利用函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性求解函數(shù)問(wèn)題（十種題型）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型專項(xiàng)復(fù)習(xí)（新高考專用）

第03講利用函數(shù)的奇偶性、周期

性和單調(diào)性求解函數(shù)問(wèn)題（十種題型）

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自

變量尤1,XI,

當(dāng)無(wú)1<X2時(shí)，都有了（XI）</（尤2）,那么就說(shuō)函數(shù)/（無(wú)）在區(qū)間。上是增函數(shù)；當(dāng)X1>X2

時(shí)，都有無(wú)1）</（X2）,那么就說(shuō)函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是減函數(shù).

若函數(shù)/（無(wú)）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)于（X）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格

的）單調(diào)性，區(qū)間。叫做y=/（x）的單調(diào)區(qū)間.

【解題方法點(diǎn)撥】

證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號(hào)；⑤下結(jié)

論.

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

第一步：求函數(shù)的定義域.若題設(shè)中有對(duì)數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、

指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域.

第二步：求函數(shù)了（無(wú)）的導(dǎo)數(shù),（x）,并令，（尤）=0,求其根.

第三步：利用f'（無(wú)）=0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的尤的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小

開(kāi)區(qū)間，并列表.

第四步：由r（無(wú)）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷了（尤）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極

值、最值.

第五步：將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了（無(wú)）相"Wa或/（x）min^a,解不等式求參數(shù)的取

值范圍.

第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論

【命題方向】

從近三年的高考試題來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的熱

點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)

性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考

查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法.預(yù)測(cè)明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重

點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力.

二.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1

①如果函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)無(wú)，都有/(-X)=7

(尤)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于(0,0)對(duì)稱.②如果函數(shù)f

(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)尤，都有/(-無(wú))=/(尤)，那么函數(shù)f

(x)就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱.

【解題方法點(diǎn)撥】

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用/(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用/(X)=-/(-X)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用了(X)=/(-%)這個(gè)去求解；

④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反.

例題：函數(shù)y=x|x|+p無(wú)，xeR是()

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶D.與p有關(guān)

解：由題設(shè)知了(無(wú))的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

因?yàn)?(-X)=-x\-x\-px=-x|x|-px=-f(x),

所以/(x)是奇函數(shù).

故選8.

【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，

確保答題的正確率.

三.奇偶性與單調(diào)性的綜合

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

對(duì)于奇偶函數(shù)綜合，其實(shí)也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，

所以說(shuō)關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時(shí)能融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用.在

重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)/(X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都

有-X)=-/(無(wú))，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于(0,0)對(duì)稱.②偶函數(shù)/(X)的定義域關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有/(-x)=/(%),其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱.

【解題方法點(diǎn)撥】

參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用/(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用了(%)=-/(-%)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用/(x)=/(-%)這個(gè)去求解；

④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反

例題：如果/(X)=且且為奇函數(shù)，那么。=—.

2X+1

解：由題意可知，f(x)的定義域?yàn)镽,

2

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)=a-2=-/(-X)=>a=l

2X+1

【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本前提，另外做題的時(shí)候多多總

結(jié)，一定要重視這一個(gè)知識(shí)點(diǎn).

四.函數(shù)的周期性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

函數(shù)的周期性定義為若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x,使/(x)=/(x+D恒

成立，則了(無(wú))叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期.常函數(shù)為周期函數(shù)，但無(wú)最

小正周期，其周期為任意實(shí)數(shù).

【解題方法點(diǎn)撥】

周期函數(shù)一般和偶函數(shù)，函數(shù)的對(duì)稱性以及它的圖象相結(jié)合，考查的內(nèi)容比較豐富.

①求最小正周期的解法，盡量重復(fù)的按照所給的式子多寫(xiě)幾個(gè)，

例：求/(x)=,1、的最小正周期.

f(x-2)

解：由題意可知，f(x+2)=——--=/(%-2)=>7=4

f(x)

②與對(duì)稱函數(shù)或者偶函數(shù)相結(jié)合求函數(shù)與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).如已知函數(shù)在某個(gè)小區(qū)間與X

軸有力個(gè)交點(diǎn)，求函數(shù)在更大的區(qū)間與尤軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

思路：第一，這一般是個(gè)周期函數(shù)，所以先求出周期T；第二，結(jié)合函數(shù)圖象判斷交點(diǎn)

個(gè)數(shù)；第三，注意端點(diǎn)的值.

