甘肅省蘭州市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)1月期末考試 數(shù)學(xué)試卷

高一第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)卷數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求.

1.已知集合人{(lán)T°，L2,3},B={-3,-l,l,3,5)

則AB=()

A.{1,3}B.{0,1,3)C.{-1,1,3}D.{-1,0,1,2,3,5}

2.“信>雨”是的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C,充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)y=Jlog2%的定義域是

A.(0,1]B.

C.(1,+8)D.[l,+oo)

4.若0＜1,則關(guān)于x的不等式(/一“]%一))〉0的解集是()

B.{川力，或了＜/}

1

D.<xt<x<->

5.如果。＞1力＜一1,那么函數(shù)/(X)=優(yōu)+)的圖象在

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

6.已知函數(shù)/(x)=|tarW，下列結(jié)論正確的是()

TT

A.函數(shù)“力的最小正周期為一

2

B.函數(shù)/（x）在區(qū)間（］,兀］上是增函數(shù)

C.函數(shù)/（尤）的圖象關(guān)于直線x=2024兀對(duì)稱

D.函數(shù)Ax）是奇函數(shù)

2A3,x>0

7已知函數(shù)，（x）=<，則〃T4）=（)

/(x+3),^<0

1

A.-Bc.oD.

4-I4

8.設(shè)〃=10826,/?=108312,。=2°6,則()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.c<a<b

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列敘述中正確的是（）

A.{0}cZ

B.若集合A,8是全集。的兩個(gè)子集，且則51（^4）=0

C.命題“VxeZ,x2>0”的否定是“mxeZ,x2<0”

D.命題VxeZ,x2>0”的否定是VxGZ,x2<0

10.下列計(jì)算正確的是（）

A.［3「二立B.9”-2x92f=0

bJ2

C.log4^xlog32=-^-D.e31n2=9

11.已知函數(shù)/（力=435（0%+9）［4〉0,0〉0,閘<］的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

A.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)［―對(duì)稱

57r

B.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=—三對(duì)稱

C.函數(shù)y=/(x)在-=■，-$單調(diào)遞減

L3o

JT

D.該圖象向右平移一個(gè)單位可得y=2sin2x圖象

6

(x-l)3,x>a

12.已知函數(shù)/(x)=?,，則下列結(jié)論正確的是()

A.存在實(shí)數(shù)。，函數(shù)/(x)無最小值

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)。，函數(shù)/(x)都有零點(diǎn)

C.當(dāng)aNl時(shí)，函數(shù)/a)在(L+o。)上單調(diào)遞增

D.對(duì)任意ae(l,2),都存在實(shí)數(shù)m,使關(guān)于x的方程/(%)=0有3個(gè)不同的實(shí)根

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

5兀

13.cos—=.

6

14.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注問題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄

視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V的滿足L=5+lgV.己知某同學(xué)視力的小數(shù)記錄法

數(shù)據(jù)為0.8，則其視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)約為.(1g2x0.3)

15.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：/(%)=.①函數(shù)g(x)=/(x)-1為指數(shù)函數(shù)；

②Ax)單調(diào)遞增；@f(l)>3.

16.對(duì)于函數(shù)y=/(x),若存在%,使/(%)=—/(-/),則稱點(diǎn)(％,/(%))與點(diǎn)(一1，/(一%0))是函

%2_|_2%X<0

數(shù)/(%)的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)''.若函數(shù)/(九)=’的圖象存在“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

mx+4,x>0

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

_，心sinx+cosx

17.已知----------=3.

sinx-cosx

(1)求tanx的值;

叱些，并求值.

（2）若1是第三象限角，化簡(jiǎn)COS（6TI-X）?

1-sinx

18.已知a>0,b>0.

(1)求證：a+3Z?2>2b(a+b)；

(2)若於=1,求2〃+/?的最小值.

ab

jIjIj?

19.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+9)—1(-5<夕<5),§是/(無)的一個(gè)零點(diǎn).

(1)求。；

7T

（2）當(dāng)xe[0,—]時(shí)，求"X）的值域.

2

20.“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”是2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江

南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.某中國企業(yè)可以生產(chǎn)杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥

y=Ac?+B（A〉0）與y=Tax（T>0,a>l）可供選擇.

