高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)夯基提能作業(yè)第五章平面向量第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例A組基礎(chǔ)題組1.已知向量a,b均為單位向量,若它們的夾角是60°,則|a3b|=()A.3 B.2 C.13 D.72.(2018云南第一次統(tǒng)一檢測)在?ABCD中,|AB|=8,|AD|=6,N為DC的中點(diǎn),BM=2MC,則AM·NM=()A.48 B.36C.24 D.123.已知平面向量a,b的夾角為π6,且|a|=3,|b|=2,在△ABC中,AB=2a+2b,AC=2a6b,D為BC的中點(diǎn),則|ADA.2 B.4 C.6 D.84.如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O.記I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,則()A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I35.設(shè)單位向量e1,e2的夾角為2π3,a=e1+2e2,b=2e13e2,則b在a方向上的投影為.6.(2017山東,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若3e1e2與e1+λe2的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是.

7.(2017河北石家莊質(zhì)量檢測(一))已知AB與AC的夾角為90°,|AB|=2,|AC|=1,AM=λAB+μAC(λ,μ∈R),且AM·BC=0,則λμ的值為.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=22,-2(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m與n的夾角為π39.如圖,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量OA=(3cosx,3sinx),OB=(3cosx,sinx),OC=(3,0),x∈0,(1)求證:(OAOB)⊥OC;(2)若△ABC是等腰三角形,求x的值.B組提升題組1.若兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|ab|=2|a|,則向量a+b與ab的夾角為()A.π6 B.π3 C.5π2.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λACAB(λ∈R),且AD·AE=4,則λ的值為.

3.已知|a|=4,|b|=3,(2a3b)·(2a+b)=61.(1)求a與b的夾角θ;(2)求|a+b|;(3)若AB=a,BC=b,求△ABC的面積.4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=(cos(AB),sin(AB)),n=(cosB,sinB),且m·n=35(1)求sinA的值;(2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.

答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.D(a3b)2=|a|2-6a·b+9|b|2=16cos60°+9=7,∴|a3b|=7,故選D.2.CAM·NM=(AB+BM)·(NC+CM)=AB+23AD·12AB-13AD=故選C.3.A因?yàn)锳D=12(AB+AC)=12(2a+2b+2a6b)=2a2b,所以|AD|2=4(ab)2=4(a22b·a+b2)=4×3-4.C解法一:因?yàn)锳B=BC,AB⊥BC,∴∠BCO=45°.過B作BE⊥AC于E,則∠EBC=45°.因?yàn)锳D<DC,所以D、A在BE所在直線的同側(cè),從而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC為銳角.從而∠AOB為鈍角,所以∠DOC為鈍角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可設(shè)OD=λ1OB(λ1>1),OC=λ2OA(λ2>1),從而I3=OC·OD=λ1λ2OA·OB=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,∴I3<I1<0,∴I3<I1<I2.故選C.解法二:如圖,建立直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(0,2),C(2,0).設(shè)D(m,n),由AD=2和CD=3,得m從而有nm=54從而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC為銳角.從而∠AOB為鈍角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可設(shè)OD=λ1OB(λ1>1),OC=λ2OA(λ2>1),從而I3=OC·OD=λ1λ2OA·OB=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3<I1,∴I3<I1<I2.故選C.5.答案33解析依題意得e1·e2=1×1×cos2π3=12|a|=(e1+2e2a·b=(e1+2e2)·(2e13e2)=2e126e22+e1·e2=92,因此b在a方向上的投影為a6.答案33解析由題意不妨設(shè)e1=(1,0),e2=(0,1),則3e1e2=(3,1),e1+λe2=(1,λ).根據(jù)向量的夾角公式得cos60°=(3,-1)·(1,λ)21+λ27.答案14解析根據(jù)題意,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以AB=(0,2),AC=(1,0),BC=(1,2).設(shè)M(x,y),則AM=(x,y),所以AM·BC=(x,y)·(1,2)=x2y=0,所以x=2y,又AM=λAB+μAC,即(x,y)=λ(0,2)+μ(1,0)=(μ,2λ),所以x=μ,y=2λ,所以λμ=12yx8.解析(1)∵m⊥n,∴m·n=0,故22sinx2(2)∵m與n的夾角為π3,∴cos<m,n>=m·n|m故sinx-π4又x∈0,π2,∴xπ則xπ4=π6,即x=5π12,故x9.解析(1)證明:∵OAOB=(0,2sinx),∴(OAOB)·OC=0×3+2sinx×0=0,∴(OAOB)⊥OC.(2)△ABC是等腰三角形,則AB=BC,∴(2sinx)2=(3cosx3)2+sin2x,整理得2cos2x3cosx=0,解得cosx=0或cosx=32∵x∈0,∴cosx=32,x=πB組提升題組1.D由|a+b|=|ab|可知a⊥b,設(shè)AB=b,AD=a,如圖,作矩形ABCD,連接AC,BD,可知AC=a+b,BD=ab,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,結(jié)合題意可知OA=OD=AD,∴∠AOD=π3,∴∠DOC=2π3,又向量a+b與ab的夾角為AC與BD的夾角,故所求夾角為2π32.答案311解析由BD=2DC得AD=13AB+2所以AD·AE=13AB+23AC·(λACAB)=13λAB·AC13又AB·AC=3×2×cos60°=3,AB2=9,AC所以AD·AE=λ3+83λ2=113λ5=4,解得λ=3.解析(1)因?yàn)?2a3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b27=61,所以a·b=6,所以cosθ=a·b|a||又0≤θ≤π,所以θ=23(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(6)+32=13.所以|a+b|=13.(3)因?yàn)锳B與BC的夾角θ=23所以∠ABC=π2π3=π又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,所以S△ABC=12|AB||BC|·sin∠ABC=12×4×3×324.解析(1)由m·n=35,得cos(AB)cosBsin(AB)sinB=35所以cosA=35所以sinA=1-cos2