【命題方向】

周期函數(shù)、奇偶函數(shù)都是高考的?？键c(diǎn)，學(xué)習(xí)是要善于總結(jié)并進(jìn)行歸類，靈活運(yùn)用解題

的基本方法，為了高考將仍然以小題為主.

A【熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型】

題型一：利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值

一、單選題

1.(2022?河南?項(xiàng)城市第三高級(jí)中學(xué)高三期中)若函數(shù)/(x)=ln(Jd+a-q為奇函數(shù),則

〃二()

A.-B.3C.1D.2

42

2.(2022?黑龍江?哈爾濱七十三中高三階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=x夕3'-一，貝IJ“函數(shù)

3

丁（力為偶函數(shù)”是“。=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2022?山西忻州?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)無(wú)）=3a+2：inx+acosx的最大值與最小值

之和為6,則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

ax-l,x<0

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（%）=x+〃,x>0,為奇函數(shù)，則參數(shù)〃的值為

0,x=0

5.（2022?江西?修水中等專業(yè)學(xué)校高三階段練習(xí)）若二次函數(shù)、=/+（%-1口+6為偶函

數(shù)，貝1］加=.

三、解答題

6.（2022?山西太原?高三期中）已知/（x）=log2（4'+l）+公依eR）是偶函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)A的值；

（2）求不等式2f（x）+x>2、+3的解集.

7.（2022?上海市嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)/（尤）=^^為奇函數(shù)

⑴求。的值，判斷并證明了（X）在其定義域上的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于龍的不等式/'（入3*）+/（3:9,+2）<0對(duì)任意x>1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范

圍.

4

8.（2022?上海市控江中學(xué)高三階段練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)，（x）、g（x）,若存在

實(shí)數(shù)〃K"使網(wǎng)”=時(shí)（力+咫（無(wú)），則稱函數(shù)/2（X）是由“函數(shù)〃X）、g（X）”生成的.

⑴若/'（x）=d+3x和8（力=3了+4生成一個(gè)偶函數(shù)/2（尤），求可2）的值；

（2）若//（了）=2/+3尤一1是由函數(shù)/（0=%2+以送（力=龍+63沙€/?且必*0）生成，求

a+26的取值范圍.

9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2=ig（x）=l+（“：l）?2”,且“尤）的圖

象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

⑴求實(shí)數(shù)”的值；

（2）若在y軸的右側(cè)函數(shù)的圖象始終在g（x）的圖象上方，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

（xm]

10.（2022.上海市延安中學(xué)高三期中）已知/（?=等nuc+?n，gQ）=1\~,其中

m,neR,且函數(shù)y=/（元）為奇函數(shù)；

⑴若函數(shù)y=/（x）的圖像過(guò)點(diǎn)A（1,1）,求實(shí)數(shù)相和〃的值；

⑵當(dāng)機(jī)=3時(shí)，不等式/（x）+g（x）?4（x）g（x）對(duì)任意xe[3,+oo）恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范

圍；

⑶設(shè)函數(shù)〃（x）=]（（（?）:若對(duì)任意玉e[3,+⑹，總存在唯一的（-co,3）使得

/?（0=/心2）成立，求實(shí)數(shù)相的取值范圍；

5

題型二：利用函數(shù)奇偶性解抽象函數(shù)不等式

一、單選題

1.（2022.陜西.蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知〃無(wú)）是偶函數(shù)，g（x）是奇函

數(shù)，定義域均為[-U],二者在[0』上的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式〃x）g（x）＜0

的解集為（）

y

21

o~o\/

V=/(x)產(chǎn)g(%)

b-H'°}M

2.（2022?廣東?高三階段練習(xí)）已知〃無(wú)）是定義在R上的偶函數(shù)，AM在[0,+s）上是增函

數(shù)，且〃2）=0,則不等式/⑶）＞0的解集為（）

A.(-co,-log32)u(log32,+co)B.(log32,+oo)

