解答壓軸題型：二次函數(shù)綜合題（解析版）

專題20解答壓軸題型：二次函數(shù)綜合題

1.(2023?安徽)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=a/+bx(a70)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(3,3),對(duì)稱軸

為直線x=2.

(1)求a,b的值；

(2)已知點(diǎn)8,C在拋物線上，點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為I,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為f+1.過(guò)點(diǎn)8作x軸的垂線交直線。4

于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線。4于點(diǎn)E.

⑶當(dāng)0<f<2時(shí)，求AOBD與\ACE的面積之和；

5)在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)3,使得以3,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形的面積為5?若存在，

請(qǐng)求出點(diǎn)2的橫坐標(biāo)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)?.■拋物線>="2+云(030)經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(3,3),對(duì)稱軸為直線x=2,

「9。+36=3

(2)由(1)得：y--x2+4x,

.,.當(dāng)x=I時(shí)，y=-t2+4t,

當(dāng)x=f+l時(shí)，y=-(t+1)2+4(r+1),即y=-d+2f+3,

+4f),C(t+1,—+2f+3),

設(shè)CM的解析式為y=fcc,將/(3,3)代入，得：3=3k,

.'.k=\J

:.OA的解析式為y=x,

D(t,E{t+1,f+1)，

⑺設(shè)8。與無(wú)軸交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)/作NN_LC￡,如圖,

則M(f,0),N(f+1,3),

：.S^OBD+SMCE=；處.0"+；4".砥=；（一/+4/_/）篤+3（—/+2/+3—/一1>（3—1—1）=；（一戶+3*）+；（『一3/+4）=—；/+1/+；『一|『+2=2

（拓）①當(dāng)2</<3時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作QH_LCE于"，如圖，

22

貝fjT/Q+1/）,BD=-t+4t-t=-t+3tfCE=￡+1—（—/+2/+3）=*T—2,DH=t+l-t=l,

?*?S四邊形DCEB=3（BD+CE）-DH'

31

^-=-（-t2+3t+t2-t-2）xl,

解得：％=*;

2

2

則5。=，—（—/+4。=/一3彳，CE=t-t-2f

S四邊形OBCE=3（BD+CE）-DH,

31

即5=—2）x1,

解得："='^■+1（舍去），t2=...—+1（舍去）；

1222

綜上所述，，的值為*.

2

2.（2022?安徽）如圖1,隧道截面由拋物線的一部分4ED和矩形4BC。構(gòu)成，矩形的一邊為12米，另

一邊為2米.以3c所在的直線為x軸，線段8c的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系尤切，規(guī)

定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米.E（0,8）是拋物線的頂點(diǎn).

（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“E”型或“口”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)片，鳥在

x軸上，與矩形48A勺的一邊平行且相等.柵欄總長(zhǎng)/為圖中粗線段,P2P3,P3P4,MV長(zhǎng)度之和,

請(qǐng)解決以下問(wèn)題：

（i）修建一個(gè)“E”型柵欄，如圖2,點(diǎn)￡在拋物線上.設(shè)點(diǎn)耳的橫坐標(biāo)為加（0＜加,,6）,求

柵欄總長(zhǎng)/與加之間的函數(shù)表達(dá)式和/的最大值；

（ii）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的“E”型和“口”型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）由題意可得:A(-6,2),D(6,2),

又；￡（0,8）是拋物線的頂點(diǎn),

設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=a/+8,將/（-6,2）代入,

(-6)2a+8=2,

解得：a=--

6

拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為7=-1x2+8；

(2)(i)?.?點(diǎn)耳的橫坐標(biāo)為加(0<肛,6),且四邊形片鳥△鳥為矩形，點(diǎn)鳥，鳥在拋物線/ED上,

.1R的坐標(biāo)為(m,--m2+^,

6

1-

P[P?=g鳥=MN=—m9+8,P2P3=2m,

6

:.l=3(--m2+8)+2m=--m2+2m+24=--(m-2)2+26,

622

2

二.當(dāng)機(jī)=2時(shí)，/有最大值為26,

即柵欄總長(zhǎng)/與加之間的函數(shù)表達(dá)式為I=--m2+2m+24,I的最大值為26；

2

(ii)方案一：設(shè)則84=18-3〃，

矩形PRP3P4面積為(18-3n)n=-3n2+18〃=-3(n-3)2+27,

-3<0,

.?.當(dāng)〃=3時(shí)，矩形面積有最大值為27,

此時(shí)鳥耳=3,P2P3=9,

4--x2+8=3,

6

解得：x=±A/30,

此時(shí)耳的橫坐標(biāo)的取值范圍為-V30+9,,X,,V30,

方案二：設(shè)￡耳=〃，則￡A=18『=9_",

9Q1

2

矩形PXP2P.P,面積為(9-n)n=一/+9n=一(〃--)+y,

v-1<0,

當(dāng)〃=2時(shí)，矩形面積有最大值為配，

24

99

此時(shí)54=/，P2P3=7

令-"=2,

62

解得：x=±V21，

,—o,—

二.此時(shí)片的橫坐標(biāo)的取值范圍為-歷+5”/V21.

