廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=l+i,則上的虛部為（）.

Z

11i1i

A.——B.-C.--D.-------

22222

2.對于非零向量b,+是"1//『'的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、未知

22

3.已知雙曲線C:9-'=1的一條漸近線方程為了=-而，則機(jī)=（）

A.1B.2C.8D.16

4.若過點(diǎn)（26,0）與圓八產(chǎn)=4相切的兩條直線的夾角為貝ijcosa=（）

A.—B.拽C.-D.-

5533

三、單選題

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)48的坐標(biāo)分別是（-5,0）,（5,0）,直線/M,5M相交于點(diǎn)

4

且它們的斜率之積是3,則點(diǎn)M的軌跡方程為（）.

x2_9/x2

A.=\(x3B.=l(xw±5)

25100\25100

3x29/

C.=1(%/±5)D.=l(xw±5)

25"10025"100

四、未知

6.設(shè)函數(shù)/(x)=cos]ox+W(0>O),已知=/(x2)=l,且卜-引的最小值為5,

則。=()

A.1B.2C.3D.4

試卷第1頁，共4頁

五、單選題

7.已知正四棱臺/BCD-44G〃的體積為友，AB=2,44=1,則與底面/BCD所

3

成角的正切值為()

A.火B(yǎng).V3C.2A/3D.4

2

8.設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx-(a+6)lnx,若/(x)20,則5"+5〃的最小值為()

A.1B.2C.45D.2#)

六、多選題

9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，即X?N(3,9),則().

A.E(X)=27B.D(X)=9

C.P(^>8)>F(X<-1)D.尸(XVl)+尸(XV5)=l

10.過拋物線E：y2=2「X位>0)的焦點(diǎn)下作傾斜角為。的直線交￡于A,B兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)

A和原點(diǎn)。的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)。，則下列說法正確的是().

A.BDI/OFB.OAA.OB

2

c.以六為直徑的圓與y軸相切D.司忸尸

11.我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

>=/(無)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)>=/(無)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。/)成中心

對稱圖形的充要條件是函數(shù)>=/(x+a)-b為奇函數(shù).已知/'(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),

其導(dǎo)函數(shù)為g(x),若函數(shù)>=/(x+l)T是奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x+2)為偶函數(shù)，則下列說

法錯誤的是()

A./(1)=1B.g(l)=l

2024

C.y=/(x+2)-l為奇函數(shù)D.2/(0=1012

i=l

七、填空題

試卷第2頁，共4頁

12.已知/+2工一1=0,貝!+士=.

13.在［事+；］的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

14.如圖，在4x4的格子中，有一只螞蟻從A點(diǎn)爬到8點(diǎn)，每次只能向右或向上移動一格,

則從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的所有路徑總數(shù)為,若螞蟻只在下三角形(對角線及以下

的部分所圍成的三角形)行走，則從A點(diǎn)到8點(diǎn)的所有總路徑數(shù)為.

八、解答題

15.記V/BC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知gsimi-cos/=2.

⑴求A；

(2)若a=2,技)sinC=csin2B，求V/8C的周長.

16.如圖，在圓錐尸。中，/C為圓錐底面的直徑，3為底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)。在線段8c上,

⑴證明：40_1平面3?！?；

(2)若圓錐尸O的側(cè)面積為871,求二面角O-BP-A的正弦值.

17.已知函數(shù)=ax-lnx-L

⑴當(dāng)“=1時，求曲線y=/(x)在(1J。))處的切線方程；

(2)若/'(X)有極小值，且極小值小于0,求“的取值范圍.

22

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為直線了=2上一動點(diǎn)，橢圓E：.+==l(a>6>0)的

試卷第3頁，共4頁

左右頂點(diǎn)分別為“卜血,0)，N便,0),上、下頂點(diǎn)分別為7(0,1),5(0,-1).若直線“交

E于另一點(diǎn)A,直線尸S交E于另一點(diǎn)、B.

(1)求證：直線45過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求四邊形ASBT面積的最大值.