C.（-co,-log32）D.（-log32,log32）

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（x）在（—,+＜?）單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，若

"2）=1,則滿足-LV/（x+3）＜l的x的取值范圍是（）

A.[—3,3]B.[—2,2]C.[—5,—1]D.[1,5]

4.（2022?安徽省亳州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）己知函數(shù)/'（X）的定義域?yàn)?/p>

{x|xeR,xN。},對(duì)定義域內(nèi)任意％,馬，都有〃西馬）=〃為）+/（々），且當(dāng)x＞l時(shí),

6

/(x)>0,/(16)=4,則不等式|〃x)|+〃3)>2的解集為()

4T。。。，|3噌,+8

A.-oo.----u-

34

B.

C.

D.

5.(2022?上海?上外附中高三階段練習(xí))已知定義在(-8,0)U(0,y)上的奇函數(shù)y=/(x)

的導(dǎo)函數(shù)為>=/'(",當(dāng)尤>0時(shí)，")<—/(%),且"2)=3,則不等式

2J^(2X+1)<6—〃2x+l)的解集為()

3￡13。1萬(wàn),+8

A.B.—00,—C.—00,-------

25222

3_￡

D.2，-2

41x1

6.(2022.云南.高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=~^,則不等式〃2尤-3)<2的解集是

l+|x|

)

J_5

A.(1,2)B.

252

C.(—00,1)一(2,同D.-00,2

7.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知偶函數(shù)/(%)在［0,+。)上單調(diào)遞減，若

/(5)=-/(-5),則滿足加二的x的取值范圍是(

X+1

A.B.(-8,8]

C.(-00,-2]D(―1,+00)

x

8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)了⑴為偶函數(shù)，且當(dāng)了之0時(shí)，f(x)=e-cosxf則

不等式/U-3)-/(2x-l)<0的解集為()

制

A.B.(-oo,-2)

D.(-co,-2)uf-1,+co

C.(-2,+co)

二、多選題

7

9.（2022?浙江?高三開(kāi)學(xué)考試）已知“X）是定義在何尤力。｝上的奇函數(shù)，當(dāng)三＞玉＞。時(shí)，

%+%一%＞。恒成立，則（）

A.y=〃x）在（-8,0）上單調(diào)遞增

B.〉=〃刈-：在（0,+向上單調(diào)遞減

C./（2）+/（-3）＞i

O

D./（2）-/（-3）＞^

O

三、填空題

10.（2022.上海?同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)“X）在（0,+8）上嚴(yán)格遞

增,且"1）=0,則不等式比上止”＞0的解集為.

X

11.（2022?江西?萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)/（尤）是定義域?yàn)镽的奇函

數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，/,（-x）＞2/（x）,且/⑶=0,則不等式〃力＞0的解集為.

12.（2022?山西太原?高三期中）已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x）=e"（-x）,且

/⑴=五,廣⑶是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)xe[0,+oo）時(shí)，則不等式

廄于（x-V）＜”的解集為---------

四、解答題

13.（2022.江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)“力是定義在R上的偶函

數(shù)，當(dāng)X40時(shí)，f（x）是一個(gè)二次函數(shù)的一部分，其圖象如圖所示.

⑴求在R上的解析式；

⑵若函數(shù)g（x）=/（x）+（4a-6）x,xe[2,4],求g（x）的最大值.

8

ax+b

14.（2022?浙江?東陽(yáng)市橫店高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=的定義域?yàn)?/p>

1+x2

(-1,1)滿足"-x)=-/(x).且一

⑴求函數(shù)/（元）的解析式;

⑵解不等式/，_l)+/(x)<0.

15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)”x）=￡瓷為奇函數(shù).

⑴求匕的值；

⑵\/，eR,，（產(chǎn)一2/）+/（2產(chǎn)-左）<0恒成立，求女的取值范圍.

