機(jī)械基礎(chǔ)（少學(xué)時第3版） 課件 第4單元 工程構(gòu)件的承載能力分析

第4單元

工程構(gòu)件的承載能力分析

項(xiàng)目背景

工程和生活中會遇到各種各樣的結(jié)構(gòu)和機(jī)械，它們都是由一個個構(gòu)件組合而成的。任何構(gòu)件在載荷作用下，當(dāng)載荷增加到一定程度時會發(fā)生變形甚至破壞。通過學(xué)習(xí)強(qiáng)化學(xué)生對機(jī)械工程結(jié)構(gòu)設(shè)計的責(zé)任心；樹立正確的工作態(tài)度，在工作過程中切忌過于自負(fù)。

圖4-1所示眾所周知的小轎車，不妨簡單了解它在行駛過程中，其主要構(gòu)件會產(chǎn)生何種變形。小轎車主要由發(fā)動機(jī)、變速器、傳動系統(tǒng)等部分組成,這些組成部件由許多構(gòu)件組成,這些構(gòu)件在載荷作用下會發(fā)生拉伸或壓縮變形、扭轉(zhuǎn)和彎曲變形、剪切與擠壓變形等變形。圖4-1汽車構(gòu)件的變形分析

第4單元

工程構(gòu)件的承載能力分析

軸向拉伸與壓縮構(gòu)件承載能力認(rèn)知剪切與擠壓圓軸扭轉(zhuǎn)內(nèi)容CONTENTS平面彎曲組合變形綜合項(xiàng)目分析第4單元工程構(gòu)件的承載能力分析

知識目標(biāo)

1.理解和掌握強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性、內(nèi)力、應(yīng)力、許用應(yīng)力及應(yīng)力集中等基本概念。2.掌握構(gòu)件承受軸向拉伸與壓縮、剪切與擠壓、圓軸扭轉(zhuǎn)、平面彎曲四種基本變形的特點(diǎn)。

3.了解構(gòu)件承受四種基本變形的強(qiáng)度計算。

1.能根據(jù)工程構(gòu)件的承載，準(zhǔn)確識別工程構(gòu)件的變形類型。

2.初步具有分析工程構(gòu)件承載的能力。

能力目標(biāo)

第3單元

工程構(gòu)件的受力分析

素質(zhì)目標(biāo)

1.培養(yǎng)工程思維與安全規(guī)范意識。2.養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、精益求精的工匠精神。

1.截面法求解內(nèi)力。2.四種基本變形的受力和變形特點(diǎn)，根據(jù)構(gòu)件實(shí)際承載識別變形類型。

3.四種基本變形的強(qiáng)度計算。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)4.1構(gòu)件承載能力認(rèn)知

4.1.1構(gòu)件的承載能力

構(gòu)件的承載能力包括以下三個方面：

（1）強(qiáng)度：是指在承載作用下，構(gòu)件抵抗破壞的能力。

（2）剛度：是指在承載作用下，構(gòu)件抵抗變形的能力。

（3）穩(wěn)定性：是指受壓的細(xì)長或薄壁構(gòu)件能夠維持原有直線平衡狀態(tài)的能力。

4.1.2彈性體及其基本假設(shè)

1.研究對象：彈性體

2.基本假設(shè)：

（1）均勻連續(xù)性假設(shè)；

（2）各向同性假設(shè)；

（3）彈性小變形1）彈性變形

；2）塑性變形；3）彈性小變形4.1構(gòu)件承載能力認(rèn)知

4.1.3桿件變形的基本形式

1.構(gòu)件的基本形式：根據(jù)幾何形狀不同構(gòu)件可簡化分類為桿、板、殼和塊。

桿的幾何特征是：縱向（長度方向）尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫向（垂直于長度方向）尺寸。

垂直于桿長的截面稱為橫截面，各橫截面形心的連線稱為軸線。軸線是直線的桿稱為直桿；各截面相同的直桿稱為等截面直桿（簡稱等直桿）

4.1構(gòu)件承載能力認(rèn)知圖4-2構(gòu)件的形狀

2.桿件變形的基本變形形式

4.1構(gòu)件承載能力認(rèn)知圓軸扭轉(zhuǎn)變形

平面彎曲變形

2.桿件變形的基本變形形式

4.1構(gòu)件承載能力認(rèn)知

4.2.1軸向拉伸與壓縮的概念

1.受力特點(diǎn)：作用于直桿兩端的兩個外力等值、反向，作用線與桿的軸線重合。

2.變形特點(diǎn)：桿件沿軸線方向伸長（或壓縮）。4.2軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮變形的計算簡圖

☆

基礎(chǔ)能力訓(xùn)練1）試判斷圖4-3所示構(gòu)件中哪些屬于軸向拉伸或軸向壓縮變形。2）請對你周圍的產(chǎn)品（設(shè)施）

進(jìn)行實(shí)物調(diào)查，指出這些產(chǎn)品（設(shè)施）

中哪些構(gòu)件發(fā)生的變形為軸向拉伸或軸向壓縮變形

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-3受力構(gòu)件

4.2.2拉（壓）桿的內(nèi)力與應(yīng)力

1.內(nèi)力與截面法

（1）內(nèi)力的概念：在外力的作用下，構(gòu)件的內(nèi)部將產(chǎn)生相互作用的力，稱為內(nèi)力。

（2）外力：是指其他構(gòu)件對研究對象的作用力，包括載荷、約束反力。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-4截面的內(nèi)力

