2023屆高考數學一輪復習-第4講-獨立性檢驗

第4講獨立性檢驗考向預測核心素養(yǎng)利用2×2列聯表和卡方獨立性檢驗判斷兩個變量的相關關系是高考考查的熱點，各種題型均會出現.數據分析、數學運算[學生用書P304]一、知識梳理1．分類變量與列聯表(1)分類變量在討論問題時，為了表述方便，我們經常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現象或性質，這類隨機變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用實數表示．(2)2×2列聯表列聯表：列出的兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表．假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯表為y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d2.獨立性檢驗(1)零假設以Ω為樣本空間的古典概型．設X和Y為定義在Ω上，取值于{0，1}的成對分類變量．H0：分類變量X和Y獨立．通常稱H0為零假設或原假設．(2)χ2公式假設我們通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數據列聯表，如下表所示：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋dχ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).對于任何小概率值α，可以找到相應的正實數xα，使得下面關系成立：P(χ2≥xα)＝α.我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值就可作為判斷χ2大小的標準．概率值α越小，臨界值xα越大．(3)獨立性檢驗基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：當χ2≥xα時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當χ2＜xα時，我們沒有充分證據推斷H0不成立，可以認為X和Y獨立．這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗．二、教材衍化1．(人A選擇性必修第三冊P134練習T1改編)為調查中學生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，140名女生中有70名近視．在檢驗這些學生眼睛近視是否與性別有關時，用下列哪種方法最有說服力()A．回歸分析 B.均值與方差C．獨立性檢驗 D.概率答案：C2．(人A選擇性必修第三冊P134練習T4改編)為了判斷高三年級學生是否選修文科與性別的關系，現隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯表：理科文科男1310女720α0.050.025xα3.8415.024根據表中數據，得到χ2＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈4.844.則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性不大于________．解析：χ2≈4.844>3.841＝x0.05，這表明小概率事件發(fā)生．根據假設檢驗的基本原理，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性不大于0.05.答案：0.053．(人A選擇性必修第三冊P132例3改編)隨著國家三孩政策的放開，為了調查一線城市和非一線城市的三孩生育意愿，某機構用簡單隨機抽樣的方法從不同地區(qū)調查了100位育齡婦女，結果如下表．非一線一線合計愿生452065不愿生132235合計5842100由χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，得χ2＝eq\f(100×（45×22－20×13）2,65×35×58×42)≈9.616.參照下表：α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828根據小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，可以得到的結論是____________．答案：生育意愿與城市級別有關一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關的一種統(tǒng)計方法．()(2)獨立性檢驗得到的結論一定是正確的．()(3)獨立性檢驗的樣本不同，其結論可能不同．()(4)若事件X，Y關系越密切，則由觀測數據計算得到的χ2越?。?)答案：(1)√(2)×(3)√(4)×二、易錯糾偏1．(列聯表意義不明致誤)下面是2×2列聯表：y1y2合計x1a2173x2222547合計b46120則表中a，b的值分別為()A．94，72 B.52，50C．52，74 D.74，52解析：選C.因為a＋21＝73，所以a＝52.又a＋22＝b，所以b＝74.2．(獨立性檢驗理解不當致誤)(2022·揭陽模擬)隨機詢問50名大學生調查愛好某項運動是否和性別有關．利用2×2列聯表計算得χ2＝8.333，則下列結論正確的是()附：α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828A.在犯錯誤的概率不大于0.005的前提下認為“是否愛好該項運動與性別有關”B．在犯錯誤的概率不大于0.005的前提下認為“是否愛好該項運動與性別無關”C．在犯錯誤的概率不大于0.001的前提下，認為“是否愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不大于0.001的前提下，認為“是否愛好該項運動與性別無關”解析：選A.因為8.333>7.879，由附表知，在犯錯誤的概率不大于0.005的前提下，認為“是否愛好該項運動與性別有關”．故選A.[學生用書P306])考點一分類變量與列聯表(自主練透)復習指導：掌握分類變量的含義；通過實例，理解2×2列聯表的統(tǒng)計意義．1．(多選)根據如圖所示的等高堆積條形圖，下列敘述正確的是()A．吸煙患肺病的頻率約為0.2B．