滬科版九年級數(shù)學常見題型專練：相似三角形的判定（6種題型）（解析版）

第07講相似三角形的判定（6種題型）

?！局R梳理】

一、相似三角形的預備定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似.

如圖，已知直線/與AABC的兩邊互、AC所在直線分別交于點。和點E,則

二、相似三角形判定定理1

如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似.

可簡述為：兩角對應相等，兩個三角形相似.

如圖，在AABC與94cl中,如果NA=、NB=/耳，那么AABCsAA12cl.

如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.

可簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似.

ARAC

如圖，在AABC與A414G中，ZA=Z4,——=——，那么AABCs入412c.

ABiAG

四、相似三角形判定定理3

如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似.

可簡述為：三邊對應成比例，兩個三角形相似.

AR

如圖，在AABC與AA,用G中，如果——=——=——，那么A4BCs的耳6.

2^3]B[C]

五、直角三角形相似的判定定理

如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應成比例，那么

這兩個直角三角形相似.

可簡述為：斜邊和直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似.

如圖，在比AABC和RrA414G中，如果NC=N￡=90。，空=匹,,那么小鉆。6的耳￡.

4月Bici

【考點剖析】

題型一：相似三角形的預備定理

例L（2022秋?安徽?九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，點。、E、廠分別在A3、BC、AC邊上,

DESAC,0D￡F=0A.求證：^BDESSEFC.

【分析】根據(jù)DE〃4C,得出/BED=ZC,ZBDE=ZA,根據(jù)NDEF=NA,ZBDE=NDEF.可判斷

EFI/AB,/3=NFEC.可證AEFCsAEFC.

【詳解】證明?.DEIIAC,

:"BED=NC,NBDE=ZA,

又*ZDEF=ZA,

:.ZBDE=NDEF,

:.EF//AB,

:.ZB=ZFEC,

.-.AEFC^AEFC.

【點睛】本題考查平行線性質(zhì)，三角形相似判定，掌握平行線性質(zhì)，三角形相似判定是解題關鍵.

【變式1】如圖，E是平行四邊形ABCD的邊54延長線上的一點，CE交AD于點、F.圖中有哪幾對

相似三角形？

【答案】AEAFsA^BC,NEAFs"DF,

莊BCsACDF.

【解析】由AB//CD,AD!IBC,可得:

AE//CD,AF//BC,根據(jù)相似三角形預備定理，可得：AE4FsAEBC,AEAFsACDF,

進而可得：AEBCsACDF,即這三個三角形兩兩相似.

【總結】考查相似三角形預備定理，同時考查相似三角形的傳遞性.

【變式2】如圖，在梯形中，AB//CD,且AB=2CD,點E、P分別是AB、3c的中點，EF與

皮）相交于點M.

（1）求證：AEDMsAFBM；

（2）若DB=6,求BM.

【答案】（1）略；（2）BM=2.

【解析】（1）證明：AB=2CD,E是AB的中點，

:.BE=CD,又AB11CD,

四邊形EBCD是平行四邊形.

:.BC//DE,

^EDMs^FBM.

（2）解：BF//DE,尸為3c中點，

.DM=DE=BC=2,BM=l

MBBFBF'"BD3

代入可得：BM=2.

【總結】考查相似三角形的預備定理，同時與三角形一邊平行線性質(zhì)定理結合運用.

題型認：相似三角形判定定理1

例2.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考階段練習）已知：如圖，在Rt^ABC中，NBAC=90。，ADLBC于

D,E為直角邊AC的中點，過。，E作直線交AB的延長線于凡求證：“QB/s,孫

【分析】利用互余的性質(zhì)可得/C=/E4￡>,再直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)可得

ZFAD=ZFDB,從而可證明《0既."）戶.

【詳解】證明?.ZBAC=90°,AD±BCf

:.ZBAC=ZADB=90°,

ZABC+/BAD=90°,ZABC+ZC=90°,

:.NC=NBAD,即NC=NE4O,

又團E為AC的中點，AD1BC,

:.ED=EC=-AC,

2

:./C=/EDC,

又二/EDC=/FDB,

:.ZFAD=ZFDB,

ZF=ZF,

:-DBFsADF.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定等知識，關鍵是掌握是相

似三角形的判定定理.

【變式1】.如圖，N1=N2=N3,那么圖中相似的三角形有哪幾對？

【答案】/SADEAABC,MDEAACD,

AABCsAACD,ABCDsACDE.