16.（2022?山東?汶上圣澤中學(xué)高三階段練習(xí)）定義在（0，+力）上的函數(shù)/（x）滿足下面三個(gè)

條件：

①對(duì)任意正數(shù)4,b,都有〃。）+/0）=〃"）；②當(dāng)x>l時(shí)，/（x）<o；③〃2）=-1

⑴求41）和的值；

⑵試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)”X）在（0，+8）上是減函數(shù)；

⑶求滿足/（4元3-12/）+2>〃18x）的X的取值集合.

9

題型三：構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值

一、單選題

3-x

1.(2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)(理))函數(shù)〃x)=ln—?+(尤＜2尤)sin(x-1)+2尤+1在［。,2］上

X+1

的最大值與最小值的和為()

A.-2B.2

C.4D.6

2.(2022?河南.偃師市綏第四中學(xué)高三階段練習(xí)(理))已知函數(shù)/(%)=/-1工+/+3,

若〃。)=5,則/(一。)=()

A.2B.1C.-2D.-5

3.(2022?江西南昌?模擬預(yù)測(cè)(理))設(shè)函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,且/(x+2)是奇函數(shù)，

“2x+l)是偶函數(shù)，則一定有()

A."4)=0B./(-1)=0C./⑶=0D.八5)=。

4.(2022?陜西?銅川市耀州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))己知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=/(x)

圖象上，且函數(shù)y=“X)圖象上的點(diǎn)(X,y)都滿足卜3一4x-y廣+/⑼+尤3_3x-y=0,則

這樣的正方形最多有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、多選題

5.(2022?江蘇?姜堰中學(xué)高三階段練習(xí))下列命題中真命題有()

A.已知a=(1,1),6=(1,2),若。與a+勸的夾角為銳角，貝U彳e

B.若定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，函數(shù)/(x—1)為偶函數(shù)，則/(2)=0

C.復(fù)數(shù)z滿足|zF=z2

D.函數(shù)/(x)=j4-2x+J3-+9的最大值是5

三、填空題

6.(2022?重慶一中高三階段練習(xí))已知/'(x)=ax3+人私+4(a,b為實(shí)數(shù))，

/(lglog310)=2022,貝|/(lglg3)=.

7.(2022?福建?高三階段練習(xí))己知函數(shù)〃%)=。(2，-2-，)+法+1,若“2)=5,貝|

/(-2)=.

10

8.(2022?河南省淮陽(yáng)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(x)=(GF-l}sin[x+m]-3,

則〃尤)在[-2小0]上的最大值與最小值之和為.

四、雙空題

9.(2021?河北省曲陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí))我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于

坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣

為：函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)尸(。㈤成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=〃x+a)-6

為奇函數(shù).

(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)圖象關(guān)于點(diǎn)(-L0)成中心對(duì)稱的函數(shù)解析/(力=；

(2)利用題目中的推廣結(jié)論，則函數(shù)〃力=3-3d圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)是.

五、解答題

10.(2022?上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)"X)和g(x),

若存在實(shí)數(shù)m、n使/?(x)=〃礦(x)+〃g(x),則稱函數(shù)h(x)是由“基函數(shù)/(x)和g(x)”生成

的.

⑴若/。)=尤2+3了和g(x)=3x+4生成一個(gè)偶函數(shù)〃(x),求〃⑵的值；

(2)若/z(x)=2/+3尤-1由函數(shù)/(x)=V+ax,g(x)=x+b(a、beR,且曲中0)生成，求

2a+b的取值范圍：

(3)試?yán)谩盎瘮?shù)/(幻=1嗚(4工+1)和8(%)="1"生成一個(gè)函數(shù)砥)，使之滿足下列條

件：①是偶函數(shù)；②有最小值L求函數(shù)以》)的解析式并進(jìn)一步研究該函數(shù)的單調(diào)性.(無(wú)

需證明)

11.(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知事函數(shù)/(x)=V"的圖象過(guò)(2,拒).

(1)求小的值與函數(shù)/(%)的定義域；

111-X

(2)已知雙防二寸^+7+愴；——+m,求gO)+g(Tn)的值.

2-121+x

11

題型四：奇偶性與周期性綜合問(wèn)題

一、解答題

1.(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)〃尤)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)，恒有

/(x+2)=-/(x),當(dāng)xe[0,2]時(shí),f(x)=2x-x1,當(dāng)xe[2,4]時(shí)，求的解析式.