（2）截面法

求構(gòu)件內(nèi)力的方法通常采用截面法（圖4-5），用截面法求內(nèi)力可歸納為四個字：

（1）截：欲求某一橫截面的內(nèi)力，沿該截面將構(gòu)件假想地截成兩部分。

（2）取：取其中任意部分為研究對象，而棄去另一部分。

（3）代：用作用于截面上的內(nèi)力，代替棄去部分對留下部分的作用力。

（4）平：建立留下部分的平衡條件，由外力確定未知的內(nèi)力。

截面法是求內(nèi)力最基本的方法，但必須注意

：應(yīng)用截面法求內(nèi)力時，截面不能選在外力

作用點(diǎn)所處的截面上。圖4-5截面法4.2軸向拉伸與壓縮

2.軸力與軸力圖

（1）軸力：作用線與桿的軸線重合，通過截面的形心并垂直于桿的橫截面的內(nèi)力，稱為軸力，常用符號FN表示。

（2）軸力符號規(guī)定

當(dāng)軸力的方向與截面外法線n、n′的方向一致時,桿件受拉，規(guī)定軸力為正；反之桿件受壓，軸力為負(fù)，通常未知軸力均按正向假設(shè)。軸力的單位為牛頓（N）或千牛（kN）。軸力正負(fù)號規(guī)定4.2軸向拉伸與壓縮

（3）軸力的大小FN(FN'):等于截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和。

(4)軸力圖

表示軸力沿桿軸線方向變化的圖形稱為軸力圖。

常取橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置，縱坐標(biāo)值表示橫截面上軸力的大小，正的軸力(拉力)畫在x軸的上方，負(fù)的軸力（壓力）畫在x軸的下方。

4.2軸向拉伸與壓縮

項(xiàng)目4-1

圖4-6a所示的等截面直桿受軸向力F1=15kN、F2=10kN的作用。

求出桿件1-1、2-2截面的軸力，并畫出軸力圖。4.2軸向拉伸與壓縮圖4-6直桿的軸力與軸力圖

3.拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力

(1)應(yīng)力的概念：應(yīng)力表示內(nèi)力在截面上的密集度。截面上的應(yīng)力可以分解：1）垂直于截面的應(yīng)力R稱為正應(yīng)力；2）平行于截面的應(yīng)力τ稱為切應(yīng)力。3）桿件橫截面上的正應(yīng)力計算式為：

式中：—橫截面軸力FN

（N）；

—橫截面面積S（m2）；

—正應(yīng)力R的單位帕(N/m2)用Pa表示。

4.2軸向拉伸與壓縮

圖

拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力

（式4-1）

在國際單位制中，應(yīng)力的單位是牛/米2（N/m2），又稱帕斯卡，簡稱帕(Pa)。在實(shí)際應(yīng)用中這個單位太小，通常使用兆帕(MPa)N/mm2或吉帕(GPa)。

它們的換算關(guān)系為:1N/m2=1Pa1MPa=106

Pa1GPa=109

Pa

4.2軸向拉伸與壓縮

項(xiàng)目4-2蒸汽機(jī)的氣缸如圖4-7所示，氣缸內(nèi)徑

D=560mm，內(nèi)壓強(qiáng)

p=2.5MPa，活塞桿直徑

d=100mm。試求：活塞桿的正應(yīng)力。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-7蒸氣機(jī)氣缸示意圖

4.2.3拉（壓）桿的變形

虎克定律

1.拉（壓）桿的變形

桿件在軸向拉伸或軸向壓縮時，除產(chǎn)生沿軸線方向的伸長或縮短外，其橫向尺寸也相應(yīng)地發(fā)生變化，前者稱為縱向變形，后者稱為橫向變形。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-8拉壓桿的變形情況

（1）絕對變形：ΔL與Δb稱為絕對變形，即總的伸長量或縮短量

（2）應(yīng)變

軸向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

橫向線應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中：e—軸向應(yīng)變，為無量綱量

式中：e′—橫向應(yīng)變，為無量綱量

4.2軸向拉伸與壓縮——縱向變形量——橫向變形量

式（4-3）式（4-2）

2.胡克定律

實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)桿件所受軸向拉伸或壓縮的外力

F不超過某一限度時，?L與外力

F及桿原長

L

成正比，與橫截面面積

S成反比，即

引進(jìn)比例常數(shù)E，并注意到F=FN

，將上式整理可得

式中，E—材料的拉(壓)彈性模量，表明材料的彈性性質(zhì)，其單位與應(yīng)力單位相同。

4.2軸向拉伸與壓縮

式（4-5）式（4-4）

胡克定律：它表明了在線彈性范圍內(nèi)桿件軸力與縱向變形間的線性關(guān)系

式中，ES—表征桿件抵抗軸向拉壓變形的能力，稱為桿件的抗拉(壓)剛度

。

胡克定律的的另一種表達(dá)形式，即。

式（4-6）表示在材料的彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比關(guān)系。

4.2軸向拉伸與壓縮

（式4-5）（式4-6）

4.2.4拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能:是指材料承受外力作用時在強(qiáng)度和變形方面表現(xiàn)的各種性質(zhì)，材料的力學(xué)性能是通過實(shí)驗(yàn)獲得的。