【解析】根據(jù)4=N2=N3,同時有44公共角必相等，

根據(jù)相似三角形判定定理1，可得AADEsAABC,MDEAACD,AASCAACD；同時由

Z1=Z3,可得：DE//BC,進而ZEDC=ZDCB,又N2=N3,根據(jù)相似三角形判定定理1,

可得：ABCDsACDE.

【總結】考查相似三角形判定定理1,同時要注意根據(jù)題目條件推出一些其它角相等的條件,注意不要遺漏.

【變式2】如圖，D、E分別是AABC的邊他、AC上的點，且/4￡D=NB.

求證：AE.AC=AD.AB.

A

【解析】證明：ZAED=ZB,ZA=ZA,

「.MEDsAABC,

AD_AE

,AC-AB?

即AE.AC=AD?AB.

【總結】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定義，各邊對應成比例，先判定再應用即可得出結論.

【變式3】如圖，AABC是等邊三角形，ZDAE=120°,求證AD?AE=

【解析】證明：AABC是等邊三角形，

:.ZBAC=ZACB=60°.

ZO4E=120。，:.ZDAB+Z.CAE=ffiP.

又ZACB=ZE+NG4E=60。，.\ZDAB=ZE.

AnAR

ZD=ZD,:.ADAB^ADE4,/.一=一,AD.AE=AB.DE.

DEAE

【總結】考查相似三角形的性質(zhì)和相關相似三角形判定定理L先判定再應用.

【變式4】正方形ABCD中，E是4）中點，BMLCE于點M,AB=6厘米，求創(chuàng)/的長.

【答案】三亞cm.

【解析】四邊形AB8是正方形,

：.BC=CD=AD=AB=6cmZD=90°,AD//BC.

:.ZDEC=ZBCM,

又ZBA/C=ZD=90。，

:.NBMCsACDE,

BMDC

,?*E是AD中點，DE=—AD=3cm.

2

22

由勾股定理可得：CE=^DE+CD=3y/5cmf

代入可得：BM=?也cm.

【總結】考查正方形背景下的直角三角形相似，實際上由直角和平行很容易得到相等的角，根據(jù)相似三角形

判定定理1可證相似.

【變式5】如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,P是AABC內(nèi)一點，且NAPB=NAPC=135。.

求證：ACPA\APB.

【解析】證明：ZACB=90°,AC=BC,

/.ZC4B=45°.

即ZCAP-^-ZPAB=45°.

ZAPB=135°,

/.ZC4P+ZACP=45°.

:.ZACP=ZPAB.

ZAPB=ZAPC=135°,

ACPAsMPB.

【總結】考查相似三角形的判定定理1,需要根據(jù)三角形內(nèi)角和進行等角轉(zhuǎn)化.

【變式6】如圖，在AABC中，AB=AC,小〃6。，點方在邊AC上，DF與跖相交于點G,

且/EDF=ZABE.

(1)求證：\DEFNBDE；

(2)DG.DF=DB.EF.

【解析】證明：(1)-DE//BC,:.ZADE=ZABC,ZAED=ZACB.

AB=AC,:.ZABC=ZACB,:.ZADE=ZAED,

:.ZBDE=ZFED,-ZEDF=ZABE,：.ADEF/^BDE.

(2)bDEFsNBDE,,ZDEB=ZDFE,BPDBEF=DE2.

DEBD

/EDG=/EDF,:.NDGE^ADEF,即DG?。尸=D￡2.

DEDF

.-.DGDF=DBEF.

【總結】考查相似三角形判定定理1，根據(jù)題目所求進行相應比例線段的轉(zhuǎn)化.

題型三：相似三角形判定定理2

例3.（2020?安徽淮南?統(tǒng)考模擬預測）已知：D、E是J1BC的邊A3、AC上的點，AB=8,AD=3,

AC=6,AE=4,求證：AABCAED.

【分析】根據(jù)已知線段長度求出瓦=而,再根據(jù)=推出相似即可.

【詳解】證明：在和△AED中，

AB8cAe6c

——=-=2,——=-=2,

AE4AD3

.ABAC

-AE~AD'

X-,ZA=ZA,

二ABCSJAED.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理的應用，注意：有兩邊的對應成比例，且夾角相等的兩三角形

相似.

【變式1】如圖，點。是AABC的邊AB上的一點，5.AC2=AD.AB.求證：AACDAABC.

【解析】證明：AC2=AD.AB,

.ADAC

ZA=ZA，

,AC-AB

/.AACDsAABC.

【總結】考查相似三角形判定定理2,根據(jù)題目條件進行比例變形，對應邊成比例夾角相等.

ARAC

【變式2】如圖，在AABC與AAED中，—,ZBAD=Z.CAE.求證：AABCAAED.