（1）當(dāng)投資成本x不高于12（百萬元）時(shí)，選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;

（2）當(dāng)投資成本x高于12（百萬元）時(shí)，利潤(rùn)y（百萬元）與投資成本x（百萬元）滿足關(guān)系

y=-0.2（x-12）（x-17）+12.8,結(jié)合第（1）問的結(jié)果，要想獲得不少于一千萬元的利潤(rùn)，投資成本x（百

萬元）應(yīng)該控制在什么范圍.（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：1g2ao.30）

21.己知函數(shù)/（x）=loga（2x-4）+log〃（5—x）（a〉0,且aH1）的圖象過點(diǎn)尸（3,-2）.

（1）求。的值及Ax）的定義域;

(2)求"％)在［3,上的最小值；

(3)若2加=3"=/§(/<3),比較"2㈤與"3”)的大小.

22.己知函數(shù)/(%)=6“+(1+。)屋.

(1)若/(力是偶函數(shù)，求。值；

⑵若對(duì)任意x?0,+8),不等式+l恒成立，求。的取值范圍.

2023-2024學(xué)年高一第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)卷數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)框涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框.回答非選擇題時(shí),

將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合題目要求.

1.已知集合”={-10123},5={-3,-14,3,5},則AB=()

A.{1,3}B.{0,1,3}C.{-1,1,3)D.

{-1,0,1,2,3,5}

【答案】c

【解析】

【分析】由交集的定義求解即可

【解析】因?yàn)锳={—1,0,1,2,3},B={-3,-1,1,3,5},

所以AcB={-1,1,3},

故選：C

2."a。？>6/"是"a>b"

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.

【解析】當(dāng)a。？>人°2,則cwO,貝！|">萬即充分性成立;當(dāng)a>〃,c=0時(shí)，a。？Abe?不成立，即必

要性不成立，即“42>bc2”是“a>b”的充分不必要條件.

故選:A.

【小結(jié)】本題考查了充分必要條件的定義，考查不等式性質(zhì)，難度容易.

3.函數(shù)y=Jlog2無的定義域是

A.(0,1]B.(0,+e)

C.(1,+℃)D.[1,+co)

【答案】D

【解析】

【解析】由題意知log?%>0,/.x>l,則函數(shù)y=M^的定義域是[1,+8).

故選D.

4.若0</<1,則關(guān)于x的不等式。一“\一￡|〉0的解集是()

A.<x-<x<t>B.{x[x)L或x<f}

C.或xj/}D.<xt<x<->

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)，的范圍，判斷1〉f,解一元二次不等式可得答案.

t

【解析】因?yàn)?<f<l,所以！〉1,即工〉人

tt

所以(，一》)1%_7]〉0,即(％_/)1%_7]<0,解得/<%<-.

故選：D

5.如果a>l力<一1,那么函數(shù)/(x)=a*+b的圖象在

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【答案】B

【解析】

【解析】Qa>l；.產(chǎn)罐的圖象過第一、第二象限，且是單調(diào)增函數(shù)，經(jīng)過(0,1),

xx

f［x}=a+/?的圖象可看成把y=a的圖象向下平移-6（-步1）個(gè)單位得到的，

故函數(shù)/（X）="+/?圖象經(jīng)過第一、第三、第四象限，不經(jīng)過第二象限，

故選B.

6.己知函數(shù)/（x）=|taiN，下列結(jié)論正確的是（）

71

A.函數(shù)人九）的最小正周期為一

2

JT

B.函數(shù)/（元）在區(qū)間（萬,兀］上是增函數(shù)

C.函數(shù)/（尤）的圖象關(guān)于直線x=2024兀對(duì)稱

D.函數(shù)/'（戈）是奇函數(shù)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的圖象、性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.

【解析】對(duì)于A,由于/（巴）=且，/（2+g）=/（4）=石，因此+

6362362o

A錯(cuò)誤；

jrjr

對(duì)于B,當(dāng)兀］時(shí)，/（x）=-tanx,則函數(shù)/⑺在區(qū)間弓,兀］上是減函數(shù)，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,/（2024兀-x）=|tan（2024兀-%）|=|tanx|=|tan（2024兀+x）|=/（2024兀+x）,

因此函數(shù)〃無）的圖象關(guān)于直線1=2024兀對(duì)稱，C正確;

對(duì)于D,由于/（一%）=|tan（—x）|=|tanx|=/（x）,因此函數(shù)『⑺是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，D

錯(cuò)誤.

