廣東省揭陽市揭西縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省揭陽市揭西縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對A，，則，所以.故選：D.2.若直線經(jīng)過，兩點，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】斜率，∴傾斜角．故選：A．3.圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7）會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構(gòu)成的數(shù)列為，由此數(shù)列的通項公式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，，且都是直角三角形，所以，且，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，由.故選：B．4.若點在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】因點在橢圓，則，解得，而橢圓長半軸長，所以橢圓離心率.故選：C5.已知，，點P在x軸上，則使取得最小值的點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為關(guān)于x軸的對稱點為，所以所在的直線方程為，即，令得，所以.故選：B6.已知圓截直線所得弦的長度為4，則實數(shù)的值是（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】圓的方程，圓心，半徑，圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式可知，解得：.故選：B7.以下四個命題中，正確的是（）A.向量與向量平行B.為直角三角形的充要條件是C.D.若為空間的一個基底，則，，構(gòu)成空間的另一基底【答案】D【解析】因為為空間的一個基底，設(shè)，即，無解，所以，，不共面，則，，構(gòu)成空間的另一基底，故D正確；因為，所以和不平行，故A錯誤；為直角三角形只需一個角為直角即可，不一定是，所以無法推出，故B錯誤；，當(dāng)時，，故C錯誤.故選：D.8.過點的直線可表示為，若直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】D【解析】可化為①，要使與兩坐標(biāo)軸能圍成三角形，則且，由①令得；令得，依題意，，所以或,所以或，設(shè)，則或，則或解得或，即或，即或，所以這樣的直線有條.故選：D二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.）9.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是其公比，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由題意知，遞增的等比數(shù)列包括兩種情況：時或時.故，，故選：BD10.已知實數(shù)滿足圓的方程，則下列說法正確的是（

）A.圓心，半徑為B.過點作圓的切線，則切線方程為C.的最大值是D.的最大值是4【答案】BD【解析】對選項A：，即，圓心為，半徑為，錯誤；對選項B：在圓上，則和圓心均在軸上，故切線與軸垂直，為，正確；對選項C：表示圓上的點到點的斜率，如圖所示：當(dāng)與圓相切時，斜率最大，此時，，故，故此時斜率最大為，錯誤；對選項D：表示圓上的點到原點距離的平方，故最大值為，正確；故選：BD11.定義，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A.有最大值，無最小值 B.當(dāng)，的最大值為1C.不等式的解集為 D.的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】BCD【解析】由題意得，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象，可得無最大值，無最小值，所以A錯誤；根據(jù)圖象得，當(dāng)，的最大值為1，所以B正確；由得，，解得：，結(jié)合圖象，得不等式的解集為，所以C正確；由圖象得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以D正確.故選：BCD.12.已知棱長為2的正方體的中心為，用過點的平面去截正方體，則（）A.所得的截面可以是五邊形 B.所得的截面可以是六邊形C.該截面的面積可以為 D.所得的截面可以是菱形【答案】BCD【解析】一個平面去截正方體，考慮從正方體的上底面開始截入，不妨設(shè)上底面與截面的交線為線段，截取有兩種情況，第一種情況是兩點分別在兩對邊上或兩相鄰邊上，如圖，直線與相交于點，直線與相交于點，由正方體性質(zhì)及面面平行性質(zhì)定理知截面為平行四邊形.第二種情況，如圖，直線與相交于點，直線與相交于點，直線與相交于點，與相交于點，直線與相交于點與相交于點，易知所得截面為六邊形，A錯誤，B正確.當(dāng)截面為正六邊形時，正六邊形的邊長為，它的面積為，C正確.當(dāng)截面為平行四邊形時，由對稱性可知，若四邊形為菱形，則，可得，可得，可得或，可得或，D正確.故選：BCD.三、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13.已知圓，圓，若圓與圓相外切，則________.【答案】【解析】由題意知，，所以，因為兩圓外切，所以，解得.故答案為：2.14.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、小寒、大寒的日影子長的和是43.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立春的日影子長為_________尺.【答案】12.5【解析】從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這12個節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，由題意知，，解得，所以立春的日影長為尺故答案為：12.515.函數(shù),的部分圖象如圖所示,則______．【答案】0【解析】由圖象可知，函數(shù)的周期T＝8，所以，故，因為，，所以．故答案為：0.16.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”,就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分,如圖②,其方程為，為其左右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為___________．【答案】【解析】由題可知共線，共線，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以．故答案為：．四、解答題（共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知.（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長.解：（1）由，得，在中，，在中，.（2），由余弦定理得，，，的周長為.18.已知橢圓的長軸長為10，焦距為6．（1）求C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標(biāo)為，求l的方程．解：（1）設(shè)C的焦距為，長軸長為，則，所以，所以，所以C的方程為．（2）設(shè)，代入橢圓方程得兩式相減可得，即．由點為線段的中點，得，則l的斜率，所以l的方程為，即．19.如圖,在直三棱柱中,，E為的中點，.（1）證明：．（2）求二面角的余弦值．解：（1）在直三棱柱中，平面,平面,所以，又由題可知，，,平面且,所以平面,又因為平面,所以.（2）以為坐標(biāo)原點，分別為軸建系如圖，由，，可得，則有設(shè)平面的一個方向量為,所以即令則，所以因為平面,所以為平面的一個法向量，所以,,即二面角的余弦值等于.20.已知各項均不為零的數(shù)列滿足，且.（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）令為數(shù)列的前項和，求.解：（1）由，得，又，是首項為5，公差為3的等差數(shù)列.，故.（2）由（1）知，所以①②，①-②得：，.21.某校為了解高一學(xué)生周末的“閱讀時間”，從高一年級中隨機調(diào)查了100名學(xué)生進行調(diào)查，獲得了每人的周末“閱讀時間”（單位：小時），按照分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中的值；（2）估計該校高一學(xué)生周末“閱讀時間”的中位數(shù)；（3）采用分層抽樣的方法從這兩組中抽取7人，再從7人中隨機抽取2人，求抽取的2人恰好在同一組的概率.解：（1）由題意，高一學(xué)生周末“閱讀時間”在的頻率分別為，.由，得（2）設(shè)該校高一學(xué)生周末“閱讀時間”的中位數(shù)為小時.因為前5組頻率和為，前4組頻率和為，所以由，得.故可估計該校高一學(xué)生周末“閱讀時間”的中位數(shù)為小時.（3）由題意得，周末閱讀時間在中的人分別有15人?20人，按分層抽樣的方法應(yīng)分別抽取3人?4人，分別記作及.從7人中隨機抽取2人，這個試驗的樣本空間，，共包含21個樣本點，且這21個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，抽取的2人在同一組包含的樣本點有，共9個，故所求概率.22.已知拋物線，過焦點的直線與拋物線交于兩點A，，當(dāng)直線的傾斜角為時，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）記為坐標(biāo)原點，直線分別與直線，交于點