AEAD

【解析】證明：ZBAD=/CAE,

:.ZBAD+Z.CAD=Z.CAD+Z.CAE,

即ZBAC=ZDAE.

ABAC

AABCsAAED.

~AE~AD

【總結】有公共角的兩角，加上或減去公共部分，仍相等，根據(jù)判定定理2,可判定相似.

【變式3】如圖，。是AABC內(nèi)一點，石是AABC外一點，NEBC=ZDBA,NECB=/DAB,求證：

ZBDE=ZBAC.

A

【解析】證明：NEBC=ZDBA,NECB=NDAB,

:.ABADsASCE,ZABC=ZDBE.

BABDnnBABC

BCBEBDBE

ABACsABDE,ZBDE=ABAC.

【總結】考查相似三角形判定定理2,先判定相似再應用性質(zhì)得出相關結論證明相似，進行性質(zhì)和判定的相

互轉(zhuǎn)化.

【變式4】如圖，在AABC中，ZBAC=90°,是邊3C上的高，點E在線段OC上，EFLAB,

EG±AC,垂足分別為F、G.

求證：(1)—=—；(2)FD1DG.

ADCD

【解析】證明：

(1)-EG.LAC,AO是邊3c上的高，

ZADC=ZEGC=90°.

zc=zc,

.?.AEGCsAADC,

.EGCG

-AD~CD'

(2)?ZBAC=90°,EFLAB,EGVAC,

四邊形是AFEG矩形，

:.AF=EG.

EGCG

耘一而‘

AFAD

一而一而,

EG1AC,AD是邊3c上的高，

即有ZZMC+ZZMF=90。，ZDAC+ZC=90°,

:.ZDAF=ZC,

.〔AMDsAGCD,

.\ZFDA=ZGDC,

ZFDA+ZGDA=ZGDC+ZGDA,

即ZFDG=ZADC,

FD±DG.

【總結】考查相似三角形判定定理1與定理2和相似三角形性質(zhì)綜合題，需要根據(jù)題目需求進行變形，找

準題目所求結論，然后根據(jù)性質(zhì)和判定進行靈活轉(zhuǎn)換.

題型四：相似三角形判定定理3

例4.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中的小正方形的面積都為1,網(wǎng)格中有

他C和（三角形中的每個頂點都在格點上）.這兩個三角形相似嗎？請說明你的理由.

【答案】△ABCs公DFE,理由見解析

【詳解】根據(jù)網(wǎng)格的特點和勾股定理，求出三角形的三邊長度，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例來判定

即可.

【分析】ABCs&DEF.理由如下：

解：回正方形網(wǎng)格中的小正方形的面積都為1,

團正方形網(wǎng)格中的小正方形的邊長都為1,

如圖，在-AFC中,AB=A/12+22=y/5,AC=+3?=V10，BC=5,

在-DEF中，DE7m6,DF=2,EF=&+W

rAB小回AC^10BC_5Vio

0=-—，----=-----

DEy[22DF2而一旃一三

ABACBC

回一二

DEDF-￡F

團_ABCS_DEF.

【點晴】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法，勾股定

理，并正確計算.

【變式1】根據(jù)下列條件判定AAfiC與AD砂是否相似，如果是，那么用符號表示出來.

(1)AB=2cm,BC=3cm,CA=4cm,DE=10cm,EF=15cm,FD=20cm

(2)AB=1cm,BC=2cm,CA=1.5cm,DE=6cm,EF=4cm,FD=8cm.

【答案】(])相似，AABC^ADEF.(2)相似，AABC^AEFD.

【總結】本題考查相似三角形的判定定理3,同時注意表示相似時對應點的位置.

【變式2】如圖，在邊長為1個單位的方格紙上，有AABC與ADEF.求證：MBCAFDE.

【解析】由圖知：BC=1,AC=0AB=45,

DE=也,EF=2,DF=回.

BCACAB垃

DE~^F~DF~2'

z.MBC^AFDE.

【總結】本題考查相似三角形的判定定理3.

【變式3】如圖，D、E、F分別是AABC的邊BC、04、AB的中點.求證：ADEFAABC.

BDC

【解析】D、E、b分別是邊5C、C4、AB的中點,

/.DE=-AB,FE=-BC,DF=-AC.

222

ABBC

——=2,AZJEFsAABC.

~DE~EFDF

【總結】本題考查相似三角形的判定定理3和三角形中位線的性質(zhì).

ARAC

【變式4】如圖，點。為AABC內(nèi)一點，點E為AABC外一點，且滿足一=—=—.

