八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第4章 單元綜合測(cè)試卷（北師版 2025年春）

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第4章單元綜合測(cè)試卷（北師版2025年春）一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1．將下列多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果中不含有因式x＋2的是()A．x2＋2xB．x2－4C．(x－2)2＋8(x－2)＋16D．x3＋3x2－4x2．將a3b－ab3因式分解，結(jié)果正確的是()A．a(chǎn)b(a2－b2)B．a(chǎn)(a2b－b3)C．a(chǎn)b(a＋b)(a－b)D．a(chǎn)b(a－b)23．若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，則常數(shù)m的值為()A．1或5B．7或－1C．5D．74．對(duì)于①a－2ab＝a(1－2b)，②(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2，從左到右的變形，表述正確的是()A．①是因式分解，②是乘法運(yùn)算B．①是乘法運(yùn)算，②是因式分解C．①②都是因式分解D．①②都是乘法運(yùn)算5.2024石家莊長(zhǎng)安區(qū)一模對(duì)于整式A＝x－1，B＝x2－x，有下列結(jié)論：結(jié)論一：A·x＝B；結(jié)論二：A，B的公因式為x.下列判斷正確的是()A．結(jié)論一正確，結(jié)論二不正確B．結(jié)論一不正確，結(jié)論二正確C．結(jié)論一、結(jié)論二都正確D．結(jié)論一、結(jié)論二都不正確6．一位密碼編譯愛好者的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：a－b，x－1，3，x2＋1，a，x＋1，分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：國(guó)，愛，我，數(shù)，學(xué)，祖，現(xiàn)將3a(x2－1)－3b(x2－1)因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是()A．愛數(shù)學(xué)B．我愛數(shù)學(xué)C．愛祖國(guó)D．我愛祖國(guó)7．已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，則△ABC的形狀是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．如圖是長(zhǎng)與寬分別為a，b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，則a3b＋2a2b2＋ab3的值為()A．2560B．490C．70D．499．如果一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們稱這個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)”．下列數(shù)中為“幸福數(shù)”的是()A．285B．330C．512D．58210．對(duì)于任意整數(shù)a(a>0)，多項(xiàng)式(3a＋5)2－4都能()A．被9整除B．被a整除C．被a＋1整除D．被a－1整除二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)11．多項(xiàng)式6ab2x－3a2by＋12a2b2的公因式是________．12．請(qǐng)寫出一個(gè)能進(jìn)行因式分解的多項(xiàng)式及因式分解的結(jié)果：__________________(要求第一步先提公因式，第二步能運(yùn)用公式法因式分解)．13．已知ab＝2，a－b＝1012，則a2b－ab2的值為________．14．若m，n為常數(shù)，多項(xiàng)式x2＋mx＋n可因式分解為(x－1)(x＋2)，則(m＋n)2025的值為________．15．已知正方形的面積為9x2＋30xy＋25y2(x＞0，y＞0)，利用因式分解，可以求出正方形的邊長(zhǎng)為________．16.2023無錫期末劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)注》中指出：“勾、股冪合為弦冪，明矣．”也就是說，圖①中直角三角形的三邊a，b，c存在a2＋b2＝c2的關(guān)系．他在書中構(gòu)造了一些基本圖形來解決問題．如圖②，分別將以a為邊長(zhǎng)的正方形和以b為邊長(zhǎng)的正方形置于以c為邊長(zhǎng)的大正方形的左下角和右上角，則圖②中陰影部分的面積等于__________(用含字母a的代數(shù)式表示)；若(c－a)(c－b)＝18，則a＋b－c＝________．三、解答題(本大題共6小題，共66分．解答時(shí)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(12分)把下列各式因式分解：(1)4x2－64;(2)a3＋2a2b＋ab2；(3)(a－b)2－2(b－a)＋1;(4)x2－2xy＋y2－16z2.18．(6分)已知n是整數(shù)，則奇數(shù)可以用代數(shù)式2n＋1來表示．(1)因式分解：(2n＋1)2－1；(2)我們把所有“奇數(shù)的平方減去1”所得的數(shù)叫“白銀數(shù)”，試說明所有“白銀數(shù)”都能被4整除．19．(12分)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)9992＋999；(2)23×2.718＋271.8×0.59＋180×0.2718；(3)999.92－0.12；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,36)))eq\s\up12(2).20．