2025屆福建省百校聯(lián)考高三11月模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題

第1頁(yè)/共1頁(yè)絕密★啟用前2024~2025學(xué)年高三11月測(cè)評(píng)（福建）數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出，由函數(shù)特征求定義域，得到，利用補(bǔ)集和交集概念求出答案.【詳解】，解得，故，得，故，故.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)，進(jìn)而判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】由題設(shè)，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)為在第三象限.故選：C3.若和是兩個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】若，則，即或，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以“”是“”的充分條件.若時(shí)，滿足，而，所以“”是“”的不必要條件.綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知，是兩個(gè)非零平面向量，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直關(guān)系得，再由投影向量公式求解.【詳解】由于，則，即，可得，則在方向上的投影向量為.故選：C5.在平面直角坐標(biāo)系中，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，，利用湊角法求出答案.【詳解】由題意得，，故.故選：B6.定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，若函數(shù)的最小值為，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性得到，，從而得到，換元得到在上最小值為，根據(jù)對(duì)稱軸，分和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到最小值，從而得到方程，求出答案.【詳解】①，故，因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，為上的奇函數(shù)，故，所以②，式子①和②聯(lián)立得，，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以在上的最小值為，由于的對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，解得，不合要求，舍去；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，負(fù)值舍去；故選：C7.數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)有，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)有，即可求值.【詳解】由題設(shè)，，且當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以.故選：B8.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榈膶?dǎo)函數(shù)，滿足，，則的最小值為（）A. B.e C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)題設(shè)有，構(gòu)造，易得，結(jié)合已知進(jìn)一步得到，根據(jù)其導(dǎo)數(shù)求其最小值.【詳解】由題設(shè)，可得，令，則，故，所以，其中為常數(shù)，又，則，所以，故，則，而，定義域?yàn)?,+∞，當(dāng)時(shí)，f′x<0，故在上遞減，當(dāng)時(shí)，f′x>0，故在上遞增，所以的極小值，也是最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知得到，結(jié)合形式構(gòu)造為關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)最小值為4的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】A由二次函數(shù)性質(zhì)判斷；B利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合基本不等式求最小值；C應(yīng)用三角恒等變換得，結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)判斷；D函數(shù)化為，應(yīng)用基本不等式求最小值判斷.【詳解】A：，不符；B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，符合；C：，則，故，符合；D：且，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，符合.故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的最小正周期為B.函數(shù)過(guò)定點(diǎn)C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為D.函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B；圖象平移確定解析式，根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)判斷C；令，化為在有5個(gè)根求參數(shù)范圍判斷D.【詳解】A：由題設(shè)，則最小正周期為，錯(cuò)；B：顯然恒成立，故函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，對(duì)；C：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得為偶函數(shù)，所以，可得且，又，所以的最小值為，對(duì)；D：由題意在上有5個(gè)根，而，所以在有5個(gè)根，如下圖示，所以，可得，錯(cuò).故選：BC11.已知正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別是，，的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的面積為B.三棱錐體積的最大值為C.若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，到直線的距離為【答案】ACD【解析】【分析】由題意有是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，求面積判斷A；利用線面平行、面面平行的判定證面面，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征有面，當(dāng)重合時(shí)三棱錐體積最大，且當(dāng)在上除外運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面，判斷B、C；根據(jù)已知求得，再由到直線的距離為判斷D.【詳解】由題意，可得是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故其面積為，A對(duì)；由題設(shè)，面，面，則面，同理可證面，且在面內(nèi)，故面面，根據(jù)正方體性質(zhì)，易得面，即面，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)，易知當(dāng)重合時(shí)，三棱錐體積最大，由A分析，易知棱錐的高，此時(shí)到面距離，則，B錯(cuò)；由上知，當(dāng)在上除外運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面，軌跡長(zhǎng)為，C對(duì)；若點(diǎn)為的中點(diǎn)，此時(shí)，且，所以，則，所以到直線的距離為，D對(duì).