導數(shù)的概念精析

4/4導數(shù)概念精析學習導數(shù)的概念的要求是：①了解導數(shù)概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)，②掌握函數(shù)在一點處導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念．因此入門學習時應注意以下幾組概念的區(qū)別與聯(lián)系．一、割線與切線簡單地說，曲線的切線是相應割線的極限位置．1．曲線的切線設函數(shù)y＝f(x)的圖象C上一點及鄰近一個Q(x0＋△x，y0＋△y)，過P、Q作C的割線PQ，那么割線的斜率為．當Q(x0＋△x，y0＋△y)沿曲線逐漸向接近時，割線PQ將繞點P逐漸轉(zhuǎn)動，當Q無限地接近P，即△x→0時，如果割線PQ有一極限位置PT，那么我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線C在點P處的切線.2.曲線C在點處的切線斜率設割線PQ的傾斜角為，切線PT的傾斜角為，既然割線PQ的極限位置上的直線PT是切線，所以割線PQ斜率的極限就是切線PQ的斜率tan,即tan=．例1曲線的方程為y=x2+1，那么求此曲線在點P(1，2)處的切線的斜率，以及切線的方程.解：k=∴切線的斜率為2.切線的方程為y－2=2(x－1)，即y=2x.二、瞬時速度與平均速度簡單地說，瞬時速度是一段時間內(nèi)平均速度的極限．瞬時速度是物理概念，在物理中只給出直觀描述，即運動物體經(jīng)過某一時刻(某一位置)的速度．運用數(shù)學工具來解決物理方面的問題，求瞬時速度，也就轉(zhuǎn)化為求極限．現(xiàn)在有兩個時刻t0，t0+Δt，現(xiàn)在問從t0到t0+Δt這段時間內(nèi)，物體的位移Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt稱時間增量)則有①平均速度當Δt→0時，的極限就是物體在時刻t0的瞬時速度．②瞬時速度．例2已知質(zhì)點M按規(guī)律s=2t2+3做直線運動(位移單位：cm，時間單位：s)，(1)當t=2，Δt=0.01時，求.(2)當t=2，Δt=0.001時，求.(3)求質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度.分析：Δs即位移的改變量，Δt即時間的改變量，即平均速度，當Δt越小，求出的越接近某時刻的速度.解：∵=4t+2Δt∴(1)當t=2，Δt=0.01時，=4×2+2×0.01=8.02cm/s(2)當t=2，Δt=0.001時，=4×2+2×0.001=8.002cm/s(3)v=(4t+2Δt)=4t=4×2=8cm/s三、導數(shù)與平均變化率1.平均變化率設函數(shù)在處附近有定義，當自變量在處有增量時，則函數(shù)相應地有增量，則與的比，叫函數(shù)的平均變化率．2.導數(shù)如果時，與的比（函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導數(shù)，記作，即注意：(1)函數(shù)應在點的附近有定義，否則導數(shù)不存在．(2)在定義導數(shù)的極限式中，趨近于0可正、可負、但不為0，而可能為0．(3)是函數(shù)對自變量在范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點（）及點）的割線斜率．(4)導數(shù)是函數(shù)在點的處瞬時變化率，它反映的函數(shù)在點處變化的快慢程度．(5)導數(shù)是一個局部概念，它只與函數(shù)在及其附近的函數(shù)值有關，與無關.(6)在定義式中，設，則，當趨近于0時，趨近于，因此，導數(shù)的定義式可寫成.(7)若極限不存在，則稱函數(shù)在點處不可導.(8)若在可導，則曲線在點（）有切線存在.反之不然，若曲線在點（）有切線，函數(shù)在不一定可導，并且，若函數(shù)在不可導，曲線在點（）也可能有切線.3、導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率因此，如果在點可導，則曲線在點（）處的切線斜率為，切線方程為．例3求y=x2在點x=1處的導數(shù).分析：根據(jù)求函數(shù)在一點處的導數(shù)的方法的三個步驟，（1）求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率（3