19.某購物平臺為了吸引更多的顧客在線購物，推出了A和6兩個套餐服務(wù)，并在購物平臺

上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇A和8兩個套餐之一，下圖是該購物平臺7天銷售優(yōu)

惠券的情況(單位：千張)的折線圖：

本銷售量

2.80

2.60

2.40

2.20

2.00

1.80

1.60

⑴由折線圖可看出，可用回歸模型擬合V與，的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

1?

⑵假設(shè)每位顧客選擇A套餐的概率為選擇5套餐的概率為1,其中A包含一張優(yōu)惠券,

8套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了〃張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為々，求

(3)記(2)中所得概率什的值構(gòu)成數(shù)列｛匕｝(〃￡N*),求數(shù)列｛匕｝的最值.

參考數(shù)據(jù)：￡%=16.17,￡仃,=68.35￡包_力2=0.72,占=2.646

i=l/=1VT

￡(—)(%-力

參考公式：相關(guān)系數(shù)：=I「“

但(二)》(%①

VZ=1Z=1

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號1257891011

答案AAACDBDACDBCD

1.A

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可得出答案.

111-i1-i11.

【詳施畢】因?yàn)閦=l+i,所以_=八=7-二丁31'

z1+1（1+1乂1-1）222

所以上的虛部為-1.

Z2

故選：A.

2.A

【分析】根據(jù)相反向量一定是共線向量，共線向量不一定是相反向量可求解.

【詳解】對于非零向量萬，B,因?yàn)榉?3=0，

所以2=-3，則萬//B，

即“萬+B=。”能推出M//B，

但當(dāng)1//B時，方=龍（4工0）,顯然=O不一定成立，

所以B=d”是“aHb”的充分不必要條件.

故選：A.

3.B

【分析】對于雙曲線C,求出。、6,根據(jù)?=也可求出機(jī)的值.

b

22

【詳解】因?yàn)殡p曲線C:匕-二=1的一條漸近線方程為y=-后x,則機(jī)＞0,

4m

且Q=2,b=4m，則工=-/==也，解得m=2.

b7nl

故選：B.

4.C

【分析】分析可知，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為＞=左1-2百），利用圓心到切線的

距離等于半徑求出左的值，再利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得cose的值.

【詳解】圓爐+產(chǎn)=4的圓心為原點(diǎn)，半徑為2,

若切線的斜率不存在，則直線的方程為X=2VL且該直線與圓產(chǎn)+產(chǎn)=4相離，不合乎題意,

所以，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為＞=左卜-2石），即米-了-2限=0,

答案第1頁，共14頁

12G左I

則^^=2,解得左=±衛(wèi),

V+l2

不妨設(shè)直線y=［(x-2@的傾斜角為6,因?yàn)閠anO=*i,則0<。<?則。<2。苔,

在［、ieq"2八.2八cos26>-sin201-tan20

所以，a=20,txcosa-cos20=cos0-sin0=--------------；—=-------；—

cos2<9+sin2l+tan2<9

2_1

1+-3

2

故選：c.

5.A

【分析】設(shè)點(diǎn)M(x,y),由題意列出方程，化簡整理即得點(diǎn)M的軌跡方程.

【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)由降?心.=上.上=J_=±(xwf),

,BMx+5x-5r-259

可得4尤2一9/=100,(x?！?),即得點(diǎn)W的軌跡方程為三-叫=1("±5).

25100v'

故選：A.

6.D

【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)/(X)的最小正周期，再利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得。的

值.

【詳解】設(shè)函數(shù)/(X)的最小正周期為T,

兀

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=cosCt)XH---(切＞0),已知/(%)=—1,/(%2)=1,且|再一引的最小值為5,

6

2兀2兀

1兀―r/nf兀>/0)=--=--=4

則5=］，可得T=W，故77t

242

故選：D.

7.C

【分析】根據(jù)體積求出正四棱臺的高為，分別取/c,4G的中點(diǎn)o,o「過4作4￡〃。。|交

/C于E,則乙4/￡為44與底面所成的角，求解即可.

