北京市東城區(qū)東直門中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題2分，共16分）1．（2分）隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，我國(guó)涌現(xiàn)出一批規(guī)模大、效益高的企業(yè)，如大疆、國(guó)家核電、華為、鳳凰光學(xué)等，以上四個(gè)企業(yè)的標(biāo)志是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）若x＝3是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一個(gè)根，則m的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．153．（2分）拋物線y＝3（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）4．（2分）將一元二次方程x2﹣8x+10＝0通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝545．（2分）已知點(diǎn)A（1，y1），B（﹣4，y2）都在二次函數(shù)y＝﹣x2+3圖象上，則y1，y2大小關(guān)系為（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．無(wú)法確定6．（2分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是（）A．120° B．100° C．80° D．60°7．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長(zhǎng)是12π，則正六邊形的邊長(zhǎng)是（）A． B．3 C．6 D．8．（2分）我們將滿足等式x2+y2＝1+|x|y的每組x，y的值在平面直角坐標(biāo)系中畫出，便會(huì)得到如圖所示的“心形”圖形．下面三個(gè)結(jié)論中，①“心形”圖形是軸對(duì)稱圖形；②“心形”圖形所圍成的面積一定大于2；③“心形”圖形上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于．其中正確結(jié)論有（）A．① B．①② C．①③ D．①②③二、填空題（每題2分，共16分）9．（2分）已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A到圓心O距離是4，則點(diǎn)A在⊙O.（填“內(nèi)”、“上”或“外”）10．（2分）請(qǐng)寫出一個(gè)開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）的二次函數(shù)的表達(dá)式．11．（2分）二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2的圖象可以由函數(shù)y＝2x2向平移個(gè)單位得到．12．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△DEC，若∠A＝30°，則∠EFC的度數(shù)為°．13．（2分）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，，AE＝4cm，則AC的長(zhǎng)為cm．14．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A和B，AC是⊙O的直徑．若∠P＝60°，PA＝6，則BC的長(zhǎng)為．15．（2分）下列關(guān)于拋物線y＝x2+bx﹣2．①拋物線的開(kāi)口方向向下；②拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣2）；③當(dāng)b＞0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；④對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b，拋物線與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．其中正確的說(shuō)法是．（填寫正確的序號(hào)）16．（2分）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，⊙C的半徑為2，點(diǎn)G為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為AG的中點(diǎn)，則DP的最大值為．三、解答題（共68分：17題至22題，每題5分；23題至26題，每題6分；27、28題每題7分）17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣2＝0．18．（5分）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問(wèn)題：（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，則B1的坐標(biāo)為；（2）畫出△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△A2B2C2；（3）△ABC外接圓圓心的坐標(biāo)為．19．（5分）圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，而且構(gòu)造簡(jiǎn)單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為1m的圓，如圖所示，若水面寬AB＝0.8m，求水的最大深度．20．（5分）下面是小立設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：⊙O及圓上一點(diǎn)A．求作：直線AB，使得AB為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．作法：如圖2，①連接OA并延長(zhǎng)到點(diǎn)C；②分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在直線OA上方）；③以點(diǎn)D為圓心，DA長(zhǎng)為半徑作⊙D；④連接CD并延長(zhǎng)，交⊙D于點(diǎn)B，作直線AB．直線AB就是所求作的直線．根據(jù)小立設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，完成下面的證明．（說(shuō)明：括號(hào)里填推理的依據(jù)）證明：連接AD．∵＝AD∴點(diǎn)C在⊙D上，∴CB是⊙D的直徑．∴＝90°．（）∴AB⊥．∵OA是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．（）21．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為符合條件的最大整數(shù)，求此時(shí)方程的根．22．（5分）在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組借助如圖所示的直角墻角（墻角兩邊DC和DA足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB和BC兩邊），設(shè)AB＝xm，則S矩形ABCD＝y(tǒng)m2．（1）求y與x之間的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)AB多長(zhǎng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大？最大面積是多少？23．