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知函數(shù)/'(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直

線x=l對(duì)稱.

⑴求證：“X)是周期為4的周期函數(shù)；

(2)若/(x)=?(OVxVl),求5,T]時(shí),函數(shù)〃x)的解析式.

3.(2022.河南.高三階段練習(xí)(理))己知〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，且

f(x)=log2(2*+1)-履,g(x)=f(x)+lx.

⑴求/'(x)的解析式；

(2)若不等式g(4*?2l+l)>g(-15)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)65)=尤2_2如+5,若存在[0,2],對(duì)任意的尤2e[1,4],都有g(shù)Q),,以馬)，求實(shí)

數(shù)m的取值范圍.

12

4.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)(xeR).

(1)若，(x)滿足y=/(尤+1)為R上奇函數(shù)且y=/(x-D為R上偶函數(shù)，求/(-3)+/(5)的

值；

(2)若函數(shù)y=數(shù)x)(xeR)滿足g(x+3)=；+Jg(x)-[g(x)]2對(duì)xeR恒成立,函數(shù)

〃(元)=/(尤)+g(x),求證：函數(shù)/z(x)是周期函數(shù)，并寫(xiě)出M無(wú))的一個(gè)正周期；

(3)對(duì)于函數(shù)y=/(無(wú))，y=^(x)(xeR),若/(-x))=/(x)對(duì)xeR恒成立，則稱函數(shù)

丁=/(尤)是“廣義周期函數(shù)”，以尤)是其一個(gè)廣義周期，若二次函數(shù)

/。)=辦2+a+。("力0)的廣義周期為左。)(左。)=無(wú)不恒成立)，試?yán)脧V義周期函數(shù)定

義證明：對(duì)任意的士,馬eR,玉片尤2，/(芯)=/(々)成立的充要條件是

5.(2022?上海?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=g(x)+/?(x),其中g(shù)(x)是定義在R上的周期函

數(shù)，h(x)=ax+b,a,b為常數(shù)

(1)g(x)=sinx,討論/'(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(2)求證廣"(尤)為奇函數(shù)"的一個(gè)必要非充分條件是"了⑴的圖象有異于原點(diǎn)的對(duì)稱中心

(3)g(x)=sinx+cosx,f(x)在工況0,3句上的最大值為Af,求M的最小值.

13

題型五：?jiǎn)握{(diào)性與奇偶性綜合問(wèn)題

—?、解答題

1.(2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)(文))已知對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,定義

,,\b,a<b,、

max{a,6}=jaa>6，設(shè)函數(shù)g(x)-l分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

/(x)+g(x)=-x3+x2.

⑴求函數(shù)尸(x)=max{y(x),g(x)}的最小值；

(2)若不等式/(2r-3r+3)>f(mt2-2mt+2m)對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，求非零實(shí)數(shù)m的取值

范圍.

2.(2022?湖北?棗陽(yáng)一中高三期中)已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且〃lnx)=x+：+2.

⑴判斷了(x)的奇偶性及/(%)在(0,+e)上的單調(diào)性,并分別用定義進(jìn)行證明；

⑵若對(duì)W(x)W〃2x)+2a恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?高三期中)已知函數(shù)/5)=巨士巴是定義在R上的奇函數(shù).

ae+b

(1)求函數(shù)/(X)的解析式，判斷函數(shù)/(X)在定義域上的單調(diào)性并證明；

⑵令網(wǎng)x)=/(3x)+#x)(feR),若對(duì)Vxe(l,y),使得/z(x)>0,求實(shí)數(shù)r的取值范圍.

4.(2022?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí))己知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)？恒有

14

〃x+y)=〃x)+〃y),當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<0,且/⑴=一2

⑴判斷的奇偶性；

⑵求函數(shù)/(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值；

⑶若五4-1,1],1/"[-1,1]〃*)<加一2加一2恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

5.(2022?上海南匯中學(xué)高三期中)歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念

名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定

義：對(duì)于函數(shù)丁=/(力，如果對(duì)于其定義域。中任意給定的實(shí)數(shù)x,都有-xeO,并且

/(x)-/(-x)=l,就稱函數(shù)y=/(x)為倒函數(shù).