1.低碳鋼的拉伸力學(xué)性能

碳含量（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）

低于0.25%的碳素結(jié)構(gòu)鋼，稱為低碳鋼。低碳鋼的力學(xué)性能比較典型，工程中使用也比較廣泛。

4.2軸向拉伸與壓縮

4.2.4拉伸和壓縮時材料的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能:是指材料承受外力作用時在強(qiáng)度和變形方面表現(xiàn)的各種性質(zhì)，材料的力學(xué)性能是通過實(shí)驗(yàn)獲得的。

1.低碳鋼的拉伸力學(xué)性能

碳含量（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）

低于0.25%的碳素結(jié)構(gòu)鋼，稱為低碳鋼。低碳鋼的力學(xué)性能比較典型，工程中使用也比較廣泛。

第Ⅰ階段：彈性變形階段

第Ⅱ階段：屈服階段或流動階段

第Ⅲ階段：強(qiáng)化階段

第Ⅳ階段：頸縮階段

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-9低碳鋼的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(摘自：GBT228.1-2021)

2.2.低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能

1）塑性延伸強(qiáng)度Rp：符合胡克定律的最大應(yīng)力值，稱為材料的塑性延伸強(qiáng)度。

2）屈服強(qiáng)度(或屈服點(diǎn))ReL：

當(dāng)金屬材料呈現(xiàn)屈服

現(xiàn)象時、在試驗(yàn)期間金屬材料產(chǎn)生塑性變形而力不增加

時的應(yīng)力點(diǎn)，屈服階段的最低應(yīng)力稱為屈服強(qiáng)度，用

ReL表示，屈服強(qiáng)度為:

式中：

Fs—金屬材料呈現(xiàn)屈服現(xiàn)象時，承受的載荷；

S0—試樣原始橫截面積。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-9低碳鋼的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

3）強(qiáng)度極限（或抗拉極限）Rm：相應(yīng)最大力Fm對應(yīng)的應(yīng)力

式中：

Fs—金屬材料呈現(xiàn)屈服現(xiàn)象時，承受的載荷；

S0—試樣原始橫截面積。

當(dāng)橫截面上的應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度

Rm

時，受拉桿件上將開始出現(xiàn)縮頸，并隨即發(fā)生斷裂。因此，強(qiáng)度極限Rm

是衡量材料強(qiáng)度的另一重要指標(biāo)。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-9低碳鋼的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

4）斷后伸長率A

：表示試件拉斷后塑性變形程度，用A

表示。

式中：

L1—斷后試件總長度；

L0—試件原始長度。

材料的伸長率A是衡量材料塑性的指標(biāo)。

工程上通常把靜載常溫下伸長率大于5%的材料

稱為塑性材料，如鋼、銅、鋁等；伸長率小于5%的

材料稱為脆性材料，如鑄鐵、玻璃、水泥等。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-9低碳鋼的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

5）斷面收縮率Z

：試樣斷口處橫截面積的相對變化率稱為斷面收縮率，用

Z

表示。

式中：

S0—試件原始橫截面積；

Su—試件斷后最小橫截面積。

材料的伸長率A和斷面收縮率Z

都是衡量材料塑性性能的指標(biāo)。A、Z大，說明材料斷裂時產(chǎn)生的塑性變形大，塑性好。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-9低碳鋼的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

☆基礎(chǔ)能力訓(xùn)練1）有一低碳鋼試件，由試驗(yàn)測得其應(yīng)變e=0.002，已知低碳鋼的塑性延伸強(qiáng)度Rp=200MPa，彈性模量

E=200GPa，問能否利用胡克定律

R=Ee

計算其正應(yīng)力？為什么？2）三種材料的

R-e曲線如圖4-10所示，試說明哪種材料的強(qiáng)度高，哪種材料的塑性好，哪種材料在彈性范圍內(nèi)的剛度大。

三種材料的R-e曲線如圖所示。試說明哪種材料的強(qiáng)度高？哪種材料的塑性好？哪種材料在彈性范圍內(nèi)的剛度大？

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-10三種材料的R-e曲線

2.其他幾種材料在拉伸時的力學(xué)性能

（1）其他材料的力學(xué)性能

條件屈服極限：圖4-11為其他幾種塑性材料的R-e

曲線，它們的

R-e

曲線中沒有明顯的屈服階段。對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常人為規(guī)定，把產(chǎn)生0.2%殘余應(yīng)變時所對應(yīng)的應(yīng)力作為條件屈服極限，并用Rp0.2表示，見圖4-12。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-11其他幾種塑性材料的

