安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省江南十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2、回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)框.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3、考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，由題意，得，解得，即.故選：C.2.“且”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】充分性：當(dāng)，方程表示圓，充分性不成立；必要性：若方程表示橢圓，則，必有且，必要性成立，因此，“且”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.3.若點(diǎn)是直線和的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)和所確定的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭侵本€和的公共點(diǎn)，所以，且，所以兩點(diǎn)和都在同一條直線上，故直線的方程是.故選：A.4.六氟化硫，化學(xué)式為，常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面重合的幾何體）.如圖所示，在正八面體中，是的重心，記，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，故選：D.5.已知是直線的方向向量，直線經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意直線的方向向量，，則，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，故選：B.6.已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由圓的方程知：圓心C0,1，半徑，，的幾何意義是圓上的點(diǎn)與點(diǎn)2,1連線的斜率，設(shè)過點(diǎn)2,1的圓的切線方程為：，即，圓心C0,1到切線的距離，解得：，，.故選：C.7.焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），它在準(zhǔn)線上的投影為，設(shè)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一：F1,0，故，，過點(diǎn)作于A點(diǎn)，過點(diǎn)作于B點(diǎn)，設(shè)與軸交于點(diǎn)，如圖,由拋物線定義可知，由∽得，，又，故，令，則，故，所以，故，即為的中點(diǎn)，由∽得，又，得，則，將代入中，，由圖可知，取正值，則點(diǎn)，由∽得，，又，故，則，將代入中，，由圖可知，取負(fù)值，即，由對(duì)稱性可知，所以，中，令，解得，故，故⊥軸，于是所求三角形的面積；方法二：F1,0，故，，過點(diǎn)作于A點(diǎn)，過點(diǎn)作于B點(diǎn)，設(shè)與軸交于點(diǎn)，如圖,由拋物線定義可知，由∽得，，又，故，令，則，故，所以，故，即為的中點(diǎn)，由∽得，又，得，則，將代入中，，由圖可知，取正值，則點(diǎn)，由∽得，，又，故，則，將代入中，，由圖可知，取負(fù)值，即，由對(duì)稱性可知，所以，中，令，解得，故，則，又，故.故選：B.8.若圓為雙曲線的“伴隨圓”，過的左焦點(diǎn)與右支上一點(diǎn)，作直線交“伴隨圓”于，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，過作于，則，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，即為線段的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，，設(shè)，則，，，所以，在中，由勾股定理可得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出下列命題，其中真命題為（）A.過點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有3條B.已知點(diǎn)，，則滿足到點(diǎn)距離為2，到點(diǎn)距離為3的直線有且僅有3條C.過點(diǎn)與拋物線僅有1個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條D.過雙曲線的右焦點(diǎn)被截得線段長(zhǎng)為5的直線有且僅有3條【答案】BCD【解析】對(duì)于A：設(shè)過點(diǎn)與坐標(biāo)軸相交的直線方程為：，則，即，又，即當(dāng)時(shí)可得：，解得：或當(dāng)時(shí)可得：，即，此時(shí)，方程也有兩組解，故共有4組解，即過點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為16的直線有且僅有4條，A錯(cuò)誤對(duì)于B：因?yàn)椋詾閳A心，分別以2，3為半徑作圓，則圓與圓相外切，它們的3條公切線即為滿足條件的直線，所以B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在拋物線的外部，顯然過與拋物線相切的直線有兩條，過與軸平行時(shí)，與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)，故共有3條直線，所以C正確，對(duì)于D：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線右支相交于，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為則，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，消去，得，，由，解得或，所以，所以當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，的長(zhǎng)最小，即最小值為，過雙曲線的右焦點(diǎn)作垂直實(shí)軸的直線，被雙曲線右支截得的弦（通徑）長(zhǎng)為，又雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，所以結(jié)合對(duì)稱性可知，被雙曲線左右兩支截得的線段長(zhǎng)為5的直線有2條，共有3條，所以D正確；故選：BCD10.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，，下列說法正確的是（）A.當(dāng)，，時(shí)，的最小值為B.當(dāng)，，時(shí)，三棱錐的體積為3C.當(dāng)，，時(shí)，經(jīng)過，，三點(diǎn)截正方體所得截面面積的取值范圍是D.當(dāng)，且時(shí)，則的軌跡總長(zhǎng)度為【答案】AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，，即，故點(diǎn)在上，將平面與平面沿著展開到同一平面內(nèi)，如圖：連接交于，此時(shí)，，三點(diǎn)共線，取到最小值即，即，A正確；對(duì)于B，由于，時(shí)，則為的中點(diǎn)，以為空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建系，如圖則，所以，所以，是平面的一個(gè)法向量，，則點(diǎn)到平面的距離為，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)經(jīng)過三點(diǎn)截正方體所得截面是矩形，其面積；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，經(jīng)過三點(diǎn)截正方體所得截面是三角形，其面積，當(dāng)時(shí)，設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)截正方體所得截面是梯形，梯形的面積隨的增大而減小，故截面面積的取值范圍是，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可得四點(diǎn)共面，所以點(diǎn)的軌跡在內(nèi)（包括邊界），由選項(xiàng)B知，，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)點(diǎn)在平面的內(nèi)的投影為，因?yàn)椋詾榈闹行?