吸煙不患肺病的頻率約為0.8C．不吸煙患肺病的頻率小于0.05D．不能判斷吸煙與患肺病之間的關系解析：選ABC.從等高堆積條形圖上可以明顯地看出，吸煙患肺病的頻率遠遠大于不吸煙患肺病的頻率．A，B，C都正確，D不正確．2．(2022·湖南省永州市高三適應性考試)“直播電商”已經成為當前經濟發(fā)展的新增長點，某電商平臺的直播間經營化妝品和服裝兩大類商品，2021年前三個季度，該直播間每個季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情況如圖所示，則()A．該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的3倍B．該直播間第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的eq\f(1,3)C．該直播間第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的eq\f(1,6)D．該直播間第三季度服裝收入低于前兩個季度的服裝收入之和解析：選B.對于選項A，因為該直播間每個季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，所以第三季度的總收入是第一季度的2×2＝4倍，故A錯誤；對于選項B，設第一季度的總收入為a，則第二季度、第三季度的總收入分別為2a，4a，第二季度的化妝品收入為2a×20%＝0.4a，第三季度的化妝品收入為4a×30%＝1.2a，所以第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的eq\f(0.4a,1.2a)＝eq\f(1,3)，故B正確；對于選項C，第一季度的化妝品收入為a×10%＝0.1a，所以第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的eq\f(0.1a,1.2a)＝eq\f(1,12)，故C錯誤；對于選項D，第一、二季度服裝收入和為a＋2a－0.1a－0.4a＝2.5a，第三季度服裝收入為4a－1.2a＝2.8a，故D錯誤．故選B.3．(2022·上海華師大二附中高二月考)假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯表為XY合計y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d對同一樣本，以下數據能說明X與Y有關的可能性最大的一組為()A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5解析：選D.對于同一樣本，|ad－bc|越小，說明X與Y相關性越弱，而|ad－bc|越大，說明X與Y相關性越強，通過計算知，對于A、B、C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2；對于選項D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，顯然7＞2.4．為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了30名記者擔任對外翻譯工作，在下面“性別與會俄語”的2×2列聯表中，a－b＋d＝________．性別俄語合計會俄語不會俄語男ab20女6d合計1830解析：由2×2列聯表的性質，可得：a＝18－6＝12，b＝20－12＝8，6＋d＝30－20，可得d＝4，所以a－b＋d＝8.答案：8求解參數的方法(1)根據等高堆積條形圖的高度差直接判斷．(2)直接利用2×2列聯表的性質，建立方程即可求參數．考點二獨立性檢驗(多維探究)復習指導：通過對典型案例(如“肺癌與吸煙有關嗎”等)的探究，了解獨立性檢驗的基本思想、方法及初步應用．角度1簡單的獨立性檢驗問題某校推廣新課改，在兩個程度接近的班進行試驗，一班為新課改班級，二班為非課改班級，經過一個學期的教學后對期末考試進行分析評價，規(guī)定：總分超過550(或等于550分)為優(yōu)秀，550以下為非優(yōu)秀，得到以下列聯表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計一班3513二班1725合計(1)請完成列聯表；(2)依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為推廣新課改與總成績是否優(yōu)秀有關系？參考數據：α0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).【解】(1)優(yōu)秀非優(yōu)秀合計一班351348二班172542合計523890(2)零假設為H0：推廣新課改與總成績是否優(yōu)秀無關．根據列聯表中的數據，得到χ2＝eq\f(90×（35×25－13×17）2,48×42×52×38)≈9.663>6.635＝x0.01，故根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為推廣新課改與總成績是否優(yōu)秀有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.角度2獨立性檢驗與統(tǒng)計、概率的綜合問題(2022·四川雅安5月三模改編)高鐵在出行方式中越來越受歡迎，某部門利用大數據隨機抽取了出行人群中的100名旅客進行調查統(tǒng)計，得知在40歲及以下的旅客中乘坐高鐵出行的占eq\f(2,3).(1)請完成下面的2×2列聯表，并依據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，分析能否認為乘坐高鐵出行與年齡有關；40歲及以下40歲以上合計乘坐高鐵10不乘坐高鐵合計60100(2)為提升服務質量，該部門從這100名旅客中按年齡采用分層隨機抽樣的方法選取5人參加座談會，會后再進行抽獎活動，獎品共三份，由于年齡差異，規(guī)定40歲及以下的旅客若中獎，則每人得800元，40歲以上的旅客若中獎，則每人得1000元，設三份獎品總金額為X元，求X的分布列與數學期望．參考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數據：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828【解】(1)由已知可得，樣本中40歲及以下乘坐高鐵出行的有60×eq\f(2,3)＝40(人)．