圖4-12名義屈服強(qiáng)度R-e曲線

（2）

鑄鐵在拉伸時的力學(xué)性能

鑄鐵在拉伸時的R-e曲線是一段微彎的曲線沒有屈服階段，試件突然斷裂、無頸縮現(xiàn)象。強(qiáng)度極限Rm是衡量鑄鐵強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-13鑄

鐵在拉伸時的R-e曲線

3.材料壓縮時的力學(xué)性能

（1）低碳鋼：低碳鋼不存在抗壓強(qiáng)度，見圖4-14。

（2）鑄鐵：脆性材料的抗壓強(qiáng)度極限Rmc高于抗拉強(qiáng)度的Rm

（見圖4-14），故常用于制作承壓構(gòu)件，如機(jī)器的底座、外殼和軸承座等受壓零部件。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-14低碳鋼試樣的R-e曲線圖4-15鑄鐵試樣的R-e曲線

☆綜合應(yīng)用能力訓(xùn)練

現(xiàn)有低碳鋼和鑄鐵兩種材料，在圖4-16所示的簡易支架結(jié)構(gòu)中，AB桿選用鑄鐵，AC桿選用低碳鋼是否合理？為什么？如何選材才最合理？

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-16簡易支架結(jié)構(gòu)

4.2.5拉（壓）桿的強(qiáng)度計算1.許用應(yīng)力與安全系數(shù)

（1）極限應(yīng)力

構(gòu)件由于變形和破壞喪失正常工作能力稱為失效，材料喪失工作能力時的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力。

脆性材料的極限應(yīng)力是其強(qiáng)度極限Rm（或Rmc）；

塑性材料其極限應(yīng)力是其屈服極限Rel（或R0.2）

4.2軸向拉伸與壓縮

（2）許用應(yīng)力

為了保證構(gòu)件的安全可靠，需有一定的強(qiáng)度儲備，應(yīng)將材料的極限應(yīng)力除于大于1的系數(shù)n，作為材料的許用應(yīng)力，用[σ]表示。

塑性材料：

或

式中：Rel（或R0.2）—材料屈服極限；

nel—是與屈服極限對應(yīng)的安全系數(shù)。

對于塑性材料，取

nel=1.5～2.5，工程中對不同的構(gòu)件選取安全系數(shù)時，可查閱有關(guān)設(shè)計手冊。

4.2軸向拉伸與壓縮

對于脆性材料，

式中：Rm—材料強(qiáng)度極限；

nm—抗拉極限對應(yīng)的安全系數(shù)。

對于脆性材

nm=2.0～3.5。工程中對不同的構(gòu)件選取安全系數(shù)時，可查閱有關(guān)設(shè)計手冊。

4.2軸向拉伸與壓縮

2.拉（壓）桿的強(qiáng)度計算方法

為了保證拉（壓）桿安全可靠地工作，必須使桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。于是得到構(gòu)件軸向拉伸或壓縮時的強(qiáng)度條件為

式中：Rmax—構(gòu)件最大正應(yīng)力；

FN—桿件截面上的軸力；

S—桿件橫截面面積。

4.2軸向拉伸與壓縮

強(qiáng)度計算一般可按以下步驟進(jìn)行：

（1）外力分析：分析構(gòu)件所受全部的外力，明確構(gòu)件的受力特點(diǎn)（例如是否為軸向拉伸或壓縮），求解所有外力大小，作為分析計算的依據(jù)。

（2）內(nèi)力計算：用截面法求解構(gòu)件橫截面上的內(nèi)力，并用平衡條件確定內(nèi)力的大小和方向。

（3）強(qiáng)度計算：利用強(qiáng)度條件，校核強(qiáng)度、設(shè)計橫截面尺寸或確定許可載荷。

4.2軸向拉伸與壓縮

項(xiàng)目4-3

蒸汽機(jī)的氣缸如圖4-7所示，氣缸內(nèi)徑

D=560mm，內(nèi)壓強(qiáng)

p=2.5MPa，活塞桿直徑

d=100mm，許用應(yīng)力為[σ]=90MPa。試校核活塞桿的強(qiáng)度。

4.2軸向拉伸與壓縮

項(xiàng)目4-4

三角形結(jié)構(gòu)尺寸及受力如圖4-17a所示，AB

可視為剛體，CD為圓截面鋼桿，直徑為d=40mm，材料為

Q235，許用應(yīng)力為[σ]=160MPa，若載荷

F=50kN，試校核

CD桿的強(qiáng)度。

4.2軸向拉伸與壓縮

4.2.6應(yīng)力集中

開有圓孔和帶有切口的板條，當(dāng)其受軸向拉伸時，在圓孔和切口附近的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力的數(shù)值劇烈增加，而在離開這一區(qū)域稍遠(yuǎn)的地方，應(yīng)力迅速降低而趨于均勻。這種現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中。