【詳解】：44=1,AB=2,.\±,下底面的面積分別為1=『=1，邑=2?=4,

設(shè)正四棱臺ABCD-44GA的高為〃，

答案第2頁，共14頁

則其體積為憶=?S|+s?+j^區(qū))〃=f(i+4解得〃=逐，

連接/c，4G，分別取/c,4G的中點(diǎn)o,o「

VOOlL^ABCD,“<=面/80/.OOX1AC,

過4作4￡〃。。1交NC于￡,則4EL/C,4E上面/5CD,

.??N4AE為AAX與底面ABCD所成的角，

VAE=AO-A.O,=-AC--AC.=-x272-U42=—，4E=0Q=〃=",

112211222

.tan=坐=巧=2后

?.1AEV2，

F

即44］與底面ABCD所成角的正切值為28.

故選：C.

8.D

【分析】分類討論求出。+6的值，然后利用基本不等式可求得5"+5〃的最小值.

【詳解】因?yàn)?(x)=xlnx-(〃+b)lnx=(x—a-b)lnx,

若a+bWO,則對任意的x〉0,x-a-b>0,

則當(dāng)0<x<l時，/(x)=(x-?-Z?)lnx<0,不合乎題意；

若0<Q+Z)<1時，當(dāng)Q+6<X<1時，x-a-b>0,Inx<0,此時，/(x)=(x-tz-Z>)Inx<0,

答案第3頁，共14頁

不合乎題意；

若0+6>1,貝!|當(dāng)1<x<a+6時，x-a-b<0,Inx>0,此時，/(x)=(JC-a-6)Inx<0,

不合乎題意.

所以，a+6=l,此時，/(x)=(x-l)lnx,則/⑴=0,

當(dāng)0<尤<1時，x-1<0,Inx<0,此時，/(X)=(尤一l)lnx>0；

當(dāng)x>l時，x-1>0,Inx>0,止匕時，/(x)=(x-l)lnx>0.

所以，對任意的x>0,/(x)=(x-l)lnx>0,合乎題意，

由基本不等式可得5。+5“>2y15a.5b=2A/?花=275，

[a-b1

當(dāng)且僅當(dāng)u?時，即當(dāng)a=6=；時，等號成立，

[a+6=l2

故5"+5〃的最小值為2VL

故選：D.

【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值,

則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這

個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

9.BD

【分析】由正態(tài)分布概念、組成的理解和正態(tài)分布曲線的對稱性逐一判斷即得.

【詳解】由X?N(3,9)可得，E(X)=3,D(X)=9,故A錯誤；B正確；

對于C,因￡(X)=3，則尸(X?8)=尸(XV-2)<P(XV-1),故C錯誤；

對于D,因項(xiàng)X)=3,則尸(XWl)=尸(X25),故尸(XVl)+尸(XW5)=l,即D正確.

故選：BD.

10.ACD

【分析】設(shè)直線/的方程為x=a"/(%%),將該直線的方程與拋物

sin”2

答案第4頁，共14頁

線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷B；設(shè)。（%,%），由%-%=?？膳袛郃；比較半徑產(chǎn)

與圓心到y(tǒng)軸的距離即可判斷c；由拋物線的定義表示出|/可忸尸將韋達(dá)定理代入化簡可

判斷D.

COS。

22（必+%）為力一

2-2sin。

…=7萬

2P2P

222

所以X1%==4-，所以k（u'koB==_4J—1,故B錯誤；

2p2p4xtx2

設(shè)。（X3/3）,設(shè)直線z。的方程為y="x,令Xs=-f,所以%=一§叢，

X]2L%]

-p2

2xi-----------Fpyx222

”“_、，P必_2%為+處1_y1_-2pxi+pyi_-2pxi+p-2pxi_,

%一＞3=%+彳—=---------=------------=------------=--------------=U

2xx2占2再2再必2%必

所以直線AD的斜率為左皿=上為=0,所以5。//。b，故A正確.

玉+—p

因?yàn)榻?再+勺所以以”為直徑的圓的圓心為引，半徑為邑1=。,

X+8

所以圓心到了軸的距離為*+2，所以以/尸為直徑的圓與了軸相切，故c正確;

2

由拋物線的定義知：怛尸|=%+多

所以司忸尸|+yYx2+,）=再工2+「（再+3）+?

答案第5頁，共14頁

COS。Ycos。

=PL+P.2P+p七=F+萬故D正確.

42sin。

故選：ACD.

