廣東省廣州市七中教育集團(tuán)及教學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期 數(shù)學(xué)期中試題（含答案）

保密★啟用前2024學(xué)年（上）期中考試初三年級(jí)數(shù)學(xué)科試卷（問卷）(考試用時(shí)120分鐘滿分120分)本試卷共4頁，25小題，不能使用計(jì)算器，用2B鉛筆畫圖，所有答案都要寫在答卷上，答在問卷上的答案無效。第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．用配方法解一元二次方程的過程中，配方正確的是（

）A． B． C． D．4．如圖，有一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為，瓶內(nèi)液體已經(jīng)過半，最大深度，則截面圓中弦AB的長為（

）（第4題圖）A．4cm B． C． D．如圖，把小圓形場地的半徑增加得到大圓形場地，場地面積擴(kuò)大了一倍．若設(shè)小圓形場地的半徑為xm，那么列方程正確的是（

）A． B． C． D．（第5題圖）6．如圖，在?ABC中，，將?ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．若點(diǎn)恰好落在BC邊上，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．飛機(jī)著陸后滑行的距離關(guān)于滑行時(shí)間t（s）的函數(shù)解析式為，下列能反映這一變化過程的圖象是（

）A．B．C.D．8．如圖所示的暗礁區(qū)，兩燈塔A，B之間的距離恰好等于圓半徑的倍，為了使航船S不進(jìn)入暗礁區(qū)，那么S對(duì)兩燈塔A，B的視角必須（）A．大于 B．小于 C．大于 D．小于（第6題圖）（第8題圖）（第10題圖）9．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和（a是常數(shù)，且）的圖象可能是（）A．B．C．D．10．如圖，點(diǎn)是圓劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，重合），且滿足，是?ABC內(nèi)一點(diǎn)，，，，點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)的過程中，，則的值滿足（