故選：C

2>3x>0

7.已知函數(shù)y(x)=〈’,則〃—14)=()

/'(x+3),x?0

1

A.-BC.0D.

4-I4

【答案】A

【解析】

【分析】利用給定的函數(shù)關(guān)系，依次代入計(jì)算即得.

2尸3%>Q

【解析】函數(shù)/(%)二,'，

/(x+3),x<0

所以/(-14)=/(-11)=/(-8)=/(-5)=/(-2)=/(1)=21-3=-.

4

故選：A

8.設(shè)a=log26,6=log312,c=2°',則()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，借助媒介數(shù)比較大小即得.

【角牟析】由4逝<6，=log26>log24V2=1,由9<12<9百，得

log39<log312<log39A/3,

即2<Z?<*,而c=2°6<2i=2，

2

所以c<Z?<a.

故選：B

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.下列敘述中正確的是()

A.{0}cZ

B.若集合A,8是全集U的兩個(gè)子集，且則51(e$)=0

C.命題“VxeZ,x2>0”的否定是“l(fā)ceZ,x2<0”

D.命題“VxeZ,x2>0”的否定是“VxeZ,x2<0”

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系可判斷選項(xiàng)A,B；根據(jù)全稱量詞命題的否定形式可判斷選項(xiàng)C,

D.

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)镺eZ,所以{0}RZ,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：B錯(cuò)誤，可舉特例說明，如。={L2,3,4,5},A={1,2},8={1,2,3},

則丘{3,4,5},

所以3曲勾={3}/0,故8錯(cuò)誤；

全稱量詞命題p：VxeMp(x)的否定是：3x0eM,^p(x0),故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D錯(cuò)

誤.

故選：AC.

10.下列計(jì)算正確的是()

A.13)4=立B,9n~2x92~n=0

bJ2

31n2

C.log4^xlog32=^-D.e=9

【答案】AC

【解析】

【分析】利用指數(shù)幕和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.

］］—1

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,［個(gè)］4=1［：==故選項(xiàng)A正確;

2n

對(duì)于選項(xiàng)B,9"-2x9~=9"-2+2-K=9°=1，故選項(xiàng)B不正確;

1g君：妻2,21g3,Jg2_l

對(duì)于選項(xiàng)C,故選項(xiàng)C正確;

log4^xlog32

lg4lg321g2lg34

31n2ln8

對(duì)于選項(xiàng)D,e=e=8,故選項(xiàng)D不正確.

故選：AC.

11.已知函數(shù)=Acos(ty%+^)A>0,?>0,例<；I的部分圖象如圖所示，下列說

法正確的是(

A.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)［-g,0”寸稱

57r

B.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=-五對(duì)稱

C.函數(shù)y=/(x)在一=■，-F單調(diào)遞減

|_3o

7T

D.該圖象向右平移一個(gè)單位可得y=2sin2x的圖象

6

【答案】BD

【解析】

JT

【分析】根據(jù)給定的三角函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的解析式為/(x)=2cos(2x-不)，結(jié)合三

角函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解析】解：根據(jù)函數(shù)〃%)=4：05(5+。)卜〉0,?！?,附＜1］的部分圖象，

一FAc127r7171一,口一

可得A=2,-----=------，可得①=2,

4口312

再根據(jù)五點(diǎn)作圖法，可得2乂5+°=?解得°=一6，所以/(x)=2cos(2x—2，

對(duì)于A中，當(dāng)了=一二，可得/(—二)=2cos(—2)=石W0,

336

所以［—1,()］不是函數(shù)y=/(x)的對(duì)稱中心，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，當(dāng)％=-五時(shí)，可得/［-衛(wèi)J=2COS(-7T)=-2,即函數(shù)的最小值，

Sir

所以函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=-,對(duì)稱，所以B正確；

,2兀7C_7C37t兀

對(duì)于C中，當(dāng)X￡---，可得---,

36o22

根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在函數(shù)/(%)在一￡先減后增，所以c不正確；

對(duì)于D中，將函數(shù)/(x)=2cos(2x—二)該圖象向右平移四個(gè)單位，

66

'JIJiJI

可得y=2cos[2(x)---]=2cos(2x)=2sin2.x的圖象，所以D正確.