11.BCD

【分析】利用函數(shù)對稱性的定義可判斷A選項(xiàng)；舉特例可判斷BCD選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+l)-1為奇函數(shù)，

所以，函數(shù)＞=/(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，

且函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)镽,則=A對；

對于B選項(xiàng)，不妨取/(x)=sin7?+l,

因?yàn)椤▁+1)-1=sin[n(x+l)]+l-l=-sin"為奇函數(shù),

則函數(shù)/(x)=sinroc+l符合題意，g(x)=f'(x)=ncosnx,

所以，g(X+2)=7ICOs[K(X+2)]=TTCOSTLX為偶函數(shù)，

但名⑴二-兀片1,B錯；

對于C選項(xiàng)，不妨取/(x)=x,貝！If(x+l)-l=x為奇函數(shù)，

g(x)=r(x)=l,g(x+2)=l為偶函數(shù),合乎題意，

但/(X+2)-l=x+l不是奇函數(shù)，c錯；

對于D選項(xiàng)，若〃x)=sinm+1,則該函數(shù)的最小正周期為了=—=2,

71

/(1)+f(2)=sin兀+1+sin2兀+1=2,

2024

所以，Z〃')=l012x2=2024wl012,D錯.

Z=1

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對稱性與周期性：

(1)若〃x+a)+/(-x+6)=c,則函數(shù)/(X)關(guān)于中心對稱;

(2)若+=〃-x+6),則函數(shù)/(x)關(guān)于》=審對稱；

(3)若/(x+a)x〃x-a),則函數(shù)〃x)的周期為2a；

答案第6頁，共14頁

(4)若/(x+a)=L〃x),則函數(shù)〃x)的周期為2a.

12.6

【分析】對x2+2x-l=0兩邊都除以x可得工-工=-2,兩邊再平方可得答案.

X

【詳解】由x2+2x-l=0知xwO,

可得x+2」=o,即x」=-2,

XX

所以jx-=x2+^r--2=4,

VxJx

貝(jx2+^-=6.

x

故答案為：6.

13.70

【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】+的通項(xiàng)公式=C^38-2rx-24+6\

令一24+6廠=0,解得廠=4,

常數(shù)項(xiàng)=《=70.

故答案為：70.

14.7014

【分析】在4x4的格子中，螞蟻從A點(diǎn)爬到3點(diǎn)需要走8步，從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的所有路徑總

數(shù)為從8步中選擇4步橫向的組合數(shù)；若螞蟻只在下三角形行走，用列舉法一一列舉即可.

【詳解】螞蟻從A點(diǎn)爬到8點(diǎn)需要走8步，其中4步橫向，4步縱向，

所有路徑數(shù)為從8步中選擇4步橫向的組合數(shù)，所以C：=70；

螞蟻只在下三角形(對角線及以下的部分所圍成的三角形)行走，如下：

答案第7頁，共14頁

故答案為：70；14.

15.（l）^=y

⑵2+夜+,

【分析】（1）應(yīng)用輔助角公式計(jì)算得出sin1/-己

=1,再結(jié)合角的范圍即可求出角;

（2）已知結(jié)合正弦定理化簡計(jì)算得出5=：,再應(yīng)用兩角和正弦公式計(jì)算sinC=1二"

44

最后正弦定理計(jì)算邊長即可得出周長.

【詳解】（1）由651向-605/=2得，——siib4——cosA=1,BPsinM-^-Ul,

22

715兀/兀兀，2兀

由于/￡（0,兀）=>4一6u,A——=—=>/=——

6JT623

（2）由題設(shè)條件和正弦定理標(biāo)sin。=csin25oV2sin^sinC=2sinCsin^cos5，

又B,CG（0,K）,貝（JsinBsinCwO,進(jìn)而cos8=受,得到5=四,

24

于是C=7i-4-八土

一12

sinC=sin（4+8）=siib4cos5+cosZsin5="4后

答案第8頁，共14頁

ab2bc

由正弦定理得siib4siaSsinC4口2兀.兀.兀

sinsin一sin——

T412

解得/.=垣，。=逝—"

33

故V/BC的周長為2+收+".

