黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題2

黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)20242025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.[1，4]2.已知向量，滿(mǎn)足，其中是單位向量，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若，則（）A. B. C. D.5.已知圓和，若動(dòng)圓與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為，則的方程為（）A. B. C. D.6.如圖，三棱柱中，E，F(xiàn)分別是AB、AC的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為（左為，右為）兩部分，則（）A.5:6 B.3:4 C.1:2 D.5:77.專(zhuān)家表示，海水倒灌原因是太陽(yáng)、月亮等星體的共同作用下，海水的自然漲落，如果天氣因素造成的漲水現(xiàn)象趕上潮汐高潮的時(shí)候，這個(gè)時(shí)候水位就會(huì)異常的高.某地發(fā)生海水倒灌，未來(lái)24h需要排水減少損失，因此需要緊急抽調(diào)抽水機(jī).經(jīng)測(cè)算，需要調(diào)用20臺(tái)某型號(hào)抽水機(jī)，每臺(tái)抽水機(jī)需要平均工作24h.而目前只有一臺(tái)抽水車(chē)可立即投入施工，其余抽水機(jī)需要從其他施工現(xiàn)場(chǎng)抽調(diào).若抽調(diào)的抽水機(jī)每隔20min才有一臺(tái)到達(dá)施工現(xiàn)場(chǎng)投入工作，要在24h內(nèi)完成排水任務(wù)，指揮部至少共需要抽調(diào)這種型號(hào)的抽水機(jī)（）A.25臺(tái) B.24臺(tái) C.23臺(tái) D.22臺(tái)8.已知函數(shù)，若，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.[0,8]二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．則下列說(shuō)法中正確的是（）A. B.離心率為C.的面積為6 D.的面積為1210.已知函數(shù)滿(mǎn)足，若在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則（）A.的最小正周期是 B.C.的最小值為 D.的最大值為11.在中，為內(nèi)的一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若為的重心，則 B.若為的外心，則C.若為的垂心，則 D.若為的內(nèi)心，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值是______.13.邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的內(nèi)心為，過(guò)的直線與邊AB，AC交于P、Q，則的最大值為_(kāi)_____.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，函數(shù)定義域?yàn)镽，對(duì)任意都有，若，則的值為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）求的取值范圍.16.為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學(xué)成績(jī)（分）的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）.表一：編號(hào)12345學(xué)習(xí)時(shí)間3040506070數(shù)學(xué)成績(jī)65788599108（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中變量與變量之間關(guān)系可以用線性回歸模型擬合（結(jié)果精確到0.001）；（2）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并由此預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間為100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)；（3）基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周六在校自主學(xué)習(xí).經(jīng)過(guò)一學(xué)期的實(shí)施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生.按照是否參與周六在校自主學(xué)習(xí)以及成績(jī)是否有進(jìn)步統(tǒng)計(jì)，得到列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“周六在校自主學(xué)習(xí)與成績(jī)進(jìn)步”是否有關(guān).表二：沒(méi)有進(jìn)步有進(jìn)步合計(jì)參與周六在校自主學(xué)習(xí)35130165未參與周六不在校自主學(xué)習(xí)253055合計(jì)60160220（參考數(shù)據(jù)：的方差為的方差為230.8，）附：，.0.100050.0100.0050.0012.7063.84166357.87910.82817.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為；（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.如圖，在三棱柱中，已知底面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且為線段AD上的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：；（2）若直線與所成角的余弦值為，求二面角的正弦值.19.設(shè)是定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，若存在區(qū)間，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱(chēng)為“含峰函數(shù)”，為“峰點(diǎn)”，稱(chēng)為的一個(gè)“含峰區(qū)間”.（1）判斷下列函數(shù)是否為“含峰函數(shù)”？若是，