3.(2021?安徽)已知拋物線y=#-2x+l(aw0)的對(duì)稱軸為直線x=1.

(1)求。的值；

(2)若點(diǎn)”(占，乂)，N(X2,%)都在此拋物線上，>-1<x；<0,1<x2<2.比較“與%的大小，并說(shuō)

明理由；

(3)設(shè)直線y=加(加>0)與拋物線y=ax?-2x+l交于點(diǎn)N、B,與拋物線y=3(》-1月交于點(diǎn)C,D,求

線段與線段CD的長(zhǎng)度之比.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)根據(jù)題意可知，拋物線"="2-2工+1(“二0)的對(duì)稱軸為直線：x=--=-=1,

2aa

..Q=1.

(2)由(1)可知，拋物線的解析式為：y=x2-2x+l=(x-V)2,

<Q=1>0,

.,.當(dāng)X>1時(shí)，y隨X的增大而增大，當(dāng)X<1時(shí)，y隨X的增大而減小，

,「一1<玉<0,1<x2<2,

1<c1—玉<2,0<%2—1<1,

結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí)，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，值越大，

(3)聯(lián)立y=加(加〉0)與y二12一21+1=(%-1)2,可得+,加)，5(1-Vm,加)，

/.AB=2y[m，

聯(lián)立p=加(加>0)與y=3(I一1)2,可得。(1+/^,m),￡)(1-,m),

.?1,V3m、43m、

..C(1H——,冽),。(1——，加)

?八八_。_2Gr~

..CD=2x------=------7m,

33

，包=6

CD

4.(2020?安徽)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)2(2,3),C(2,l),直線y=x+機(jī)經(jīng)過(guò)點(diǎn)工,拋物線

了=52+法+1恰好經(jīng)過(guò)/,B,C三點(diǎn)中的兩點(diǎn).

(1)判斷點(diǎn)2是否在直線y=x+7〃上，并說(shuō)明理由；

(2)求6的值;

(3)平移拋物線y=加+1,使其頂點(diǎn)仍在直線y=x+7〃上，求平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)

的最大值.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)點(diǎn)2是在直線y=x+機(jī)上，理由如下：

直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,2),

:.2=l+m,解得m=l,

直線為y=x+l,

把x=2代入y=x+l得y=3,

點(diǎn)8(2,3)在直線y=x+m上；

(2)?.■直線y=x+l經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(2,3),直線y=x+l與拋物線y=江+加+1都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),點(diǎn)(0,1),

N(l,2),8(2,3)在直線上，點(diǎn)(0,1),/(1,2)在拋物線上，直線與拋物線不可能有三個(gè)交點(diǎn)，

?.?3(2,3),C(2,l)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，

.?.拋物線只能經(jīng)過(guò)N、C兩點(diǎn)，

把C(2,l)代入＞+6x+l得+=2,

-[4。+26+1=1

解得a=-1,6=2；

(3)由(2)知，拋物線的解析式為＞=-》2+2》+1,

設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-x2+px+q,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為C|,"+q),

,/頂點(diǎn)仍在直線V=X+1上，

+1,

42

“上+K+1,

42

???拋物線＞=--+/+9與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為q,

P2Pl1八25

.“=一++5+1=_:z初_1)+-,

.?.當(dāng)〃=1時(shí)，平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為|.

(3)另解

???平移拋物線y^-x2+2x+l,其頂點(diǎn)仍在直線為y=x+1上,

設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-(x-h)2+h+l,

y=—%2+2,hx—+7z+1,

設(shè)平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c,則。=一/+力+1=一(〃一;y+：

二當(dāng)〃=；時(shí)，平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為j.

5.(2019?安徽)一次函數(shù)〉=履+4與二次函數(shù)了=°/+。的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),另一個(gè)交點(diǎn)是該

二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn).

(1)求左，a,c的值；

(2)過(guò)點(diǎn)N(0,加)(0(加<4)且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=辦2+c的圖象相交于8,C兩點(diǎn)，點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，記少=。/2+8。2,求水關(guān)于加的函數(shù)解析式，并求少的最小值.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)由題意得，上+4=2,解得上=-2,

一次函數(shù)為y=-2x+4,

又?.?二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為(0,c),且該頂點(diǎn)是另一個(gè)交點(diǎn)，代入y=-2x+4得：c=4,

把(1,2)代入二次函數(shù)表達(dá)式得a+c=2,解得a=-2.