⑴己知〃無(wú))=2，，g(x)=?W,判斷y=〃x)和y=g(x)是不是倒函數(shù)，并說(shuō)明理由；

(2)若丁=〃力是R上的倒函數(shù)，當(dāng)尤40時(shí)，〃可二套?，方程〃x)=2022是否有正

整數(shù)解？并說(shuō)明理由；

(3)若>=/")是R上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0,且在R上是嚴(yán)格增函數(shù).記

尸⑴」了?「,證明：%+%>0是尸(占)+尸(々)>。的充要條件.

6.(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))設(shè)Ax)是偶函數(shù)，且當(dāng)xZO時(shí)，

..\x(3-x),O<x<3

f￡(X)—〈

[(x—3)(〃—x),x>3

(1)當(dāng)x<0時(shí)，求『(X)的解析式;

(2)設(shè)函數(shù)汽幻在區(qū)間[-5,5]上的最大值為g(a),試求g(a)的表達(dá)式；

(3)若方程/(x)="有四個(gè)不同的實(shí)根，且它們成等差數(shù)列，試探求。與加滿足的條件.

15

題型六：對(duì)稱性與奇偶性綜合問(wèn)題

一、解答題

1.(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/上^(4,瓦<?€凡°>0,6>0)是奇函數(shù)，當(dāng)

尤>0時(shí)，Ax)有最小值2,其中6wN且/⑴

(1)試求函數(shù)Ax)的解析式；

(2)問(wèn)函數(shù)Ax)圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不

存在，說(shuō)明理由.

2.(2020?上海?高三專題練習(xí))以下給出兩種求函數(shù)圖像對(duì)稱中心的方法：①利用奇函數(shù)圖

像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一性質(zhì)，再結(jié)合圖像的變換可得.例如，函數(shù)y=V,y=的對(duì)

稱中心為(。,0).而丫二4%-飛7+可%-%升％的對(duì)稱中心為(%,%)；②利用結(jié)論：函數(shù)

了。)的圖像有對(duì)稱中心(“,3的充要條件是對(duì)定義域中的任何一個(gè)x,均有

f(a+x)+f(a-x)=2b.請(qǐng)你根據(jù)以上提供的方法，解下列各題.

(1)求函數(shù)y=/-3/+x-5的對(duì)稱中心；

(2)判斷命題：“若/3,g(x)的定義域都為R,且都關(guān)于點(diǎn)(。力)對(duì)稱,則2(x)+g(x)也

關(guān)于點(diǎn)(a,6)對(duì)稱”的真假，并說(shuō)明理由；

(3)問(wèn)y=lgJ是否有對(duì)稱中心？若有，求出其對(duì)稱中心；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

3x-l

16

題型七：對(duì)稱性、周期性與奇偶性綜合問(wèn)題

一、解答題

1.(2022?福建省廈門第二中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)，(x)是R上的奇函數(shù)，且/(元)的

圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，當(dāng)X€[0,1]時(shí)，/(X)=2'-1.

(1)求八㈤的最小正周期，并用函數(shù)的周期性的定義證明；

⑵當(dāng)尤e[1,2]時(shí)，求/(x)的解析式；

(3)計(jì)算/(0)+/(I)+f(2)++/(2018)的值.

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))記〃x)-ox+2『，其中。eR,已知x=l是函數(shù)

y=的極值點(diǎn).

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

⑵的表達(dá)式展開(kāi)可以得到〃x)=a()+a1x+a2x2++//,求

q+2%+3a3++IO%。的值.

(3)設(shè)函數(shù)y=g(x)定義域?yàn)镽,且函數(shù)y=g(x+l)和函數(shù)y=〃x)+g(x)都是偶函數(shù)，若

g(O)=-32,求g(8)的值

17

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(x)同時(shí)滿足/(-無(wú))=于(x),f

(無(wú))=/(4-x),且當(dāng)2W爛6時(shí)，

(I)求函數(shù)/(無(wú))的一個(gè)周期；

(II)若/'(4)=31,求機(jī)，〃的值.

