全等三角形輔助線與模型（考題猜想7種熱考模型）原卷版

專題02全等三角形輔助線與模型（考題猜想，7種熱考模

型）

墨型人集合

題型一：3暨超片中線模型（共4題）

題型二:平行線+線段中點構(gòu)造全等模型（共6題）

題型三：角平分線+垂直構(gòu)造全等模型（共1。題）

-------全等三角形輔助線與模型題型四：三垂直（K字）二一線三等角模型（共6題）

題型五：手拉手模型（共晦）

題型六：夾半角與截長補短（共8題）

題型七：婆羅摩笈逑媽（共5題）

大通關(guān)

題型一：中點模型之倍長中線模型（共4題）

1.（2022秋?鄲州區(qū)校級期末）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,。為Afi的中點，連結(jié)DC,作D"_LOC

交AC于點M.若AB=1O,AM=2,則CM=.

2.（2022秋?常德期末）（1）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,在AABC中，

若AB=13,AC=9,求3c邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法，延長的＞至點E,使。E=AD,連接BE,容易證得

AADCMAEDB,再由“三角形的三邊關(guān)系”可求得A3的取值范圍是

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所

求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中.

(2)【初步運用】如圖2,AD是A/RC的中線，3E交AC于E,交4)于尸，且.若隹二人

EC=3,求線段加7的長.

(3)【拓展提升】如圖3,在AABC中，。為3c的中點，DE，//分別交AC于點E,F.求證:

BE+CF>EF.

圖1

3.(2022秋?梅里斯區(qū)期末)閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明.

己知：如圖，點E是3C的中點，點A在Z史上，且ZBAE=NCDE.

求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的

兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證=必須

添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.

(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明.

①如圖1,延長DE到點尸，使EF=DE,連接所；

②如圖2,分別過點3、C作斯，DE,CG±DE,垂足分別為點P,G.

(2)請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明.

/圖1圖2圖3

?

4.（2022秋?桐柏縣校級期末）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容:

例4理13213,在△ABC中，D是邊BC的中

點，過點C畫直線CE,使CE/AB,交AD的延長線/

于點E,求證：AD=ED/\

證明/CE//AB（已知）//\

Z.4BD=ZECD.ZBAD=ZCED（兩直線平BD/C

行，內(nèi)錯角相等）./

在AABD與AECD中，

'：Z.ABD=ZECD5ZBAD=ZCED（已證），

BD=CD（已知：）,圖13213

「.△ABD絲ZkECD（A.A.S），

「.AD=ED（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

</

（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在AABC中，AB=6,AC=4,則邊上的中線AD長度的取值范圍

是.

（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，AB//CD,點E是3c的中點,若是44￡＞的平分線,

試猜想線段4?、AD.0c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如圖③，已知AB//CF,點E是3c的中點，點。在線段發(fā)1上，ZEDF=ZBAE,若AB=5,

CF=2,直接寫出線段DF的長.

A

圖①圖②圖③

題型二：平行線+線段中點構(gòu)造全等模型(共6題)

1.(2024春?平房區(qū)期末)如圖，己知AB//CF,點E是3c的中點，點。在線段?1E上，ZEDF=ZBAE,

若AB=5,CF=2,則線段DF的長為.

2.(2023秋?東莞市校級期末)AABC中，尸是3C邊上的一點，過P作直線交至于Af,交AC的延長線

于N,且.PM=PN,MF//AN,

(1)求證：APMF=APNC;

(2)若AB=AC,求證：BM=CN.

3.(2023春?浦東新區(qū)校級期末)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,E是筋的中點，連接上并延長

交C3的延長線于點P,點G在邊3c上，且4=N2.

(1)求證：MDE^ABFE；

(2)連接EG,試說明EG與OF垂直的理由.

4.(2024秋?豐臺區(qū)校級月考)如圖，A,B,C二點共線，D,C,E二點共線，ZA^ZDBC,EFA.AC

于點F,AE=BD.