(2)由(1)得二次函數(shù)解析式為y=-2/+4,令y=m,得2x?+m-4=0

x=,設(shè)3,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(西，m)(x2,m),則BC=|r—x?|=2j42m,

:.W=OA2+BC2=m2+4x^^=m2-2m+8=(m-I)2+~/

二.當(dāng)加=1時(shí),W取得最小值7.

6.(2023?瑤海區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(I,加)，點(diǎn)3(3,〃)在拋物線y=-(x-〃)2+左上，設(shè)拋物線

與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,c).

(1)當(dāng)C=2,7"="時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；

(2)若求〃的取值范圍；

(3)連接CM,OB,AB,當(dāng)左=4,-2</z<2時(shí)，A4O8的面積是否有最大值，若有請(qǐng)求出最大值；若

沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)當(dāng)c=2時(shí)，C的坐標(biāo)為(0,2),

—h2+左二2①，

??,點(diǎn)，點(diǎn)B(3,n)在拋物線y=-(x-hf+k上，m=n,

拋物線y=-(x-h)2+k的對(duì)稱軸為直線x=*=2,

h=2,

把〃=2代入①得上=6,

y——(x-2)2+6=—+4x+2,

.,.當(dāng)c=2,冽=〃時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y=-工2+4%+2；

(2)???點(diǎn)4(1,加)，點(diǎn)5(3/)在拋物線尸-(x-4+左上，拋物線與歹軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C(O,c),

m——(1-/i)2+左，〃=—(3—+左，c——+k,

*:c<n<m,

-h2+k<-(3-h)2+k<-(1一〃)2+左，

變形整理得。<-9+6〃<-1+2〃，

解得—<h<2；

2

(3)A4O5的面積有最大值，理由如下：

過(guò)/作4)//?軸交05于。，如圖：

???點(diǎn)4(1，冽)，點(diǎn)5(3〃)在拋物線歹=—(x—%>+左上，左=4,

.?.加=一(1—%)2+4=—/+2〃+3,n=-(3-/?)2+4=-//2+6/z-5,

.?.4(1,-肥+2人+3),5(3,-肥+6/z-5),

'：-2<h<2,

.?.3在/下方,

設(shè)直線OB解析式為y=px,將B(3-h2+6Z/-5)代入得:

3p=-h2+6h-5,

施畢得p=——h2+2/z——,

33

「?直線08解析式為>=(一;"2+2/z--1)x,

在y=(―j/z2+2h—g)x中，令］=］得，=-g"+2/z-j,

105

￡)(1,--/z2+2//--),

???B在/下方,

。在/下方，

15214

AD=-h2+2A+3-(——h2+2h——)=——h2+—，

3333

22

SM0B=—AD-1xB|=-x(-—A+—)x3=-h+7,

.?.當(dāng)〃=0時(shí)，取最大值，最大值為7,

ZUO8的面積有最大值，最大值是7.

7.(2023?合肥一模)如圖，拋物線V=G2+6X+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為/(-1,0)、5(3,0).

(1)求拋物線y=+bx+3的函數(shù)表達(dá)式；

(2)矩形尸QMN的頂點(diǎn)尸，。在x軸上(P,。不與工、3重合)，另兩個(gè)頂點(diǎn)M,N在拋物線上(如

圖).

①當(dāng)點(diǎn)尸在什么位置時(shí)，矩形尸的周長(zhǎng)最大？求這個(gè)最大值并寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②判斷命題“當(dāng)矩形尸QMN周長(zhǎng)最大時(shí)，其面積最大”的真假，并說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x-xj(x-x2),

貝！Jy=a(x+l)(x-3)=a(x2-2x-3)，

則-3a=3,

解得：a=-l,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-f+2x+3；

(2)拋物線y=-x?+2x+3的對(duì)稱軸為x=l,

設(shè)點(diǎn)尸(x,0),則N(x,-/+2x+3),

①尸、0關(guān)于x=l對(duì)稱，

Q(2-x,0),則M(2-a--+2x+3),

矩形尸QACV的周長(zhǎng)為/=2(2-X-X-X2+2工+3)=-2犬+10,

當(dāng)x=0時(shí)，/的值最大，最大值為10,

即尸在(0,0)時(shí)，矩形尸的周長(zhǎng)最大，最大值為10；

②假命題.由①可知，當(dāng)矩形周長(zhǎng)最大時(shí)，長(zhǎng)為3,寬為2,面積為6,

當(dāng)尸。ACV為正方形時(shí)，PQ=2-x-x=PN=-x2+2.X+3,

解得：x=2±V5,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-石,0),點(diǎn)0的坐標(biāo)為(右,0),

貝1］夕0=逐-2+右=2退-2,

正方形PQMN的面積=Q亞-2)2=24-875>6；

故命題是假命題.

8.(2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模)已知拋物線y=Y-(加+l)x+"/-2.