ADDEAE

求證：AABDAACE.

ABBC_AC

【解析】AABC^AADE.

AD~^E~~\E

:.ZBAC=ZDAE,BPZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC.

ABAC

XBAD=X.CAE.----=「./\ABD0°AACE.

ADAE

【總結】本題考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性質(zhì)知識.

【變式5】如圖，在AABC中，ZABC=90°,ZACB=3Q°,AC=2,CD=26,AD=4.

求證：AABCAACD.

【解析】ZABC=90°,ZACB=30°,AC=2.

AB=-AC=1,「.在應MBC中，BC=上.

2

lABACBC\—……

CD=2^，AD=4，??===J,AABCAACD.

21(^,，

【總結】本題考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知識.

【變式6】己知：如圖，在RA4BC中，ZACB=9Q°,AC=2,BC=4,點。在2C邊上，且NC4D=4.

(1)求AD的長；

(2)取AD、AB的中點E、F,聯(lián)結CE、CF、EF.求證：ACEFAADB.

［解析］（1）NACB=90。，NCAD=ZB,

:.ACAD^^CBA

,CDACAD

"AC-CB-A5'

AC1CD*CBCD=1.

.,.在放AADC中，AD=45-

（2）點、E、/分別是AD、AB的中點，

EF=-BD.

2

在RfAADC、HAABC中,CE=^AD,CF=；AB.

CECFEF_1

耘一瓦一訪—5

???ACEFsMDB.

【總結】本題考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線等知識.

題型五：直角三角形相似的判定定理

例5.在咫AABC和&XDEF中，ZC=ZF=90°.依據(jù)下列各組條件判定這兩個三角形是否相似，并說明

理由.

(1)ZA=55°,ZD=35。；

(2)AC=9,BC=12,DF=6,EF=8；

(3)AC=3,BC=4,DF=6,DE=8；

(4)AB=10,AC=8,DE=15,EF=9.

【答案】(1)相似，兩三角形有兩組角對應相等，故相似；

(2)相似，兩三角形兩邊對應成比例且夾角相等，故相似；

(3)不相似，兩三角形兩邊對應成比例且有一角相等，但此角不是夾角，故不相似;

(4)相似，斜邊和直角邊對應成比例，故相似.

【總結】本題考查了相似三角形的判定方法，要靈活運用.

a口.-A--C-=--A--B-=--A--D-

【變式1】如圖，在AABC和AA4G中，ADLBC,\DX±,垂足為。和R

ACAiBl42

求證：AABCsA4151G.

【解析】證明：ADLBC,AR，耳￡,

,NADC=NAD?=90.

又ACABAD

AiB1\DX

RtAADCs及"/Ci,/.ZC=ZQ.

同理可得：NB=ZB1,AABCsA413cl.

【總結】本題考查了直角三角形相似的判定方法.

【變式2】如圖，四邊形ABCD中，ZBAC=ZADC=90°,AD=a,BC=b,AC=4ab.

求證：DC±BC.

【解析】證明：AD=a,BC=b,AC=4ab，

AC_BC

2

AC=AZ)*BC.AB-AC

又ZBAC=ZADC=90,

AADC^ACAB.

/.ZACD=ZB.

又?.NB+ZACB=90,

ZACD+ZACB=90.

???DCLBC.

【總結】本題考查了直角三角形相似的判定方法，同時考查了相似三角形的性質(zhì)等知識.

【變式3】如圖，ABYAD,BD1.DC,且8￡>2=Ag.8c.求證：ZABD=ZDBC.

【解析】證明:AB.LAD,BDLDC,

NBAD=NBDC=90.

BCBD

BD2=AB.BC，

BDAB

：.ABAD^ABDC.ZABD^ZDBC.

【總結】本題考查了直角三角形相似的判定方法，同時考查了相似三角形的性質(zhì)等知識.

【變式4】如圖，在AABC中，CDJ_AB于。，DF1,AC于凡ZX7_L3C于G.求證：CF.CA=CG.CB.

【解析】證明：CD1AB,DF±AC,

ZADC=ZCFD=90.

又ZDCF=ZDCA,ADCF^AACD.

DCCF

DC2^CA?CF.

同理可得：DC2=CG?CB,■■CF.CA=CG.CB.

【總結】本題考查了直角三角形相似的判定方法，同時考查了相似三角形的性質(zhì)等知識.

題型六:相似三角形判定綜合

例6.（2021秋?安徽六安?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點8的坐標為（6,4）.反比例函

數(shù)y=f（x>0）的圖象交矩形OLBC的邊BC、AB于。、E兩點，連接AC,DE.

