備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第4節(jié)-余弦定理和正弦定理及其應(yīng)用

第4節(jié)余弦定理和正弦定理及其應(yīng)用1.借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系,掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實(shí)際問題.1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑,則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)asinA=bsin(2)a2=

;

b2=

;

c2=

變形(3)a=2RsinA,b=,c=;

(4)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=(5)a∶b∶c=

;

(6)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA(7)cosA=b2cosB=c2cosC=a2.三角形常用面積公式(1)S=12a·ha(ha(2)S=12absinC=12acsinB=(3)S=123.測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中,目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角,通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例:(1)北偏東α:(2)南偏西α:坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角);坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度),即i=hl1.△ABC中:(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;(3)sinA+B2(4)cosA+B22.在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要條件.1.(必修第二冊(cè)P44例6改編)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC等于()A.π6 B.C.2π3 D.2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面積為32A.32 B.C.23 D.23.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=23,則△ABC的面積為.

4.如圖,在塔底D的正西方A處測(cè)得塔頂C的仰角為45°,在塔底D的南偏東60°的B處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,A,B間的距離是84m,則塔高CD=m.

5.在△ABC中,acosA=bcosB,則這個(gè)三角形的形狀為.利用正弦、余弦定理解三角形角度一余弦定理的應(yīng)用在△ABC中,cosC2=55A.42 B.30 C.29 D.25余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根據(jù)余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程,通過解方程求得未知元素.角度二正弦定理的應(yīng)用△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a+b=atanA+bA.π6 B.C.π3 D.1.已知△ABC中某些條件求角時(shí),可用以下公式sinA=asinBb,sinB=bsinAa,sinC=csin2.已知△ABC的外接圓半徑R及邊長,可用公式sinA=a2R,sinB=b23.正弦定理的作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化,解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系,也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.角度三判斷三角形的形狀設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定在判斷三角形的形狀時(shí)一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隱含條件.另外,在變形過程中要注意內(nèi)角A,B,C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響,在等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式,以免漏解.[針對(duì)訓(xùn)練]1.在△ABC中,cosC=23A.5 B.25C.45 D.852.在△ABC中,cos2B2=aA.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(a-c)sinC,b=2,則△ABC的外接圓直徑為.

與面積有關(guān)的解三角形問題角度一三角形面積的計(jì)算(2019·全國Ⅱ卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,則△ABC的面積為.

1.若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值),及其該角的兩條邊,代入公式求面積;2.若已知三角形的三邊,可先求其一個(gè)角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面積.角度二求三角形面積的最值已知點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心,∠BAC=60°,BC=1,則△BOC面積的最大值為.

1.三角形面積計(jì)算問題要適當(dāng)選用公式,可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化.2.求面積的最值時(shí)要注意到三角形面積公式S△ABC=12absinC中的ab,與余弦定理中的a2+b2存在不等關(guān)系a2+b2[針對(duì)訓(xùn)練]1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且A=π6,a=2,則△ABC面積的最大值為解三角形的實(shí)際應(yīng)用角度一測(cè)量距離問題海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A,B兩點(diǎn)間的距離),現(xiàn)取兩點(diǎn)C,D,測(cè)得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為.

1.選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知?jiǎng)t直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.2.確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計(jì)算的定理.角度二測(cè)量高度問題《海島算經(jīng)》是中國學(xué)者劉徽編撰的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作,現(xiàn)有取自其中的一個(gè)問題:今有望海島,立兩表,齊高三丈,前后相去千步,令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合,從后表卻行一百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合.問島高幾何?其大意為:如圖所示,立兩個(gè)三丈高的標(biāo)桿BC和DE,兩標(biāo)桿之間的距離BD=1000步,兩標(biāo)桿的底端與海島的底端H在同一直線上,從前面的標(biāo)桿B處后退123步,人眼貼地面,從地上F處仰望島峰,A,C,F三點(diǎn)共線,從后面的標(biāo)桿D處后退127步,人眼貼地面,從地上G處仰望島峰,A,E,G三點(diǎn)也共線,則海島的高為(注:1步=6尺,1里=180丈=1800尺=300步)()A.1255步 B.1250步C.1230步 D.1200步高度也是兩點(diǎn)之間的距離,其解法同測(cè)量水平面上兩點(diǎn)間距離的方法是類似的,基本思想是把要求解的高度(某線段的長度)納入到一個(gè)三角形中,使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識(shí)求出該高度.角度三測(cè)量角度問題已知島A南偏西38°方向,距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/小時(shí)的速度向島北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船?參考數(shù)據(jù):sin38°≈5314,sin22°≈測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫出表示實(shí)際問題的圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖,為了測(cè)量A,C兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上的B,D兩點(diǎn),測(cè)出四邊形ABCD各邊的長度(單位:km)分別為AB=5,BC=8,DC=3,AD=5,且B與D互補(bǔ),則AC的長為()A.7km B.8km C.9km D.6km2.甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°的方向,相距a海里的B處,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的3倍,