(1)求證：C是DE的中點；

(2)求證：AB=2CF.

5.(2023秋?岳陽樓區(qū)校級期末)如圖，等腰RtAACB中，ZACB=90°,AC=BC,E點為射線CB上一動

點，連接AE,作且=

(1)如圖1,過尸點作FG_LAC交AC于G點，求證：AAGF=AECA；

(2)如圖2,連接■交AC于。點，若一=3,求證：E點為中點；

CD

(3)如圖3,當(dāng)E點在CB的延長線上時，連接班'與AC的延長線交于。點，若些=但(其中〃為正

BEn

數(shù))，則任=.(用含〃的代數(shù)式表示)

CD

F

6.（2024春?錦州期末）【問題提出】

期末復(fù)習(xí)課上，數(shù)學(xué)丁老師出示了下面一個問題：如圖1,在AABC中，。是54延長線的點，E是AC邊

上一點，且滿足/汨=3。，ZDEA=ZACB,那么A是瓦）的中點，請你說明理由.

【思路探究】

小王同學(xué)從條件出發(fā)分析解題思路：以DE為腰構(gòu)造等腰ACER和平行八字型全等三角形，如圖2,以點。

為圓心，以DE長為半徑畫弧，交C4的延長線于點尸，先應(yīng)用等腰三角形的軸對稱性，再應(yīng)用三角形全等

“A4s”（或“ASA”）的判定方法即可得=AD,小張同學(xué)從結(jié)論出發(fā)分析解題思路：以至為腰構(gòu)造

等腰AAB廠，將說明A￡>=Afi的問題轉(zhuǎn)化為說明AD=班'的問題，如圖3,以點3為圓心，以AB長為半徑

畫弧，交AC于點尸，于是可得N3E4=NS4產(chǎn)，再應(yīng)用三角形全等“AAS”（或“ASA”）的判定方法即

可得=B尸=AD.

圖1圖4

（1）請你選擇小張同學(xué)或小王同學(xué)的思路或按自己的思路寫出完整的解題過程;

【學(xué)以致用】

（2）請你在理解了小張同學(xué)或小王同學(xué)解題思路的基礎(chǔ)上，解答下面一道圖形較為復(fù)雜的同類問題：如圖

4,在四邊形ABCD中，AB=AC=CD,ZACD=90°,過點3作線段BE_LAB,且=連接DE,

交BC的延長于點b，猜想DF與防的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

題型三：角平分線+垂直構(gòu)造全等模型（共10題）

1.（2023秋?睢陽區(qū)期末）如圖，AABC的面積為9cBP平分ZABC,APLBP于P,連接尸C,則AP3C

的面積為（）

A.3cm2B.4cm2C.4.5cm2D.5cm2

2.（2024春?泰山區(qū)期末）如圖，P,。分別是3C,AC上的點，過點P作m_L45于點R,作尸S_LAC

于點S,若4。=尸。，PR=PS,則下面三個結(jié)論：①AS=AR；②QP//AR；?ABRP=ACSP,正確的

是（）

A.①③B.②③C.①②D.①②③

3.（2023秋?巴中期末）如圖，。為ABAC的外角平分線上一點并且DG垂直平分3c交3c于點G,過。

作DE_LAC于E,交84的延長線于P,則下列結(jié)論：①）ACDE合NBDF；?AC-AF^BF-,③

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.（2023秋?蒼梧縣期末）如圖，A4BC的面積為4cBP平分且"_L3尸于P,則AP3C的面

積為arr.

5.（2023秋?金山區(qū)期末）如圖，NABC和NACD的平分線交于點E,過E作EG_L54交的延長線于點

G,EF_LAC交AC于點尸.

（1）求證：EG=EF；

（2）聯(lián)結(jié)AE,求證：ZAEG=ZAEF.