⑴當點。是2C的中點時，k=，點E的坐標為

（2）設點D的橫坐標為m

①請用含m的代數(shù)式表示點E的坐標為

②求證：BDEBCA

【答案】⑴12,（6,2）；

⑵①，子|②見解析

【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解;

（2）①由題意得，點。的坐標為（機,4）,則上=4加，則反比例函數(shù)表達式為〉=多，進而求解;

②證明器=普即可.

nCnA

【詳解】（1）回點8的坐標為（6,4）,矩形Q4BC

0BC=6,區(qū)4=4,點。的縱坐標為4,點E的橫坐標坐標為6,

當點。是BC的中點時，CD=\BC=3

2

回點。的坐標為（3,4）,

把（3,4）代入y=：得：上=12

團點E的橫坐標坐標為6

回點E的坐標為（6,2）

故答案為：12,（6,2）；

（2）①解：由題意得，點。的坐標為（加,4）,則％=4加,

則反比例函數(shù)表達式為＞=網(wǎng)，

X

4m2m

當％=6時,y=一

X

即點石的坐標為

②由①知，BD=6—m,BE=4--^-,

BD6—m1I4——m

團=----=I——m,BE3

BC66=l--m

BA46

BDBE

團---=----.

BCBA

又團NB=NB,

0BDEBCA.

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運用，涉及一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定等，有一定的綜合

性，難度適中.

【變式1】（2022?安徽?統(tǒng)考一模）已知拋物線"加+法+c與無軸只有一個公共點.

（1）若拋物線過點「（0,1）,求a+6的最小值;

（2）已知點＜（-2,1）,P,（2,-1）,P3（2,1）中恰有兩點在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設直線/：＞=履+1與拋物線交于N兩點，點A在直線＞=-1上，且/MAN=90。，過點A且與x軸

垂直的直線分別交拋物線和直線/于點3,C.求證：AM鉆與M3C的面積相等.

【答案】（1）-1;（2）①y=②見解析

【分析】（1）先求得c=l,根據(jù)拋物線y="2+"+c與x軸只有一個公共點，轉(zhuǎn)化為判別式△=（）,從而構

造二次函數(shù)求解即可；

（2）①根據(jù)拋物線y="2+"+c與x軸只有一個公共點，得拋物線上的點只能落在x軸的同側(cè)，據(jù)此判

斷即可；②證明A2=BC即可

【詳解】解：因為拋物線丁=訃2+公+。與x軸只有一個公共點，

以方程中。+6x+c=o有兩個相等的實數(shù)根，

所以A=一4ac=0,BPb1=4ac.

（1）因為拋物線過點尸（。/），所以c=l,

所以從=4〃,即。=幺.

〃1

所以a+b=—+8=—(6+2)2-1,

44

當匕=-2時，a+b取到最小值-1.

(2)①因為拋物線y=內(nèi)2+bx+c與x軸只有一個公共點，

所以拋物線上的點只能落在x軸的同側(cè).

又點7-2,1),鳥(2,-1),4(2,1)中恰有兩點在拋物線的圖象上，

所以只能是々(-2』),心(2,1)在拋物線的圖象上，

由對稱性可得拋物線的對稱軸為尤=0,所以6=0,

即ac=0,因為awO,所以c=0.

又點4(-2,1)在拋物線的圖象上，所以4a=1,4=：,

故拋物線的解析式為y=

4

②由題意設“(五,％)4(々,%),4(%,-1)，則%+1,%=紅+1.

記直線，=-1為仙分別過M,N作MELm,NFLm,垂足分別為E,F,

即NMEA=NA7W=90°,

因為/M4N=90。，所以/M4E+NM4F=90。.

5LZMAE+ZEMA=9Q°,所以/EM4=ZAi4F,所以一

所以笠=美，所以一="：，即(％+1)(%+1)+(%一%)伍一5)=0.

l\ri\r72-r142一九0

所以的+2)(AX2+2)+(X1-XO)(X2-XO)=O,

即（42+1）玉%2+（2左—玉））（玉+9）+%；+4=0.

把片"+1代入y=*'得i-4=。，

2

解得xx=2k-2收+1,x2=2.k+2y/k+l,

所以玉+/=4左，尤i無2=-4.②

將②代入①，得一4（/+1）+4%（2左一元。）+X：+4=0,

即（/-2左y=0,解得力=2左，即A（2左,一1）.