4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(尤)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)上和A,對(duì)任意

的xeR,都有|"尤)一崗4A成立，則稱函數(shù)為“擬線性函數(shù)”，其中數(shù)組化A)稱為

函數(shù)/(x)的擬合系數(shù).

⑴數(shù)組(2,1)是否是函數(shù)g(x)=有的擬合系數(shù)？

⑵判斷函數(shù)s(x)=xsinx是否是“擬線性函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

⑶若奇函數(shù)為(x)在區(qū)間[0,p](P>0)上單調(diào)遞增，且〃(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(°,4)成中心對(duì)稱

(其中。,4為常數(shù))，證明：/z(x)是“擬線性函數(shù)”.

5.(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知了⑺是定義在R上的函數(shù)，滿足/(x+1)J?，，

1+/W

(1)證明：2是函數(shù)/(x)的周期；

(2)當(dāng)尤e[0,1)時(shí)，/(x)=x,求人>)在0)時(shí)的解析式，并寫(xiě)出Ax)在

xe[2A:-l,2左+l)(LeZ)時(shí)的解析式；

18

（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)/（x）,若關(guān)于x的方程/（x）=a尤恰好有20個(gè)解，求實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

題型八：定義法判斷證明函數(shù)的奇偶性

一、單選題

1.（2022?湖北?仙桃市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)=+x2,若

12

a=[ln；],&=/^log7c=/（3）,則（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<a<c

二、多選題

2.（2022?江蘇?徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯

j]%為有理數(shù)

著，以其名命名的函數(shù)”尤）=:不工工田物稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于狄利克雷函數(shù)

[0,x為無(wú)理數(shù)

/（x）,則正確的是（）

A.函數(shù)〃尤）的值域是[0/；

B.任意一個(gè)非零有理數(shù)T都是/（X）的周期；

C.函數(shù)“X）是偶函數(shù)；

D.存在三個(gè)點(diǎn)4（占,〃%））,3（%2，/（々）），。（玉，/（玉）），使得ASC為等邊三角形.

三、填空題

3.（2022?浙江紹興.一模）我們知道，函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的

充要條件是函數(shù)y=/（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=〃x）的圖象關(guān)

于點(diǎn)p（a,b）成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/（a+b）-人為奇函數(shù)，則/（力=/-3/

的圖象的對(duì)稱中心為.

四、雙空題

19

4.（2022?北京鐵路二中高三期中）已知函數(shù)〃X）=/+°出+1）.

①“X）的函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；

②若存在唯一x°eR,滿足〃Xo）=2O23,貝.

五、解答題

5.（2022?上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)/（元）=2工+9.

2

⑴若/（。）=7,解關(guān)于尤的方程解x）=5；

（2）討論f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；

⑶若＜3在xe［1,3］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)/（x）=tsinx+kos乂淇中常數(shù)feR.

⑴討論函數(shù)/（x）的奇偶性,并說(shuō)明理由；

⑵ABC中內(nèi)角A,民C所對(duì)的邊分別為b,c,且。=2,b=正"（A）=2,求當(dāng)好君時(shí),tABC

的面積.

7.（2022.重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高三期中）已知函數(shù)芳.

⑴判斷了（尤）的單調(diào)性和奇偶性并簡(jiǎn)答說(shuō)明理由；

⑵若fg'+f（3,-9'+2）＜0對(duì)任意x＞1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

8.（2022?河北保定?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（X）滿足

2/（尤）+/'（1—了）=3%2+（fl-2）x-2i?+l（xeR）.

⑴討論”尤）的奇偶性；

⑵求函數(shù)力G）=兀+時(shí)（同在［i,+oo）上的最小值.

20

9.(2020?上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí))若定義在R上的函數(shù)>=/(尤)滿足：對(duì)于任意實(shí)

數(shù)x，y,總有/U+y)+/U-y)=2/(x)/(y)恒成立，我們稱f(x)為“類余弦型”函數(shù).