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)y＞﹣3時(shí)，直接寫出x的取值范圍；（3）當(dāng)﹣3≤x＜2時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0有實(shí)根，則t的取值范圍是．24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，直線PQ經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)E，AC⊥PQ于點(diǎn)C，交⊙O于D，AE平分∠BAC．（1）求證：直線PQ是⊙O的切線；（2）若AD＝6，EC＝2，求CD的長(zhǎng)．25．（6分）廣場(chǎng)修建了一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個(gè)噴水頭，記噴出的水與池中心的水平距離為x米，距地面的高度為y米．測(cè)量得到如表數(shù)值：x/米012344.4y/米2.53.33.32.50.90小慶根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)y是x的函數(shù)，并對(duì)y隨x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小慶的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y），并畫出函數(shù)的圖象；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，出水口距地面的高度為米，水達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)與池中心的水平距離約為米；（3）若圓形噴水池半徑為5米，為了使水柱落地點(diǎn)在池內(nèi)且與水池邊水平距離不小于1.5米，若只調(diào)整水管高度，其他條件不變，結(jié)合函數(shù)圖象，估計(jì)出水口至少需要（填“升高”或“降低”）米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；（2）點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y2的值；②若對(duì)于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．27．（7分）已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直線AC上取一點(diǎn)D，連接BD，線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BD′，連接CD′交直線AB于G．（1）喜歡思考問(wèn)題的小捷同學(xué)，想探索圖中線段CG和線段D′G的數(shù)量關(guān)系．于是他畫了圖1所示當(dāng)D在AC邊上時(shí)的圖形，并通過(guò)測(cè)量得到了線段CG與D′G的數(shù)量關(guān)系．你認(rèn)為小捷的猜想是CGD′G（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）當(dāng)D在AC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)請(qǐng)你根據(jù)題目要求補(bǔ)全圖2，①在補(bǔ)全的圖2中找出與∠BDC相等的角②在圖2中探索（1）中小捷的猜想是否成立，若成立證明你的結(jié)論，若不成立，請(qǐng)你說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)D在邊AC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出CA，CD，CD′的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）．28．（7分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W上任意一點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q，使得∠OQP是直角，則稱點(diǎn)Q是圖形W的“直角點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)A（6，8），在點(diǎn)Q1（3，9），Q2（﹣4，2），Q3（0，8）中，是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”；（2）已知點(diǎn)B（﹣4，3），C（3，3），若點(diǎn)Q是線段BC的“直角點(diǎn)”，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)n的取值范圍；（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)D（t，0），E（t+1，0），以線段DE為邊在x軸上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有點(diǎn)均為線段BC的“直角點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每題2分，共16分）1．選：B．2．選：C．3．選：C．4．選：A．5．選：A．6．選：A．7．選：C．8．選：B．二、填空題（每題2分，共16分）9．答案為：外．10．答案為：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．11．答案為：右，1．12．答案為：70．13．答案為：12．14．答案為：2．15．答案為：②④．16．答案為：3.5．三、解答題（共68分：17題至22題，每題5分；23題至26題，每題6分；27、28題每題7分）17．解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝4×6＞0，∴x＝＝＝2±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．18．解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，B1的坐標(biāo)為（1，4）；故答案為：（1，4）；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求．（3）如圖所示，△ABC外接圓圓心的坐標(biāo)為（﹣3，﹣3）．19．解：如圖，作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，∵∠ACO＝90°，，∵AB＝0.8，∴AC＝0.4，在Rt△ACO中，根據(jù)勾股定理，得，∴0.3+0.5＝0.8，∴水的最大深度為0.8m．20．證明：如圖：連接AD，∵CD＝AD∴點(diǎn)C在⊙D上，∴CB是⊙D的直徑．∴∠BAC＝90°（直徑所對(duì)的圓周角是90°），∴AB⊥AC，∵OA是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線，（過(guò)半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線），故答案為：CD，∠BAC，直徑所對(duì)的圓周角是90°，OA，過(guò)半徑的外端且垂線于半徑的直線是圓的切線．21．解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4（2m﹣1）＝20﹣8m＞0，解得m＜．（2）∵m＜，∴m的最大整數(shù)為2，此時(shí)方程變形為x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3．22．