結(jié)論：鑒于應(yīng)力集中往往會削弱桿件的強(qiáng)度，因此在設(shè)計中應(yīng)盡可能避免或降低應(yīng)力集中的影響。

4.2軸向拉伸與壓縮圖4-18橫截面積突變圖4-19緩解應(yīng)力集中的方法

【項(xiàng)目分析】如圖4-20a所示，汽輪機(jī)軸和發(fā)電機(jī)軸常利用凸緣聯(lián)軸器和螺栓組聯(lián)接起來，當(dāng)機(jī)器工作時，汽輪機(jī)軸通過螺栓組將轉(zhuǎn)矩傳遞給發(fā)電機(jī)軸，從而實(shí)現(xiàn)兩軸同步運(yùn)轉(zhuǎn)，但是當(dāng)傳遞的轉(zhuǎn)矩超過一定值時聯(lián)接螺栓就會發(fā)生剪切破壞。

項(xiàng)目要求：1）分析發(fā)生剪切破壞的構(gòu)件承受載荷的特點(diǎn)和變形特點(diǎn)；

2）采用何種方法可以保證構(gòu)件具有足夠的承載能力？圖4-20聯(lián)軸器應(yīng)用實(shí)例4.3剪切與擠壓

4.3.1剪切與擠壓的概念

1.剪切變形

（1）剪切變形：在外力的作用下，兩個作用力之間的截面沿著力的方向產(chǎn)生相對錯動的變形稱為剪切變形；而產(chǎn)生相對錯動的截面稱為剪切面。

4.3剪切與擠壓圖4-21鉚釘受剪時剪切面，上的剪力和應(yīng)力

（2）剪切變形特點(diǎn)

1）剪切變形的受力特點(diǎn)：桿件兩側(cè)作用有大小相等，方向相反，作用線相距很近的外力。

2）變形特點(diǎn)：截面沿外力的方向發(fā)生相對錯動。

4.3剪切與擠壓圖4-21鉚釘受剪時剪切面，上的剪力和應(yīng)力

（3）切應(yīng)力計算式

剪切面上內(nèi)力的作用線與外力平行，沿截面作用。沿截面作用的內(nèi)力稱為剪力，常用符號

FQ

表示，與剪力FQ

對應(yīng)，剪切面上有切應(yīng)力τ（見圖4-21b），切應(yīng)力在剪切面上的分布規(guī)律較復(fù)雜。

通常假定切應(yīng)力

τ

在剪切面上是均勻分布的，則切應(yīng)力的實(shí)用計算公式為：

（式4-13）

式中，F(xiàn)Q

—剪切面上的剪力；

S

—剪切面面積（受剪面積）。

4.3剪切與擠壓圖4-21鉚釘受剪時剪切面，上的剪力和應(yīng)力

2.擠壓變形

（1）擠壓變形：一般情況下，聯(lián)接構(gòu)件發(fā)生剪切變形的同時，聯(lián)接件和被聯(lián)接件兩構(gòu)件在傳力的接觸面上同時出現(xiàn)局部受壓，從而出現(xiàn)塑性變形的現(xiàn)象—壓陷、起皺（見圖4-22c），這種現(xiàn)象稱為擠壓變形。

（2）擠壓面：兩構(gòu)件相互接觸的局部受壓面稱為擠壓面，圖4-22b為鉚釘擠壓面。

4.3剪切與擠壓圖4-22鉚釘聯(lián)接的擠壓變形

(3)擠壓力：被聯(lián)接件擠壓面，擠壓面一般垂直于外力方向。作用于接觸面間的壓力稱為擠壓力，圖4-22c。

(4)擠壓應(yīng)力：擠壓面上由擠壓力引起的應(yīng)力稱為擠壓應(yīng)力，用符號Rbs

表示，

為簡化計算，在擠壓實(shí)用計算中，假設(shè)擠壓應(yīng)力在擠壓計算面積上均勻分布，則

（式4-13）

式中:Rbs—擠壓面上的擠壓應(yīng)力；Fbs

—擠壓面上的擠壓力；

Sbs—擠壓面積（正投影面面積）。

4.3剪切與擠壓

3.擠壓面積的計算

（1）若接觸面為平面(圖4-24a），則擠壓面面積為有效接觸面積。

擠壓面積：Sbs=lh/2

(2)若接觸面是圓柱形曲面(圖4-24b），如鉚釘、銷釘、螺栓等圓柱形聯(lián)接件，擠壓面積為半圓柱的正投影面積。擠壓面積：Sbs=δd

4.3剪切與擠壓圖4-24擠壓面積

4.3.2抗剪強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度計算

1.抗剪強(qiáng)度計算

為了保證構(gòu)件安全、可靠地工作，要求剪切面上工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即抗剪強(qiáng)度條件為：

（式4-14）

式中，[τ]為材料的許用切應(yīng)力。

4.3剪切與擠壓

項(xiàng)目4-5已知鋁板的厚度為

t，抗剪強(qiáng)度為τb。為了將其沖成圖4-25所示形狀，試求沖床的最小沖剪力。

4.3剪切與擠壓

2.抗壓強(qiáng)度計算

為保證構(gòu)件不產(chǎn)生局部擠壓塑性變形，要求工作擠壓應(yīng)力不允許超過許用擠壓應(yīng)力，即抗壓強(qiáng)度條件為：

（式4-15）

式中：[

σbs

]—材料的許用擠壓應(yīng)力。

必須注意：如果兩個接觸構(gòu)件的材料不同，

[σbs]應(yīng)按抗擠壓能力較弱者選取，即應(yīng)對抗壓強(qiáng)度較小的構(gòu)件進(jìn)行計算。4.3剪切與擠壓

項(xiàng)目4-6

如圖4-27所示為輪轂與輪軸的鍵聯(lián)接，該聯(lián)接傳遞的力偶矩M。已知

M=2kN.m，鍵的尺寸b=16mm，h=12mm，軸的直徑d=80mm，鍵材料的許用應(yīng)力[τ]=80MPa，[σbs]=120MPa。試按強(qiáng)度要求計算鍵長應(yīng)等于多少？