）A．B．C．D．第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分；）11．如圖，圓錐的底面半徑為，高為，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是．12．拋物線如圖所示，則關(guān)于的方程的解是．（第11題圖）（第12題圖）（第14題圖）（第15題圖）13．已知的圓心到直線的距離是一元二次方程的一個(gè)根，若與直線相離，則的半徑可以為（寫出一個(gè)即可）．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的邊長是2，則它的外接圓圓心的坐標(biāo)是．15．如圖，的直徑，，分別是它的兩條切線，與相切于點(diǎn)，并與，分別交于，兩點(diǎn)，，，則關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為．16．在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，若線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得線段MA′．（1）如圖①，線段MA'的長＝．（2）如圖②，連接A'C，則A'C長度的最小值是．（第16題圖）三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．解方程：；18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，B4,0，．(1)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把?ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的；(2)在（1）的條件下，求線段掃過的圖形面積.19．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論取任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，若，求出的最小值；20．如圖，是的直徑，四邊形內(nèi)接于，分別連接、，相交于E，．(1)求證：；(2)若，，求的長．21．世界杯足球賽期間，某商店銷售一批足球紀(jì)念冊(cè)，每本進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且獲利不高于12元．試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300本，銷售單價(jià)每漲1元，每天銷售量減少10本，現(xiàn)商店決定提價(jià)銷售．銷售單價(jià)為x元．(1)當(dāng)每本足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)是多少元時(shí)，商店每天獲利2400元？(2)將足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商店每天銷售紀(jì)念冊(cè)獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？22．如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A，，的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象直接回答：當(dāng)取何值時(shí)，；(3)連接、，若點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．23．如圖，在△ABC中，，點(diǎn)O在上，以為半徑的交于點(diǎn)D．(1)尺規(guī)作圖，補(bǔ)全圖形：作的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接；(2)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若，，，求線段的長．24．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)．若拋物線解析式為．(1)當(dāng)拋物線也經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求m和n的值；(2)說明直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)；(3)在（1）的條件下，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，與，y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，記?DBE，?CEF的面積分別為，，求的最大值．25．定義：同一個(gè)圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點(diǎn)叫做等垂點(diǎn)．(1)如圖1，、是的等垂弦，，垂足分別為D，E．求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，是的弦，作，OC⊥OB分別交于D，C兩點(diǎn)，連接．分別交、與點(diǎn)、點(diǎn)．求證：，是的等垂弦；(3)已知的直徑為10，、是的等垂弦，P為等垂點(diǎn)．若．求的長．參考答案一、單選題1．選：B．2．選：A．3．選：D．4．選：C．5．選：C．6．選：C．7．選C．8．選：D．9．選：B．10．選：B．二、填空題11．答案為：12．答案為：，13．答案為：1（答案不唯一）14．答案為：（1，）.15．答案為：．16．答案為1．三、解答題17．解：∴即................1分∴...................2分∴................4分18．（1）解：如圖所示：（圖1分；結(jié)論1分）（2）①∵，，.........3分∴線段掃過的圖形面積為：，......4分故答案為：；19．（1）解：，...............1分，，.....................................2分，無論取任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．...............3分（2）解：的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，，...................................4分=m+22∴y最小值為-5...................................6分20．（1）證明：，是半徑，......................1分，，又，是的中位線，...............2分，；.................................3分解：，，，，在中，，，..........................4分解得，..................................5分∵是的中位線，．.......................6分21.（1）解：根據(jù)題意得，....................1分整理得，解得，，............................................2分∵44≤x≤52............................................3分∴x=50............................................4分答：當(dāng)每本足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)是50元時(shí)，商店每天獲利2400元；（2）解：由題意得，............................................5分，............................................6分∵，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，....7分答：將足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為52元時(shí)，商店每天銷售紀(jì)念冊(cè)獲得的利潤最大最大利潤是2640元..8分22．（1）解：令，則，解得：，，............................................1分點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，，，............................................2分令，則，，............................................3分點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，；（2）解：由函數(shù)圖象及其與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可知：當(dāng)或時(shí)，；...................................5分（3）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，............................................6分，，即：，整理，得：，...........................................7分當(dāng)時(shí)，整理，得：，，該方程無實(shí)數(shù)根；............................................8分當(dāng)時(shí)，整理，得：，解得：，，............................................9分此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；............................................10分綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．23．（1）解：所求圖形，如圖所示．(圖1分，結(jié)論1分)（2）解：直線與相切，理由如下：連接，∵，∴，......3分∵是的垂直平分線，∴，∴，..................4分∵，∴，..........5分∴，∴，.......................6分∵是半徑，∴直線與相切；（3）連接，∵，，∴，，設(shè)，則，，∵，∴在中，，在中，，∴，即，.........9分解得，即....................10分24．（1）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)，∴，即，............................................1分∴，，∵拋物線也經(jīng)過點(diǎn)，............................................2分∴，解得：，∴．............................................3分（2）解：在（1）中已求得：，，聯(lián)立：，............................................4分∴得到一元二次方程：，..........................................5分∵，............................................6分∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的根，∴直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)．............................................7分（3）解：如圖：∵，，∴，令，解得：或，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：，令，則，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：，即，根據(jù)題意設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為：，∵D點(diǎn)在第一象限，∴，，設(shè)直線的解析式為：，∵，，∴，解得：，∴直線的解析式為：，............................................8分∵，，同理可得：直線的解析式為：，............................................9分當(dāng)時(shí)，．∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：，即有，∴，聯(lián)立：，解得，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：，............................................10分結(jié)合圖形可知E點(diǎn)在第一象限，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，............................................11分整理得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為：，即：最大值為：．......................12分25．（1）證明：根據(jù)題意，得，，，∴四邊形是矩形，............................................1分∵，根據(jù)垂徑定理，得........................................2分∴四邊形是正方形．..........................................3分（2）證明：∵，OC⊥OB，∴，∴，∴，..........................................4分∴；..........................................5分連接，設(shè)，交點(diǎn)為G，∴，∴∴，.........................................6分∴．∴，是的等垂弦．........................................7分（3）解：（?。┊?dāng)?shù)却裹c(diǎn)P位于圓內(nèi)，如答圖所示，........................................8分過點(diǎn)O作，垂足分別為E，F(xiàn)，根據(jù)題意，得，∴四邊形是矩形，∵，∴，∴四邊形是正方形，∴．∵，設(shè)，，∵，∴，∴，連接，∵的直徑為10，∴，根據(jù)勾股定理，得，