(1)當(dāng)7"=1時(shí)，求此拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若該拋物線y-x2-(m+l)x+m2-2與直線乂=x+2〃z+1的一個(gè)交點(diǎn)P在y軸正半軸上.

①求此拋物線的解析式；

②當(dāng)〃+1時(shí)，求y的最小值(用含"的式子表示).

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)當(dāng)冽=1時(shí)，y=x2-2x-i=(x-i)2-2,

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)；

(2)①將x=0代入%=%+2m+1得%=2m+1,

二.點(diǎn)尸坐標(biāo)為(0,2冽+1),

將(0,2m+1)代入歹=—(加+l)x+加之一2得2機(jī)+1=加？一2,

解得機(jī)=3或加=-1,

當(dāng)機(jī)=—1時(shí)，2加+1=-1,點(diǎn)尸在y軸負(fù)半軸，不符合題意，

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，2冽+1=7,點(diǎn)尸在y軸正半軸，符合題意.

二.拋物線的解析式為y=x2-4x+l.

22

@VJ；=X_4X+7=(X-2)+3,

拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

將x=〃代入y=x2-4x+7得y=/-4〃+7,

將x=幾+1代入y=x2-4、+7得〉二〃2一2〃+4,

當(dāng)〃+1<2時(shí)，n<\,y=/—2〃+4為函數(shù)最小值；

當(dāng)〃〉2時(shí)，y=n2-4n+l為函數(shù)最小值；

當(dāng)L,&2時(shí)，歹=3為函數(shù)最小值.

9.(2023?廬陽(yáng)區(qū)一模)如圖1,拋物線歹=辦2+樂(lè)+。與％軸相交于點(diǎn)/，點(diǎn)與y軸相交于點(diǎn)。，

AO=BO=2,C(0,-4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)尸為CO上一點(diǎn)(不與C,。重合)，過(guò)點(diǎn)P作CO的垂線，與拋物線相交于點(diǎn)點(diǎn)產(chǎn)

(點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左側(cè))，設(shè)PF=m,PC=d,求d與機(jī)的函數(shù)解析式.

圖1圖2

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)OA=OB=2,

A(-2,0),5(2,0),

將N(-2,0),8(2,0),C(0,-4)代入拋物線y=ox2+6x+c,

4a-2b-l-c=0

<4Q+26+。=0,

c=-4

a-\

解得<b=0,

c=-4

???拋物線的解析式為y=4；

(2)???點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加，且點(diǎn)尸在拋物線歹=/—4上，

/.F(m,m2-4),

P(0,m2-4),

?/C(0,-4),

PC=m2-4-(-4)=m2(0<m<2),

d與機(jī)的函數(shù)解析式d=m2(0<m<2).

10.(2023?合肥模擬)如圖，拋物線歹=4=2+桁+0經(jīng)過(guò)4-1,0),8(3,0),。(0,3)三點(diǎn)，。為直線5。上

方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。。，工軸于點(diǎn)。，。。與5C相交于點(diǎn)M.DE上BC于E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求線段DE長(zhǎng)度的最大值；

(3)連接NC,是否存在點(diǎn)。，使得ACD￡中有一個(gè)角與NC/O相等？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

y

一

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)?.,拋物線y=o？+6x+c經(jīng)過(guò)Z(-1,O),2(3,0),C(0,3)三點(diǎn),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+l)(x-3),

將C(0,3)代入，得：ax(O+l)x(O-3)=3,

解得a=-\,

y——(x+l)(x—3)——x~+2x+3,

拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(2)設(shè)。(加，-加2+2加+3),且0<"7<3,

在RtABOC中，BO=3,OC=3,BC=732+32=372,

設(shè)直線8C的解析式為y=+將8(3,0),C(0,3)代入,

\3k+n=Q

得4~，

解得｛：：；，

直線BC的解析式為y=-x+3,

+3),

/.DM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，

DE1BC,

ADEM=NBOC=90°,

???00_Lx軸，

AD0//y軸，

/.ADME=ABCO,

:.\DMEs\BCO,

DEBOnnDE3

DMBC?/+3加3A/2

,noV2,372行3.,972

..DE=------mH-------m=!----(m!9—)H-------,

22228

，當(dāng)機(jī)=3時(shí)，DE取得最大值，最大值是皿I；

28

(3)存在點(diǎn)。，使得ACQE中有一個(gè)角與NC4O相等.