3

16.（1）證明見解析

⑵乎

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明ADYBP,然后利用線面

垂直的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)圓錐的側(cè)面積求得尸4及。尸，求出平面80尸、平面/8P的一個法向量，利用向

量法求得二面角的余弦值.

【詳解】（1）,尸。_L平面45C,BA工BC,故以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，方為工軸正方向，

正為》軸正方向，與方同向的方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)I。尸卜X,故8（0,0,0）,/（2,0,0）,O（l,V3,0）,尸D0,^-,0,

15=-2,—,0,50=(1,73,0),~BP=[i,^,xy

、3J

???25質(zhì)=-2+2=0，AD-BP=-2+2=0.

故/D_L8。，ADIBP,

■：BP^BO=B,BP,80u平面8。尸，3_L平面8。尸；

(2)..?圓錐尸。的側(cè)面積S=2兀XP/=8TI,:.PA=4,

OP=x=A/42-22=2A/3,

（2、

由（1）可知，AD=-2,\-,0為平面8。尸的法向量,

I3J

設(shè)平面48尸的法向量為法=（a,6,c）,而麗=（2,0,0）,SP=（1,73,273）,

m-BA=2a=0

故，令c=T得而=(O,2,-l),

m-BP=a+43b+2A^C=0

答案第9頁，共14頁

17.(1?=0

(2)0<d；<1.

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)求導(dǎo)，分析aV0和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得l+lna-i<0,

a

構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時，貝U/(x)=x-lnx-l,r(x)=l-1

可得f(l)=O,/,(1)=0,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),切線斜率為左=0,

所以切線方程為y=o.

(2)/(X)定義域?yàn)?0,+8),且/(x)="：,

若aW0,則/'(x)<0對任意xG(0,+oo)恒成立.

所以/'(無)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值，不合題意，

若a>0,令廣(x)>0,解得令廣卜)<0,解得xJ,

aa

可知/'(X)在/￡|上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

則/(X)有極小值/(5)=1+ln“->,無極大值，

由題意可得：—|=1+Ina<0,即1+lna<0.

\a)aa

令g(a)=l+lna—(a>0),g'(a)=—+—g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

答案第10頁，共14頁

又g(l)=l，不等式1+ln”工<0等價于g(a)<g⑴，解得°<1,

a

又。>0,綜上”的取值范圍是

18.(1)證明見解析，(0,1)

Q)顯

【分析】(1)依題求出橢圓方程，設(shè)尸。,2),由直線P4,尸3方程分別與橢圓方程聯(lián)立，求

出點(diǎn)48的坐標(biāo)，由對稱性知，定點(diǎn)在V軸上，設(shè)為G(0,〃z),由七G=@G求出機(jī)的值即得;

1—4/

(2)根據(jù)圖形，可得四邊形/S87的面積5=5|57|卜7/=瓦-4|,代入孫=”連和

12/

%7,經(jīng)過換元，運(yùn)用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積最大值.

t+18

【詳解】(1)

_2

由題意知〃=也，6=1,橢圓￡：y+/=l

如圖，設(shè)尸(，,2),

當(dāng)蜂0時，直線尸/的方程為：夕=1+1,代入工2+2/=2,

3曰’2+224crrt.i—At..%?—2上“—4//—2、

何—5—xH—x=0貝U/=三~?從而7)幺s二=---，點(diǎn)4(—---------)

t2tt2+2〃/+2)2+27+2

3

又直線必的方程為：y=~x~^代入％2+2/=2,

汨『+18212八⑵“后r-18'點(diǎn)以品,產(chǎn)一18

倚丁X：x=。,則mil『二石從而y=--：------

1B1f+18產(chǎn)+18

由對稱性知，定點(diǎn)在了軸上，設(shè)為G(o,優(yōu))

產(chǎn)一2產(chǎn)一18

m——%-----m+7----

由的G=^G，即一產(chǎn)一一,化簡得m(4產(chǎn)+24)=2?+12,

12?

產(chǎn)+2t2+18

答案第11頁，共14頁

因2d+12>0故得2加=1,解得切=；.

即直線過定點(diǎn)(0,g),而當(dāng):0時，直線也過定點(diǎn)(0,g).

綜上，直線恒過定點(diǎn)(0,g).

(2)

由圖可知四邊形ASBT的面積為