所以過點A且與x軸垂直的直線為x=2限

將x=2上代入y=；/,得y=k2,即3（2々，左

將x=2上代入y=kx+1,得＞=2k2+1,

即C（2匕2抬+1）,

所以48=公+1,8。=公+1,因此AB=3C,

所以與MBC的面積相等.

【點睛】本小題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積等基礎知

識，突出運算能力、推理能力、空間觀念與幾何直觀、創(chuàng)新意識，靈活運用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思

想及化歸與轉(zhuǎn)化思想求解是解題的關鍵.

【過關檢測】

一、單選題

L（2。23春?安徽蚌埠?九年級校考階段練習）如圖'在，ABC和V?中‘筆要使一MC與

VADE相似，還需要添加一個條件，這個條件是（）

A.ZB=ZDB.ZB=ZEC.AD=ABD.AC-BC

【答案】B

【分析】本題中已知筆二若’則對應的夾角相等即可使-鉆。與VME相似’結合各選項即可得問題答

案.

ABBC

【詳解】解:團---=----,

AEED

團添加=則△ABCS^ADE

故選B.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩個對應邊的比相

等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似，熟記各種判定相似

三角形的方法是解題關鍵.

2.（2022秋?安徽滁州?九年級校考階段練習）己知在中，ZA=60°,AB=4,AC=6,下列陰影部

分三角形與原三角形不一定相似的是（）

【答案】A

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解.

【詳解】解：A、不能證明陰影部分的三角形與原.ABC相似，故選項A符合題意；

B、由兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，故選項B不符合題意；

C、由有兩組角對應相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原4ABe相似，故選項C不符合題

思；

D、由有兩組角對應相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原,ABC相似，故選項D不符合題

思；

故選：A.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關鍵.

3.（2021秋?安徽合肥,九年級合肥市五十中學西校校聯(lián)考期中）如圖，。是ABC邊上一點，添加一個

條件后，仍無法判定△ACDS/VIBC的是（）

A.ZACD=/BB.ZADC=ZACBC.——=—D.AC2=AD-AB

ACBC

【答案】c

【分析】根據(jù)公共角-A,再分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可.

【詳解】回/4=ZA

A、當NACD=4時，再由NA=NA,可得出△ACDs/vsc,故選項A不合題意；

B、當NADC=NACB時，再由NA=NA,可得出△ACDs/vsc,故選項B不合題意；

AnCD

C、當嘿=三時，NA不是夾角，所以無法得出△ACDSA4BC,故選項C符合題意；

ACBC

ATAn

D、當AC2=AO.A3時，即二一=——，再由NA=NA,故選項D不合題意；

ABAC

故選：C.

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關鍵.

4.（2022秋?安徽阜陽?九年級統(tǒng)考期中）如圖，己知等邊“ASC,點、D,E分別是邊BC,AC上的動點,

BD=CE,則圖中相似的三角形的對數(shù)是（）

C.5對D.6對

【答案】D

【分析】依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結合條件30=CE,證明△AD3/AABE/△CAD再根據(jù)“有

兩組角對應相等的兩個三角形相似"，即可找到相似三角形.

【詳解】解：回.ABC是等邊三角形,

S\AB=BC,ZABD=ZC=60°,

變BD=CE,

國ABD^BCE（SAS）,

0ABDsBCE>ZDBF=ABAD,NBDF=NBEC,

又也NBDF=ZADB,ZDBF=ZEBC,

0BDFsADB,BDFsBEC；

團NBAD=NCBE,ZBAC=ZABC,

^\ZABE=ZCAD,

又E1AB=C4,NBAE=NC,

0ABE^,CADCSAS）,

0ABEsCW且/AE/=ZADC,

X0ZE4F=ZZMC,

0AAEFS/XADC,

SZEAF=ZABE,ZAEF=ZBEA,

0AEFs.BEA,

綜上所述，圖中相似的三角形的對數(shù)是6對.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定以及等邊三角形的性質(zhì)的運用，關鍵是掌握有兩組角對應相等

的兩個三角形相似.

5.（2020秋?安徽淮南?九年級統(tǒng)考階段練習）下列四個三角形，與如圖的三角形相似的是（）

【答案】B

【分析】先計算出各三角形的三邊，然后根據(jù)三組對應邊的比相等的兩個三角形相似進行判斷.

【詳解】解：已知三角形的三邊長為后，26，M，

A選項中的三角形的三邊長為2,比6,3亞，

因為——/-7=/一產(chǎn),不符合題意;

2V103V2

B選項中的三角形的三邊長為2,4,2>/5,

V2_2A/2_V10

因為

24~245

所以B選項中的三角形與已知三角形相似.