2×2列聯表如下：40歲及以下40歲以上合計乘坐高鐵401050不乘坐高鐵203050合計6040100零假設為H0：乘坐高鐵出行與年齡無關．由列聯表中的數據計算可得χ2＝eq\f(100×（40×30－20×10）2,60×40×50×50)≈16.667>10.828＝x0.001.根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為乘坐高鐵出行與年齡有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.(2)采用分層隨機抽樣的方法，則從40歲及以下的人中抽取3人，從40歲以上的人中抽取2人．X的所有可能取值為2400，2600，2800.P(X＝2400)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(0,2),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝2600)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝2800)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,10).故分布列如下：X240026002800Peq\f(1,10)eq\f(3,5)eq\f(3,10)E(X)＝2400×eq\f(1,10)＋2600×eq\f(3,5)＋2800×eq\f(3,10)＝2640.(1)在2×2列聯表中，如果兩個變量沒有關系，則應滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個變量之間關系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個變量之間關系越強．(2)解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得到結論．獨立性檢驗的一般步驟：①根據樣本數據制成2×2列聯表；②根據公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計算得到χ2的值；③比較χ2的值與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷．|跟蹤訓練|(2022·西藏拉薩那曲第二高級中學高三月考)某中學隨機抽查了50名同學的每天課外閱讀時間，得到如下統(tǒng)計表：時長(min)(0，10](10，20](20，30](30，40](40，50]人數41014184(1)求這50名同學的平均閱讀時長(用區(qū)間中點值代表每個人的閱讀時長)；(2)在閱讀時長位于(40，50]的4人中任選2人，求甲同學被選中的概率；(3)進一步調查發(fā)現，語文成績和每天的課外閱讀時間有很大關系，每天的課外閱讀時間多于半小時稱為“閱讀迷”，語文成績達到120分視為優(yōu)秀，根據每天的課外閱讀時間和語文成績是否優(yōu)秀，制成一個2×2列聯表：閱讀迷非閱讀迷合計語文成績優(yōu)秀20323語文成績不優(yōu)秀22527合計222850依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為語文成績是否優(yōu)秀與課外閱讀時間有關？參考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).參考數據：α0.40.250.10.01xα0.7081.3232.7066.635解：(1)設這50名同學的平均閱讀時長為eq\o(x,\s\up6(－))min，則eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5×4＋15×10＋25×14＋35×18＋45×4,50)＝26.6，故這50名同學的平均閱讀時長為26.6min.(2)設這4名學生中分別為甲、乙、丙、丁，從這4名學生中任取2名學生，所有的樣本點有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6個，其中，事件“甲同學被選中”所包含的樣本點有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，因此，所求概率為P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(3)零假設為H0：語文成績是否優(yōu)秀與課外閱讀時間無關．由列聯表中的數據計算得χ2＝eq\f(50×（20×25－2×3）2,22×28×23×27)≈31.897>6.635＝x0.01，因此，根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為語文成績是否優(yōu)秀與課外閱讀時間有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.[學生用書P383(單獨成冊)][A基礎達標]1．下面的等高條形圖可以說明的問題是()A．“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的影響是絕對不同的B．“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的影響沒有什么不同C．此等高條形圖看不出兩種手術有什么不同的地方D．“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的，但是沒有100%的把握解析：選D.由等高條形圖可知“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的頻率不同，所以“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的，但是沒有100%的把握，所以選項D正確，故選D.2．某學校食堂對高三學生偏愛蔬菜還是肉類與性別的關系進行了一次調查，根據獨立性檢驗原理，處理所得數據之后發(fā)現，得到“偏愛蔬菜還是肉類與性別有關”這個結論犯錯誤的概率大于0.001，而不大于0.01，則χ2的值可能為()附表：α0.050.010.001xα3.8416.63510.828A.3.206 B.6.561C.7.879 D.11.028解析：選C.