故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】【分析】依次代入求解即可.【詳解】，，所以.故答案為：113.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足，，，則__________.【答案】2【解析】【分析】先由二倍角公式和余弦定理得，從而解得.【詳解】根據(jù)題意，，由正弦定理得，所以，由余弦定理，，即解得或（舍），所以.故答案為：214.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，函數(shù)均存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)法求極值，得，設(shè)，因?yàn)?，結(jié)合已知得，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?,+∞，且，令，得，如圖所示，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，代入條件得，化簡(jiǎn)得：，即，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)法求極值，得，設(shè)，因?yàn)椋瑥亩?，代入已知化?jiǎn)得：，從而可得，可解問(wèn)題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出公差，根據(jù)題目條件得到方程組，求出，得到通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；（2），利用錯(cuò)位相減法求和得到答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為，則，，解得，故；；【小問(wèn)2詳解】，故①，則②，式子①-②得，所以.16.如圖所示，，分別為半圓錐的底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，為母線的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若為等邊三角形，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）若是中點(diǎn)，根據(jù)題設(shè)證，再由線面平行的判定證結(jié)論；（2）作，連接，利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理，結(jié)合面面角的定義確定所求角為或其補(bǔ)角，進(jìn)而求其余弦值.【小問(wèn)1詳解】由，分別為底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，易知且，若是中點(diǎn)，而為母線的中點(diǎn)，則且，所以且，則為平行四邊形，故，由面，面，故平面.【小問(wèn)2詳解】作，連接，如上圖所示，由題意，面面，，面，面面，所以面，面，則，由都在面內(nèi)，則面，而面，所以，又都在面內(nèi)，故面，由面，則，結(jié)合，且面，面，所以平面與平面的夾角為或其補(bǔ)角，令等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則，由題設(shè)易知，則，，在中上的高，則，所以，故，所以平面與平面的夾角余弦值為.17.函數(shù)，其中為整數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，恒成立，求的最大值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，可得恒成立；當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題為對(duì)于恒成立，設(shè)，，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)分析求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，而，則，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，則恒成立，當(dāng)時(shí)，由，得，即，則，即對(duì)于恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，則函數(shù)上單調(diào)遞增，則，滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不滿足題意.綜上所述，的最大值為2.18.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，.（1）求；（2）求的面積；（3）在所在的平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式得，再由正弦定理可解；（2）由余弦定理和已知得，由等式兩邊的取值范圍可得，從而可得三角形面積；（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，即，可解問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，所以；【小?wèn)2詳解】由余弦定理，，代入，得，兩邊同時(shí)除以，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，由余弦定理，即，的面積；【小問(wèn)3詳解】由（1）（2）可知，，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，故可設(shè)（為變量）則，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問(wèn)中，由題意得，兩邊同時(shí)除以，，接下來(lái)由等式左右兩邊的范圍得是解題的關(guān)鍵.19.設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)，區(qū)間稱作函數(shù)的凹區(qū)間；反之，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)，區(qū)間稱作函數(shù)的凸區(qū)間.（1）已知函數(shù)，求的凹、凸區(qū)間；（2）如圖所示為某個(gè)凹函數(shù)的圖象，在圖象上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，，過(guò)線段的中點(diǎn)作軸的垂線，與函數(shù)圖象和軸分別交于，兩點(diǎn)，則有.①將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的不等式；②證明：當(dāng)，時(shí)，恒成立.【答案】（1）凹區(qū)間為，凸區(qū)間為；（2）①；②證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）二次求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到的凹區(qū)間和凸區(qū)間；（2）①表達(dá)出的坐標(biāo)，由得到結(jié)論；②對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，，二次求導(dǎo)，得到是函數(shù)?x的凹區(qū)間，，所以當(dāng)時(shí)，?x是凹函數(shù)，結(jié)合①的結(jié)論得到答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?,+∞，，設(shè)，則，當(dāng)x∈0,1時(shí)，，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，故在x∈0,1上單調(diào)遞減，在x∈1,+所以的凹區(qū)間為1,+∞，凸區(qū)間為0,1；【小問(wèn)2詳解】①對(duì)于凹函數(shù)定義域中的任意兩個(gè)自變量，，，，，所以，，由，有，②對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，即恒成立，，令，，令，即，解得，所以是