2018年數(shù)學(xué)（北師大版選修4-5）練習(xí)15不等式的應(yīng)用活頁(yè)作業(yè)7

活頁(yè)作業(yè)(七)不等式的應(yīng)用一、選擇題1．某商場(chǎng)中秋前30天月餅銷售總量f(t)與時(shí)間t(0＜t≤30)的關(guān)系大致滿足f(t)＝t2＋10t＋16，則該商場(chǎng)前t天平均售出eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(如前10天的平均售出為\f(f10,10)))的月餅最少為()A．18 B．27C．20 D．16解析：平均銷售量y＝eq\f(ft,t)＝eq\f(t2＋10t＋16,t)＝t＋eq\f(16,t)＋10≥18，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(16,t)，即t＝4∈[1,30]時(shí)等號(hào)成立，即平均銷售量的最小值為18.答案：A2．汽車上坡時(shí)的速度為a，原路返回時(shí)的速度為b，且0＜a＜b，則汽車全程的平均速度比a，b的平均值()A．大 B．小C．相等 D．不能確定解析：設(shè)單程為s，則上坡時(shí)間t1＝eq\f(s,a)，下坡時(shí)間t2＝eq\f(s,b)，平均速度為v＝eq\f(2s,t1＋t2)＝eq\f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＜eq\f(a＋b,2).答案：B3．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．60件 B．80件C．100件 D．120件解析：若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是eq\f(800,x)元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用是eq\f(x,8)元，總的費(fèi)用是eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)，即x＝80時(shí)取等號(hào)．答案：B4．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1km，某炮位于原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．則炮的最大射程為()A．20kmC．5km解析：令y＝0，得kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2＝0.由實(shí)際意義和題設(shè)條件，知x＞0，k＞0.故x＝eq\f(20k,1＋k2)＝eq\f(20,k＋\f(1,k))≤eq\f(20,2)＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝eq\f(1,k)，即k＝1時(shí)取等號(hào)．所以炮的最大射程為10km.答案：B二、填空題5．設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5，P是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)P到這個(gè)三角形三邊的距離的積的最大值是________.解析：設(shè)點(diǎn)P到三角形三邊的距離分別為h1，h2，h3.由題意，得三角形為直角三角形，S＝eq\f(1,2)×3×4＝6.∴eq\f(1,2)h1·3＋eq\f(1,2)h2·4＋eq\f(1,2)h3·5＝6.∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3eq\r(3,60h1h2h3).∴h1h2h3≤eq\f(64,60)＝eq\f(16,15).答案：eq\f(16,15)6．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為____________m.解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)F.易知eq\f(DE,BC)＝eq\f(x,40)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AF,AH)?AF＝x?FH＝40－x.則S＝x(40－x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,2)))2，當(dāng)且僅當(dāng)40－x＝x，即x＝20時(shí)取等號(hào)．所以滿足題意的邊長(zhǎng)x為20m.答案：20三、解答題7．某漁業(yè)公司今年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需各種費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開始包括維修費(fèi)在內(nèi)，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬(wàn)元，該船每年捕撈的總收入為50萬(wàn)元．(1)該船捕撈幾年后開始盈利(即總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正值)?(2)該船捕撈若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以26萬(wàn)元的價(jià)格賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬(wàn)元的價(jià)格賣出．哪一種方案較為合算？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)捕撈n年后開始盈利，盈利為y元，則y＝50n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12n＋\f(nn－1,2)·4))－98＝－2n2＋40n－98.由y＞0，得n2－20n＋49＜0.解得10－eq\r(51)＜n＜10＋eq\r(51)(n∈N＋)．所以3≤n≤17.故捕撈3年后開始盈利．(2)①由(1)，得y＝－2n2＋40n－98.所以平均盈利為eq\f(y,n)＝－2n－eq\f(98,n)＋40≤－2eq\r(2n·\f(98,n))＋40＝12，當(dāng)且僅當(dāng)2n＝eq\f(98,n)，即n＝7時(shí)，年平均盈利最大．故經(jīng)過(guò)7年捕撈后平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110(萬(wàn)元)．②由(1)，得y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102.所以當(dāng)n＝10時(shí)，函數(shù)y的最大值為102.故經(jīng)過(guò)10年捕撈后盈利總額最大，共盈利102＋8＝110(萬(wàn)元)．因?yàn)閮煞N方案盈利相等，但方案②的時(shí)間長(zhǎng)，所以方案①合算．8．某住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè)優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計(jì)劃建一個(gè)八邊形的休閑小區(qū)，其主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和矩形EFGH構(gòu)成的面積是200m2的十字形區(qū)域，現(xiàn)計(jì)劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價(jià)為4200元/m2，在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/m2，再在四個(gè)空角上鋪草坪，造價(jià)為80元/m(1)設(shè)總造價(jià)為S元，AD的邊長(zhǎng)為xm，試建立S關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)計(jì)劃至少要投多少萬(wàn)元才能建造這個(gè)休閑小區(qū)？解：(1)設(shè)DQ＝y(tǒng)m，則x2＋4xy＝200，即y＝eq\f(200－x2,4x).