(10分)(1)如圖①，從邊長(zhǎng)為a的正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形紙板后，將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形，然后拼成一個(gè)平行四邊形(如圖②)，那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的因式分解公式是______________________．(2)52－32＝(5＋3)×(5－3)＝8×2；112－52＝(11＋5)×(11－5)＝16×6＝8×12；152－32＝(15＋3)×(15－3)＝18×12＝8×27；192－72＝(19＋7)×(19－7)＝26×12＝8×39.根據(jù)上面四個(gè)算式，請(qǐng)你再寫出兩個(gè)(不同于上面算式)具有上述規(guī)律的算式．(3)用文字描述(2)中算式的規(guī)律，并證明這個(gè)規(guī)律的正確性．21．(12分)閱讀下列材料：經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：m2－mn＋2m－2n，細(xì)心觀察這個(gè)多項(xiàng)式就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可以提取公因式，前、后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為m2－mn＋2m－2n＝(m2－mn)＋(2m－2n)＝m(m－n)＋2(m－n)＝(m－n)(m＋2)．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)因式分解：a3－3a2＋6a－18；(2)因式分解：ax＋a2－2ab－bx＋b2.22．(14分)閱讀下列材料：我們把a(bǔ)2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2這樣的式子叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，即將多項(xiàng)式x2＋bx＋c(b，c為常數(shù))寫成(x＋h)2＋k(h，k為常數(shù))的形式．配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項(xiàng)式因式分解，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式的最大、最小值等問題．例1：因式分解：x2＋2x－3.解：原式＝(x2＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．例2：求代數(shù)式x2－2x－5的最小值．解：原式＝(x2－2x＋1)－1－5＝(x－1)2－6，∵(x－1)2≥0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式x2－2x－5有最小值，最小值是－6.請(qǐng)根據(jù)上述材料用配方法解決下列問題：(1)因式分解：x2－6x－16；(2)求多項(xiàng)式y(tǒng)2＋8y－2024的最小值；(3)已知m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m，n的值．

答案一、1.D2.C3.B4.A5.A6.D7.C8.B9.C10.C二、11.3ab12.2x2－8＝2(x＋2)(x－2)(答案不唯一)13．202414.－115.3x＋5y16.a2；6三、17.解：(1)原式＝4(x2－16)＝4(x＋4)(x－4)．(2)原式＝a(a2＋2ab＋b2)＝a(a＋b)2.(3)原式＝(a－b)2＋2(a－b)＋1＝(a－b＋1)2.(4)原式＝(x－y)2－(4z)2＝(x－y＋4z)(x－y－4z)．18．解：(1)原式＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1)．(2)∵(2n＋1)2－1＝4n(n＋1)，∴所有“白銀數(shù)”都能被4整除．19．解：(1)9992＋999＝999×(999＋1)＝999000.(2)23×2.718＋271.8×0.59＋180×0.2718＝23×2.718＋2.718×59＋18×2.718＝2.718×(23＋59＋18)＝2.718×100＝271.8.(3)999.92－0.12＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1)＝999.8×1000＝999800.(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,36)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)－\f(31,36)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,36)＋\f(31,36)))＝－eq\f(13,18)×1＝－eq\f(13,18).20．解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)(2)32－12＝(3＋1)×(3－1)＝4×2＝8×1，172－52＝(17＋5)×(17－5)＝22×12＝8×33.(答案不唯一)(3)兩個(gè)正奇數(shù)的平方差一定能被8整除．證明：設(shè)較大的奇數(shù)為(2n＋1)，較小的奇數(shù)為(2m－1)，其中n，m是正整數(shù)，n≥m，則(2n＋1)2－(2m－1)2＝[(2n＋1)＋(2m－1)][(2n＋1)－(2m－1)]＝4(m＋n)(n－m＋1)，易得(m＋n)(n－m＋1)是2的倍數(shù)，∴4(m＋n)(n－m＋1)是8的倍數(shù)．∴(2n＋1)2－(2m－1)2是8的倍數(shù)，即兩個(gè)正奇數(shù)的平方差一定能被8整除．21．解：(1)a3－3a2＋6a－18＝(a3－3a2)＋(6a－18)＝a2(a－3)＋6(a－3)＝(a－3)(a2＋6)．(2)ax＋a2－2ab－bx＋b2＝(a2－2ab＋b2)＋(ax－bx)＝(a－b)2＋x(a－b)＝(a－b)(a－b＋x)．22．解：(1)原式＝(