根據題意得χ2的取值范圍為[6.635，10.828)，因此χ2的值可能為7.879.故選C.3．(多選)假設有兩個分類變量X和Y，其2×2列聯表如下表所示：XY合計y1y2x1a40a＋40x230－a3060－a合計3070100在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，下面哪個選項可以認為變量X，Y有關()A．a＝10 B.a＝12C．a＝8 D.a＝9解析：選ACD.根據列聯表知，eq\f(a,a＋40)與eq\f(30－a,60－a)的差距越小，則越無法認為變量X，Y有關聯，分析四個選項，B選項中，a＝12時，eq\f(a,a＋40)與eq\f(30－a,60－a)的差距最小，且不滿足犯錯誤的概率不超過0.05的條件，而其他選項均滿足．4．小波同學為了驗證諺語“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯表，并計算得到χ2≈19.05，下列小波對地區(qū)A天氣判斷不正確的是()日落云里走夜晚天氣下雨未下雨合計出現25530未出現254570合計5050100附表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A.夜晚下雨的概率約為eq\f(1,2)B．未出現“日落云里走”夜晚下雨的概率約為eq\f(5,14)C．做出“‘日落云里走’是否出現與當晚是否下雨有關”這一推斷犯錯誤的概率不大于0.001D．出現“日落云里走”，有99.9%的把握認為夜晚會下雨解析：選D.據列聯表，100天中有50天下雨，50天未下雨，因此下雨的概率約為eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，A正確；同樣，未出現“日落云里走”夜晚下雨的概率約為eq\f(25,25＋45)＝eq\f(5,14)，B正確；因為χ2≈19.05＞10.828＝x0.001，所以做出“‘日落云里走’是否出現與當晚是否下雨有關”這一推斷犯錯誤的概率不大于0.001，C正確；有關只是說可能性，不代表一定下雨，D錯誤．故選D.5．(多選)某俱樂部為了解會員對運動場所的滿意程度，隨機調查了50名會員，每位會員對俱樂部提供的場所給出滿意或不滿意的評價，得到如圖所示的列聯表，經計算χ2≈5.059，則可以推斷出()性別是否滿意合計滿意不滿意男性18927女性81523合計262450附：α0.050.010.005xα3.8416.6357.879A.該俱樂部的男性會員對運動場所滿意的概率的估計值為eq\f(2,3)B．調查結果顯示，該俱樂部的男性會員比女性會員對俱樂部的場所更滿意C．做出“男性會員、女性會員對運動場所的評價有差異”這一推斷犯錯誤的概率不大于0.05D．做出“男性會員、女性會員對運動場所的評價有差異”這一推斷犯錯誤的概率不大于0.01解析：選ABC.對于選項A，該俱樂部男性會員對運動場所滿意的概率的估計值為eq\f(18,27)＝eq\f(2,3)，故A正確；對于選項B，該俱樂部女性會員對運動場所滿意的概率的估計值為eq\f(8,23)，而eq\f(2,3)＝eq\f(46,69)>eq\f(8,23)＝eq\f(24,69)，故B正確；因為χ2≈5.059＞3.841＝x0.05，所以依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們認為男性會員、女性會員對運動場所的評價有差異，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，故C正確，D錯誤．6．(多選)某機構在研究性別與是否愛好拳擊運動的關系中，通過收集數據得到如下2×2列聯表．是否愛好拳擊性別合計男女愛好拳擊352257不愛好拳擊152843合計5050100經計算得χ2＝eq\f(100×（35×28－15×22）2,50×50×57×43)≈6.895.之后又對被研究者的身高進行了統(tǒng)計，得到男、女身高分別近似服從正態(tài)分布N(175，16)和N(164，9)，則下列選項中正確的是()α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.828A.“愛好拳擊運動與性別有關”，這個結論犯錯誤的概率不超過0.01B．在100個男生中，至少有一個人愛好打拳擊C．男生身高的平均數為175，男生身高的標準差為16D．女生身高的平均數為164，女生身高的標準差為3解析：選AD.χ2≈6.895＞6.635＝x0.01，A對；顯然B錯；男生身高的標準差為4，C錯；顯然D對，故選AD.7．(2022·贛中南五校聯考)心理學家分析發(fā)現視覺和空間想象能力與性別有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，從所在學校中按分層隨機抽樣的方法抽取50名同學(男30，女20)，給所有同學幾何題和代數題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：(單位：人)性別題型合計幾何題代數題男同學22830女同學81220合計302050根據上述數據，推斷視覺和空間想象能力與性別有關系，則這種推斷犯錯誤的概率不超過________．附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解析：由列聯表計算得χ2＝eq\f(50×（22×12－8×8）2,30×20×20×30)≈5.556>3.841＝x0.05，所以推斷犯錯誤的概率不超過0.05.答案：0.058．(2022·黑龍江模擬)為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調查后得下表中的數據：性別療效合計無效有效男性患者153550女性患者64450合計2179100設H0：服用此藥的效果與患者的性別無關，則χ2≈________(小數點后保留3位有效數字)，從而得出結論；服用此藥的效果與患者的性別有關，這種判斷出錯的概率不大于________．解析：由公式計算得χ2＝eq\f(100×（15×44－6×35）2,21×79×50×50)≈4.882，因為χ2>3.841＝x0.05根據α＝0.05的獨立性檢驗，分析服用此藥的效果與患者的性別有關，判斷出錯的概率不大于0.05.答案：4.8820.059．