662

故選：BD.

(x-l)3,x>a

12.已知函數(shù)/(x)=〈,，則下列結(jié)論正確的是()

\x-\\,x<a

A.存在實(shí)數(shù)函數(shù)/(x)無最小值

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)。，函數(shù)/a)都有零點(diǎn)

C.當(dāng)aNl時(shí)，函數(shù)/(元)在(1,y)上單調(diào)遞增

D.對(duì)任意ae(l,2),都存在實(shí)數(shù)m,使關(guān)于x的方程/。)-相=。有3個(gè)不同的實(shí)根

【答案】ABD

【解析】

【分析】取特值結(jié)合單調(diào)性判斷A；分段討論判斷B；舉特值分析單調(diào)性判斷C；分析函數(shù)

性質(zhì)，結(jié)合圖象判斷D.

(x-l)3,x>?

【解析】函數(shù)/(x)=1.的定義域?yàn)镽,

|x-l|,x<tz

函數(shù)y=(X-1)3圖象由函數(shù)y=必的圖象向右平移1個(gè)單位而得，函數(shù)y=V在R上是增

函數(shù)，

對(duì)于A,當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/(x)=(x—Ip在(0,+oo)上單調(diào)遞增，當(dāng)0<%<1時(shí)，

-l<(x-l)3<0,

當(dāng)xWO時(shí)，/(%)=-%+1>0,此時(shí)函數(shù)/(x)無最小值，A正確；

對(duì)于B,當(dāng)a<l時(shí)，由f(x)=。，得(x—1)3=0,解得x=l,當(dāng)時(shí)，由/(x)=。，

得|x—1|=0,解得x=l,

因此對(duì)任意實(shí)數(shù)。，函數(shù)■/'(x)都有零點(diǎn)，B正確；

對(duì)于C,取當(dāng)—時(shí)，/(x)=x-1在[1，]上單調(diào)遞增，

222

當(dāng)X〉3時(shí)，/(x)=(x—1)3在(j,+8)上單調(diào)遞增，而(：—1)3=，<:=/(：),

222822

此時(shí)函數(shù)〃尤)在(L+8)上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；

(x-l)3,x>a

對(duì)于D,對(duì)任意ae(1,2),函數(shù)/(x)=|x-IJVxVa在(―8,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)值集

-x+l,x<l

合為(0,+8),

在［1,旬上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為［0,a-1］,在3y)上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為

((?-l)3,+co),

顯然恒有(a—IP<a—1,當(dāng)(a—IF(根<a—1時(shí)，直線丁=根與函數(shù)y=/(x)的圖象有3

個(gè)交點(diǎn)，

因此方程有3個(gè)不同的實(shí)根，D正確.

思路小結(jié)：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與

函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

57r

13.cos—=.

6

【答案】-走

2

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得.

即用、5兀(兀，兀).兀6

斛析】cos-=cos—+—=-sin—=----.

6U3J32

故答案為：

2

14.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小

數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V的滿足L=5+lgV.

已知某同學(xué)視力的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為0.8,則其視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)約為

.(1g2彩0.3)

【答案】4.9

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及所給數(shù)據(jù)求出坨0.8,最后代入所給公式計(jì)算可得.

4

【解析】解：由L=5+lgV,當(dāng)丫=0.8時(shí)，lg0.8=lg《=lg4—lg5

=21g2-(lgl0-lg2)=31g2-l?-0.1,

所以L=5—IgO.8a5—0.1=4.9.

故答案為：4.9

15.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：/(%)=.①函數(shù)g(x)=/(x)-1

為指數(shù)函數(shù)；②/*)單調(diào)遞增；@/(l)>3.

【答案】3-1'+1(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件①可得函數(shù)7a)的解析式，再利用另兩個(gè)條件判斷作答.

【解析】因函數(shù)g。)是指數(shù)函數(shù)，則令g(x)=a"。>0且awl,于是得/。)=優(yōu)+1,

由于/⑴單調(diào)遞增，則a>l,X/(l)=?+l>3,解得a>2,取a=3,

所以/(x)=3*+l.

