廣東省六校（廣東省北中、河中、清中、惠中、陽(yáng)中、茂中）2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

第1頁(yè)/共1頁(yè)廣東省六校（廣東省北中、河中、清中、惠中、陽(yáng)中、茂中）2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡的相應(yīng)位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無(wú)效.4.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得集合，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】，又，故選：B.2.已知數(shù)列滿足,則（）A.2024 B.2025 C. D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)已知條件構(gòu)造數(shù)列，得到數(shù)列數(shù)列為等差數(shù)列，求出數(shù)列通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，則有，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，故，所以，則.故選：C.3.已知直線的傾斜角為，直線的方向向量為，若，則的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先求得直線的斜率，再根據(jù)方向向量的知識(shí)求得.【詳解】設(shè)的斜率分別為，因?yàn)橹本€的傾斜角為，則，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)橹本€的方向向量為，則有，則有.故選：D4.斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.因趨向于無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，若從該數(shù)列前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，則抽取項(xiàng)是偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意可知數(shù)列滿足，所以該數(shù)列前12項(xiàng)分別為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，其中是偶數(shù)的有：2，8，34，144，故從該數(shù)列前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，則抽取項(xiàng)是偶數(shù)的概率為.故選；C.5.如圖，在四面體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算來(lái)求得正確答案.【詳解】連接，，則.故選：A6.已知圓截直線所得線段的長(zhǎng)度為，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.外離【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，即可根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，所以.圓的圓心為，半徑，所以兩個(gè)圓的位置關(guān)系是外離.故選：D.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角的正切公式求出，然后將其次式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】，解得或，所以，故選：A.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)求出的一個(gè)周期為4，由為奇函數(shù)求出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，然后求解即可.【詳解】由，則，所以，所以的一個(gè)周期為4.由，令，則有，所以.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，令，則，即，令，則，令，則，而，又因?yàn)榈囊粋€(gè)周期為4，所以，故選：B.二、選擇題.本題共有3小題，本題共18分，每小題6分.每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中有多個(gè)選項(xiàng)是正確的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小值為?2 B.最小正周期為C.在上單調(diào)遞減 D.的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】AC【解析】【分析】先利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解.【詳解】因?yàn)?對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，最小值為，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以的最小正周期為B錯(cuò);對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò).故選：AC.10.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.若，則（）A.的最大值是 B.的最小值是C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得單調(diào)遞增，結(jié)合得且，結(jié)合單調(diào)性以及求和的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，則，即.故單調(diào)遞增，因?yàn)?，即有且，故?shù)列前1012項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，而第1013項(xiàng)以及以后各項(xiàng)都是正數(shù)，故的最小值是，無(wú)最大值，故A錯(cuò)誤，B正確;又因?yàn)椋瑒t有，故C錯(cuò)誤，D正確.故選:BD.11.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最小值為C.三棱錐的體積是定值D.存在點(diǎn)使直線與直線夾角的余弦值為【答案】AB【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)判斷.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，則.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:結(jié)合題意易得：，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)槠矫嫫矫?，則平面，所以三棱錐的體積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?，，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，則，故不存在點(diǎn)使直線與直線夾角的余弦值為，故D錯(cuò)誤.故選:AB.三、填空題.本題共有3小題，每小題5分，本題共15分.12.有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為___________.【答案】##【解析】【分析】由極差和平均數(shù)求出，即可求出中位數(shù).【詳解】依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線為.故答案為：13.