函數(shù)與線段、面積等最值問(wèn)題【考點(diǎn)精講】（解析版）

專(zhuān)題18函數(shù)與線段、面積等最值問(wèn)題

知識(shí)導(dǎo)航

，方法技巧

1.二次函數(shù)與線段的和差

在X軸上是否存在點(diǎn)P,使P3+P4最短？若存在求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出最小值。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【方法技巧】（將軍飲馬模型）在兩定點(diǎn)中任選一個(gè)點(diǎn)（為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，常常取軸上的點(diǎn)），求出該點(diǎn)關(guān)于題中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)

過(guò)的那條直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再把此對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與余下定點(diǎn)相連，那么此直線與在x軸上的交點(diǎn)既是點(diǎn)P。

2.二次函數(shù)與周長(zhǎng)

在y軸上是否存在點(diǎn)P,使△尸/D的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

注意到是定線段，其長(zhǎng)度是個(gè)定值，因此只需產(chǎn)4+尸。最小。

3.二次函數(shù)與距離

在直線BD下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)尸到直線BD的距離最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最大距離;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

因?yàn)锽D是定線段，點(diǎn)P到直線BD的距離最大，意味著△8DP的面積最大

4.二次函數(shù)與面積

①三角形面積最值：找公共邊、平移、表小面積

②四邊形面積最值：設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，采用公式法或割補(bǔ)法表示四邊形面積

（1）在直線30下方的拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使S△板的面積最大？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線，將△P5D分割成2個(gè)同底的三角形，貝SAPBO=/上動(dòng)-y下動(dòng)）（x右電-x專(zhuān)電）

（2）在直線3。下方的拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使四邊形DOBP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出四邊形面積

的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

四邊形。?是不規(guī)則圖形，通常用割補(bǔ)法求解，則：S四邊形=SADOB+SADB尸，或S四邊形￡>OBP=S/VBOP

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使&PBL2s3。？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

設(shè)出動(dòng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為QF-2L3）后，把到圖形A43。的面積算出，借助于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)把動(dòng)三角形P8C的面積表示出來(lái)，再代入已

知中的面積等式求解即可。

B題型精講

題型一：函數(shù)與最值問(wèn)題

【例1】（2021?山東）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線〉=/+2必+2/-加的頂點(diǎn)為/.

（1）求頂點(diǎn)/的坐標(biāo)（用含有字母加的代數(shù)式表示）；

（2）若點(diǎn)2（2,%）,。（5,人）在拋物線上，且無(wú)〉無(wú)，則加的取值范圍是;（直接寫(xiě)出結(jié)果即

可）

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)歹的最小值等于6,求加的值.

【答案】（1）頂點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-加，加2-加）；（2）加〈一二；（3）加=-1+可或_2

24

【分析】

（1）將拋物線解析式化成了=（》+加r+/-加的形式，即可求得頂點(diǎn)/的坐標(biāo)；

（2）將8（2,%）,C（5/c）代入拋物線中求得先和兒的值，然后再解不等式即可求解；

（3）分類(lèi)討論，分對(duì)稱(chēng)軸在1的左側(cè)、對(duì)稱(chēng)軸在3的右側(cè)、對(duì)稱(chēng)軸在1,3之間共三種情況分別求出函數(shù)的最小

值，進(jìn)而求出m的值.

【詳解】

解：（1）由題意可知：

拋物線y-X2+2mx+2m2-m—（x+m）2+m2-m,

J.頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-加，加2-m）；

22

（2）將B（2,yB）代入y-x+2mx+2m-加中，

222

得至（JyB=2+2mx2+2m-m=Im+3加+4,

將C（5,”?）代入y-x2+2mx+2m2-加中，

222

得至!Jyc=5+2mx5+2m-m=2m+9m+25,

由已知條件知：yB>yc>

2m2+9m+25<2m2+3加+4,

整理得到：6m<-21,

7

解得：加<一1，

,一7

故機(jī)的取值范圍是：m<---

2

（3）二次函數(shù)的開(kāi)口向上，故自變量離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為-加，

分類(lèi)討論：

①當(dāng)—m<1,即加>—1時(shí)，

x=l時(shí)二次函數(shù)取得最小值為>=心+2m+2m2-m-2m2+m+1,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

???2加之+機(jī)+1=6,解得加=一］+或加=--,

44

又加＞-1,故加=-1+符合題意;

4

②當(dāng)一加＞3,即加＜一3時(shí)，

x=3時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y=32+2mx3+2m2-m=2m2+5加+9,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

3、

???2加2+5加+9=6,解得機(jī)=一］"或加=一1,

3

又加＜-3,故加=-］或相=-1都不符合題意；

③當(dāng)1￡-加￡3,即一3V加0—1時(shí)，

x=加時(shí)二次函數(shù)取得最小值為y=/+2m2+2m2-m=m2-m,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

???冽2一冽=6,解得加=3或加二一2,

又-3W掰工-1,故加=-2符合題意；

綜上所述，m=］+或-2.