，所以點(diǎn)到平面的距離為，若，則，即點(diǎn)落在以為圓心，為半徑的圓上（如上右圖），點(diǎn)到三邊的距離為，此時(shí)，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，其軌跡長(zhǎng)度為，即D正確；故選：AD.11.過拋物線上一點(diǎn)作斜率分別為，的兩條直線，與分別交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），則（）A.過點(diǎn)與相切的直線方程為B.若點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，則為定值C.若，則直線經(jīng)過定點(diǎn)D.分別以，，為切點(diǎn)作拋物線的三條切線，，，若，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，則【答案】ABD【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以，所以拋物線的方程為.對(duì)于A，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立，得，所以，所以，所以切線方程為，故A正確；對(duì)于B，由題意設(shè)，，則，又因?yàn)椋跒槎ㄖ?，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，由題意可知，直線斜率存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，，，所以，，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過定點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，，以為切點(diǎn)的切線方程為，則，令，得，所以切線方程為，同理可得以為切點(diǎn)的切線方程為：，以為切點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立與的方程可得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由題意，則切線的斜率，又直線的斜率，即，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______.【答案】【解析】由題意知化簡(jiǎn)為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：13.蓄有水的圓柱體茶杯，適當(dāng)傾斜能得到橢圓形水面，當(dāng)橢圓形水面與圓柱底面所成的二面角為30°時(shí)，則水面橢圓的離心率為_____________.【答案】【解析】設(shè)圓柱形杯子的底面半徑為，畫示意圖如圖所示：則是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，等于橢圓的短半軸長(zhǎng)，則，又，則故答案為：.14.如圖，在正方體中，，分別為棱和上的點(diǎn)，則與所成角的余弦值范圍為_____________.【答案】【解析】以為空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為，，軸建系如圖，設(shè)，，設(shè)，則，①當(dāng)或時(shí)，；②當(dāng)且時(shí)，令，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），令，函數(shù)在為增函數(shù)，故.故，所以.綜上：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點(diǎn).過定點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的最大值.解：（1）中點(diǎn)坐標(biāo)為，，故中垂線為，即，與聯(lián)立，解得圓心點(diǎn)坐標(biāo)為，圓的半徑，故圓（2）法一：設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，，故點(diǎn)在為直徑的圓上，設(shè)中點(diǎn)，，，則，所以，以為直徑的圓的方程：，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故.法二：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，中點(diǎn)坐標(biāo)，；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：代入整理得：，設(shè)，則，，，，因?yàn)榍蟮淖畲笾?，可令，代入上式可得：，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).易求，故.16.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，（1）求雙曲線方程；（2）過右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求的最小值.解：（1）由題意結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知，得，即軸，把代入方程，可得，又，即，又，解得，，雙曲線的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，，結(jié)合直線的方程得，即中點(diǎn)坐標(biāo)為.于是，（傾斜角，或）當(dāng)或時(shí)，，直線方程為：，令得，此時(shí)，于是，令，則，由知，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，是邊長(zhǎng)為6的正三角形，，分別是線段和上的點(diǎn)，.（1）試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取為三等分點(diǎn)，且，過作，則，所以為平行四邊形，所以，又，，所以平面.（2）由題意平面底面，平面底面，，平面，所以，所以直線與平面所成角的平面角為，在中，由，得.設(shè)中點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)為，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x,y,z由，取，可得，易求平面法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.18.如圖，已知橢圓與橢圓有相同的離心率，在上，過點(diǎn)的兩條不重合的直線，與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與橢圓相交于，和，四點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：；（3）設(shè)直線，的傾斜角互補(bǔ)，求證：.解：（1）橢圓的離心率，令橢圓的半焦距為c，則，橢圓，又點(diǎn)在上，于是，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若斜率不存在或?yàn)?，由對(duì)稱性知：；若斜率存在且不為0，設(shè)中點(diǎn)為，，則，，兩式相減得，，直線的斜率分別為，于是，設(shè)中點(diǎn)為，直線的斜率為，同理，則，而點(diǎn)與都在直線，則有點(diǎn)與重合，即，所以.（3）由（2）知，，同理，依題意，直線斜率存在，設(shè)直線，由消去得，設(shè)，則，，，由直線的傾斜角互補(bǔ)，則的斜率為，同理，因此，所以.19.設(shè)和是空間中的兩個(gè)不同點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，并且每個(gè)實(shí)數(shù)唯一對(duì)應(yīng)直線上的點(diǎn).仿照上面定義，設(shè)，，是共線的三個(gè)不同點(diǎn)，定義點(diǎn)關(guān)于，的分比為.（1）設(shè)，為空間中任意取定的一點(diǎn)，求證：；（2）若，