河北省邯鄲市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)4.1，4.2．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的斜率為（）A.不存在 B.0 C. D.【答案】A【解析】，即，則其斜率不存在，故選：A．2.在空間四邊形PABC中，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．故選：A.3.已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（）A.第11項(xiàng) B.第12項(xiàng) C.第13項(xiàng) D.第14項(xiàng)【答案】B【解析】數(shù)列，即數(shù)列，由數(shù)列的前幾項(xiàng)觀察歸納，知被開(kāi)方數(shù)是以6為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以通項(xiàng)公式，令，解得.故選：B.4.兩平行直線之間的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】由題意即為直線，所以兩平行直線之間的距離為．故選：C5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為拋物線C上一點(diǎn)，若，則（）A.4 B. C.8 D.【答案】B【解析】由拋物線定義可得，即，所以．故選：B.6.如圖，長(zhǎng)為a（a是正常數(shù)）的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在互相垂直的兩條直線上滑動(dòng)，點(diǎn)M是線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的為（）A.點(diǎn)M的軌跡是圓 B.點(diǎn)M的軌跡是橢圓且離心率為C.點(diǎn)M的軌跡是橢圓且離心率大小與a有關(guān) D.點(diǎn)M的軌跡不能確定【答案】B【解析】設(shè)Mx,y，由于點(diǎn)M是線段AB上靠近A設(shè)，，則，即，故，由，故，即，整理得到，點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在橫軸上的橢圓，故離心率為.故選：B7.如圖，的半徑等于2，弦平行于x軸，將劣弧沿弦對(duì)稱，恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，此時(shí)直線與這兩段弧有4個(gè)交點(diǎn)，則m的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閳A的劣弧關(guān)于弦對(duì)稱的圖形恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，，如圖所示，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，將代入中，故，解得，由對(duì)稱性可知，圓弧對(duì)應(yīng)的圓的圓心在軸上，設(shè)為，則，即，解得，且劣弧對(duì)應(yīng)的圓的半徑為2，故劣弧對(duì)應(yīng)的圓方程為，當(dāng)直線與劣弧相切時(shí)，由，解得舍），結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，直線與兩段弧有4個(gè)交點(diǎn)，可排除B、D，由，可排除A，由，故的取值可能是．故選：C．8.在正四棱柱中，，點(diǎn)E在線段上，且，點(diǎn)F為BD中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，則，所以點(diǎn)到直線的距離為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，．故選：BD.10.如圖，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限）作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為H，為邊長(zhǎng)為8的等邊三角形．則（）A. B.C.點(diǎn)P坐標(biāo)為 D.點(diǎn)P的坐標(biāo)為【答案】BD【解析】由題意可得：拋物線C的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q，在中，則，，可得，解得，故A錯(cuò)誤，B正確；∵，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，且點(diǎn)P在第一象限，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD.11.已知雙曲線C：，則（）A.雙曲線C也叫等軸雙曲線B.雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離為C.若過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為D.直線l過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F，且直線l與雙曲線的一條漸近線平行，直線l與雙曲線C相交于點(diǎn)A，與雙曲線C的另一條漸近線相交點(diǎn)于B，則點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由雙曲線C：，可得，則，可知A正確；對(duì)于B，由雙曲線C的漸近線方程為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，可求得焦點(diǎn)F到直線的距離為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由雙曲線C的漸近線方程為，若直線l與雙曲線相交，只需要直線l的斜率，則，可求得直線l的傾斜角的取值范圍為，故C正確；對(duì)于D，如下圖，由雙曲線C的漸近線方程為，直線與雙曲線的一條漸近線平行，設(shè)，可知△OBF為等腰直角三角形，，可知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，解得，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，，可知點(diǎn)A為線段BF的中點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在平面直角坐標(biāo)系中，圓被直線截得的弦長(zhǎng)2，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以圓心到直線的距離，所以，解得.故答案為：13.設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則______．【答案】【解析】由題意可得．故答案為：14.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且傾斜角為的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限），若，則C的離心率是________．【答案】【解析】如圖，連結(jié)，設(shè)，則，在中，由余弦定理，得，即，整理得：，在中，由余弦定理，得，即，整理得：，因此，而，則，即，所以C的離心率．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且．（1）求通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值及取得最小值時(shí)的值．解：（1）設(shè)的公差為，則解得所以；（2），所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值，最小值為．16.已知半徑為2的圓的圓心在射線上，點(diǎn)在圓上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程．解：（1）由圓C的圓心在直線上，可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，又圓的半徑為2，點(diǎn)在圓上，有，解得（舍去）或，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線與圓相切；②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，整理為，由題知，解得，可得切線方程為，整理為，由①②知，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.17.已知拋物線C：y2=2pxp>0（1）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；（2）過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．解：（1）∵y2=2pxp>0∴，解得，∴拋物線C：，準(zhǔn)線方程為；（2）由（1）知，拋物線焦點(diǎn)為1,0，設(shè)直線AB：，，，由，得：，則，則．18.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，，.（1）證明:平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.解：（1）連接，，則，在中，因?yàn)?，則，因?yàn)椋?，，所以，則，又，、平面，所以平面（2）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，又平面，以為原點(diǎn)，以、、方向?yàn)椤?、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0、、、、P0,0,1，所以，，，，，，，，設(shè)平面法向量為m=x1,令，即，設(shè)平面法向量為n=x2,y2,z設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，所以．19.已知橢圓：在左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且，求使的面積最大時(shí)直線的方程（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.解：（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，，從而，所以橢圓的