)針繞坐標(biāo)原點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后到達(dá)點(diǎn)的位置．設(shè)，記，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，取得最小值C.點(diǎn)是曲線(xiàn)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心D.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為10.定義：兩個(gè)向量的叉乘的模，則下列命題正確的是（）A.若平行四邊形的面積為4，則B.在正中，若，則C.若，，則的最小值為12D.若，，且為單位向量，則的值可能為11.若數(shù)列滿(mǎn)足：，對(duì)，有成立，則（）A.B.，使得C.對(duì)，都有D.對(duì)，都有三、填空題：本大題共3題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知，則最小值為_(kāi)_____.13.已知函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，，，，則__________.14.已知a，b，c分別是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知角，，若是銳角三角形，則的面積為S的取值范圍為_(kāi)_____；若是鈍角三角形，則邊a的取值范圍為_(kāi)_____.四、解答題：本大題共5題，共計(jì)77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）求的值.（2）已知函數(shù)，若，，求的值.16.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，（1）求；（2）若點(diǎn)在內(nèi)部，滿(mǎn)足，且的面積為，①求的值；②求值.17.設(shè)函數(shù)，其中.（1）若，且對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)任意的，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，數(shù)列是等比數(shù)列，公比.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，其中（i）求數(shù)列的前2024項(xiàng)和；（ii）求.19.定義運(yùn)算：，已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：．（3）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．2024-2025學(xué)年江蘇省靖江市高三第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先解對(duì)數(shù)不等式及函數(shù)值域分別求出集合，再應(yīng)用并集定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，，所?故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則或B.若，則點(diǎn)Z的集合為以為圓心，1為半徑的圓C.若，則點(diǎn)Z集合所構(gòu)成的圖形的面積為D.若，則點(diǎn)Z的集合中有且只有兩個(gè)元素【正確答案】C【分析】根據(jù)的幾何意義可知Z的集合為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，由此可判斷A;由得幾何意義是表示以為圓心，1為半徑的圓，可判斷B;由的幾何意義是表示以原點(diǎn)為圓心，分別以1和為半徑的兩圓所夾的圓環(huán),求出圓環(huán)的面積，可判斷C；由的幾何意義是表示以點(diǎn)，為端點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，可判斷D.【詳解】若，則點(diǎn)Z的集合為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，有無(wú)數(shù)個(gè)圓上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)，故A錯(cuò)誤；若，則點(diǎn)Z的集合為以為圓心，1為半徑的圓，故B錯(cuò)誤；若，則點(diǎn)Z的集合為以原點(diǎn)為圓心，分別以1和為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，所以點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故C正確;若，則點(diǎn)Z的集合是以點(diǎn)，為端點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，集合中有無(wú)數(shù)個(gè)元素，故D錯(cuò)誤,故選:C．3.若，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，結(jié)合基本不等式及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較的大小，可得結(jié)論.【詳解】，而，且．所以，故．故選：D.4.設(shè)是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，則“存在最小值”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】舉出反例可得其充分性不成立，假設(shè)，借助等比數(shù)列的性質(zhì)可得其必要性，即可得解.【詳解】當(dāng)，時(shí)，有，則有最小值，故“存在最小值”不是“”的充分條件；若，由，則，故必有最小值，故“存在最小值”是“”的必要條件；即“”是“存在最小值”的必要不充分條件.故選：B.5.已知平面向量，，滿(mǎn)足，，，，則的最小值為（）A.1 B. C.3 D.4【正確答案】C【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，的值，以及的值，再利用平面向量的模長(zhǎng)公式以及基本不等式可求得的最小值.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，因?yàn)?，，，所?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：C.6.已知函數(shù)，若數(shù)列滿(mǎn)足且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)圖象，得到不等式，求出.【詳解】由題意可知，在上單調(diào)遞增，由于和均為單調(diào)函數(shù)，故，解得.故選：C7.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】B【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)和三角恒等變換化簡(jiǎn)得，然后結(jié)合和差公式將所求化簡(jiǎn)為關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可得.【詳解】由題知，由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，又，所以，得，所以最多有一個(gè)是鈍角，所以，因?yàn)?，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角恒等變換和三角形內(nèi)角和定理，將已知和所求轉(zhuǎn)化為的表達(dá)式，即可利用基本不等式求解.8.若函數(shù)在0,4上有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論的范圍，分別確定在0,4上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步確定的范圍，進(jìn)而可得答案.【詳解】令，則或，由得a=2，當(dāng)時(shí)，，在0,4上沒(méi)有零點(diǎn)，則在上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，所以，即，與聯(lián)立得；當(dāng)a=2時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)2，在上，因?yàn)?，所以，所以?個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，在上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，所以，即，與聯(lián)立得，綜上得的取值范圍是.故C正確.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，以的角速度逆時(shí)針繞坐標(biāo)原點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后到達(dá)點(diǎn)的位置．設(shè)，記，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，取得最小值C.點(diǎn)是曲線(xiàn)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心D.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為【正確答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出并利用差角的余弦化簡(jiǎn)，再逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】依題意，后，質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的弧度數(shù)為，則，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，為的最大值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，點(diǎn)是曲線(xiàn)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，為的最大值，而，因此在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：AC10.