4

題型二：函數(shù)與線段、周長(zhǎng)問(wèn)題

【例2】(2021?四川)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與1軸分別交于4、5兩點(diǎn)，與歹軸交于點(diǎn)。

(0,6),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為￡(2,8),連結(jié)BC、BE、CE.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷△BCE的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)如圖2,以。為圓心，血為半徑作。C,在。。上是否存在點(diǎn)尸，使得尸的值最小，若存在,

請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

【答案】(1)尸-葭2+2/6；(2)直角三角形，見(jiàn)解析；(3)存在，業(yè)也

22

【分析】

(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)分別求出三角形三邊的平方，然后運(yùn)用勾股定理逆定理即可證明；

(3)在CE上截取CF="(即C/等于半徑的一半)，連接8尸交OC于點(diǎn)P,連接EP,則8尸的長(zhǎng)即為

2

所求.

【詳解】

解：(1)?.?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(2,8),

???設(shè)該拋物線的表達(dá)式為尸。(x-2)2+8,

與y軸交于點(diǎn)C(0,6),

二把點(diǎn)C(0,6)代入得：＜7=——,

???該拋物線的表達(dá)式為尸-*2+2x+6；

(2)ABCE是直角三角形.理由如下：

??,拋物線與x軸分別交于/、8兩點(diǎn)，

二當(dāng)y=0時(shí)，-g(x-2)2+8=0,解得：xi=-2,X2=6,

■.A(-2,0),B(6,0),

2222222

.?.JBC=6+6=72,2=(8-6)+2=8,B?=(6-2)+8=80,

:.BE^BO+CE2,

；/BCE=90°,

.?.△BCE是直角三角形；

(3)如圖，在CE上截取。尸="(即C/等于半徑的一半)，連接AF交OC于點(diǎn)尸，連接EP,

2

則3尸的長(zhǎng)即為所求.

y

CFCP1

'CP~CE~2)

又?：乙FCP=4PCE,

:△FCPFPCE,

CFFP1FP=+EP,

CPPE2

：.BF=BP+^EP,

由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：3尸的長(zhǎng)即BP+gEP為最小值.

■■-CF=-CE,E(2,8),

【例3】（2021?黑龍江）如圖，拋物線y=ax2+fcc+c與x軸交于除原點(diǎn)。和點(diǎn)A,且其頂點(diǎn)8關(guān)于x軸的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在定點(diǎn)尸，使得拋物線y=a/+6x+c上的任意一點(diǎn)G到定點(diǎn)廠的距離與點(diǎn)G到

直線了=-2的距離總相等.

①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②過(guò)點(diǎn)尸的直線/與拋物線了="2+區(qū)+。交于MN兩點(diǎn).證明：當(dāng)直線/繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)時(shí)，上+占是定

值，并求出該定值；

（3）點(diǎn)C（3,⑼是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，了軸上分別找點(diǎn)尸,0,使四邊形尸。8c周長(zhǎng)最小，直接寫(xiě)出

己。的坐標(biāo).

【答案】⑴y=^x2-x；（2）尸（2,0）；?=1,證明見(jiàn)解析（3）哈0）,。/-.）

【分析】

（1）先求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,-1）,在設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2『-1,根據(jù)拋物線過(guò)原點(diǎn)，即可求

出其解析式；

（2）①設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為（28），點(diǎn)G坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合題目已知列出等量關(guān)系

②設(shè)直線/的解析式為了=后（尤-2）,直線/與拋物線交于點(diǎn)直線方程與拋物線聯(lián)立得出

22

yM+yN=4k,yM-yN=-4k,在結(jié)合①的結(jié)論，分別表示出許,酒的值，即可求解；

（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，分別作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,點(diǎn)B關(guān)于了軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)*,連接B'C',交x軸

于點(diǎn)P,交了軸于點(diǎn)。，則點(diǎn)尸，。即為所求

【詳解】

解：（1）?.?點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,-1）

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2-1

???拋物點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)

;.0=?（0-2）2-1

解得。4

11

二拋物線解析式為：y=a（x-2）92-l即歹=彳/一工

（2）①設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為（2,6）,點(diǎn)G坐標(biāo)為（a,；/-]