(1)已知"X)為“類余弦型”，且/(1)=3,求/(O)和42)的值；

4

(2)在(1)的條件下，定義數(shù)列4=2/("+1)-/(")("=1,2,3),求

log2^+log2^+flog?智flog?誓的值；

(3)若/(X)為“類余弦型”,且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)/，總有了⑺>1,證明：

①函數(shù)Ax)為偶函數(shù)；

②設(shè)有理數(shù)和電滿足㈤<同，判斷"%)和/(%)的大小關(guān)系，并證明.

題型九：定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性

一、多選題

1.(2022?浙江?紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí))已知y=/(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意

x,yeR,</(x)-/(y)=/(x+y-l),且當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>l,則()

A./⑴=1B.〃尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

C.f(x)在R上不單調(diào)D.當(dāng)x<l時(shí)，0</(%)<1

二、解答題

2.(2022?江蘇泰州?高三期中)若函數(shù)/(x)滿足〃log“x)=￡j[x-￡],其中。>0,且

awl.

⑴求函數(shù)/(X)的解析式；

⑵判斷并證明函數(shù)/(尤)的單調(diào)性；

⑶若0<a<l,/(x)+4>o在X<2時(shí)恒成立，求a的取值范圍.

21

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))對(duì)于定義在R上的函數(shù)/⑴，若存在正數(shù)相與集合A,使

得對(duì)任意的占，々^氏，當(dāng)不＜々，且-尤根時(shí)，都有1/(馬)一/(為)歸A,則稱函數(shù)/(X)

具有性質(zhì)(m,A).

⑴若/(x)=|2元-1],判斷了⑺是否具有性質(zhì)(1,[0,2]),并說(shuō)明理由；

⑵若/(%)=sinx,且f(x)具有性質(zhì)(私[0』),求m的最大值；

(3)若函數(shù)了⑺的圖像是連續(xù)曲線，且當(dāng)集合A=(0,。)Q為正常數(shù))時(shí)，八元)具有性質(zhì)

(1,4),證明：/(x)是R上的單調(diào)函數(shù).

4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))給定集合。=(-oo,0)(O.+oo),Ax)為定義在。上的函數(shù)，

4X

當(dāng)尤＜0時(shí)，/(x)=^—,且對(duì)任意xe。，都有___________.

x~+4

從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，補(bǔ)充在橫線處，使/(X)存在

且唯一確定.

條件①：A-x)+f(x)=l；

條件②：/(-x)-/(x)=l；

條件③：f(-x)-f(x)=l.

解答下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出了(一1)和/⑴的值；

(2)寫(xiě)出了⑺在(0,+◎上的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)g(x)=/(x)-根(相eR),寫(xiě)出g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

題型十：利用周期性求函數(shù)值

一、單選題

1.(2022?江西省豐城中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試(理))已知函數(shù)＞=/(%)是定義在R上的奇函

22

數(shù),滿足H1-X)=H1+X).若)(1)=2,則/⑴+/(2)++/(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

2.(2022.福建泉州.高三期中)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足/(2-尤)=/(?,當(dāng)

OVE時(shí),/(%)=2\則/(1+噫2022)=()

1011r1024_1011-1024

A.--------B.--------C.------D.------

1024101110241011

3.(2022?廣東汕頭?高三期中)已知定義在R上的函數(shù)〃x),滿足〃4x+2)為奇函數(shù)且

/(2x+l)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是()

A.函數(shù)〃尤)的周期為2B.函數(shù)””的周期為3

C./(2020)=0D./(2021)=0

二、多選題

4.(2022?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí))設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足

/(x)=/(2-x),/(-x)=-/(x-2),當(dāng)1』時(shí),則下列說(shuō)法正確的是

()

A./(2022)=1

B.當(dāng)龍44,6]時(shí)，f(x)的取值范圍為[T0]

c.y=/(x-l)為奇函數(shù)

D.方程/(x)=log9(x+l)僅有4個(gè)不同實(shí)數(shù)解

三、填空題

5.(2022?上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高三期中)設(shè)/(X)是R上的奇函數(shù)，且

/(x+3)=-/(%),當(dāng)0V尤V；時(shí)，/(x)=x,貝U〃22)=.

6.(2022?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中)已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)且對(duì)于任意

的xeR均有〃2+x)+〃2—x)=0,若當(dāng)xe[-l,0)時(shí)，/(^)=log2(1-x)