C選項中的三角形的三邊長為2,3,舊，

因為孝,平*噂’不符合題意；

D選項中的三角形的三邊長為有，屈,4

亞2丘M

不符合題意;

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似.

6.（2023春?安徽合肥?九年級?？茧A段練習）如圖，在RL^ABC中，C￡>是斜邊上的高，DELBC,垂足

為E,則圖中與ABC相似的三角形（不包括一ABC）共有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】B

【分析】根據(jù)8是斜邊上的高，DELBC于點、E,得NCZM=NCOS=90。，NCED=NBED=90°,

再根據(jù)相似三角形的判定，即可.

【詳解】回。是斜邊AB上的高，DELBC于點、E,

0ZOM=ZCDB=90°,ZCED=ZBED=90°,

在RtAABC和RtAACD中,

ZA=ZA

回《，

[ZADC=ZACB=90°

團Rt一ABCsRtACO；

在RtAABC和RtACBP中，

"B=/B

[ZCDB=ZACB

0RtABC^RtCBD；

0DE1BC,

BAC//DE,

團RtABCsRt￡>8￡；

團NA+NB=90。，NB+NDCB=90。，

團ZA=/DCB,

在RtAABC和RtACDE中，

（ZA=ZDCB

[ZACB=ZCEDf

團Rt_ABC^Rt_CDE；

團圖中與相似的三角形有4個.

故選：B.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理.

7.（2022秋?安徽滁州?九年級校考階段練習）如圖，在ABC中，點。，E分別是A5,AC上的點，CD

與BE交于點F,下列條件中不能使AAB石和-A8相似的是（）

A.ZABE=ZACDB.——=—

BFCF

ABAC

C.=D.AD*AB=AE*AC

BECD

【答案】C

【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進行分析.

【詳解】解：^ZBAE=ACAD,ZABE=ZACDf

團ABEACD,

故A選項不符合題意；

DFEF

團回一=一,ZDFB=ZEFC,

BFCF

團DFBEFC,

回團DBF=I3ECF,

⑦ZBAE=NCAD,

團ABEACD,

故B選項不符合題意；

ABAC

團一=—,NR4E=NC4r）不能推出ABEACD,

BECD

回C選項符合題意；

^\AD?AB=AE?AC,

AriAC

團一=—,ZBAE=ZCAD,

AEAB

0ABEACD,

故D選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形判定的幾種方法是解題的關鍵.

8.（2020?安徽合肥??？既＃┘祝簩⑦呴L為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，

它們的對應邊間距為1,則新三角形與原三角形相似.

乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1,則新矩形

與原矩形相似.

對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）

圖1圖2

A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對，乙不對D.甲不對，乙對

【答案】C

【分析】甲：根據(jù)題意得：AB//AB',AC//AC,BC//BC,即可證得Z4=NALZB=ZB,可得

△ABC^AA,B,C,；

乙：根據(jù)題意得：AB=CD=3,AD=BC=5,則A'B'==3+2=5,A'D=3'C'=5+2=7,則可得

ABAD

-----W------即新矩形與原矩形不相似.

A?A!D'

【詳解】解：如圖,

團NA=NA',ZB=ZB,

國甲說法正確;

乙：團木艮據(jù)題意得：AB=CD=3,AD=BC=5,則A9=CZ7=3+2=5,AZ7=夕。=5+2=7,

ABCD3ADBC5

團-----=

AfBfCD'~~5ArDr~BfC-7

「ABAD

團----w------

A?ArDr

團新矩形與原矩形不相似.

團乙說法不正確.

故選：C.

【點睛】此題考查了相似三角形以及相似多邊形的判定.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用.

9.（2022秋?安徽蕪湖?九年級?？茧A段練習）如圖，CD是RtMBC斜邊A3上的中線，過點C作C比

交的延長線于點E,添加下列條件仍不能判斷回CEB與團CW相似的是（）

B.點5是0E的中點

CEBE

C.CE?CD=CA?CBD.

CAAD

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法一一判斷即可.

【詳解】0CE0CZ),

團團EDC=90°,

釀BCA=90°,

^\BCE=WCA=90°-團BCD,

團CO是RtABC斜邊AB上的中線，

^\DC=DB=DAf

團團ZMC=M,

加3。右=回0cA=財，

團團C8A=2她，回C3A+她=90°,

^\A=^BCE=0DCA=30°,0CBA=6O°,

^E=^CBA-^\BCE=30°,

^\BCE=^\DCA=^E=^A,

回回CEB團國CA。，

回A不符合題意；

團點8是。E的中點，

⑦BE=BC,

團團3?！?團后，

團團BCE=回石=回0cA=團A,

團國。匹回團CA。，

團B不符合題意；

0CE*CD=C4*CB,

CECB

團-------.