由題意可得:J（a-2/=+2_。+2

（2\

整理得：6K■-2"/J=0

:.b=0

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,0）

②設(shè)直線/的解析式為J=MX-2）,直線/與拋物線交于點(diǎn)M,N

f12

y=-x-x

<4

y=k^x-2）

-4（左Jk

整理得：>2-4左2y一4左2=0

2

yM+yN=4已加?％=-4k

由①得MF=%+2,湎=%+2

...--1-1---1=---1--1----1

MFNFyM+2yN+2

11yM+yN+4

MFNF加6+2（%+%）+4

114r+4,

----1---=--5-----=1

MFNF4抬+4

（3）二.點(diǎn)。（3,加）在拋物線y=%上，

1一3

m=—x9-3=——

44

如圖：作點(diǎn)。關(guān)于1軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,點(diǎn)3關(guān)于〉軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)9

則點(diǎn)C：3，，點(diǎn)連接"c',交X軸于點(diǎn)尸，交y軸于點(diǎn)。，則此時(shí)四邊形P08C周長(zhǎng)最小

設(shè)直線B,C的解析式為y=kx+b

-2k+b=-l

3k+b=-

4

73

b=----

10

解得

kJ

20

73

直線B'C的解析式為了=Ax-A

點(diǎn)尸坐標(biāo)為［"l，。］,

點(diǎn)Q坐標(biāo)為而

題型三：函數(shù)與三角形面積

【例4】(2021?湖南)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，平行四邊形48CD的48邊與y軸交于￡點(diǎn)，F(xiàn)是

的中點(diǎn)，B、C、。的坐標(biāo)分別為(-2,0),(8,0),03,10).

(2)試判斷拋物線的頂點(diǎn)是否在直線所上；

(3)設(shè)過(guò)尸與42平行的直線交y軸于0,M是線段之間的動(dòng)點(diǎn)，射線期與拋物線交于另一點(diǎn)P,當(dāng)

△網(wǎng)。的面積最大時(shí)，求尸的坐標(biāo).

13

【答案】(1)了=-^/+5%+4；(2)頂點(diǎn)是在直線跖上，理由見(jiàn)解析；(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(9,

一口).

4

【分析】

(1)先求出/點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線N3的解析式，進(jìn)而求得E的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法解答即可；

(2)先求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再求出直線環(huán)的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后進(jìn)行判

定即可；

(3)設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為5-；(p+2乂。-8)),求出直線8尸的解析式，進(jìn)而求得"的坐標(biāo)；再求尸。的解析

式，確定0的坐標(biāo)，可得|"0|=；(p-8)+6,最后根據(jù)&PB2=S&WB°+SA?。列出關(guān)于0的二次函數(shù)并根據(jù)

二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【詳解】

解：⑴,?,平行四邊形/BCD,B、C、。的坐標(biāo)分別為(-2,0),(8,0),03,10)

：.A(3,10),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

10=3k+bk=2

則0=-2k+b,解得

b=4'

直線AB的解析式為尸2x+4,

當(dāng)尸0時(shí)，y=4,則E的坐標(biāo)為(0,4),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a^+bx+c,

1

a=—

0=Q(-2『+(—2)b+c4

0—82,67+8b+c,解得＜b=-

z

4=c

c=4

1,3

.?.過(guò)8、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為尸-二+]X+4；

(2)頂點(diǎn)是在直線跖上，理由如下：

?.F是40的中點(diǎn)，

-.F(8,10),

設(shè)直線EF的解析式為尸蛆+”,

r,f3

則sQ，解得人

i=4

3

?,?直線EF的解析式為尸]x+4,

13/

y=——x2+—x+4,

42

25

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,—),

4

253

???一=—x3+4,

44

???拋物線的頂點(diǎn)是否在直線￡尸上；

1Q11

(3)???昨—52+：x+4=??x+2)(x—8),則設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(p,--(p+2)(^-8)),直線8尸的解析式為

y=dx+e9

)

0=—2d+ed=T°_8

則V1解得

Z(P+2)(P-8)=，d+ee=g(p-8)

二直線EF的解析式為尸-；(p-8)x+；(p-8),

當(dāng)x=0時(shí)，產(chǎn);(p-8),則Af點(diǎn)坐標(biāo)為(0,—(/?-8)),

■：ABHFQ,

???設(shè)/0的解析式為產(chǎn)2x”則10=2x8”解得戶(hù)6

:?FQ的解析式為y=2x-6,

???的坐標(biāo)為（0,-6）,

??.MQ=g（P-8）+6,

SAA〃Q+S4MQ

=^QM-OB+^QM-PN

=^QM（OB+PN）

=gg（0_8）+6（2+0

19。

=--P~2+-P+^

.?.當(dāng)〃=9時(shí)，△尸8。的面積最大時(shí)，

二尸點(diǎn)坐標(biāo)為（9,）.

