高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第14講專題10-2復(fù)數(shù)方程問題

專題102復(fù)數(shù)方程問題TOC\o"13"\h\u題型1代入法 2題型2設(shè)出方程的根 6題型3實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理 7題型4求根公式法 12知識(shí)點(diǎn).實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集C中解的情況：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R且a≠0），1.當(dāng)△=b24ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，x=2.當(dāng)△=b24ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，x=3.當(dāng)△=b24ac<0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的虛數(shù)根，x=注意：1.實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）在復(fù)數(shù)集中恒有解；2.若實(shí)系數(shù)一元二次方ax2＋bx＋c=0（a≠0）在復(fù)數(shù)集中有虛根，則虛根成對(duì)出現(xiàn)（互為共軛虛數(shù)）；3.根與系數(shù)的關(guān)系依然適用，即不論△的正負(fù)，恒有x4.對(duì)于任意二次三項(xiàng)式都有ax2＋bx+c=a（xx1）（xx2），（a≠0），其中x15.兩個(gè)虛數(shù)共軛的充要條件是兩個(gè)虛數(shù)的和、積都是實(shí)數(shù).6.復(fù)系數(shù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系依然適用，但不能根據(jù)判別式判斷解的情況，且虛根通常也不是成對(duì)出現(xiàn)（非共軛），通常利用復(fù)數(shù)相等的方法來求解。題型1代入法【例題1】（2022·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)i?2是關(guān)于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一個(gè)根，則pi+qA．25 B．5 C．41 D．41【答案】C【分析】將i?2代入原方程，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解出p,q的值，則pi+q可求.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)i?2是關(guān)于x的方程x2所以i?22+pi?2所以p=4,q=2p?3，所以p=4,q=5，則pi+q=故選：C.【變式11】1.（2023春·廣東廣州·高一廣州市第一中學(xué)校考期中）已知?3＋2i是關(guān)于x的方程2x2＋px＋【答案】1226【分析】由條件可得2?3+2i2＋【詳解】∵?3＋2i方程2x∴2即(10－3p∴10?3p+q故答案為：12；26.【變式11】2．設(shè)方程x2?(tanθ+i)x?(2+i)=0中，【答案】θ=π4，【分析】將實(shí)數(shù)a代入方程后，左邊整理成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，讓實(shí)部和虛部均為0，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)a是方程的一個(gè)根，所以a2即a2?atanθ?2?(a+1)i所以a2?atanθ?2=0a+1=0，解得a=?1，所以θ=π4【變式11】3．（2021春·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）設(shè)z0=a+4i（a∈R）為關(guān)于x的方程x【答案】6【分析】根據(jù)z0為方程x2?6x+m=0m∈R【詳解】因?yàn)閦0=a所以(a+4i)2所以(a所以a2?16?6a所以z0設(shè)z=c+整理得(c所以點(diǎn)(c,d所以z=c2所以z的最大值為(3?0)2故答案為：6【變式11】4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）關(guān)于x的方程x2+mx+5=0m【答案】?3【分析】將2+nin【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2+mx故(2+ni)2則9?n2+2m=04n故答案為：?3【變式11】5．（2023春·河北滄州·高一滄縣中學(xué)?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z1=2+i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0（p，q∈A．π B．16π C．25π D．81π【答案】A【分析】先由z1是方程的根求出p，q【詳解】∵z1=2+i是關(guān)于x的方程x2+px∴2+i2+p2+i+q=0∴3+2p+q∴z?如圖所示復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z和z1=2+i表示的點(diǎn)為Z和Z1，表示的向量為OZ則由復(fù)數(shù)減法的幾何意義，復(fù)數(shù)z?z1若z?z1∴點(diǎn)Z的集合圖形M是以Z1為圓心，半徑為1∴M圍成的面積為S=π×故選：A.【變式11】6．