所以S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×eq\f(1,2)y2＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)(0＜x＜10eq\r(2))．(2)由(1)，得S＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)≥38000＋2eq\r(16×108)＝118000，當(dāng)且僅當(dāng)4000x2＝eq\f(400000,x2)，即x＝eq\r(10)時(shí)取等號(hào)．因?yàn)?18000元＝11.8萬(wàn)元，所以計(jì)劃至少要投入11.8萬(wàn)元才能建造這個(gè)休閑小區(qū)．一、選擇題1．某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外，每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為()A．10 B．11C．13 D．21解析：設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x，設(shè)備年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2＋4＋…＋2x＝[x(x＋1)]萬(wàn)元，所以x年的年平均費(fèi)用為y＝eq\f(100＋0.5x＋xx＋1,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1.5萬(wàn)元．由平均值不等式，得y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)，即x＝10時(shí)取等號(hào)．答案：A2．設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬(wàn)元(t為正常數(shù))．公司決定從原有員工中分流x(0＜x＜100，x∈N＋)人去進(jìn)行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn)．分流后，繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)了1.2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少，則最多能分流的人數(shù)是()A．15 B．16C．17 D．18解析：由題意，得分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t萬(wàn)元，分流x人后，每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100－x)(1＋1.2x%)t萬(wàn)元．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜100，x∈N＋，,100－x1＋1.2x%t≥100t.))解得0＜x≤eq\f(50,3).因?yàn)閤∈N＋，所以x的最大值為16.答案：B二、填空題3．制造一個(gè)容積為eq\f(π,2)m3的無(wú)蓋圓柱形桶，用來(lái)做底面的金屬板的價(jià)格為每平方米30元，做側(cè)面的金屬板的價(jià)格為每平方米20元，則當(dāng)圓柱形桶的底面半徑為________m、高為________m時(shí)，所使用的材料成本最低．解析：設(shè)此圓柱形桶的底面半徑為rm，高為hm，則底面面積為πr2m2，側(cè)面積為2πrhm設(shè)原料成本為y元，則y＝30πr2＋40πrh.因?yàn)橥暗娜莘e為eq\f(π,2)m3，所以πr2h＝eq\f(π,2)，即rh＝eq\f(1,2r).所以y＝30πr2＋eq\f(20,r)π＝10πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3r2＋\f(1,r)＋\f(1,r)))≥10π·3eq\r(3,3)，當(dāng)且僅當(dāng)3r2＝eq\f(1,r)，即r＝eq\f(\r(3,9),3)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)h＝eq\f(\r(3,9),2).答案：eq\f(\r(3,9),3)eq\f(\r(3,9),2)4．設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為________.解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，高為h，則eq\f(\r(3),4)x2h＝V，即h＝eq\f(4\r(3)V,3x2).所以S表＝2×eq\f(\r(3),4)x2＋3xh＝eq\f(\r(3),2)x2＋3x·eq\f(4\r(3)V,3x2)＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(8V,x)))＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(4V,x)＋\f(4V,x)))≥eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3,16V2)＝3eq\r(3)·eq\r(3,2V2)，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\f(4V,x)，即x＝eq\r(3,4V)時(shí)取等號(hào)．答案：eq\r(3,4V)三、解答題5．如圖(1)所示，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器，如圖(2)所示，求這個(gè)正六棱柱容器容積的最大值．(1)(2)解：設(shè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為x(x＞0)，高為h，由下圖，可得2h＋eq\r(3)x＝eq\r(3).所以h＝eq\f(\r(3),2)(1－x)，V＝S底·h＝6×eq\f(\r(3),4)x2h＝eq\f(3\r(3),2)x2·eq\f(\r(3),2)(1－x)＝2eq\r(3)×eq\f(3\r(3),2)·eq\f(x,2)·eq\f(x,2)·(1－x)≤9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(x,2)＋\f(x,2)＋1－x,3)))3＝eq\f(1,3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,2)＝1－x，即x＝eq\f(2,3)時(shí)等號(hào)成立．所以當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為eq\f(2,3)時(shí)，正六棱柱容器容積最大，為eq\f(1,3).6．某養(yǎng)殖廠需定期購(gòu)買飼料，已知該廠每天需要飼料200kg，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每千克每天0.03元，(1)該廠多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少？(2)若提供飼料的公司規(guī)定：當(dāng)一次購(gòu)買飼料不少于5t時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠(即為原價(jià)的85%)．該廠是否可以考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)該廠應(yīng)隔x(x∈N＋)天購(gòu)買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y1元．因?yàn)轱暳系谋９芘c其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天飼料的保管與其他費(fèi)用共6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)元．從而有y1＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq\f(300,x)＋3x＋357≥417，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(300,x)＝3x，即x＝10時(shí)取等號(hào)．故每隔10天購(gòu)買一次飼料才能使