:.OA=1,OC=OB=3,

/OBC=/OCB=45。，

?/DQ_Lx軸，

ZBMQ=/DME=45°,

DE1BC,

:.ME=DE,

設(shè)。(加，一加2+2加+3),且0(冽＜3,則M(私一加+3),

CM=y]m2+(―m+3-3)2=41m,

由(2)知DE=一4^冽2+3五m，

22

」.CEfm十也4晅2立向-互m,

2222

①若NDCE=NCAO，

oc

tanADCE=tanACAO=——=3,

OA

DF

vtanZDCE=——=3,

CE

DE=3CE,

,V2.3V24242

..------mH-------m=3（----m2-------m）,

2222

解得加=3或0（舍去），

2

.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為g,?）；

②若ZCDE=ZCAO，

貝UtanZCDE=tanZCAO=3,

CF

???tanZCDE=——=3，

DE

CE=3DE,

。,母23歷、近2枝

3（------m-\-------m）=-----m---------機(jī),

2222

解得加=3或0（舍去），

2

57

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（萬(wàn)，-）；

綜上，存在，點(diǎn)。的坐標(biāo)為,）或（：，!）■

11.（2023?蜀山區(qū)二模）在一次豎直向上拋球游戲中，小球上升的高度〃（⑼與小球拋出后經(jīng)過(guò)的時(shí)間*s）

滿足表達(dá)式：h=10t-5t2,其圖象如圖1所示.

hth

x=vt

圖1圖2

(1)求小球上升的最大高度；

(2)若豎直向上拋出小球時(shí)再給小球一個(gè)水平向前的均勻速度v(〃?/s),發(fā)現(xiàn)小球上升高度〃(加)與小球拋

出后水平距離滿足如圖2所示的拋物線，其中x=W,而小球上升高度力(加)與時(shí)間/(s)仍滿足

①當(dāng)v=6相/s時(shí)，求小球上升到最高點(diǎn)時(shí)的水平距離x；

②在小球正前方處的擋板上有一空隙加，其上沿〃的高度為3.75〃？，下沿N的高度的為3.2機(jī)，

若小球下落過(guò)程恰好從空隙中穿過(guò)(不包括恰好擊中點(diǎn)M,N,擋板厚度不計(jì))，請(qǐng)求出此時(shí)v的取值范

圍.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)A=10z-5r=-502-2z+l-l)=-50-l)2+5,

*/-5<0,

.?.當(dāng)時(shí)，〃有最大值，最大值為5,

答：小球上升的最大高度為5冽；

⑵①o%且當(dāng)％=1時(shí)，小球上到最高點(diǎn)，

.,.當(dāng)v=6時(shí)，x=6xl=6,

.?.當(dāng)v=6加/s時(shí)，小球上升到最高點(diǎn)時(shí)的水平距離x=6；

②根據(jù)題意知，M(8,3.75),N(8,3.2),

當(dāng)小球剛好擊中M點(diǎn)時(shí)，-5?+10/=3.75,

尚率得％=1.5或￡=0.5,

??”>1,

.,.t=1.5，

rLLn-+X816

t1.53

當(dāng)小球剛好擊中0點(diǎn)時(shí)，-5?+10/=3.2,

解得％=2或％=

55

?.”>1,

8

t=一,

5

此時(shí)v=—==5，

t8

5

，v的取值范圍為：5<v<—.

3

12.(2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模)已知拋物線C:y=/-2bx+c；

(1)若拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),求b、c的值；

(2)當(dāng)c=Z)+2,0,,X,,2時(shí)，拋物線C的最小值是-4,求b的值；

(3)當(dāng)c=〃+l,3”x”加時(shí)，工2—2bx+c”x—2恒成立，則機(jī)的最大值為

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)???拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),

y-(x-1)2_3=f_2x_29

-2b=—2,6=1,c=—2；

(2)'：c=b+2

y=x2-2bx+c=x2-2bx+b+2,對(duì)稱軸為x=b,

①當(dāng)6<0時(shí)，由題意可知b+2=-4,解得6=-6,符合題意；

②當(dāng)0,,6,,2時(shí)，—+2)-44=_4,解得4=3,&=-2,不合題意舍去；

4

③當(dāng)6>2時(shí)，根據(jù)題意可知22—4b+6+2=-4,解得6=W,符合題意；

3

綜上所述，所求b的值為-6或3.

3

(3)當(dāng)c=〃+l時(shí)，拋物線。的解析式為y=(x-b>+l,

如圖所示，拋物線C的頂點(diǎn)在直線>=1上移動(dòng)，

當(dāng)3?x?三時(shí),x2-2bx+c”x-2恒成立,

則可知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1),

設(shè)拋物線C與直線y=x-2除頂點(diǎn)外的另一個(gè)交點(diǎn)為M,

此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)即為優(yōu)的最大值，

由卜=(x-3y+l解得占=3,-4,

[y=x-2

m的最大值為4.

13.(2023?瑤海區(qū)二模)已知：拋物線y=x2-2辦與x軸交于點(diǎn)/、B(點(diǎn)3在x軸正半軸)，頂點(diǎn)為C,

且/8=4.