G

6.（2023秋?鹿寨縣期末）已知：如圖，在AABC中，ZB=60°,D、E分別為AB、3C上的點，且AE、

CD交于點若AE、CD為AABC的角平分線.

（1）求NAFC的度數(shù)；

(2)若4)=6,CE=4,求AC的長.

5

7.(2023秋?潢川縣期末)如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=4,CD平分NACB,交

邊AB于點。，點E是邊AB的中點.點P為邊CB上的一個動點.

(1)AE=,ZACD=度；

(2)當(dāng)四邊形ACPD為軸對稱圖形時，求CP的長；

(3)若ACPD是等腰三角形，求NCPD的度數(shù)；

(4)若點Af在線段8上，連接MP、ME,直接寫出MP+用石的值最小時CP的長度.

8.(2023秋?奉化區(qū)期末)如圖，在AABC中，ZC>ZB,AD平分Na4C,點E是3C的中點，過點E作

團，AD交AD延長線于點

(1)求證：NC—NB=2NDEH.

(2)若45=加，AC=n,ZACB-ZDEH=60°,求EH的長(用機、”的代數(shù)式表示).

A

9.（2022秋?長沙期末）如圖，AD為AABC的角平分線.

(1)如圖1,若CE_LAD于點P,交至于點E,AB=8,AC=5.則5E=

(2)如圖2,若NC=2NB,點E在他上，S.AE^AC,AB^a,AC^b,求CD的長；（用含a、6的

式子表示）

(3)如圖3,BG1AD,點G在AD的延長線上，連接CG,若AACG的面積是7,求AABC的面積.

10.（2021秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在等腰直角A4BC中，44C=9O。，點加為3c邊上的中點.

（1）如圖1,若點。、點E分別為線段AC、43上的點，且DC=E4,連接MD、ME,求證：MELMD-,

（2）如圖2,若點。為線段AC上的點，點E為線段AB延長線上的點，且OC=￡B,ZAED=3O°,連接

ED,交于點N,￡F是NAED的角平分線，交AM于點F,連接⑷V、FD,探究線段4V、FD、AC

之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

E

題型四：三垂直（K字）、一線三等角模型（共6題）

1.（2023秋?永定區(qū)期末）在△ABC中，ZACB=9Q°,AC=3C,過點C作直線MN,于點A/,

BNIMNT點、N.

(1)若MN在△ABC外(如圖1),求證：MN=AM+BN-,

(2)若跖V與線段互相交(如圖2),>AM=2.6,BN=1.1,則MN=

圖1圖2

2.（2023秋?梅里斯區(qū)期末）在AABC中，ZACB^9O°,AC=3C,直線MN經(jīng)過點C,且AD_LMN于。,

BELMN于E.

（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，

求證：①AADCMACEB；

?DE=AD+BE-,

（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立,

說明理由.

3.（2024春?康平縣期末）（1）猜想：如圖1,已知：在AABC中，N54C=9O。，AB=AC,直線m經(jīng)過點

A,3D，直線〃7,CEL直線力,垂足分別為點。、E.試猜想DE、BD、CB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直

接寫出;

（2）探究：如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2,將（1）中的條件改為：在AABC中，

AB=AC,D,A、E三點都在直線〃7上，ZBDA=ZAEC=ZBAC=a（其中c為任意銳角或鈍角）

如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）解決問題：如圖3,尸是角平分線上的一點,且和AACF均為等邊三角形，D、E分別是直線

m上A點左右兩側(cè)的動點,D、E、A互不重合，在運動過程中線段DE的長度始終為〃，連接3D、CE,

若ZBDA=ZAEC=ZBAC,試判斷AD所的形狀，并說明理由.

圖3

4.（2023秋?武威期末）在直線機上依次取互不重合的三個點。，A,E,在直線機上方有AB=AC,且

^^.ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

（1）如圖1,當(dāng)&=90。時，猜想線段DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)0<?<180時，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說

明理由；

(3)拓展與應(yīng)用：如圖3,當(dāng)#=120。時，點/為454C平分線上的一點，且=分別連接fB,FD,

FE,FC,試判斷ADE尸的形狀，并說明理由.