4.3剪切與擠壓

☆基礎(chǔ)能力訓(xùn)練1）擠壓應(yīng)力與一般的壓應(yīng)力有何區(qū)別？2）

圖4-28a所示為承受拉力作用的螺栓，試在圖4-28b中指出螺栓的剪切面和擠壓面。

4.3剪切與擠壓

【項(xiàng)目分析】

如圖4-29所示，汽車發(fā)動機(jī)將功率通過主傳動軸AB傳遞給后橋，驅(qū)動車輪行駛?，F(xiàn)已知主傳動軸所承受的外力偶矩、主傳動軸的材料及尺寸，請分析：

①主傳動軸承受何種外載荷？

②該軸將產(chǎn)生何種變形？

③如何保證該傳動軸具有足夠的承載能力？圖4-29汽車的主傳動軸4.4圓軸扭轉(zhuǎn)

4.4.1圓軸扭轉(zhuǎn)的概念

1.工程實(shí)例的受力及變形分析

工程上傳遞功率的軸，大多數(shù)為圓軸，這些傳遞功率的圓軸承受繞軸線轉(zhuǎn)動的外力偶矩作用時，其橫截面將產(chǎn)生繞軸線的相互轉(zhuǎn)動，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。

扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)：桿件受力偶系的作用，這些力偶的作用面都垂直于桿軸線

。

變形特點(diǎn)：兩外力偶作用面之間的各橫截面都繞軸線產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動

。4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)的受力分析

圓軸扭轉(zhuǎn)工程案例

2.概念：

1）扭轉(zhuǎn)角：桿件任意兩截面間相對轉(zhuǎn)動的角度稱為扭轉(zhuǎn)角，用符號φ表示。

2）切應(yīng)變：桿件表面的縱向直線也轉(zhuǎn)了一個角度，變?yōu)槁菪€，稱為切應(yīng)變，用符號γ表示。4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)的受力分析

4.4.2扭矩和扭矩圖

1.力偶矩的計算

作用在軸上的外力偶矩，一般在工作過程中并不是已知的，常常是已知軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速，再由下式求出外力偶矩，即：

（式4-16）

式中：Me為軸上的外力偶矩，單位為N.m；

P為軸傳遞的功率，單位為kW；

n為軸的轉(zhuǎn)速，單位為r/min。4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)

2.圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力—扭矩

（1）用截面法確定發(fā)生圓軸扭轉(zhuǎn)變形截面的內(nèi)力—扭矩，用符號T表示。

（式4-16）

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)圖4-30截面法確定圓軸橫截面上的扭矩

（2）扭矩正負(fù)號的規(guī)定

按“右手螺旋法則”確定扭矩的正負(fù)：用四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，大拇指的指向與該截面的外法線方向相同時，該截面扭矩為正（圖4-317a、b所示），反之為負(fù)（圖4-31c、d所示）。

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)圖4-31扭矩正負(fù)號規(guī)定

3.扭矩圖

當(dāng)軸上同時作用兩個以上的外力偶矩時，為了形象地表示各截面扭矩的大小和正負(fù)，以便分析危險截面，常需畫出扭矩隨截面位置變化的圖形，這種圖形稱為扭矩圖。

扭矩圖繪制以橫坐標(biāo)

x表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)

T表示橫截面上的扭矩，正負(fù)扭矩分別畫在

x軸上、下方。

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)扭矩圖圖例

項(xiàng)目4-7傳動軸如圖4-32a所示，主動輪A輸入功率

PA=120kW，從動輪

B、C、D輸出功率分別為

PB=30kW，PC=40kW，PD=50kW，

軸的轉(zhuǎn)速

n=300r/min。試作出該軸的扭矩圖。

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)圖4-32傳動軸扭矩圖

討論1：對同一根軸來說，若把主動輪A和從動輪B的位置對調(diào)（圖4-33），Tmax=?。

討論2：扭矩圖的簡捷畫法，即“它上你上，它下你下”。“它”指的是外力偶矩，“你”指的是扭矩，這樣不用截面法就可以繪制扭矩圖，圖4-34為扭矩圖的簡捷畫法，與截面法繪制的圖一致。

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)

圖4-33扭矩圖

圖4-34扭矩圖的簡捷畫法

4.4.3圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計算

1.圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力

（1）平面假設(shè)：圓軸的橫截面變形后仍為平面，其形狀和大小不變，僅繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動（無軸向移動），這一假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)的剛性平面假設(shè)。

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)圖4-35圓軸扭轉(zhuǎn)變形試驗(yàn)