定義：兩個(gè)向量的叉乘的模，則下列命題正確的是（）A.若平行四邊形的面積為4，則B.在正中，若，則C.若，，則的最小值為12D.若，，且為單位向量，則的值可能為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)兩個(gè)向量叉乘的模的定義及向量數(shù)量積的運(yùn)算逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e為4，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，且為單位向量，則當(dāng)，，，時(shí)，，，此時(shí)，所以D正確.故選：ABD.11.若數(shù)列滿(mǎn)足：，對(duì)，有成立，則（）A.B.，使得C.對(duì)，都有D.對(duì)，都有【正確答案】ACD【分析】令，可得為等差數(shù)列，可判斷A；放縮得，然后利用裂項(xiàng)相消法求和可判斷B；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，累加可判斷C；構(gòu)造函數(shù)gx=lnx+1?xx+1,x>0，利用導(dǎo)數(shù)證明ln【詳解】對(duì)A，令，則，所以是以1為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，所以，所以，故，A正確；對(duì)B，因?yàn)?，所以，所以，即，B錯(cuò)誤；對(duì)C，記，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以1>ln所以1+1C正確；對(duì)D，記gx=ln所以在0,+∞上單調(diào)遞增，又，所以lnx+1>xx+1所以，累加得，即，D正確.故選：ACD關(guān)鍵點(diǎn)睛：CD選項(xiàng)關(guān)鍵在于合理構(gòu)造函數(shù)和gx=lnx+1?x三、填空題：本大題共3題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知，則的最小值為_(kāi)_____.【正確答案】##【分析】由，兩邊取對(duì)數(shù)后可得，即得，令，再結(jié)合基本不等式得恒成立，從而可求解.【詳解】由，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以，令，因?yàn)?b>0所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以恒成立，又因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上單調(diào)遞增，所以故答案為.13.已知函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，，，，則__________.【正確答案】3【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析可知：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，進(jìn)而可得，結(jié)合數(shù)列周期性分析求解.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，即，可知為定義在上的奇函數(shù)；且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增；綜上所述：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).因?yàn)?，則，可得，即，由可知：3為數(shù)列的周期，則，且，所以.故3.14.已知a，b，c分別是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知角，，若是銳角三角形，則的面積為S的取值范圍為_(kāi)_____；若是鈍角三角形，則邊a的取值范圍為_(kāi)_____.【正確答案】①.②.【分析】若是銳角三角形，先利用正弦定理求出，再表達(dá)出銳角三角形的面積，求出的范圍，即可求解；若是鈍角三角形，分別討論為鈍角及為鈍角，結(jié)合直角的臨界狀態(tài)計(jì)算即可得.【詳解】由正弦定理得，所以，故，又因?yàn)槭卿J角三角形，所以，故，所以，，故，即的面積為S的取值范圍為；因?yàn)槭氢g角三角形，若為鈍角，如圖，作于點(diǎn)，有，即，即，若為鈍角，如圖，作于點(diǎn)，有，即，即，綜上所述：的取值范圍是；故；.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)是鈍角三角形，關(guān)鍵點(diǎn)在于分為鈍角及為鈍角，分別找出直角的臨界情況求出范圍.四、解答題：本大題共5題，共計(jì)77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）求的值.（2）已知函數(shù)，若，，求的值.【正確答案】（1）0；（2）.【分析】（1）依次化切為弦，利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式和二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即得；（2）利用誘導(dǎo)公式、降冪公式和輔助角公式將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，由化簡(jiǎn)得，利用角的范圍求出，再根據(jù)拆角變換化簡(jiǎn)求值即得.【詳解】（1）由；（2）由.因，可得即得，因，則，故.由.16.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，（1）求；（2）若點(diǎn)在內(nèi)部，滿(mǎn)足，且的面積為，①求的值；②求的值.【正確答案】（1）或（2）①；②8【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得到，結(jié)合的范圍即可得解；（2）首先得，①由等面積法得，結(jié)合數(shù)量積的定義即可求解；②思路一：由三角形面積公式得，結(jié)合余弦定理以及即可求解；思路二：通過(guò)分析得出，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解；思路三：先利用面積得，設(shè)，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，從而化簡(jiǎn)求值即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以由得，所以，因?yàn)椋曰?；【小?wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以，所以，①設(shè)，由得：整理得則；②方法一：由余弦定理知，又；所以，由①知，所以，因?yàn)?，所以，所以即；方法二：由?）知，因?yàn)?，由，所以，所以，故，所以，所以；方法三：因?yàn)榈拿娣e為，故，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第（2）問(wèn)的第②問(wèn)的關(guān)鍵是得到，進(jìn)一步利用解三角形知識(shí)或者向量知識(shí)即可順利得解.17.設(shè)函數(shù)，其中.（1）若，且對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)任意的，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，解不等式得解集，再根據(jù)不等式的解集與集合的關(guān)系求的取值范圍.（2）轉(zhuǎn)化成關(guān)于一次函數(shù)的值域問(wèn)題求解.（3）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間最大最小值問(wèn)題求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，由，由題意：，所以.所以的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】對(duì)任意，恒成立，即，恒成立.所以或.所以所求的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，的最大值與最小值的差小于等于8.拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，結(jié)合，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)的最大值為，最小值為，由，結(jié)合，得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)的最大值為，最小值為，由，結(jié)合得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，結(jié)合，無(wú)解.綜上可知，的取值范圍是：18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，數(shù)列是等比數(shù)列，公比.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，其中.（i）求數(shù)列的前2024項(xiàng)和；（ii）求.【正確答案】（1），（2）（i），（ii）【分析】（1）利用的關(guān)系作差結(jié)合等比數(shù)列的定義計(jì)算可求an和bn（2）（i）根據(jù)題意利用等比數(shù)列求和公式結(jié)合分組求和法計(jì)算即可，（ii）根據(jù)題意先得出，利用等比數(shù)列求和公式及分組求和法計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，顯然符合上式，