4

題型四：函數(shù)與四邊形面積

【例5】（2021?四川）如圖，拋物線7=辦2+/+°（。/0）與x軸交于4、2兩點(diǎn)，與〉軸交于C點(diǎn),

AC=410,OB=OC=3OA.

(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P,使四邊形PA4c的面積最大.求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)

(3)在(2)的結(jié)論下，點(diǎn)"為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)。.使點(diǎn)P、B、M、。為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形，若存在.請(qǐng)直接寫(xiě)出0點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=—x~—2x+3；(2)(——-,—)；(3)(——,—)或,——)或

242424

,-2+用15.

24

【分析】

(1)WOB=OC=3OA,AC=sJlQ,利用勾股定理求出CM,可得02和。C,得到/,B,C的坐標(biāo)，用J用

待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

(2)判斷出四邊形8/C尸的面積最大時(shí)，48尸C的最大面積，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線交8c于點(diǎn)“，求出

39

直線8c的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)尸(x,-/-2x+3),利用三角形面積公式-5X,即可求出右肛面積最

小時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)分類(lèi)討論，一是當(dāng)為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，二是當(dāng)8P為平行四邊形一邊時(shí)，利用平移規(guī)律即可

求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【詳解】

M：(1)■■-OB=OC=3,OA,AC=y/lQ,

OC2+OA2=AC2,即(3O4)2+CM?=(項(xiàng)2,

解得：04=1,OC=OB=3,

■?■A(1,0),B(-3,0),C(0,3),代入y=辦2+bx+c中,

0=a+b+ca-—1

貝ljv0=9Q-36+c,解得：＜b=-2,

3=cc=3

???拋物線的解析式為y=--一2、+3；

(2)如圖，四邊形尸R4C的面積=A5C4的面積+△尸5C的面積，

而A4BC的面積是定值，故四邊形PA4C的面積最大，只需要△5PC的最大面積即可,

過(guò)點(diǎn)。作歹軸的平行線交BC于點(diǎn)H,

，:B(-3,0),C(0,3),設(shè)直線5C的表達(dá)式為嚴(yán)以x+〃，

???直線BC的表達(dá)式為y=x+3,

設(shè)點(diǎn)P(x,-N-2x+3),則點(diǎn)〃(x,x+3),

1I/O\309

尸x=5x(一1_2x+3-x-3)x3=一萬(wàn)%——Xf

3

?---<0,故S有最大值，即四邊形尸加。的面積有最大值,

315

止匕時(shí)廣一大，代入y=—工2一21+3得^=二，

24

(3)若30為平行四邊形的對(duì)角線,

貝IJPQI山河，PQ=BM,

則尸、。關(guān)于直線--1對(duì)稱(chēng)，

如圖，QP\\BM,QP=BM,

???點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為-彳，代入k*-2x+3中,

解得一=T或.11（舍），

如圖，BPWQM,BP=QM,

???點(diǎn)0的縱坐標(biāo)為一了，代入＞=—/一21+3中,

解得：A?（舍）或"三江

綜上：點(diǎn)0的坐標(biāo)為（J,9）或（"t弋）或（七回，中）.

41提分訓(xùn)練

1.（2021?甘肅）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=；/+bx+c與坐標(biāo)軸交于/（0,-2）,3（4,0）兩點(diǎn),

直線8C:y=-2x+8交了軸于點(diǎn)C.點(diǎn)。為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為

G,0G分別交直線于點(diǎn)E,尸.

(1)求拋物線>=(/+8+。的表達(dá)式；

(2)當(dāng)G尸=；,連接8。，求AAD尸的面積；

(3)①7/是V軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形8E7/F是矩形時(shí)，求點(diǎn)7/的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第一象限有一動(dòng)點(diǎn)P,滿(mǎn)足尸H=PC+2,求周長(zhǎng)的最小值.

【答案】⑴夕后(2)⑶①“(0,3)；②4石+7

【分析】

(1)直接利用待定系數(shù)法即可求出答案.

0AGF

(2)由題意可求出。8=4,04=2.利用三角函數(shù)可知在及△BQ4和放廠中，tanZABO=——=——,

OBGB

由此即可求出G8=l,從而可求出0G=3.即可求出。點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出G￡>=2.再根據(jù)GP=g,即可

求出FD的長(zhǎng)，最后利用三角形面積公式即可求出最后答案.

(3)①連接8”,交跖于點(diǎn)N.根據(jù)矩形的性質(zhì)可知2"=9=；出/=；即，HF//BC.由斯〃NC,

可推出要=空=空=「由HF"BC,可推出*=空=1.再根據(jù)直線8C的解析式可求出C點(diǎn)坐標(biāo),

OGCEAFAHAF

即可得出OC的長(zhǎng)，由此可求出/C的長(zhǎng)，即可求出C"的長(zhǎng)，最后即得出Ob的長(zhǎng)，即可得出“點(diǎn)坐

標(biāo).