按照平面假設(shè)，可得如下推論：

1）橫截面上無正應(yīng)力；2）橫截面上有切應(yīng)力；3）切應(yīng)力方向與半徑垂直；4）圓心處變形為零，圓軸表面變形最大。

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)圖4-36圓軸橫截面，上的切應(yīng)力分布規(guī)律

（2）圓軸的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布規(guī)律1）切應(yīng)力的方向垂直于半徑，指向與截面扭矩的轉(zhuǎn)向相同。2）圓心處切應(yīng)力為零，在圓周表面切應(yīng)力最大，在半徑為ρ的同一圓周上的各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。橫截面上切應(yīng)力分布如圖4-36a、b所示。

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)圖4-36圓軸橫截面，上的切應(yīng)力分布規(guī)律

（3）圓軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力

1）圓軸橫截面邊緣處的最大切應(yīng)力為

(式4-17)

式中：T—為橫截面上的扭矩；

Wp稱為圓截面的抗扭截面系數(shù)，

常用單位為

m3

或

mm34.4?圓軸扭轉(zhuǎn)圖4-36圓軸橫截面，上的切應(yīng)力分布規(guī)律

圓形截面的抗扭截面系數(shù)為：

空心圓截面抗扭截面系數(shù)為：

式中：Ip為極慣性矩；

D、d

分別為空心圓截面的外徑和內(nèi)徑，內(nèi)外徑之比α=D/d

。

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)

2.圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計算

為了保證圓軸在扭轉(zhuǎn)變形中不會因強(qiáng)度不足而發(fā)生破壞，應(yīng)使圓軸橫截面上的最大切應(yīng)力不超過材料的許用切應(yīng)力，即

（式4-18）

式（4-18）稱為圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件。

式中：T—為橫截面上的扭矩（N.m）；

Wp—圓截面的抗扭截面系數(shù)，

mm3

[τ]—材料的許用切應(yīng)力，MPa

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)

項(xiàng)目4-8

圖4-37所示汽車發(fā)動機(jī)通過主傳動軸AB將功率傳遞給后橋，驅(qū)動車輪行駛。設(shè)主傳動軸所承受的最大外力偶矩Me=1.5kN·m，軸的直徑d=53mm，試求主傳動軸的最大切應(yīng)力。

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)

項(xiàng)目4-9

項(xiàng)目4-8中汽車主傳動軸采用45鋼制成，軸徑d=53mm，[τ]=60MPa，當(dāng)主傳動軸承受的最大外力偶矩為Me=1.5kN.m時。試求

（1）校核主傳動軸的強(qiáng)度；

（2）在扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度相同的情況下，用空心軸代替實(shí)心軸，空心軸外徑D=90mm時的內(nèi)徑值；

（3）確定空心軸與實(shí)心軸的重量比。

4.4?圓軸扭轉(zhuǎn)

【項(xiàng)目分析】

如圖4-38所示的工容器，借助四個耳座支架在四根長度相等的工字鋼梁的中點(diǎn)上，工字鋼梁再由四根混凝土柱支持。請問：①你能根據(jù)所學(xué)的知識畫出單根工字鋼梁的計算簡圖，并判斷AB梁的變形情況嗎？

②如果已知工字鋼梁的長度、型號、容器的總重量及材料許用彎曲應(yīng)力，你能判斷該構(gòu)件的承載能力嗎？圖4-38化工容器結(jié)構(gòu)圖4.5平面彎曲

4.5.1平面彎曲的概念

（1）彎曲變形的受力與變形特點(diǎn)1）彎曲變形的受力特點(diǎn)：外力垂直于桿的軸線

。2）變形特點(diǎn)：軸線由直線變成了曲線

。

通常將只發(fā)生彎曲(或彎曲為主)變形的構(gòu)件，稱為梁。

4.5?平面彎曲

4.5?平面彎曲

（2）縱向?qū)ΨQ面

工程結(jié)構(gòu)與機(jī)械中的梁，其橫截面往往具有對稱軸，對稱軸（y）與梁的軸線（x）構(gòu)成的平面稱為縱向?qū)ΨQ面。

（3）平面彎曲

若作用在梁上的外力（包括力偶）

都位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，且力的作用線垂直于梁的軸線，則變形后的曲線將是平面曲線，并仍位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，這種彎曲稱為平面彎曲。

4.5?平面彎曲圖4-39梁的截面圖4-40平面彎曲

☆基礎(chǔ)能力訓(xùn)練

如圖4-38所示的化工容器，借助四個耳座支架在四根長度相等的工字鋼梁的中點(diǎn)上，工字鋼梁再由四根混凝土柱支持。請問：①你能根據(jù)所學(xué)的知識畫出單根工字鋼梁的計算簡圖嗎？并判斷AB梁的變形情況嗎？②如果已知工字鋼梁的長度、型號、容器的總重量及材料許用彎曲應(yīng)力，你能判斷該構(gòu)件的承載能力嗎？