CACD

回團5CE=R]DCA,

釀CEB團國CAD,

即不符合題意；

CFBF

由二=不，由于團E和她不能判斷相等，故不能判斷團C班與團C4D相似,

CAAD

BD符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查判斷三角形相似，直角三角形的性質(zhì).掌握判定三角形相似的條件是解題關鍵.

10.（2022秋?安徽淮北?九年級淮北市第二中學校聯(lián)考階段練習）如圖，一中，點。是邊5c上一點,

下列條件中，不能判定一ABC與相似的是（）

A.AB2^BDBCB.NBDA=NBAC

C.ZADC=ZC+ZBD.ADBC=ABAC

【答案】D

【分析】由圖可知，ae是AABC與的公共角，所以再添加一組角相等或者添加夾as的兩邊成比例即

可判斷.

【詳解】解：A.SAB2^BD-BC,

cABBC

0----=-----,

BDAB

mB=w,

^\BAD^\BCA,

故A不符合題意；

B.S3\BDA=SBAC,回

00BAD00BCA,

故B不符合題意；

C.EIHADC=EC+EIB,0ADC=0BAD+0B,

EII3C=0BAD,

00B=0B,

EBBAOEBBCA,

故C不符合題意；

D.^AD?BC=AB?AC,

ADAC

團---=----,

ABBC

團不能判定AABC與△AB。相似,

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，結合圖形分析并熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵.

二、填空題

11.（2021秋?安徽亳州?九年級蒙城縣第六中學校考期中）如圖，E、。是0ABe的邊AB、AC上一點，請?zhí)?/p>

加一個條件使得0ABe與EAOE相似.

【答案】E1AZ)E=0B^0AEZ)=0C—

ABBC

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法：兩角相等，或者兩組對應邊對應成比例，夾角相等進行解題即可.

【詳解】解：如圖EINA=NA,

回當0AZ)E=EIB或EAE￡)=I3C或處=%時：0ABO3EIA￡)E；

ABBC

故答案為：EIADE=E1B或EL4￡D=E1C或--=----

ABBC

【點睛】本題考查相似三角形的判定方法.熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

12.（2022秋?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期末）如圖，。是/4BC邊AB延長線上一點，請?zhí)砑右粋€條件

,使AAC￡)回AA8C.

【答案】AC2=AB-AD（答案不唯一）

【分析】根據(jù)相似三角形的判定添加適當?shù)臈l件即可.

【詳解】解：添加：A（y^AB?AD

^AC2=AB^AD

ACAD

團---=----

ABAC

的4=包4

團AACQ@AABC.

故答案為：A（y^AB?AD（答案不唯一）.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

13.（2022秋?安徽安慶?九年級安徽省安慶市外國語學校?？计谥校┤鐖D所示，AB,CD交于點。，且

OC=45,OD=30,03=36,當OA=時,AOC^BOD.

【答案】54

【分析】直接根據(jù)相似三角形的判定定理：兩邊成比例且夾角相等，進行解答即可.

【詳解】解：回OC=45,00=30,OB=36,ZAOC=ZBOD,AOC^BOD,

喘噬，即累嗡3004=1620,

解得CM=54

故答案為：54

【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定，熟練掌握其判定定理是解題的關鍵.

14.（2023春?安徽合肥?九年級?？茧A段練習）如圖，要使△A￡D和..A3C相似，已具備條件.還

需補充的條件是.或,或

A

ADAC

【答案】ZA=ZAZAED=ZBZADE=ZC

AEAB

【分析】根據(jù)三角形判定定理：兩角對應相等兩三角形相似、兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相

似.已知一個角相等，只要滿足另外任何一個角對應相等或者所夾角的兩邊對應成比例即可.

【詳解】解：由圖示可知4=Z4,

要使AAED和_ABC相似

根據(jù)三角形相似的判定定理，

AnAC

需要補充條件是=或Z4DE=NC,—=—.

AEAB

Ar）Ar

故答案為：ZA=ZA；ZAED=ZB-,ZADE=ZC；—=—.

AEAB

【點睛】本題考查了三角形相似的判定，定理為：①兩角對應相等兩三角形相似；②兩邊對應成比例且

夾角相等，兩個三角形相似；③三邊對應成比例，兩個三角形相似.

15.（2022秋?安徽蕪湖?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中有三個三角形，分別是一E3C,ACDB,

DEB,其中與-ABC相似