河北省邢臺市部分高中2025屆高三上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺市部分高中2025屆高三上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故.故選：B.2.已知單位向量和的夾角為，且，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】，即.故選：D.3.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，設(shè)，，，則，，，則，則，所以橢圓的離心率為.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，，.故選：D.5.已知，，是三條不同的直線，，是兩個不同的平面，，，，，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：若，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以，則充分性成立.必要性：當(dāng)時，與不一定垂直，則必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A12 B.16 C.24 D.32【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，則.故選：B.7.運(yùn)動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個場地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個場地，每個場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.72 B.96 C.114 D.124【答案】C【解析】將5名志愿者分為1，2，2，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法有種.將5名志愿者分為1，1，3，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法有種.故不同的安排方法共有種.故答案為：C.8.已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，則，由，可得，即，.因?yàn)槭嵌x在R上的減函數(shù)，所以也是定義在R上的減函數(shù)，故，即.因?yàn)?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知集合恰有兩個子集，則的值可能為（）A. B. C.4 D.【答案】AC【解析】由，可得由題可知中只有一個元素.當(dāng)時，解得，此時，符合題意；當(dāng)時，即，則或是方程的解.當(dāng)是方程的解時，解得，此時，符合題意；當(dāng)是方程的解時，無解.故或4.故選：AC.10.若過點(diǎn)恰好可作曲線的兩條切線，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】令，則，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線方程為，切線過點(diǎn)，代入得，即方程有兩個解，則，解得或.故選：BCD.11.在棱長為6的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，，則下列說法正確的是（）A當(dāng)時，B.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時，平面D.當(dāng)，時，三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD【解析】設(shè)，，，，分別為棱，，，，的中點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)在線段上，平面，所以平面，又平面，所以，A正確.當(dāng)時，點(diǎn)在線段上，，平面，與平面不平行，所以三棱錐的體積不是定值，B錯誤.當(dāng)時，點(diǎn)在線段上，因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，所以,不在平面內(nèi)，所以平面，因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，所以,不在平面內(nèi)，所以平面，平面，平面平面，又平面，所以平面，C正確.當(dāng)，時，為的中點(diǎn)，如圖，三棱錐與三棱柱的外接球相同.在中，，，由余弦定理得，所以.設(shè)外接圓的半徑為，在中，由正弦定理得，故外接圓的半徑.設(shè)三棱柱外接球的半徑為，由勾股定理得，則三棱錐外接球的表面積，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某籃球運(yùn)動員投球的命中率是，他投球4次，恰好投進(jìn)3個球的概率為______.（用數(shù)值作答）【答案】【解析】投球4次，恰好投進(jìn)3個球的概率為.故答案為：.13.已知數(shù)列，滿足，，則______.【答案】解析】由，，可得，.故答案為：14.設(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，，則的取值范圍為______.【答案】【解析】設(shè)，.由的中點(diǎn)為，得，.因?yàn)?，在雙曲線上，則，兩式相減得，所以，故直線的方程為，即，聯(lián)立方程,消去得，顯然，此時，令，可得，所以或，結(jié)合，故或，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為了研究性別與感冒的關(guān)系，某醫(yī)學(xué)研究小組在11月感冒易發(fā)季節(jié)對某一社區(qū)男性和女性的感冒情況進(jìn)行抽樣調(diào)研，得到如下列聯(lián)表.性別感冒情況合計(jì)不感冒感冒男性301545女性451055合計(jì)7525100（1）請根據(jù)列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為性別與感冒情況具有相關(guān)性；（2）利用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中不感冒的人群中隨機(jī)抽取5人，再從這5人中選出2人分享發(fā)言，記分享發(fā)言中女性的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：性別與感冒情況不具有相關(guān)性.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)為性別與感冒情況無關(guān).（2）根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的知識可知，男性有2人，女性有3人，所以隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為012所以.16.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求角；（2）若為上一點(diǎn)，，，求的面積.解：（1）由，可得，所以由正弦定理得.由余弦定理可知，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?因?yàn)?，所?由（1）可知，又，所以.所以的面積為.17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，平面平面.（1）證明：.（2）若點(diǎn)在線段上，且平面與平面的夾角為，求.（1）證明：因?yàn)?，，，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（2）解：如圖，取為的中點(diǎn)，連接，平面中，作，交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平面，又所以平面，所以以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，即，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，得，易得平面的一個法向量為，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，所以，整理得，解得或（舍去），所以，又因?yàn)?，所?18.已知是拋物線：的焦點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，且過點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，.（1）求拋物線的方程.（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，直線與的另一個交點(diǎn)為，點(diǎn)在與之間.（i）證明：軸平分.（ii）記的面積為，的面積為，求的取值范圍.（1）解：由題可知，，，由已知得直線的斜率恒不為0，故可設(shè)：.聯(lián)立，可得，因?yàn)橹本€與相切于點(diǎn)，所以，解得，則，.因?yàn)?，所以，解得，即拋物線的方程為.（2）如圖：（i）證明：由已知得直線的斜率恒不為0，故設(shè)的方程為，Ax1,y1由（1）得.聯(lián)立方程組，可得，則，，所以.故軸平分.（ii）解：由（i）可知直線與關(guān)于軸對稱，所以點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，則.不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在與之間，所以，，，，則，令，則，令，則，解得；由，則，解得.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以的取值范圍為.19.定義：，，是曲線上三個不同的點(diǎn)，直線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，若，，成等差數(shù)列，則稱為“等差函數(shù)”，若，，成等比數(shù)列，則稱為“等比函數(shù)”.（1）若函數(shù)是二次函數(shù)，證明：是“等差函數(shù)”.（2）判斷函數(shù)是否為“等差函數(shù)”，并說明理由.（3）判斷函數(shù)是否為“等比函數(shù)”，并說明理由.（1）證明：令.設(shè)，，是曲線上三個不同的點(diǎn).直線的斜率，因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線斜率，直線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，則，即，則，故是“等差函數(shù)”.（2）解：假設(shè)函數(shù)為“等差函數(shù)”.因?yàn)?，且，，成等差?shù)列，所以.直線的斜率，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率，直線與曲線在點(diǎn)處的切線平行