(1)求°的值；

(2)求A42c的面積；

4

(3)若點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，尸M7/〉軸交直線y=-于點(diǎn)求9的最小值.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)令>=0,則--2ax=0,

解得玉=0,/=2。，

.,.4(0,0),5(0,2a),

???點(diǎn)5在x軸正半軸，

:.a>0,

2a=4,

解得。=2；

(2)由(1)知，y=x2-4x=(x-2)2-4,

C(2,-4),

SAB

-MBC=^'\yc|=；x4x4=8；

4,

(3)設(shè)P(加，加2-4加)，則"(加，一]冽-4),如圖所示：

y

c

M

蘇-4加-(-和-4)=療-|〃，+4=(〃，-y+小

貝1)9

?/1>0,

4on

.?.當(dāng)加二—時(shí)，尸M有最小值,.

39

,尸河的最小值為型.

9

14.(2023?包河區(qū)二模)如圖，已知拋物線。:了=辦2+法+3與x軸交于N(-3,0),8(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線c的解析式及。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將拋物線c向右平移機(jī)(加>0)個(gè)單位，設(shè)平移后的拋物線d中y隨x增大而增大的部分記為圖象G,

若圖象G與直線NC只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.

【詳解】(1)把4(-3,0)、8(1,0)代入丁="2+6x+3得:

0=9。一3b+3

0=〃+b+3

6Z=-1

解得:

b=-2

y=-%?—2x+3=-(x+1)2+4,

即拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4)；

(2)?.?拋物線>=-/一2*+3與y軸交于點(diǎn)C,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

C(0,3),

設(shè)直線/C的解析式為：y=kx+n(k0),

把/(-3,0)、C(0,3)代入得，

JO=-3k+n

[3=0+n

解r;

[n=3

即"c=1+3,

由題意設(shè)平移后的拋物線的解析式為：%=-(x+1-加『+4,

頂點(diǎn)力的坐標(biāo)為(加-1,4),

若圖象G與直線4。只有一個(gè)交點(diǎn)，

①當(dāng)％=加一1時(shí)，y>yAC,

即4>加一1+3,

解得m<2；

(2)y=y9Bp—(x+1—加y+4=x+3,

整理得x2+(3-2m)x+m2-2m=0,

△=(3-2m)2-4(m2-2m)=0,

.o

解得m=—.

4

o

綜上所述，若圖象G與直線ZC只有一個(gè)交點(diǎn)，羽的取值范圍為0<冽<2或加=—.

4

15.(2023?廬陽(yáng)區(qū)二模)某公司調(diào)研了歷年市場(chǎng)行情和生產(chǎn)情況以后，對(duì)今年某種商品的銷售價(jià)格和成本

價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)，提供了兩方面的信息，如圖所示.圖1的圖象是線段，圖2的圖象是部分拋物線.

M(元)每件商品的銷售價(jià)格Q(元)每件商品的成本價(jià)格

(1)在3月份和6月份出售這種商品，哪個(gè)月商品的單件利潤(rùn)更大？

(2)從3月份到8月份，哪個(gè)月商品的單件利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)由題意可知：

3月份的單件利潤(rùn)為：6-1=5(元)，

6月份的單件利潤(rùn)為：8-4=4(元)，

.?.在3月份和6月份出售這種商品，3月商品的單件利潤(rùn)更大；

(2)設(shè)線段的解析式為乃=9+=左力0),代入(3,6),(6,8),得：

\3k+b=6

16左+6二8'

k=-

解得：3，

b=4

線段的解析式為必=§￡+4(3”t?8),

由圖可知：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4),

設(shè)拋物線的解析式為8=6)2+4,代入(3,1)得:

QX(3—6p+4=l,

解得：a=--,

3

拋物線的解析式為％一6)2+4(3,",,8),

設(shè)單件利潤(rùn)為w元，

由題意可得：w=-x+4-[--(t-6)2]=-t2/+12=-(?-5)2+—,

333333

拋物線的對(duì)稱軸為x=5,

???|8-5|>|3-5|,

.?.當(dāng)x=8時(shí)，.有最大值，最大值為3x(8-5y+1=?，

.?.從3月份到8月份，8月商品的單件利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是型元.

3

16.(2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)二模)某公園要在小廣場(chǎng)建造一個(gè)噴泉景觀.在小廣場(chǎng)中央O處垂直于地面安裝一

個(gè)高為1.25米的花形柱子安置在柱子頂端/處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋

物線路徑落下，且在過(guò)。4的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設(shè)計(jì)成水流在距

OA的水平距離為1米時(shí)達(dá)到最大高度，此時(shí)離地面2.25米.