5.(2023秋?臺江區(qū)期末)閱讀理解，自主探究：

“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為90。，于是有三組邊相互垂直.所

以稱為“一線三垂直模型”.當(dāng)模型中有一組對應(yīng)邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形.

(1)問題解決：如圖1,在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,過點C作直線DE,ADYDE

于。，于E,求證：△ADC-CEB；

(2)問題探究：如圖2,在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,過點C作直線CE,AD_LCE于

D,比_LCE于E,AD=2.5cm,DE=\1cm,求班的長；

(3)拓展延伸：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，A(-l,0),C(l,3),△ABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,

AC^BC,求3點坐標(biāo).

6.(2023秋?金鄉(xiāng)縣期末)如圖所示，在RtAABC中，NC=90。，點。是線段C4延長線上一點，且.點

尸是線段他上一點，連接上，以DF為斜邊作等腰RtADFE.連接E4,且E4_LAB.

(1)若ZAEF=20。，ZADE=50°,則ZABC=°；

(2)過。點作DG_LAE,垂足為G.

①填空：ADEG=A；

②求證：AE=AF+BC；

（3）如圖2,若點尸是線段54延長線上一點，其他條件不變，請寫出線段招，AF,3c之間的數(shù)量關(guān)

系，并簡要說明理由.

題型五：手拉手模型（共9題）

1.（2023秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，已知：AC=BC,DC=EC,ZACB=ZECD=90°,ZEBD=38°,現(xiàn)有

下列結(jié)論：?ABDC=AAEC；②N4￡B=128。；@BD=AE；?AE±BD.其中不正確的有（）

C.2個D.3個

2.（2023秋?華亭市校級期末）（1）如圖（1）,AACB和ADCE均為等腰三角形，且NACB=NDCE=90。，

點A、D、E在同一直線上，連接班.則44￡5的度數(shù)為一度，線段相>與龐:的數(shù)量關(guān)系為—（用

幾何語言填寫）.

（2）如圖（2）,AACB和ADCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接3E.若NC4￡>=30。,

求互與班的位置關(guān)系.

(1)

3.（2023秋?道外區(qū)期末）AABC中，ZCAB=ZCBA,分別以AC、為邊作等邊AACE、等邊ABCD,

BD、AE交于點尸，連接CF并延長交AB于點G.

（1）如圖1,求證：點G是鉆的中點；

（2）如圖2,連接小，在不添加字母和輔助線的情況下，直接寫出圖中所有能用圖中字母表示的等腰三角

形（非等邊三角形）.

4.（2023秋?斗門區(qū)期末）通過完全平方公式的靈活運用，可以解決很多數(shù)學(xué)問題.

例如：若a+b=3,ab=l,求4+6?的值.

解：a+b=3,ab=1,

;.（。+b）2=9,2ab=2.

a?+。~+2ab-9.

:.a2+b2=7.

根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問題：

(1)若a+b=3,ab-1,貝!|(a-6)2=；

(2)已知AABC,分別以鉆、AC為直角邊向AA5C兩側(cè)作等腰直角AABE和等腰直角AACD,其中

ZBAE=ZCAD=90°.

①如圖1,若NS4c=90。，AABC的面積為12,AA5E和AACD的面積之和為26,求線段CE的長；

②如圖2,若DC與BC在同一直線上，連接CE,延長ZM與CE交于點尸，連接砥并延長3尸與邊AE交

于點G,且AF=AG,若AABE和AACD的面積之和為20,AABG的面積為6,求線段EG的長.

〃+2b——2

5.(2023秋?霸州市期末)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0,a)、8(6,0)且a、6滿足

a-2b=6

(1)求證：ZOAB=ZOBA；

(2)若BC_LAC,求44CO的度數(shù)；

(3)如圖2,若。是AO的中點，DEHBO,尸在線段43的延長線上，NEOF=45°,連接EF,試探究

和EF的關(guān)系.

