2024-2025學(xué)年廣東省惠州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省惠州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知{an}為等差數(shù)列，a2=3，a6A.7 B.6 C.475 D.2.已知空間向量a=(2,?3,0)，b=(m,2,?1)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)mA.?3 B.?1 C.1 D.33.已知點(diǎn)A(?3,4)，B(2,2)，直線y=kx?2與直線AB平行，則實(shí)數(shù)k等于(

)A.25 B.?25 C.54.橢圓可看成是圓被壓扁或拉伸形成的.下列橢圓中，形狀更接近圓的是(

)A.x225+y29=1 B.5.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若AB=a，A.12a?12b+c

6.已知空間向量a=(3,0,4)，b=(1,3,0)，則向量b在向量A.32(1,3,0) B.347.若直線ax+by=1與圓x2+y2=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)A.點(diǎn)P在圓上 B.點(diǎn)P在圓外 C.點(diǎn)P在圓內(nèi) D.以上都有可能8.如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直.長(zhǎng)度為1的金屬桿端點(diǎn)N在對(duì)角線BF上移動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)(含邊界)移動(dòng)，且始終保持MN⊥AB，則端點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為(

)A.π2

B.2

C.1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知圓C：x2+y2?4x?6y?3=0，直線l：ax?y?a?1=0(其中a為參數(shù)A.圓心坐標(biāo)為(2,3) B.若直線l與圓C相交，弦長(zhǎng)最大值為12

C.直線l過(guò)定點(diǎn)(0,?a?1) D.當(dāng)a=?815時(shí)，直線l與圓10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=k?A.數(shù)列{an}的首項(xiàng)不可能為0 B.當(dāng)k≠0時(shí)，{an}偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同

C.當(dāng)k=1時(shí)，{an11.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿足A.當(dāng)λ=1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P?A1BC的體積為定值

C.當(dāng)λ=12時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P⊥BP三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于點(diǎn)A，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，則|AF|等于______．13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量a=(3,1,0)和向量b=(x,y,z)，如果?a,b?=14.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù)，第三行的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，則正方形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項(xiàng)是______，五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列{an}四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P0(?1,2)，AB為過(guò)點(diǎn)P0且傾斜角為α的弦．

(1)當(dāng)α=3π4時(shí)，求|AB|的長(zhǎng)；16.(本小題15分)

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+?+(2n?1)an=n．

(1)證明；數(shù)列{17.(本小題15分)

我們知道，當(dāng)一束光線照到鏡面時(shí)，光線會(huì)依一定的規(guī)律反射，即反射角等于入射角(如圖所示).依據(jù)此物理定律，解決以下問(wèn)題．

已知拋物線C：y2=4x，其焦點(diǎn)為F，直線l：y=kx+2與拋物線C相切于點(diǎn)P．

(1)求直線l的方程；

(2)從點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)P反射，證明：反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸．18.(本小題17分)

如圖，正四棱錐P?ABCD的底面邊長(zhǎng)和高均為2，E、F分別是PD和PB的中點(diǎn)．

(1)證明：EF⊥PC；

(2)若點(diǎn)M滿足PM=λPC，且點(diǎn)M在平面AEF內(nèi)，求λ的值；

(3)求直線PB與平面AEF19.(本小題17分)

通過(guò)研究，已知對(duì)任意平面向量AB=(x,y)，把AB繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到向量AP=(xcosθ?ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P．

(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)A(?3,23)，點(diǎn)B(3,?23)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)已知二次方程x2+y2?xy=1的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4所得的斜橢圓C．

(i)求斜橢圓C的離心率；

參考答案1.A

2.D

3.B

4.B

5.A

6.C

7.B

8.A

9.AD

10.BC

11.BD

12.4

13.(0,1,0)(答案不唯一)

14.25

an15.解：(1)當(dāng)α=34π時(shí)，直線AB的方程為y?2=?(x+1)，即x+y?1=0，

設(shè)圓心到直線AB的距離為d，則d=?12=22，

∴|AB|=2r2?d2=30．

(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P16.(1)證明：由a1+3a2+?+(2n?1)an=n，①

得a1=1，

當(dāng)n≥2時(shí)，a1+3a2+?+(2n?3)an?1=n?1，②

①?②得：(2n?1)an=1，則1an=2n?1，

∵1a17.解：(1)聯(lián)立y=kx+2y2=4x，可得k2x2+4(k?1)x+4=0，

令Δ=16(k?1)2?16k2=0，可得k=12，

∴直線l的方程為y=12x+2，即x?2y+4=0；

(2)證明：由(1)可得P為(4,4)，

∴法線(過(guò)P且垂直直線l)的方程為y?4=?2(x?4)，

令y=0，可得法線與x軸的交點(diǎn)為A(6,0)，又F(1,0)，

∴|FP|=p18.(1)證明：連接AC、BD交于O，連接OP，由正四棱錐的性質(zhì)可得PO⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，則AC⊥BD，

所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0),B(0,2,0)，P(0,0,2)，C(?2,0,0)，D(0,?2,0),E(0,?22,1)，F(xiàn)(0,22,1)，

則EF=(0,2,0)，PC=(?2,0,?2)，則EF?PC=0，

所以EF⊥PC．

(2)解：由(1)得AP=(?2,0,2)，PM=λPC=(?2λ,0,?2λ)，

因此AM=AP+PM=(?2?2λ,0,2?2λ)，

設(shè)平面AEF的法向量n=(x,y,z)，由n?AE=019.解：(1)由已知得AB=(23,?43)，

所以AP=(6+3,3?23)，

不妨設(shè)P(x0,y