人教版八年級數(shù)學常見題型專練：三角形的高、中線、角平分線與穩(wěn)定性（6種題型）（解析版）

第02講三角形的高、中線、角平分線與穩(wěn)定性（6

種題型）

O【知識梳理】

一、三角形的三條重要線段

三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角

的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不

同的角度弄清這三條線段，列表如下:

線段

三角形的高三角形的中線三角形的角平分線

名稱

三角形一個內(nèi)角的平分線

從三角形的一個頂點向它的三角形中，連接一個頂

文字與它的對邊相交，這個角

對邊所在的直線作垂線，頂點和它對邊中點的線

語言的頂點與交點之間的線

點和垂足之間的線段.段.

段.

AAA

圖形\cB2c

語言2

DDD

作圖過點A作ADJ_BC于點D.取BC邊的中點D,連接作NBAC的平分線AD,交

語言AD.BC于點D.

AAA

標本Lc

圖形\C

DDD

1.AD是z^ABC的高.1.AD是△ABC的中線.

1.AD是4ABC的角平分

2.AD是4ABC中BC邊上的2.AD>AABC中BC邊

線.

|R1.上的中線.

符號2.AD平分/BAC,交BC于

3.ADXBC于點D.1

語言3.BD=DC=-BC點D.

4.ZADC=90°,ZADB=2

1

90°.4.點D是BC邊的中點.3.N1=N2=-/BAC.

2

(或NADC=NADB=90°)

推理因為AD是4ABC的高，所因為AD是4ABC的中因為AD平分/BAC,所以

語言以ADXBC.

(或NADB=/ADC=90°)線，所以BD=DC=L1

Z1=Z2=-ZBAC.

22

BC.

用途1.線段垂直.1.線段相等.

角度相等.

舉例2.角度相等.2.面積相等.

注意1.與邊的垂線不同.

——與角的平分線不同.

事項2.不一定在三角形內(nèi).

三角形的三條高（或它們的一個三角形有三條中一個三角形有三條角平分

重要

延長線）交于一點.線，它們交于三角形內(nèi)線，它們交于三角形內(nèi)一

特征

一點.點.

二、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)

定性.

要點詮釋：

（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變.

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用.例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構，它

就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條（或兩條）木板，構成一個三角形，就可以使柵欄門不

變形.大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構，也是這個道理.

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的

各個角的大小可以改變.四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應用，如活動掛架，伸縮尺.有時我們

又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變

形.

i【考點剖析】

題型一、三角形的高

例1.如圖，△ABC中AB邊上的高是（）

A.線段ADB.線段ACC.線段CDD.線段BC

【分析】根據(jù)三角形高線的定義進行判斷.

【解答】解：△ABC中AB邊上的高是線段CD.

故選：c.

【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，正確理解三角形的角平分線、中線和高

的定義是解決問題關鍵.

【變式1】小華在電話中問小明：“己知一個三角形三邊長分別為4,9,12,如何求這個三

角形的面積？”小明提示：”可通過作最長邊上的高來求解.”小華根據(jù)小明的提示作出的圖

形正確的是（）.

【答案】C

【解析】三角形的高就是從三角形的頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線

段.解答本題首先應找到最長邊，再找到最長邊所對的頂點.然后過這個頂點作最長邊的垂

線即得到三角形的高.

【總結(jié)升華】銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都有三條高，并且三條高所在的直線交

于一點.這里一定要注意鈍角三角形的高中有兩條高在三角形的外部.

【變式2】如圖，過回ABC的頂點A,作BC邊上的高，以下作法正確的是（）

【答案】A.

例2.如圖，在△ABC中，AC=8,BC=4,高8。=3,試作出BC邊上的高AE,并求4E的

【分析】利用等積法求得AE的長度即可.

【解答】解：如圖，過點A作BC邊上的高線AE,交CB延長線于點E.

22

BD,AC:—81）8c=4,IWJBD--3,

...JLX4AE=2X8X3,

22

貝I]AE=6.

D

E，…首c

【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，熟記三角形的面積公式即可解題，屬于

基礎題.

例3.如圖，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點0.

(1)在△BOC中，0B邊上的高是CE,0c邊上的高是BF,8c邊上的高是0D.

(2)在△AOC中，0A邊上的高是CD,0C邊上的高是AF,AC邊上的高是0E.

(3)在△AOB中，。4邊上的高是BD,。8邊上的高是IE,AB邊上的高是OF.

【分析】從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，根據(jù)

三角形高的定義判斷.