6.（2023秋?紅橋區(qū)期末）在A4BC和AAEF中，AB=AC,AE^AF,ZBAC=ZEAF,連接BE,CF.

【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，若ZBAC=3O°,延長助交CF于點D,則助與CF的數(shù)量關(guān)系

是,N3DC的度數(shù)為.

【類比探究】如圖②，若N54C=120。，延長BE,R?相交于點￡）,請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及NBDC

的度數(shù)，并說明理由.

【拓展延伸】如圖③，若NS4c=90。，且點5,E,尸在同一條直線上，過點A作垂足為點

M,請猜想加CF,AM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

7.（2023秋?渝中區(qū)期末）已知，RtAABC中，ZACB=90°,N&4c=30。，點。為AC邊上一動點，以BD

為邊在BD的右側(cè)作等邊ABDE.

(1)如圖1,若AC=6,80平分NABC,求3E的長；

(2)如圖2,點尸是他的中點，CF的延長線交DE于點G,求證：DG=EG；

(3)若。為直線AC上一動點，在(2)的條件下，連接？1E,當(dāng)ADCG為等腰三角形時，直接寫出/心

的度數(shù).

8.(2023秋?丹江口市期末)如圖①,平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(a,0),B(0,b),且。，b滿足

Ja+6=126—-36.

(1)填空：a=,b=,ABAO—

(2)如圖②，C(M,0)是x軸正半軸上的一個動點，連接3C,將BC繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)90。至3D,問點。

是否在某條直線上運動？若是，請求出這條直線；若不是，請說明理由;

(3)如圖③，當(dāng)點C與點A關(guān)于y軸對稱時，在直線至上的一點E滿足EC=￡O,請判斷線段￡B與CB

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖①圖②圖③

9.(2023秋?鼓樓區(qū)校級期末)已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0),Bg,0)為x軸上兩點，且。，。滿足：

/+6。+9+(°+6)2=0,點C(0,石)，NC4B=3O。，D為線段AB上一動點.

(1)則a=，b=;

(2)如圖1,若點。在AC的垂直平分線上，作NBDE=120。，交BC的延長線于點E,連接AE,求證:

AE_Lx軸；

(3)如圖2,作點。關(guān)于AC的對稱點連接取3枚中點N.連接&V,CD,判斷&V與CD的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2

題型六：夾半角與截長補短（共8題）

方法:鄰邊相等的四邊形中一個角夾它的半角，往往通過截長補短證明一次旋轉(zhuǎn)型全等，再證明一次對稱型

全等

1.（2021春?阜南縣期末）如圖，已知正方形ABCD中，點A/、N分別在邊BC、CD上，NM4N=45。.

（1）求證：MN=BM+DN

（2）當(dāng)AB=6,血W=5時，求ACMN的面積.

2.（2021春?深水區(qū)期末）同學(xué)們：八年級下冊第9章我們學(xué)習(xí)了一種新的圖形變換旋轉(zhuǎn)，圖形旋轉(zhuǎn)過程中

蘊含著眾多數(shù)學(xué)規(guī)律，以圖形旋轉(zhuǎn)為依托構(gòu)建的解題方法是解決各類幾何問題的常用方法.

【問題提出】

如圖①，在正方形ABCD中，NM4N=45。，點M、N分別在邊BC、CD上.求證：MN^BM+DN.

證明思路如下：

第一步：如圖②，將AADN繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到ZVWE,再證明E、B、M三點在一條直線

上.

第二步：證明AAEM三

—

BMCEBMC

圖①圖②

請你按照證明思路寫出完整的證明過程.

【初步思考】

如圖③，四邊形ABCD和CEFG為正方形，連接DG、BE,得至ljADCG和NBCE.