故答案為：3A'+1(答案不唯一)

16.對(duì)于函數(shù)y=/(x),若存在％,使/(毛)=一/(一七))，則稱點(diǎn)(％,/(豌)))與點(diǎn)

+X<0

(—%〃—%))是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”.若函數(shù)/(x)=的圖象存在

[mx+4,x>0

“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】(-8,2]

【解析】

【分析】結(jié)合奇函數(shù)的特征，區(qū)間轉(zhuǎn)化法求解析式，再根據(jù)新定義轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn),

進(jìn)而轉(zhuǎn)化到方程根的問題，利用基本不等式即可解決.

尤2+X<0

【解析】由“隱對(duì)稱點(diǎn)”的定義可知，/(%)=’的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的

mx+4,x>0

點(diǎn)，

設(shè)“(X)的圖象與y=■?+2x,x<0圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

設(shè)x>0,則—x<0,/(-x)=(-X)2+2(-X)=/_2%,

所以/?(%)=-/(一%)=_必+2%,%>0,

故”(％)的圖象與y=g+4,%>。的圖象有交點(diǎn)，

等價(jià)于方程—爐+2尤=mx+4(x>0)有實(shí)根，

故機(jī)=-x——+2=-(-^+-)+2<-274+27+2=—2,

XX

當(dāng)且僅當(dāng)％=2時(shí)，取得等號(hào)，所以機(jī)4—2,故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-8,2].

故答案為：(—8,2].

四,解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

「心sinx+cosx

17.已知----------=3.

sinx-cosx

(1)求tanx的值；

(2)若x是第三象限角，化簡(jiǎn)COS(6TT-力己士^1竺，并求值.

y1—sinx

【答案】17.2；18.詳見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用齊次式法計(jì)算即得.

(2)利用平方關(guān)系化簡(jiǎn)給定式子，再結(jié)合(1)利用同角公式求值即得.

【小問1解析】

,sinx+cosx-,口tanx+1--

由----------=3,得--------=3,解得tan尤=2,

sinx-cosxtanx-1

所以tanx值為2.

【小問2解析】

由(1)知，tanx=2,即cosx=—sinx,ffffsin2x+cos2x=1>于是sin2x=一,

25

而尤是第三象限角，即sinx<0,cosx<0,因此sinx=,

5

所以

,,、/1+sinx1(1+sin%)2/(1+sinx)21+sin%.2^5

COS(O7T-X)-.------=COSX-.-----j—=COSX?J-----工---=COSX--------=-Id-----

V1-sinxV1-sinxVcosx-cosx5

18.已知。>0,>>0.

(1)求證：a2+3Z>2>2b(a+b)；

(2)若,+2=1,求2a+b的最小值.

ab

【答案】(1)證明見解析；

(2)8.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用基本不等式推理即得.

(2)利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【小問1解析】

a>0,b>0,則/+3尸=〃+/+2/7222加7+2〃=2伙4+圻，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等

號(hào)

所以/+3廿之2伙a+。).

【小問2解析】

12

由〃>0力>。，且—I—=1,得

ab

c7/12...b4〃\b4a

2〃+Z?=(--F—)(2〃+/1?)=4H--1---->4+2J-----=8o,

ababyab

h4-d

當(dāng)且僅當(dāng)土=—*,即A=2a=4時(shí)取等號(hào)，

ab

所以當(dāng)a=2,b=4時(shí)，2。+/?取得最小值8.

JIJIJI

19.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+0)—l(—5<夕<5),§是，(x)的一個(gè)零點(diǎn).

（1）求。;

7T

(2)當(dāng)％￡[0,—]時(shí),求/⑺的值域.

2

TT

【答案】（1）——；

6

3

(2)[--,0].

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定的零點(diǎn)，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出。

（2）由（1）求出〃尤）的解析式，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出值域即得.