（河南省洛陽市20222023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知復(fù)數(shù)z與z+2(1)求z；(2)若z?1是關(guān)于x的方程2x2【答案】(1)z(2)p【分析】（1）設(shè)z=bib≠0（2）利用（1）的結(jié)論可得?1+2i為方程2x【詳解】（1）設(shè)z=bi由z+22+8i解得b=2所以z=2i（2）由（1）可知?1+2i為方程2x∴2(?1+2i)整理得–6?p∴2p?8=0?6?題型2設(shè)出方程的根【例題2】若共軛復(fù)數(shù)x，y滿足(x+y)2?3xyi=4?6i【答案】4【分析】待定系數(shù)法，再利用復(fù)數(shù)相等的條件可得方程組，解出答案即可.【詳解】設(shè)x=a+bi，則y=a?b∵(x+y)2∴(a+bi∴4a2=4,∴x=1+i,y=1?i或x=1?i∴共有4組解.故答案為：4.【變式21】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動(dòng)著數(shù)域的擴(kuò)展，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)等等．16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹和邦貝利在解方程時(shí)，首先引進(jìn)了i2=?1，17世紀(jì)法因數(shù)學(xué)家笛卡兒把i稱為“虛數(shù)”，用a+bi(A．?1+2i B．?2?i C．?1±2i D．?2±i【答案】C【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)為0列出方程組求解作答.【詳解】設(shè)z=a+bi(即(a2?b2+2a所以z=?1±2i故選：C【變式21】2．（2023春·河南洛陽·高一洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知虛數(shù)z滿足z=(1)求證：z+5iz(2)若z是方程2x2+4x+【答案】(1)證明見解析(2)k=10，【分析】（1）由題設(shè)可得z+（2）將復(fù)數(shù)z=【詳解】（1）設(shè)z=a+bi(所以z+所以z+5iz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(（2）同（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+所以2(a+所以2a2?2b2因?yàn)閍2+b把a(bǔ)=?1,b=±2代入2所以k=10，z題型3實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理【例題3】若1+2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2【答案】1【分析】利用實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】因?yàn)?+2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2由根與系數(shù)的關(guān)系可知：(1+2i)+(1?2i所以b故答案為：1．【變式31】1．（2021秋·江蘇蘇州·高一校考期中）已知2+i是關(guān)于x的方程x2+ax【答案】9【分析】由題意可知，關(guān)于x的方程x2+ax+b=0a,b【詳解】由題意可知，關(guān)于x的方程x2+ax+b由韋達(dá)定理可得2+i+2?i=?a2+i2?i=故答案為：9.【變式31】2．（2021秋·遼寧·高二沈陽二中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知1+i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0（m、【答案】2【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)根特點(diǎn)結(jié)合韋達(dá)定理求出m=?2n=2【詳解】由題可知,方程x2+mx由韋達(dá)定理得1?i+1+i=?m(1?i)(1+i)=ni1=i，i2=?1，i3則i2023=?i，則z+則復(fù)數(shù)z表示到兩定點(diǎn)A0,1則其軌跡為AB的垂直平分線，易得kAB=1，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為則垂直平分線斜率為?1，垂直平分線方程為x+則|z+m|=|z則最短距離為點(diǎn)2,0到直線x+y=0則|z+m故答案為：2,+∞【變式31】3．（2021春·廣東東莞·高一東莞高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且z+3(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)z0=z+1是關(guān)于x的方程x2【答案】(1)3i(2)m【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)與實(shí)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算，建立方程，可得答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的復(fù)數(shù)根的性質(zhì)，利用韋達(dá)定理，可得答案.【詳解】（1）由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，設(shè)z=ai由z+31+i為實(shí)數(shù)，則a?3=0，解得a（2）由題意可知，方程x2+mx則?m=x所以m=?2,【變式31】4．