如下圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在某位置時(shí),拱頂離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下降1m后,水面寬為________m.【答案】【解析】【分析】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過(guò)拱頂?shù)呢Q線為縱軸,建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)題意可以求出找到一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),這樣可以求出圓的方程,最后可以求出當(dāng)水面下降1m后,水面寬的大小.【詳解】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過(guò)拱頂?shù)呢Q線為縱軸,建立直角坐標(biāo)系,如下圖所示：由題意可知：設(shè)圓的方程為：(其中為圓的半徑),因?yàn)楣绊旊x水面2m,水面寬12m,所以設(shè),代入圓的方程中得：,所以圓的方程為：,當(dāng)水面下降1m后,設(shè)代入圓的方程中得：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程的實(shí)際應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和閱讀能力.14.已知正四面體的棱長(zhǎng)為3，平面BCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿足，則取最小值時(shí)，直線AP與直線BC所成角的余弦值為_____________.【答案】##【解析】【分析】先利用正四面體性質(zhì)由確定點(diǎn)軌跡，然后根據(jù)圓的性質(zhì)確定最小時(shí)點(diǎn)位置，再建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求異面直線所成角．【詳解】設(shè)在平面BCD內(nèi)的投影為，故為的重心，故，，故的軌跡為平面BCD內(nèi)以為圓心，為半徑的圓.當(dāng)取最小值時(shí)，三點(diǎn)共線時(shí)，且在BE之間時(shí)，的最小值是.以為原點(diǎn)，BE所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，故.設(shè)直線AP與直線BC所成角為.故答案為：．四、解答題.本題共有5小題，本題共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角求解即可；（2）先由正弦定理求出，然后由三角形內(nèi)角的關(guān)系求出，再由三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】，由正弦定理得，即，又，【小問2詳解】且，則，，由正弦定理有，即，解得.，，的面積.16.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解.【小問1詳解】在等差數(shù)列中，，解得，則.【小問2詳解】因?yàn)椋瑒t.當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和.故.17.籃球三人賽參賽隊(duì)伍要進(jìn)行投球測(cè)試，測(cè)試規(guī)定每支球隊(duì)三人各自投球一次，命中得1分，不中得0分；三人得分和為2分或以上視通過(guò)測(cè)試.現(xiàn)有甲、乙、丙組隊(duì)參與投球測(cè)試，每人投球一次，已知甲命中的概率是，甲、乙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影響.（1）求乙、丙兩人各自命中的概率;（2）求甲、乙、丙這支球隊(duì)通過(guò)投球測(cè)試的概率.【答案】（1）乙、丙兩人各自命中的概率分別為.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解；（2）分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中兩種情況，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】設(shè)乙、丙兩人各自命中的概率分別為，每人是否命中互不影響，故，解得，故乙、丙兩人各自命中的概率分別為.【小問2詳解】甲、乙、丙這支球隊(duì)通過(guò)投球測(cè)試，則三人得分和為2分或3分.三人得分和為3分，即甲、乙、丙三人均命中，概率為，三人得分和為2分，即甲、乙、丙三人中恰有2人命中，其概率為，故甲、乙、丙這支球隊(duì)通過(guò)投球測(cè)試的概率為.18.如圖，在四棱錐中，平面，且為CD的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）若點(diǎn)在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用兩個(gè)向量的夾角公式求解即可；（3）不妨設(shè)則設(shè)出的坐標(biāo)，利用向量求線面所成的角的正弦值得出的坐標(biāo)，然后求解點(diǎn)到平面的距離即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)椋云叫兴倪呅问蔷匦?，則.因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又因?yàn)槠矫妫?，所以平?【小問2詳解】由（1）可知，即兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而所以，令，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而，所以，令，則，記平面與平面的夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】依題意，不妨設(shè)則又由（2）得平面的一個(gè)法向量為，記直線CM與平面所成角為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，則，而由（2）得平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.已知過(guò)點(diǎn)，且圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條相異直線分別與相交于，，且直線和直線的斜率互為相反數(shù).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明直線與平行；（3）設(shè)直線的斜率為正數(shù)，且直線和直線PB與軸的交點(diǎn)分別為，，求面積的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的知識(shí)求得，再求得的半徑，從而求得的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程并與的方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得的斜率，從而證得結(jié)論成立.（3）先求得的坐標(biāo)，求得三角形面積的表達(dá)式，然后利用換元法和基本不等式來(lái)求得面積的最大值.【小問1詳解】因?yàn)閳A心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得.則圓的方程為，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得，故圓的方程為.【小問2詳解】因?yàn)橹本€和直線的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)，其中由，得因?yàn)榈臋M坐標(biāo)一定是該方程的解，故可得同理，可得，所以直線與平行.小問3詳解】直線的斜率為正數(shù)，則，由（2）知，則PA與軸交點(diǎn)為，同理PB與軸交點(diǎn)為，則由（2）有，則，則，所以，令，