福建省福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的方向向量為，則直線的傾斜角是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的斜率為，即，又傾斜角，所以.故選：D2.已知直線與,則“”是“”的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】當(dāng)直線與垂直時(shí)，，即，解得或，所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3.在三棱錐中，、分別是、的中點(diǎn)，是的重心，用基向量、、表示，則下列表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】連接，因?yàn)闉榈闹匦?，則，如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，所以，.故選：D.4.平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由兩點(diǎn)間距離公式，條件表示的幾何意義為點(diǎn)到與的距離之和：，又，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)在以和為焦點(diǎn)的橢圓上，可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：,由，，根據(jù),求出,得到軌跡方程為：.故選：B5.已知，若點(diǎn)在線段上，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】如圖，因?yàn)楸硎军c(diǎn)Px,y和點(diǎn)連線的斜率，又，所以，，由圖知，的最小值為，故選：C.6.若動(dòng)圓與圓外切，又與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，則，又動(dòng)圓與直線相切，即到直線的距離為，所以到直線的距離為，所以到的距離與到直線的距離相等，所以的軌跡為拋物線，其焦點(diǎn)為，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.故選：D．7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是上的一點(diǎn)（在第一象限），直線與軸交于點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，如下圖所示：由題意可得，；又，由可得，即，解得；所以；因?yàn)?，所以；即，可得，即，解?故選：D8.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題.已知點(diǎn)在直線,點(diǎn)在直線上,且，結(jié)合上述觀點(diǎn)，的最小值為（）A B. C. D.5【答案】D【解析】由已知表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)橹本€的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法命題正確的是（）A.已知，，則在上的投影向量為B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則C.已知三棱錐，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則D.若向量（，，是不共面的向量）則稱(chēng)在基底下的坐標(biāo)為，若在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，在上的投影向量為，A正確；B選項(xiàng)，，故，或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，設(shè)，即，所以，又，故，故，C正確；D選項(xiàng)，由題意得，設(shè)，則，解得，則在基底下的坐標(biāo)為，D正確.故選：ACD10.已知圓與圓交于，兩點(diǎn)，則（）A.兩圓的公切線有2條B.直線方程為C.D.動(dòng)點(diǎn)在圓上，則的最大值為【答案】ABD【解析】由題意可知，，故，故兩圓相交，公切線有2條，A正確，與圓相減可得，故直線方程為，B正確，到直線的距離為，故，故C錯(cuò)誤，可看作是圓上的一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，故最大值為，D正確，故選：ABD11.如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點(diǎn)外的所有點(diǎn)均滿足其到原點(diǎn)的距離的立方與該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積的絕對(duì)值的商恒為定值（），則（）A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B.曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其方程為C.曲線圍成的圖形面積小于D.存在，使得曲線上有5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）【答案】ACD【解析】對(duì)于A，先求曲線方程，設(shè)曲線上一點(diǎn)（），由已知，即.若點(diǎn)在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B，將代入曲線方程，得，即，，此時(shí)方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結(jié)合圖形知道，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D，由于，所以，由曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，要使曲線上有5個(gè)整點(diǎn)，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)都在曲線上，其有3個(gè)整點(diǎn)，不滿足題意;當(dāng)整點(diǎn)為時(shí)，，此時(shí)整點(diǎn)均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個(gè)整點(diǎn)，滿足題意，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)_____【答案】【解析】因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，則，解得，故圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，故所求圓的方程為.故答案為：.13.若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【解析】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，即或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.如圖，邊長(zhǎng)為4正方形中,、分別為、中點(diǎn),將,沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則直線與夾角余弦值的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，且延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)，因?yàn)?，，所以平面，根?jù)對(duì)稱(chēng)性可知在底面平面內(nèi)的射影點(diǎn)必在上，記為點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，過(guò)點(diǎn)垂直于方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：因?yàn)?，所以，所以為等腰直角三角形，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，不妨設(shè)，所以，所以，取等號(hào)時(shí)，所以直線PM與BF夾角余弦值的最大值為，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，位于第一象限的點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，求的方程.解：（1）因?yàn)閽佄锞€，，所以，所以，可得所以焦點(diǎn)的坐標(biāo).（2）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，又位于第一象限，所以，所以，過(guò)點(diǎn)的直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，直線斜率不存在不合題意；設(shè)直線與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由，得，當(dāng)時(shí)，，即，即，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)根符合題意；所以的方程為或，即或.16.已知△中，頂點(diǎn)，邊上的高線所在直線與直線平行，的平分線所在直線的方程為．（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求邊所在直線的一般式方程．解：（1）由題意可設(shè)邊所在的直線方程為，則將代入，解得，則邊所在直線的方程為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，所以．直線的方程即為直線的方程.因?yàn)椋?，即為，則直線的一般式方程為．17.設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為．（1）求點(diǎn)軌跡的方程；（2）過(guò)的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，故，平方后化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)的軌跡的方程為：（2）由題意，,設(shè)直線的方程為，,，,，由，可得，所以，．則，，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，綜上，為定值．18.如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在線段上是否存在一點(diǎn),使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）在中，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所?（2）由（1）可得，，又，所以，，兩兩垂直，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離.（3）假設(shè)存在，設(shè)，則，所以，設(shè)平面DHP的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，即，令，則，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，所以，即，令，則，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或（舍），所以存在點(diǎn)，使得滿足要求，此時(shí)，即.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，的最小值為.（1）求橢圓的方程；（2）已知是橢圓的左、右頂點(diǎn)，