②在RQ03H中，利用勾股定理可求出773的長(zhǎng)，再根據(jù)。/物=「〃+必+的結(jié)合H/=PC+2可推出

C"=PC+PB+7,即要使QPKB最小，就要PC+P2最小，由題意可知當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)，PC+PB=BC

為最小.即求出5C長(zhǎng)即可.在MAOBC中，利用勾股定理求出5c的長(zhǎng)，即得出△尸/汨周長(zhǎng)的最小值為

BC+7.

【詳解】

解：(1),?,拋物線＞過(guò)/(0,一2),8(4,0)兩點(diǎn),

Jc=-2

18+4b+c=0'

b=--

解得，2,

c=-2

123c

..y=-x—x—2.

22

(2)???2(4,0),

:.OB=4.

同理，OA=2.

又尸J_x軸，O/_Lx軸，

???在和MABG廠中，tanZABO=—=—,即2_晝,

°BGB4=GB

:.GB=\,

OG=OB-GB=4-1=3.

i3

當(dāng)x=3時(shí)，＞0=5x32--x3-2=-2,

。(3,—2),即GZ)=2.

13

:.FD=GD-GF=2——=-,

22

(3)①如圖，連接交EF于點(diǎn)、N.

???四邊形族HF是矩形，

:.EF=BH,BN=NH=-BH.

2

又?：EF"AC,,

BN_BF

,?而一萬(wàn)一’

.BGBE_BF

''OG~~CE~^F~'

???四邊形是矩形,

/.HF//BC.

CHBF1

-----=——=I,

AHAF

??,當(dāng)x=0時(shí)，%=8,

??.OC=8,

???4C=OC+/O=8+2=l0,

CH=5,

:.OH=OC-CH=8-5=3,

.-.7/(0,3),

②在Rt.OBH中,HB=y]OH2+OB2=732+42=5,

?;PH=PC+2.

:.C4fPtHitR5=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7

要使C*PHB最小，就要尸c+PB最小.

PC+PB>BC,

.?.當(dāng)點(diǎn)尸在3c上時(shí)，PC+P8=8C為最小.

在比AOBC中，BC=Sc2+OB?=荷+片=46.

周長(zhǎng)的最小值是4石+7.

2.(2021?福建)已知拋物線＞=ox2+6x+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)求6的最小值；

(2)已知點(diǎn)々(-2,1)/(2,-1)出(2,1)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線/：?=履+1與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)N在直線了=-1上，且/M4N=90。，過(guò)點(diǎn)/且與x軸

垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)2,C.求證：△跖^與△AffiC的面積相等.

【答案】⑴-1；(2)@y=^x2-②見(jiàn)解析

【分析】

(1)先求得c=l,根據(jù)拋物線y=a/+6x+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為判別式△=(),從而構(gòu)造二次函

數(shù)求解即可；

(2)①根據(jù)拋物線y=af+6x+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，得拋物線上的點(diǎn)只能落在x軸的同側(cè)，據(jù)此判

斷即可；②證明N5=8C即可

【詳解】

解：因?yàn)閽佄锞€歹=辦2+瓜+。與1軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

以方程a/+for+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

所以A=〃-4〃。=0,即〃=公。.

(1)因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)尸(0,1),所以c=l,

A2

所以〃二公，BPa=—.

4

所以Q+b=Lb」(b+2)2—l,

44

當(dāng)b=-2時(shí)，a+6取到最小值-1.

(2)①因?yàn)閽佄锞€丁="2+/+。與工軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以拋物線上的點(diǎn)只能落在x軸的同側(cè).

又點(diǎn)＜(-2,1),鳥(niǎo)(2,-1),4(2,1)中恰有兩點(diǎn)在拋物線的圖象上，

所以只能是＜(-2,1)出(2,1)在拋物線的圖象上，

由對(duì)稱(chēng)性可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=0,所以6=0,

即QC=O,因?yàn)镼WO,所以C=O.

又點(diǎn)<（-2,1）在拋物線的圖象上，所以4a=1,。=；,

故拋物線的解析式為了=J-.

4

②由題意設(shè)M（x”M）,N（X2,%）,/（%,T），則必=g+1,”=近2+I.

記直線>=T為加，分別過(guò)M,N作ME1m,NF1m,垂足分別為￡,F,

即NMEA=ZAFN=90°,

因?yàn)?MZN=90°,所以/M4E+/M4尸=90°.

XZMAE+ZEMA=90°,所以/EMA=/NAF,所以AAMES^NAF.