4.5?平面彎曲圖4-38化工容器結(jié)構(gòu)圖

4.5.2平面彎曲的內(nèi)力—剪力和彎矩

1.剪力和彎矩概念

當(dāng)作用在梁上的所有外力（載荷和支座反力）都已知時，用截面法可求出任一橫截面上的內(nèi)力。下面以簡支梁為例，分析兩橫截面上內(nèi)力簡化的結(jié)果為：剪力FQ和彎矩M。

（1）內(nèi)力FQ（FQ′），其作用線平行于外力并通過截面形心（沿截面作用），故稱為剪力。

（2）力偶矩M（M′），其力偶面垂直于橫截面，稱為彎矩。4.5?平面彎曲圖4-41簡支梁的內(nèi)力分析

2.確定剪力和彎矩的大小

梁任一截面上的內(nèi)力FQ（FQ′）與M（M′）的大小，由該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）的外力確定，其公式為4.5?平面彎曲圖4-41簡支梁的內(nèi)力分析

3.剪力和彎矩正負(fù)號規(guī)定

表4-7梁橫截面剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定

4.5?平面彎曲

☆基礎(chǔ)能力訓(xùn)練

圖4-42所示的懸臂梁，已知其受集中力F作用，試根據(jù)上述所學(xué)知識，判斷截面n-n的彎矩和剪力的大小及正負(fù)號。

4.5?平面彎曲圖4-42懸臂梁

4.剪力圖和彎矩圖

一般情況下，梁內(nèi)剪力和彎矩隨著截面的不同而不同，如果用x表示截面位置,即FQ=FQ(x)、

M=M(x)，兩式分別稱為剪力方程和彎矩方程。

把剪力和彎矩方程用其函數(shù)圖線表達(dá)出來，分別稱為剪力圖和彎矩圖。

繪制剪力圖和彎矩圖的基本方法：是先建立剪力方程和彎矩方程，然后按方程作圖。下面通過幾個項(xiàng)目講授剪力圖和彎矩圖的繪制。4.5?平面彎曲圖4-41簡支梁的內(nèi)力分析

項(xiàng)目4-10

橋式起重機(jī)橫梁長為

L，起吊重量為

F，如圖4-43a所示，不計梁的自重，試?yán)L制其

FQ

圖和

M

圖，并確定FQ和

M

的最大值。4.5?平面彎曲圖4-43起重機(jī)

小結(jié)：由圖FQ、M圖可見，集中力作用處，剪力發(fā)生突變，突變值即等于集中力的大??；而集中力作用處，M圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。4.5?平面彎曲

項(xiàng)目4-11

如圖4-44a所示，齒輪軸受集中力偶作用，已知

M、a、b、L，試?yán)L制

FQ圖和

M

圖，并確定

FQ

和

M的最大值。4.5?平面彎曲圖4-44集中力偶作用的簡支梁

小結(jié)：由圖FQ、M圖可見，集中力偶作用處彎矩發(fā)生突變，突變值即等于集中力偶的大?。欢辛ε甲饔锰?，F(xiàn)Q圖不變。4.5?平面彎曲圖4-44集中力偶作用的簡支梁

5.剪力圖和彎矩圖的簡捷作法

為了簡捷地繪制FQ和M圖，綜合以上所述案例尋找出FQ和M圖隨載荷不同而變化的規(guī)律，如表4-8所示。

表4-8梁的剪力圖、彎矩圖的規(guī)律4.5?平面彎曲

項(xiàng)目4-11

一外伸梁如圖4-45a所示，已知

F=16kN，L=4m。試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。4.5?平面彎曲圖4-45外伸梁的受力分析和內(nèi)力圖

4.5.3平面彎曲的強(qiáng)度計算1.純彎曲概念

（1）橫力彎曲：一般情況下，梁在發(fā)生彎曲變形時橫截面上都存在剪力和彎矩，我們稱這種彎曲為橫力彎曲（即剪切彎曲）。

（2）純彎曲：無剪切變形，僅有彎曲變形，我們稱這種平面彎曲為純彎曲。

4.5?平面彎曲圖4-46簡支梁的受力情況

（3）變形分析1）橫向線仍為直線，且仍與縱向線正交，但發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動。2）縱向線變成了曲線，靠近凹邊的線段縮短（a′a′）

；凸邊的線段伸長。

由此得出純彎曲變形的平面假設(shè)：①

橫截面上無剪力。②

橫截面上既有拉應(yīng)力又有壓應(yīng)力，彎曲變形時，梁的一部分縱向纖維伸長，另一部分縮短，從縮短到伸長，變化是逐漸而連續(xù)的。

4.5?平面彎曲4-47等直梁變形幾何關(guān)系

（4）結(jié)論1）橫截面上無剪力。2）橫截面上既有拉應(yīng)力又有壓應(yīng)力，彎曲變形時，梁的一部分縱向纖維伸長，另一部分縮短，從縮短到伸長，變化是逐漸而連續(xù)的。4.5?平面彎曲4-47等直梁變形幾何關(guān)系

（5）基本概念

中性層：由縮短區(qū)過渡到伸長區(qū)，必存在一層既不伸長也不縮短的纖維，稱為中性層，它是梁上縮短區(qū)與伸長區(qū)的分界面。

中性軸：中性層與橫截面的交線，稱為中性軸

。變形時，