（2021春·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=a+3i,z(1)若z1+z(2)若虛數(shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2?6【答案】(1)a(2)m【分析】（1）寫出z2，再根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算求出z（2）根據(jù)一元二次方程的虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理即可得出答案.【詳解】（1）解：z2z1因?yàn)閦1所以a+2>03+a（2）解：因?yàn)樘摂?shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程x所以虛數(shù)z1=a則z1所以a=3,【變式31】5．（2021春·上海青浦·高二統(tǒng)考期末）已知z1,z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，且(1)求z1和z(2)寫出一個(gè)以z1和z【答案】(1)z1=4+9i(2)x2【分析】1）根據(jù)題意設(shè)z1=a+bi，z2=a?b（2）利用根與系數(shù)關(guān)系，即可解決此問題．【詳解】（1）解：因?yàn)閦1則z1設(shè)z1=a代入2z得2a整理得3a∴3a?b∴z1=4+9i（2）∵z1+∴以z1和z2為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程可以為【變式31】6．（2023春·山西陽泉·高一陽泉市第十一中學(xué)校?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z1=a(1)若a=1，求z(2)若z2是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+【答案】(1)?(2)2【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）方法一，把z2=1?a方法二，由1?ai是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+mx【詳解】（1）若a=1，則z所以z1（2）方法1：由題得(1?a所以6?a2+m=0,m+2則z1方法2：因?yàn)??ai是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程所以1+ai是方程x2即1+a2=5，又a則z1題型4求根公式法【例題4】（2023春·安徽六安·高一六安一中?？茧A段練習(xí)）方程x2【答案】±【分析】利用復(fù)數(shù)單位i的性質(zhì)，解方程即可求得答案.【詳解】由題意得方程x2+3=0即故x=±故x2+3=0的復(fù)數(shù)根是故答案為：±【變式41】1．（2023春·福建福州·高一福州日升中學(xué)?？计谥校┓匠蘹2【答案】?2±2i【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程求根公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)棣?4所以實(shí)系數(shù)方程x2+4x故答案為：?2±2i【變式41】2．（2023春·河南漯河·高一?？计谥校┓匠蘹2【答案】3±4i【分析】將已知方程配方，結(jié)合虛數(shù)單位的定義i2【詳解】由方程x2?6x即x?3所以x?3=±4i所以方程x2?6x故答案為：3±4i.【變式41】3．（2023春·廣東韶關(guān)·高三南雄中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z是一元二次方程2x2?2A．1 B．22 C．0 D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程的求根公式得到2x2?2x+1=0【詳解】∵復(fù)數(shù)z是一元二次方程2x又Δ=?2∴該方程的根為x=即z=12+1故選：B．【變式41】4．已知方程x2+x+p=0（p∈R）的兩個(gè)根是x1、【答案】94或【分析】按p分類討論，分方程x2+x+p=0的兩個(gè)根是實(shí)數(shù)根和虛數(shù)根兩種情況分別去求【詳解】當(dāng)p≤14時(shí)，方程則x1+x則x1?x則?12?4p=3當(dāng)p>14時(shí)，方程令x1=又x1+x則?122綜上，p的值為p=94故答案為：p=94【變式41】5．（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2?2x(1)求復(fù)數(shù)z；(2)將z所對(duì)應(yīng)向量繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到向量OZ1，記OZ1所對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為【答案】(1)z=1+i(2)i.【分析】（1）設(shè)z=a+（2）由題可得OZ(1)設(shè)z=a+∴a2解得a=1b=1由z?i≤1，可得故a=1所以z=1+i(2)因?yàn)閦=1+i，對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)為1,1，繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到向量O∴OZ1=∴z1∴z1【變式41】6．（2023春·江蘇蘇州·高一蘇州中學(xué)校考期中）設(shè)z1，z2均為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，已知z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為((1)若復(fù)數(shù)z1(2)若|z2|=3，且z2【答案】(1)m(2)?【分析】（1）根據(jù)z1（2）用實(shí)數(shù)a表示z2，根據(jù)其模長(zhǎng)可求a，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法可求z【詳