【小問1解析】

27r27rTI717r

依題意,=0,即sin(----b/)=1,則---\-(p=—+2kit,keZ,而——<(p<一,

33222

所以左=0,/=__71

6

【小問2解析】

TTTTqrjTSjT

由（1）知，/（x）=sin（2x——）-1,當(dāng)工￡［0,—］時(shí)，2x—

62666

而正弦函數(shù)y=sinx在［-2，月上單調(diào)遞增，在止，況］上單調(diào)遞減，

6226

因此當(dāng)2x—二=—四，即％=0時(shí)，sin（2x-四）取得最小值—L

6662

當(dāng)2x----=—，即尤=—時(shí)，sin（2元-：）取得最大值1,則—<sin（2x-----）W1,

623626

3兀

--<sin（2x--）-l<0,

26

3

所以/⑴的值域是［一Q,0］.

20.“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”是2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白

居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.某中國

企業(yè)可以生產(chǎn)杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物“宸宸”“琮蹤”“蓮蓮”，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，投資成本無（百

萬元）與利潤(rùn)y（百萬元）的關(guān)系如下表：

（1）當(dāng)投資成本X不高于12（百萬元）時(shí)，選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相

應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)投資成本x高于12（百萬元）時(shí)，利潤(rùn)》（百萬元）與投資成本x（百萬元）滿足

關(guān)系y=-0.2（x—12）（x—17）+12.8,結(jié)合第⑴問的結(jié)果，要想獲得不少于一千萬元的

利潤(rùn)，投資成本x（百萬元）應(yīng)該控制在什么范圍.（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù):

lg2工0.30）

【答案】（1）最符合實(shí)際的函數(shù)模型為y=nf（T〉0,a〉l）,解析式為y=g?（女>

（2）[11.3,19]

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，將點(diǎn)（2,0,4）,（4,0.8）,分別代入兩個(gè)函數(shù)的

解析式，求得A8,T,。的值，結(jié)合x=12時(shí)，求得》的值，即可得到答案；

（2）根據(jù)題意得到利潤(rùn)y與投資成本x關(guān)系式，結(jié)合要獲得不少于一個(gè)億的利潤(rùn)，得出不

等式y(tǒng)210,分類討論，即可求解.

【小問1解析】

解：最符合實(shí)際的函數(shù)模型為y=nf（T〉0,a>l）,

理由如下：

若選函數(shù)y=Ac?+&A〉0）,將點(diǎn)（2,0.4）,（4,0.8）代入可得j—08'

1414

解得年五所以y—八行，

當(dāng)x=12時(shí)，可得y=5.06,與實(shí)際數(shù)據(jù)差別較大；

若選函數(shù)y=nz，（T〉0,a>l）,

rriZ_八1

a=

將點(diǎn)(2,0.4),(4,0.8)代入可得4',解得a=JJ,T=—,

所以y=：(0)x,當(dāng)x=12時(shí)，可得y=12.08,符合題意，

綜上可得，最符合實(shí)際的函數(shù)模型為_y=g-(0)1

【小問2解析】

L(0『,O<X<12

解：由題意知，利潤(rùn)》與投資成本x滿足關(guān)系式y(tǒng)=《5''

-0.2(x-12)(x-17)+12.8,x>12

要獲得不少于一個(gè)億的利潤(rùn)，即y210,

當(dāng)0<x<12時(shí)，即工(應(yīng)廠210,即x22」og,50=2?察=2?號(hào)畀土U.3,

51g21g2

又因?yàn)?<x<12,所以11.3WxW12；

當(dāng)x>12時(shí),即-O.2(x—12)(x—17)+12.8210,W1x2-29x+190<0)

解得10Vx<19,又因?yàn)閤>12,所以12<xW19,

綜上可得，U.3WxW19,

所以要獲得不少于一個(gè)億的利潤(rùn)，投資成本x(千萬)的范圍是［1L3,19］.

21.已知函數(shù)〃x)=log/2%—4)+log/5—x)(a>0,且二已知的圖象過點(diǎn)尸(3,—2).

(1)求a的值及Ax)的定義域；

(2)求"X)在［3,1上的最小值；

(3)若2M=3"=/§</<3),比較“2㈤與"3〃)的大小.

【答案】21.a=-,(2,5)

2

22.l-21og23

23./(2m)</(3n)

【解析】

【分析】(1)由/(3)=—2求得。，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義得定義域.

(2)函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有一個(gè)對(duì)數(shù)號(hào)，然后由二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得最小值.

(3)指數(shù)式改寫為對(duì)數(shù)式，然后比較2m,3〃的大小，并由已知得出