(1)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到ON水平距離為x米，水流噴出的高度為y

米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒(méi)有被水淋到,

此時(shí)他離花形柱子。/的距離為4米，求d的取值范圍；

(3)為了美觀，在離花形柱子4米處的地面8、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45。角，如圖3

所示，光線交匯點(diǎn)尸在花形柱子。4的正上方，其中光線所在的直線解析式為歹=-無(wú)+4,求光線與拋物

線水流之間的最小垂直距離.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)根據(jù)題意第一象限內(nèi)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2.25),/(0,1.25),

設(shè)第一象限內(nèi)的拋物線解析式為y=a(x-r)2+2.25,

將點(diǎn)/(0,1.25)代入物線解析式，

1.25=。(0-+2.25,

解得二=-1,

二.第一象限內(nèi)的拋物線解析式為y=-(x-1)2+2.25；

(2)根據(jù)題意，令y=1.76,

即-(1)2+2.25=1.76,

解得再=0.3,x2=1.7.

,拋物線開(kāi)口向下，

.,.當(dāng)0.3<x<1.7時(shí)，y>1.76,

.?"的取值范圍為0.3<d<1.7；

(3)作直線8尸的平行線/,使它與拋物線相切于點(diǎn)D,分別交x軸，y軸于點(diǎn)E,F,過(guò)點(diǎn)作

EG±PB,垂足為G,如圖所示，

IUPB,

設(shè)直線/的解析式為y=-x+加，

聯(lián)立直線與拋物線解析式，

[y=-x+m

[y=_(x-Ip+2.25，

整理得/-3x+%-1.25=0,

?.?直線/與拋物線相切，

方程只有一個(gè)根，

2

.?.A=3-4X1X(WI-1.25)=0,

解得m=3.5,

.,.直線/的解析式為y=-x+3.5,

令了=0,則x=3.5,

￡(3.5,0),

BE=4-3.5=0.5,

即防=L

2

???射燈射出的光線與地面成45°角,

N班G=45。，

???AEGB=90°,

sinZEBG=—

EB2

iV2

EG=-4-iX-=---

224

，光線與拋物線水流之間的最小垂直距離為注米.

4

17.（2023?廬江縣模擬）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量x取。時(shí)，函數(shù)值y也等于0,則稱。是這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)

點(diǎn).已知拋物線y=-/+2x+m.

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（-2,-1）,求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）如圖，在（1）的條件下，在x軸上方作平行于x軸的直線/,與拋物線交于8,C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在對(duì)稱

軸的右側(cè)），過(guò)點(diǎn)2,C作x軸的垂線，垂足分別為E,D.當(dāng)矩形8cz為正方形時(shí)，求2點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）若拋物線>=-/+2工+小有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)°、b,且a<2<6,求加的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)把x=-2,y=-l代入y=-x2+2x+m.

貝!J-4-4+7〃=—1,

m=1,

y=-x~+2x+7=—(x—1)~+8,

拋物線的頂點(diǎn)為(1,8)；

(2)設(shè)點(diǎn)+2m+7),貝1|點(diǎn)C(2-m,-/n2+2m+7),

矩形BCDE為正方形，則BC=BE,

即2一機(jī)一加=—m2+2m+7,

解得：772=5(舍去)或-1,

當(dāng)〃？=-1時(shí),-m2+2m+7=4,

即點(diǎn)8(-1,4)；

（3）由題意知二次函數(shù)歹=-工2+2x+加有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)。，b是方程—-+2x+m=x的兩個(gè)不相等實(shí)

數(shù)根，且〃<2<6,

2

整理得：x—x—m=Of

由一—工一加=o有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且q<2<6,知△>（）,

令y=、2—%—加，畫出該二次函數(shù)的草圖如下：

即x=2時(shí)，><0,

貝!）4—2—機(jī)<0,

解得：m>2.

即m的取值范圍為m>2.

18.（2023?合肥二模）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組以樓梯為場(chǎng)景設(shè)計(jì)的小球彈射實(shí)驗(yàn)示意圖，樓梯平臺(tái)48寬為

3,48前方有六個(gè)臺(tái)階北?（（各拐點(diǎn)均為90。），每個(gè)臺(tái)階的高為2,寬為2,樓梯平臺(tái)到％軸距離

04=14,從歹軸上的點(diǎn)。處向右上方彈射出一個(gè)小球尸（小球視為點(diǎn)），飛行路線為拋物線

L-.y=--x2+2x+16,當(dāng)點(diǎn)尸落到臺(tái)階后立即彈起，其飛行路線是與/形狀相同的拋物線.

2

（1）通過(guò)計(jì)算判斷小球尸第一次會(huì)落在哪個(gè)臺(tái)階上；

（2）若小球尸第二次的落點(diǎn)在臺(tái)階月中點(diǎn)M上，求小球尸第二次飛行路線的解析式；

（3）若小球尸再次從點(diǎn)M處彈起后落入x軸上一圓柱形小球接收裝置（小球落在圓柱形邊沿也為接收），

接收裝置最大截面為矩形EFG//,點(diǎn)E橫坐標(biāo)為16,EF=1,EX=1,求出小球第三次飛行路線的頂點(diǎn)到

x軸距離最小值.