下列關(guān)于這兩個三角形的結(jié)論：①周長相等；②面積相等;?ZCBE=ZCDG.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

5k-------------\\BC

c\\\

Ej-------------

-V

圖③圖④

【深入研究】

如圖④，分別以口ABCD的四條邊為邊向外作正方形,連接石F,GH,IJ,KL.若口ABCD的面積為8,

則圖中陰影部分（四個三角形）的面積之和為.

3.(2023秋?湖北期末)【初步思考】

(1)如圖1.在四邊形ABCD中，AB=AD,NB=NO=90。，E,F分別是邊3C,CD上的點，且

ZBAD=2ZEAF.求證：EF=BE+FD.

小陽發(fā)現(xiàn)此題是證明線段的和(差)問題，根據(jù)證明此類題型的常見方法，于是就有了如下的思考過程：請

你在下面的框圖中填空幫他補全證明思路.

第一步：延長CB至點H,使BH=DF,連接易證三AADF,得出①=AF,

ZBAH=ZDAF-

第二步：ZBAD^ZBAE+ZEAF+ZDAF,ZBAD=2ZEAF,得出=,所以②

=ZEAF.

第三步：易證AE4HMAE4F,得出③=EF,于是BE+④=EF,即EF=BE+Fn

【問題解決】

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=18O°,E、F分別是邊3C,CD上的點，且

ABAD=2ZEAF,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

【拓展延伸】

(3)如圖3,四邊形ABCD是邊長為7的正方形，Z￡BF=45°,求ADEF的周長.

AAAED

4.(2021秋?黃陵縣期末)【問題提出】

(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分別是邊5。、CD上的點，且

ZEAF=-ZBAD.求證：EF=BE+FD；

2

【問題探究】

(2)如圖②，在四邊形A6CD中，AB=AD,4+NAZ)C=180。，E、尸分別是邊5。、CD延長線上的

點，S.ZEAF=-ZBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間

2

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖①圖②

5.(2024春?福田區(qū)校級期末)在等邊AABC的兩邊的、AC所在直線上分別有兩點M、N,。為AABC

外一點，且ZMDN=60。，ZBDC=120°,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線9、AC上移動時，BM、

NC、"N之間的數(shù)量關(guān)系及AAAW的周長。與等邊AABC的周長L的關(guān)系.

(1)如圖1,當(dāng)點〃、N在邊AB、AC上，且AM=ZW時，BM、NC、之間的數(shù)量關(guān)系

是；此時2=；

L

(2)如圖2,點M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DMwDN時，猜想(/)問的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立請

直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由.

(3)如圖3,當(dāng)/、N分別在邊AB、C4的延長線上時，探索BM、NC、之間的數(shù)量關(guān)系如何？并

給出證明.

6.（2020秋?德清縣期末）（1）【問題背景】如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,

440=120。，E,P分別是3C,CD上的點，NEAF=60。，求證：BE+FD=EF.

小亮同學(xué)認為延長FD到點G,使OG=BE,連結(jié)AG,先證明AABE三AADG,再證明AAEF三AAGF,即

可得證，并寫出了以下的思維框圖：

請問：小亮同學(xué)②處用到的判定依據(jù)是.

A.SSS

B.ASA

C.SAS

D.AAS

（2）【探索延伸】如圖2,在四邊形A5CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,P分別是BC,CD上的

點，ZEAF=-ZBAD,上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

2

(3)【結(jié)論運用】在平面直角坐標(biāo)系中，正方形Q4BC如圖3放置，。是坐標(biāo)原點，點A、點C分別在y

軸和x軸上，E,尸分別是OC,上的點，ZEAF=45°,若點尸的坐標(biāo)為0,3),EF=5,試求出點E

的坐標(biāo)(可直接運用背景結(jié)論).

7.(2024春?樂平市期末)(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ND=90。，E,R分別是邊

BC,CD上的點，且=請直接寫出線段所，BE,RD之間的數(shù)量關(guān)系：