解：（1）∵AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m，∴y＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x，∵28﹣x＞0，∴x＜28，∴y與x的關(guān)系式為y＝﹣x2+28x（0＜x＜28）；（2）y＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵﹣1＜0，0＜x＜28，∴當(dāng)x＝14時(shí)，y有最大值，最大值為196，答：當(dāng)AB＝14m時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積是196m2．23．解：（1）∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）和（1，0），∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝a（x+3）（x﹣1），將（0，﹣3）代入得：﹣3＝a（0+3）（0﹣1），解得：a＝1，∴二次函數(shù)的解析式為y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；（2）函數(shù)圖象如圖所示：觀察圖象可知，當(dāng)y＞﹣3時(shí)，x＜﹣2或x＞0；（3）觀察圖象可知，當(dāng)﹣3≤x＜2時(shí)，﹣4≤t＜5．故答案為：﹣4≤t＜524．（1）證明：連接OE，則OE＝OA，∴∠BAE＝∠OEA，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠OEA＝∠CAE，∴OE∥AC，∵AC⊥PQ于點(diǎn)C，∴∠OEP＝∠ACP＝90°，∵OC是⊙O的直徑，且PQ⊥OC，∴直線PQ是⊙O的切線．（2）解：連接BE、CE，則∠B+∠ADE＝180°，∵∠EDC+∠ADE＝180°，∴∠B＝∠EDC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠ACE＝90°，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠B＝90°﹣∠BAE＝90°﹣∠CAE＝∠AEC，∴∠EDC＝∠AEC，∵∠ECD＝∠ACE，∴△ECD∽△ACE，∴＝，∴CD?AC＝EC2，∵AD＝6，EC＝2，∴CD（CD+6）＝22，解得CD＝﹣3或CD＝﹣﹣3（不符合題意，舍去），∴CD的長(zhǎng)是﹣3．25．解：（1）畫出函數(shù)的圖象如下：（2）由已知可得，x＝0時(shí)，y＝2.5，∴出水口距地面的高度為2.5米，由圖象可得，水達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)與池中心的水平距離約為1.5米，故答案為：2.5，1.5；（3）設(shè)y＝ax2+bx+c，把（0，2.5）（1，3.3）（2，3.3）代入可得，，解得，∴y與x的關(guān)系式為y＝﹣0.4x2+1.2x+2.5，∵5﹣1.5＝3.5，∴當(dāng)x＝3.5時(shí)，y＝﹣0.4×3.52+1.2×3.5+2.5＝1.8，∴估計(jì)出水口至少需要降低1.8米，故答案為：降低，1.8．26．解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝t，∵1＞0，∴拋物線開(kāi)口向上，∵t﹣2≤x1≤t+1，∴當(dāng)x＝t時(shí)，y1的最小值為﹣t，∵y1的最小值是﹣2，∴t＝2，∴x2＝1﹣t＝﹣1，拋物線表達(dá)式為y＝x2﹣4x+2，∴y2＝12﹣4×（﹣1）+2＝7；②∵點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線y＝（x﹣t）2﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，∵對(duì)于x1，x2，都有y1＜y2，∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，∴或，Ⅰ、當(dāng)時(shí)，∵x2﹣x1＞0，∴x2＞x1，∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，∴1﹣t≥t+1，∴t≤0，∵x2+x﹣2t＞0，∴x2+x1＞2t，∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，∴﹣1＜x2+x1＜2，∴2t≤﹣1，∴t≤﹣，即t≤﹣；Ⅱ、當(dāng)時(shí)，由x2﹣x1＜0得：x2＜x1，∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，∴1﹣t≤t﹣2，∴t≥，由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t，∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，∴﹣1＜x2+x1＜2，∴2t≥2，∴t≥1，即t；即滿足條件的t的取值范圍為t≤﹣或t≥．27．解：（1）CG＝D'G，理由如下：如圖1，過(guò)D′作D'E⊥AB于點(diǎn)E，∴∠D'EB＝∠BAD＝90°，∴∠D'BE+∠BD'E＝90°，∵∠DBD′＝90°，∴∠ABD+∠D'BE＝90°，∴∠BD'E＝∠ABD，∵D'B＝DB，∴△EBD′≌△ADB（AAS），∴D'E＝AB，∵AB＝AC，∴D'E＝AC，∵∠A＝∠D'EG，∠D'GE＝∠AGC，∴△AGC≌△D'GE（AAS），∴CG＝D'G，故答案為：＝；（2）①補(bǔ)全的圖2如下：與∠BDC相等的角是∠ABD′，理由如下：∵∠DBD'＝90°，∴∠DBA+∠ABD'＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DBA+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠ABD′，故答案為：∠ABD′；②成立，CG＝D′G，理由如下：如圖2，過(guò)D′作D'H⊥AB，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∴∠D′HG＝∠BAC＝90°，∵D'B＝DB，∠BDC＝∠ABD′，∴△ABD≌△HD'B（AAS），∴AB＝HD'＝AC，∵∠D′HG＝∠BAC＝90°，∠D′GH＝∠AGC，∴△D'HG≌△CAG（AAS），∴CG＝D'G；（3）4CA2+CD2＝CD′2，理由如下：如圖3，過(guò)D′作D'M⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠D'MB＝∠BAD＝90°，∵∠D'BD＝90°，∴∠D'BM+∠ABD＝90°，∵∠D'BM+∠BD'M＝90°，∴∠BD′M＝∠ABD，∵D′B＝DB，∴△D'BM≌△BDA（AAS），∴D'M＝AB＝AC，BM＝AD，∴AM＝AB+BM＝AC+AD＝CD，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥D'M，交D'M的延長(zhǎng)線于N，∴∠NMA＝∠MAC＝∠N＝90°，∴四邊形AMNC是矩形，∴CN＝AM＝CD，MN＝AC＝D′M，∵D'N2+CN2＝CD′2，∴（2CA）2+CD2＝CD′2，∴4CA2+CD2＝CD′2．28．解：（1）∵＝32+92＝90，＝12+32＝10，OA2＝62+82＝100，∴，∴∠OQ1A＝90°，∴Q1是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”；∵＝20，＝136，OA2＝62+82＝100，∴，∴∠OQ2A＞90°，∴Q2不是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”；∵∠OQ3A＝90°，∴Q3是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”．綜上，Q1，Q3是點(diǎn)A的“直角點(diǎn)”．故答案為：Q1，Q3；（2）∵點(diǎn)Q是線段BC的“直角點(diǎn)”，P為線段BC上的點(diǎn)，∴∠OQP＝90°，