東北三省2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考強(qiáng)化數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1東北三省2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)強(qiáng)化卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以.故選：C2.設(shè)集合，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，取可得，則，此時(shí)，A錯(cuò)誤；則，此時(shí)，C錯(cuò)誤；則，此時(shí)，D錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則或或，由，可得，此時(shí)，與中有三個(gè)不同元素矛盾，由，可得，此時(shí)，與中有三個(gè)不同元素矛盾，由，可得或（舍去），若，則，與中有三個(gè)不同元素矛盾，所以，B正確；故選：B.3.已知一圓臺(tái)內(nèi)切球與圓臺(tái)各個(gè)面均相切，記圓臺(tái)上、下底面半徑為，若，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形腰相切于點(diǎn)，與上、下底的分別切于點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，圓臺(tái)上下底面的半徑為．注意到與均為角平分線，因此，從而，故．設(shè)圓臺(tái)的體積為，球的體積為，則V1V故選：A．4.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，得，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，或，所以，或（舍），所以，所?故選：D.5.已知且，若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，為增函數(shù)，，而時(shí)，為增函數(shù)，此時(shí)，，不符題意；當(dāng)時(shí)，則，為減函數(shù)，，而時(shí)，為減函數(shù)，此時(shí)，，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，，則，整理得，，解得；綜上，時(shí)滿足題意.故選：A6.已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，?lián)立可解得，所以，所以.所以曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程為故所求的切線方程為.故選：C.7.等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，且成等差數(shù)列，則最小值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】設(shè)公比為，由成等差數(shù)列，得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，所以得，解得，所以，令，則，所以數(shù)列遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1.故選：D.8.如圖所示，將函數(shù)的圖像向右平移得到的圖像，其中和分別是圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)分別是fx,gx圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得的圖像，由于分別是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，結(jié)合圖像可知：,,故，由于所以，進(jìn)而可得,故，解得，，故，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知方程，其中．下列命題為真命題的是（）A.可以是圓的方程 B.可以是拋物線的方程C.可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 D.可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)榉匠?，其中，所以?dāng)時(shí)，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，方程為，即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以C正確；對(duì)于D，若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC．10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E為棱的中點(diǎn)，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.直線平面C.當(dāng)時(shí)， D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】AD【解析】對(duì)于A，如圖1，因,故A正確；對(duì)于B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則,于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上圖建系，則,,因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）動(dòng)點(diǎn),不妨設(shè)，則，，由題意，，即，于是，此時(shí)，故與不垂直，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖知平面的法向量可取為，因，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：AD.11.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)正整數(shù)時(shí)，C.對(duì)任意正實(shí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)D.若在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且f1=0則，，，，可得，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)CD：由選項(xiàng)A可得：當(dāng)時(shí)，，則，令f'x>0令f'x<0可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，即，例如當(dāng)，則，不合題意，故C錯(cuò)誤；若在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)極大值點(diǎn)，則，所以的取值范圍是，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與的夾角為銳角，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因?yàn)榈膴A角為銳角，所以且不能同向共線,所以,解得且故答案為：.13.設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為為上一點(diǎn)，且，若的面積為，則__________.【答案】【解析】設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)，因?yàn)槊娣e，所以得，因?yàn)?，所以得，即，因?yàn)椋?故答案為：.14.已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】因存在，使得，即需求函數(shù)在上的最大值.由求導(dǎo)得，，因，若，則f'x>0在上恒成立，即函數(shù)在上是增函數(shù)，故此時(shí)無(wú)最大值，且時(shí)，，符合題意；若，由解得，則當(dāng)時(shí)，f'x當(dāng)時(shí)，f'x即函數(shù)在上遞增，在上遞減，則函數(shù)在時(shí)取得最大值，即，依題意，需使，整理得，（*）.令，則則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時(shí)，取最大值，即在上恒成立，由（*）可得，即，所以;綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在平面四邊形中，（1）若與交于點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)；（2）求四邊形周長(zhǎng)的最大值．解：（1）中,由余弦定理得,所以因?yàn)椋?，所以由可?,所以（2）因?yàn)?所以,,故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最大值為16.已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．（1）證明：不妨設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以平面平面；?）解:由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，則可取為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故．17.已知函數(shù)．（1）求在上單調(diào)增區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明．解：（1），由得，所以增區(qū)間為，而，故在的單調(diào)增區(qū)間為和．（2）由得，即，其中，．所以當(dāng)且僅當(dāng)，即滿足題意．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．當(dāng)時(shí)，，即；此時(shí)，而，所以，當(dāng)時(shí)，，即；此時(shí)，而，所以；綜上，．18.已知函數(shù)．（1）若，曲線y=fx在點(diǎn)處的切線與直線垂直，證明：；（2）若對(duì)任意的且，函數(shù)，證明：函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)．（1）證明：，，，，設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞增，又，存在使得即，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；（2）證明：，，在上單調(diào)遞增，又設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，，又，，存在，使得，又在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).19.定義：從數(shù)列中隨機(jī)抽取m項(xiàng)按照項(xiàng)數(shù)從小到大的順序依次記為，將它們組成一個(gè)項(xiàng)數(shù)為m的新數(shù)列，其中，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則稱數(shù)列是數(shù)列的“m項(xiàng)遞增衍生列”；（1）已知數(shù)列滿足，數(shù)列是的“3項(xiàng)遞增衍生列”，寫出所有滿足條件的﹔（2）已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為m的等比數(shù)列，其中，若數(shù)列為1，16，81，求證：數(shù)列不是數(shù)列的“3項(xiàng)遞增衍生列”；（3）已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為14，且，數(shù)列是數(shù)列的“m項(xiàng)遞增衍生列”，其中．若在數(shù)列中任意抽取3項(xiàng)，且均不構(gòu)成等差數(shù)列，求m的最大值．（1）解：由題意得，數(shù)列為1，8，3，4，5，2，若是數(shù)列的“3項(xiàng)遞增衍生列”，且，則為1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒（2）證明：設(shè)等比數(shù)列的公比為q．假設(shè)數(shù)列是數(shù)列的“3項(xiàng)遞增衍生列”，則存在，使，所以，則，所以．因?yàn)?，所以為有理?shù)，但為