所以==弁，所以七即5+1）（%+1）+（再一%）5-/）=0.

jy/rAr>2十1%2—%0

所以（應(yīng)+2）（狂2+2）+（再-%）（%2-%）=o,

即（左之+1）匹%2+（2左一%0）（%+乙）+焉+4=0.①

把夕=丘+1代入y=；/,得/一4fcc-4=0,

4

解得xx=2k-2A/F+1,x2=2k+21k2+1,

所以國(guó)+工2=4左，石馬二一4.②

將②代入①，得一4（〃+1）+4乂2左一X。）+焉+4=0,

即（/-2人『=0,解得毛=2左，即/（2后,-1）.

所以過(guò)點(diǎn)/且與x軸垂直的直線為x=2k,

將x=2左代入>=得了=/,即3（2左,〃），

將x=2上代入y=kx+\,得＞=2k2+1,

即C（2后,2r+1）,

所以/3=F+1,8C=左？+1,因此/5=8C,

所以4MAB與AMBC的面積相等.

3.（2020?衡陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2g+4的圖象過(guò)點(diǎn)（7,0）,（2,

0）.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求當(dāng)-2。勺時(shí)，y的最大值與最小值的差；

（3）一次函數(shù)>=（2-m）x+2-m的圖象與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a和b,

且a<3<6,求機(jī)的取值范圍.

【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（-1,0）和（2,0）兩點(diǎn)，組成方程組再解即可求得二次函數(shù)的

表達(dá)式；

（2）求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)圖象即可得出當(dāng)尤=-2,函數(shù)有最大值4；當(dāng)x=T是函數(shù)有最小值-（

進(jìn)而求得它們的差；

（3）由題意得X2-%-2=（2-m）x+2-tn,整理得x2+（m-3）x+m-4=0,因?yàn)閍V2V葉b,△—

（m-3）2-4x（m-4）=（m-5）2>0,把x=3代入（2-加）x+2-m>x2-x-2,解得加V—萬(wàn).

【解析】（1）由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（7,0）和（2,0）兩點(diǎn)，

,',fi/zp+qi0,解得仁二』

???此二次函數(shù)的表達(dá)式歹=N-x-2；

（2）???拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線工=手=9

.?.在-2。勺范圍內(nèi)，當(dāng)x=-2,函數(shù)有最大值為：尸4+2-2=4；當(dāng)x=g是函數(shù)有最小值：>=>2

9

——不

???的最大值與最小值的差為：4-(4)=生

4-4

(3)'：y—(2-m)x+2-m與二次函數(shù)y=N-x-2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a和b,

???x2-x-2—(2-m)x+2-m,整理得

x2+(m-3)x+m-4=0

-a<3<b

:.a豐b

???△=(m-3)2-4x(m-4)=(m-5)2>0

???*5

“V3Vb

當(dāng)x=3時(shí)，(2-冽)x+2-m>x2-x-2,

把x=3代入(2-"力x+2-m>x2-x-2,解得m<—~

■■m的取值范圍為m<—

4.(2021?天津)已知拋物線y=a/-2"+c(a,c為常數(shù)，aH0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。,頂點(diǎn)為D

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

(II)當(dāng)。＞0時(shí)，點(diǎn)￡(0,1+。)，若DE=2&DC，求該拋物線的解析式;

(III)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)尸(0/-。)，過(guò)點(diǎn)C作直線/平行于X軸，”(加⑼是X軸上的動(dòng)點(diǎn)，N("?+3,-l)是

直線/上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)。為何值時(shí)，,+。N的最小值為2同，并求此時(shí)點(diǎn)M,N的坐標(biāo).

13

【答案】⑴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)；(II)了=江-1或尸產(chǎn)-31；(III)點(diǎn)河的坐標(biāo)為

-：,o],點(diǎn)N的坐標(biāo)為

【分析】

(I)結(jié)合題意，通過(guò)列一元一次方程并求解，即可得到拋物線的解析式，將解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到

答案

(II)根據(jù)題意，得拋物線的解析式為＞-21；根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)，計(jì)算得點(diǎn)。的坐標(biāo)為

13

過(guò)點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)G,根據(jù)勾股定理和一元二次方程的性質(zhì)，得q=：,出=：,從而得

到答案；

(III)當(dāng)。＜-1時(shí)，將點(diǎn)。向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得。(-2,-0；作點(diǎn)尸

關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸'，當(dāng)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)“落在線段正。上時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，得FM+DN

最小，結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理和一元二次方程性質(zhì)，得％=-(，從而得直線歹0'的解析式，通過(guò)計(jì)算即

可得到答案.

【詳解】

(I)當(dāng)。=1時(shí)，拋物線的解析式為丁=x?-2x+c.

???拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0「l)

???0-0+c=-1

解得：c--l

???拋物線的解析式為y=x2-2x-l

y=x—2x-1=(x-1)?-2

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)；

(II)當(dāng)。＞0時(shí)，由拋物線yuax2-ZG+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,T),可知c=-l

???拋物線的解析式為y=ax2-2ax-l

???拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：龍=1

當(dāng)x=l時(shí)，y=-a-\

???拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

過(guò)點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)G

DE2=DG2+EG?=1+(2。+2)2

在RtADCG中，DG=1,CG=-1—{—a—1)=a,

■■DC2=DG2+CG2=l+a2.

???DE=2V2Z)C,即DE2=8Z>C2,

.-.l+(2a+2)2=8(l+a2)

13

解得：%=5,%=5

iQ

???拋物線的解析式為了=5一_工_1或>=_3x_i.

(Ill)當(dāng)"-1時(shí)，將點(diǎn)。(1,-。-1)向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得。'(-2,

作點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F',得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,a-1)

當(dāng)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M落在線段尸〃上時(shí)，F(xiàn)M+DN最小,

此時(shí)，F(xiàn)M+DN=F'D'=2y/lO.

過(guò)點(diǎn)”作。及，V軸于點(diǎn)〃

在MAFD'H中,D'H=2,F'H=-a-（a-l）=l-2a,

F'D'2=F2H2+D'H2=（1-2af+4.

又尸D'2=40,即（l-2ay+4=40.

解得：%=-］5，7（舍）

.??點(diǎn)F的坐標(biāo)為,點(diǎn)〃的坐標(biāo)為，2,￡|.

7

，直線FfDf的解析式為y=-3x--.

7

當(dāng)＞=。時(shí),％=一：.

6

7「11

m=——,m+3=一

66

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn)N的坐標(biāo)為.

5.（2021?江蘇）如圖，二次函數(shù)y=V-（加+1）無(wú)+%（加是實(shí)數(shù)，且-1＜機(jī)＜0）的圖像與x軸交于A、B

兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C,己知點(diǎn)。位于第一象限，且在對(duì)稱(chēng)軸上，

點(diǎn)￡在犬軸的正半軸上，OC=EC.連接瓦＞并延長(zhǎng)交V軸于點(diǎn)尸，連接4F.

（1）求A、B、。三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含加的式子表示）；

12

（2）已知點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△/尸。的周長(zhǎng)的最小值等于求加的值.

yy

【答案】(1)5(1,0),,0)(2)m=-1

【分析】

(1)把y=0代入函數(shù)解析式，可得m+1卜+加=0,再利用因式分解法解方程可得43的坐標(biāo)，再求

解函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，可得C的坐標(biāo)；

(2)先證明△COOS^CDB,利用相似三角形的性質(zhì)求解cr>2=3L,利用三角形的中位線定理再求解

4

O加=4Ca=i一加2.再利用勾股定理求解/尸=i,如圖，當(dāng)點(diǎn)尸、。、8三點(diǎn)共線時(shí)，?。+加的長(zhǎng)最小,

7

此時(shí)△4F0的周長(zhǎng)最小.可得8月=W.再利用勾股定理列方程，解方程可得答案.

【詳解】

解：(1)令歹=0,貝lj%2一(加+1卜+加=0,

/.=0,

/.%=加,工2=1，

??.4(加,0),5(1,0),

???對(duì)稱(chēng)軸為直線X=等，

(2)在放△OQ夕中，CD上OB,OD1BD,

ZODB=ZOCD=90°,

???/DOC=/BOD,

△CODs^CDB,

.CDCO

????等,o]g(i,o),

OC=W,2C=l_Ud

222

CD_L%軸，OF_L%軸，

/.CD//OF.

???OC=EC,

...OF=2CD.

.?.OF2=4CD2=l-m2.

在瓦△/O廠中，AF2=OA2+OF2,

?*-AF2=m2+l—m2=1>即4F=1.（負(fù)根舍去）

???點(diǎn)A與點(diǎn)3關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

：.QA=QB.

???如圖，當(dāng)點(diǎn)尸、。、3三點(diǎn)共線時(shí)，尸0+4。的長(zhǎng)最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小.

???△4F0的周長(zhǎng)的最小值為19［，

的長(zhǎng)最小值為二12―1=]7,即5/7

49

???OF2+OB2=BF2,???1—9加+1=——.

25

：.m=±—.

5

v-1<m<0,

1

m=——.