【詳解】(1)?.?樓梯平臺(tái)N8寬為3,每個(gè)臺(tái)階的高為2,寬為2,OA=14,

.?.第二個(gè)臺(tái)階的左端點(diǎn)坐標(biāo)為(5,10),右端點(diǎn)坐標(biāo)為(7,10),

當(dāng)x=5時(shí)，y=--x25+10+16=13.5>10；

2

當(dāng)x=7時(shí)，y=--x49+14+16=5.5<10；

2

故與拋物線交點(diǎn)在(5,10),(7,10)之間，

當(dāng)>=10時(shí)，-1_XX2+2X+16=10,

-2

解得x=6,x=—2(舍去)，

二.小球落在第二個(gè)臺(tái)階上，此時(shí)點(diǎn)?(6,10).

(2)根據(jù)(1)得到尸的起點(diǎn)坐標(biāo)為(6,10),再次著地左端點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=3+2x(5-1)=11,縱坐標(biāo)為

"14-2x5=4,結(jié)合臺(tái)階寬為2,得到點(diǎn)。的落地點(diǎn)坐標(biāo)為(12,4),

設(shè)解析式>+6x+c，

——x36+6b+c=10

曰

倚7j2，

」xl44+12b+c=4

[2

6=8

解得

。=一20

故解析式為＞=-$2+8x_20.

(3)根據(jù)(2)得到尸的起點(diǎn)坐標(biāo)為(12,4),近地點(diǎn)坐標(biāo)為(16,1),

設(shè)解析式》+6x+c,

--x256+16Z7+c=1

得：

——x144+12b+c=4

I2

b=—

解得4.

c=-83

故解析式為歹=-gx2+5x-83,

此時(shí)‘函數(shù)的最小值為胃153

32

根據(jù)(2)得到P的起點(diǎn)坐標(biāo)為(12,4),遠(yuǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)為(17,1),

設(shè)解析式>,

——x289+17b+c=l

得1

」xl44+12b+c=4

I2

7139

b=-----

解得10

908

-10

痂冷刀+匚12139908

故解析式為歹=一-x+——x--------

21010

.z1xz7UO、/1"、2

4-b24X(-5)X(-R)-(R)-

此時(shí)，函數(shù)的最小值為ac=——z-----斗——^―=—1161

4。/、,/1、200

1531161

---<----,

32200

.?.小球第三次飛行路線的頂點(diǎn)到X軸距離最小值是"3.

32

19.(2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模)如圖，拋物線y=辦2+bx-3過(guò)點(diǎn)幺(一1,0),8(3,0),且與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：BE=2CE；

(3)若點(diǎn)尸是第四象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為X,以點(diǎn)5、E、尸為頂點(diǎn)的A8EP的

面積為S,求S關(guān)于光的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值.

【詳解】(1)將點(diǎn)4—1,0)、5(3,0)代入y=+樂(lè)—3,

u—b—3=0

得：＜

9a+3b—3=0

Q=1

解得：

b=—2,

則拋物線的解析式為y=X2-2X-3；

(2)y——2,x—3=(x-1)2—4，

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

DEHOC,

—=—=2,即BE=2CE；

CEOD

(3)???點(diǎn)5(3,0)、C(0,-3),

???設(shè)直線BC解析式為y=mx+n,

3加+〃=0

貝l"r，

n=-3

m=l

解得：《

n=-3

y-x-3

當(dāng)x=l時(shí)，y--2,

如圖，作尸尸，y軸于點(diǎn)尸，￡6，^軸于點(diǎn)6,

設(shè)點(diǎn)P(x,/-2x-3)(0<x<3),

則\BEP的面積為S-S梯形80尸尸—S梯形BOGE—S梯形EGFP

1,11,

=-X(X+3)(-X2+2X+3)--X(1+3)X2--X(1+X)(-X2+2X+3-2)

——x~+3x

??.當(dāng)x=±3時(shí)，S取得最大值，最大值為9二.

24

20.(2023?合肥一模)如圖，已知拋物線y=-x?+4x+上與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為3(5,0),與y軸交于點(diǎn)/.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)尸是拋物線上位于直線N5上方的動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)尸作無(wú)軸的平行線交拋物線于點(diǎn)0,作y軸的

平行線交直線于點(diǎn)。，以尸。、為邊作矩形P0EO,求矩形尸。即周長(zhǎng)的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使得以/、N、B、M為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)把5(5,0)代入y=-f+4x+左得0=—25+20+左，

解得k=5.

，這個(gè)拋物線的解析式為：＞=*+4工+5；

(2)?.?拋物線的解析式為：j；=-%2+4%+5=-(%-2)2+9,

.?.4(0,5),對(duì)稱軸為x=2,

設(shè)直線48的解析式為