(2022·山東省濟南市高二期末)為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院對100名患者中的一部分患者采用了外科療法，另一部分患者采用了化學療法，并根據兩種治療方法的治愈情況繪制了等高堆積條形圖，如下：(1)根據圖表完善以下關于治療方法和治愈情況的2×2列聯表；療法療效合計未治愈治愈外科療法化學療法18合計100(2)依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析此種疾病治愈率是否與治療方法有關．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).(如需計算χ2，結果精確到0.001)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)根據等高條形圖，采用化學療法的治愈率為30%，由列聯表得化學療法治愈的人數為18人，故采用化學療法的人共有18÷30%＝60人，采用外科療法的有40人，其中治愈的有40×50%＝20人．所以列聯表如下表：療法療效合計未治愈治愈外科療法202040化學療法421860合計6238100(2)零假設為H0：設此種疾病治愈率與治療方法無關．則根據列聯表中的數據計算χ2＝eq\f(100×（20×18－42×20）2,62×38×60×40)＝eq\f(2400,589)≈4.075>3.841＝x0.05，所以依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為此種疾病治愈率與治療方法有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.10.(2022·福州市質量檢測)某部門研究成果認為，房租支出超過月收入eq\f(1,3)的租戶“幸福指數”低，房租支出不超過月收入eq\f(1,3)的租戶“幸福指數”高．為了了解甲、乙兩小區(qū)租戶的幸福指數高低，隨機抽取甲、乙兩小區(qū)的租戶各100戶進行調查．甲小區(qū)租戶的月收入以[0，3)，[3，6)，[6，9)，[9，12)，[12，15](單位：千元)分組的頻率分布直方圖如圖所示．乙小區(qū)租戶的月收入(單位：千元)的頻數分布表如下：月收入[0，3)[3，6)[6，9)[9，12)[12，15]戶數38272492(1)設甲、乙兩小區(qū)租戶的月收入相互獨立，記M表示事件“甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元，乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元”，把頻率視為概率，求M的概率；(2)利用頻率分布直方圖，求所抽取的甲小區(qū)100戶租戶的月收入的中位數；(3)若甲、乙兩小區(qū)每戶的月租費分別為2千元、1千元．請根據條件完成下面的2×2列聯表，并依據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，分析幸福指數與租住的小區(qū)是否有關．租住小區(qū)幸福指數合計幸福指數低幸福指數高甲小區(qū)租戶乙小區(qū)租戶合計附：臨界值表α0.10.010.001xα2.7066.63510.828參考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).解：(1)記A表示事件“甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元”，記B表示事件“乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元”，甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元的頻率為(0.060＋0.160)×3＝0.66，故P(A)的估計值為0.66；乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元的頻率為eq\f(24＋9＋2,100)＝0.35，故P(B)的估計值為0.35.因為甲、乙兩小區(qū)租戶的月收入相互獨立，所以事件M的概率的估計值為P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231.(2)設甲小區(qū)所抽取的100戶租戶的月收入的中位數為t，則0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5，解得t＝5.(3)零假設為H0：幸福指數與租住的小區(qū)無關．租住小區(qū)幸福指數合計幸福指數低幸福指數高甲小區(qū)租戶6634100乙小區(qū)租戶3862100合計10496200根據2×2列聯表中的數據，得到χ2＝eq\f(200×（66×62－34×38）2,100×100×104×96)≈15.705>10.828＝x0.001，依據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，我們認為H0不成立，即認為幸福指數與租住的小區(qū)有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.[B綜合應用]11．(多選)(2022·梅州高二模擬)針對時下的“抖音熱”，某校團委對“學生性別和喜歡抖音是否有關”作了一次調查，其中被調查的男女生人數相同，男生喜歡抖音的人數占男生人數的eq\f(4,5)，女生喜歡抖音的人數占女生人數eq\f(3,5)，若做出“是否喜歡抖音和性別有關”這一推斷犯錯誤的概率不大于0.05，則調查人數中男生的人數可能為()附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).A．25 B.35C.45 D.60解析：選CD.設男生可能有x人，依題意得女生有x人，可得2×2列聯表如下：性別是否喜歡抖音合計喜歡抖音不喜歡抖音男生eq\f(4,5)xeq\f(1,5)xx女生eq\f(3,5)xeq\f(2,5)xx合計eq\f(7,5)xeq\f(3,5)x2x若做出“是否喜歡抖音和性別有關”這一推斷犯錯誤的概率不大于0.05，則χ2≥3.841＝x0.05，即χ2＝eq\f(2x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)x·\f(2,5)x－\f(3,5)x·\f(1,5)x))\s\up12(2),\f(7,5)x·\f(3,5)x·x·x)＝eq\f(2,21)x≥3.8