5

6.（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)尸"2+6x+x的圖象過(guò)o（0,0）、N（1,0）、8（|,爭(zhēng)三點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若線段的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C,與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點(diǎn)。，求直

線CD的解析式；

（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作尸軸，交直線CD于0,當(dāng)線段尸0

【分析】（1）將點(diǎn)。、/、3的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）由點(diǎn)2的坐標(biāo)知，直線30的傾斜角為30。，則中垂線（CD）與無(wú)負(fù)半軸的夾角為60。，故設(shè)

CD的表達(dá)式為：y=-^3x+b,而08中點(diǎn)的坐標(biāo)為《，弓），將該點(diǎn)坐標(biāo)代入CD表達(dá)式，即可求解;

（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸額平行線交CD于點(diǎn)H,PH=一岳+V3-（苧x?-等）=—竽x?-爭(zhēng)+W,即

可求解.

c=0

【解析】（1）將點(diǎn)。、/、3的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得%+Vc=°,解得b=-坦，

^-=-a+-b+c3

、242c=0

故拋物線的表達(dá)式為：》=等2一厚;

（2）由點(diǎn)2的坐標(biāo)知，直線3。的傾斜角為30。，則中垂線（CD）與無(wú)負(fù)半軸的夾角為60。,

故設(shè)CD的表達(dá)式為：y——>/3x+b,而。2中點(diǎn)的坐標(biāo)為（*當(dāng)），

將該點(diǎn)坐標(biāo)代入CD表達(dá)式并解得：b=W,

故直線CZ）的表達(dá)式為：y=—V3x+V3；

（3）設(shè)點(diǎn)尸（》,4，則點(diǎn)0（%,—V3x+V3）,

y

???—竽<0,故尸。有最大值，此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（一；，需）.

7.（2020?杭州）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)為=X2+6X+Q,y2=ax2+bx+l（Q,b是實(shí)數(shù)，存0）.

（1）若函數(shù)為的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3,且函數(shù)乃的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a,b）,求函數(shù)為的表達(dá)式.

（2）若函數(shù)為的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，0）,其中K0,求證：函數(shù)”的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)出0）.

（3）設(shè)函數(shù)為和函數(shù)竺的最小值分別為冽和小若切+〃=0,求機(jī)，〃的值.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題即可.

⑵函數(shù)片的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，0）,其中厚0,可得八+-+a=0,推出1+§+1=0,即。弓）2+此+

1=0,推出§是方程辦2+樂(lè)+1的根，可得結(jié)論.

（3）由題意a>0,■--m=-a~b~,n=4a~b\根據(jù)機(jī)+〃=0,構(gòu)建方程可得結(jié)論.

44a

【解析】（1）由題意，得到—9=3,解得6=-6,

,??函數(shù)乃的圖象經(jīng)過(guò)（。，-6）,

，層-6a+a=_6,

解得。=2或3,

??.函數(shù)為=12-6x+2或y\=x2-6x+3.

(2)?.?函數(shù)為的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，0),其中存0,

+br+a=0,

ba

??-1+]+M=0，

即a(-)2+加工+1=0,

rr

《是方程"2+bx+l的根,

即函數(shù)”的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（30）.

（3）由題意a>0,???冽=絲=>n=4a~b,

44a

??"+〃=0,

4a—b2.4a-b2八

---4-----F—4—a=0,

（4a-拄）（q+1）=0,

??,a+1>0,

.?.4a-Z>2=o,

■■-m=n=0.

8.（2020?安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/（1,2）,3（2,3）,C（2,1）,直線y=x+%經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A,拋物線了=狽2+加+1恰好經(jīng)過(guò)/,B,C三點(diǎn)中的兩點(diǎn).

（1）判斷點(diǎn)3是否在直線y=x+/M上，并說(shuō)明理由；

（2）求a,6的值；

（3）平移拋物線y=aN+6x+l,使其頂點(diǎn)仍在直線y=x+m上，求平移后所得拋物線與〉軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)

的最大值.

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的解析式，然后即可判斷點(diǎn)8（2,3）在直線y=x+m上；

（2）因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)/、8和點(diǎn)（0,1）,所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）的拋物線不同時(shí)經(jīng)過(guò)/、B點(diǎn),即可判斷

拋物線只能經(jīng)過(guò)N、C兩點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得a、b；

（3）設(shè)平移后的拋物線為尸7珈+0其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（|,9+q）,根據(jù)題意得出中+?巖+1,由

拋物線y=-xg+g與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為q,即可得出4=?一3-1=一；5-1）2+*從而得出g的

最大值.

【解析】（1）點(diǎn)8是在直線）；=%+加上，理由如下：

??,直線y=x+次經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（1,2）,

???2=1+加，解得加=1,

?,?直線為y=x+l,

把x=2代入y=x+l得y=3,

??點(diǎn)B(2,3)在直線y=x