【解答】解：(1)由圖可得，在△BOC中，0B邊上的高是CE,0C邊上的高是BF,BC邊上

的高是。0.(2)由圖可得，在△AOC中，0A邊上的高是CD,0C邊上的高是AF,AC邊上

的高是0E.

(3)由圖可得，在△AOB中，0A邊上的高是8。，邊上的高是AE,AB邊上的高是OF.

故答案為：CE,BF,OD；CD,AF,OE；BD,AE,OF.

【點評】本題主要考查了三角形高線的定義，解決問題的關鍵是掌握：鈍角三角形有兩條高

在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點.

題型二、三角形的中線

例4.BD是△ABC的中線，AB=5,BC=3,ZsABD和△BCD的周長的差是

【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得AD=CD,再求出△AB。和△88的周長的差=AB-

BC.

【解答】解：是△ABC的中線,

：.AD=CD,

.'.△ABD和△BCD的周長的差=QAB+BD+AD)-(BC+BD+CD)=AB-8C,

"：AB=5,BC=3,

.,.△ABD和△BCD的周長的差=5-3=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高線，熟記概念并求出兩個三角形的周長的

差等于A8-BC是解題的關鍵.

【變式1］已知BD是△ABC的一條中線，ZViB。與△BC。的周長分別為21,12,貝UAB-8C

的長是9.

【分析】由于B0是△A8C的一條中線，由此可以得到/W=CD,而△八8。與△BC。的周長分

別為21,12,并且BD公共，利用三角形的周長公式即可求出AB-BC的長.

【解答】解：是△ABC的一條中線，

：.AD=CD,

而△ABD與△BCD的周長分別為21,12,并且8D公共,

：.AB-BC的長=21-12=9.

【點評】此題主要考查了三角形的中線的性質(zhì)，也考查了三角形的周長公式，比較簡單.

例5.如圖所示，CD為△ABC的AB邊上的中線，ZXBCD的周長比^ACD的周長大3cm,BC

=8cm,求邊AC的長.

A

，二c

【思路點撥】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，有下列數(shù)量關系：①AD=BD,②4BCD的周長比

△ACD的周長大3.

【答案與解析】

解：依題意：4BCD的周長比4ACD的周長大3cm,

故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3.

又：CD為△ABC的AB邊上的中線，

AD=BD,即BC-AC=3.

又：BC=8,AC=5.

答：AC的長為5cm.

【總結(jié)升華】運用三角形的中線的定義得到線段AD=BD是解答本題的關鍵，另外對圖形中

線段所在位置的觀察，找出它們之間的聯(lián)系，這種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解幾何題常用的方

法.

例6.在4ABC中，AB=AC,AC邊上的中線BD把4ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，

求三角形的各邊長.

【思路點撥】因為中線BD的端點D是AC邊的中點，所以AD=CD,造成兩部分不等的原因

是BC邊與AB、AC邊不等，故應分類討論.

【答案與解析】

解：如圖(1),設AB=x,AD=CD=-X.

2

(1)若AB+AD=12,即X+^X=12,所以x=8,

2

即AB=AC=8,貝CD=4.BC=15-4=11.

此時AB+AOBC,所以三邊長為8,8,11.

(2)如圖(2),若AB+AD=15,即x+』x=15,所以x=10

2

SPAB=AC=10,貝！|CD=5.故BC=12-5=7.

顯然此時三角形存在，所以三邊長為10,10,7.

綜上所述此三角形的三邊長分別為8,8,11或10,10,7

A

-A。

(1)(2)

【總結(jié)升華】BD把aABC的周長分為12cm和15cm兩部分,哪部分是12cm,哪部分是

15cm,問題中沒有父代，因此，必須進行分類討論.

題型三、三角形的三條重要線段

例7.已知△ABC,如圖，過點A畫△ABC的角平分線4)、中線AE和高線AF.

A

【分析】分別根據(jù)角平分線、三角形高線作法以及垂直平分線的作法得出答案即可.

BFDE

【解答】解：由題意畫圖可得：>

【點評】此題主要考查了復雜作圖中線段垂直平分線的作法以及角平分線作法等知識，熟練

掌握作圖方法是關鍵.

例8.在△4BC中，線段AP,AQ,AR分別是BC邊上的高線，中線和角平分線，則（）

A.APWAQB.AQWARC.AP>ARD.AP>AQ

【分析】根據(jù)垂線段最短即可判斷.

【解答】解：TAP是BC邊上的高線，

???根據(jù)垂線段最短可知：PA^AQ,

故選：A.

【點評】本題考查三角形的角平分線、高、中線，垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌

握基本知識，屬于中考?？碱}型.

【變式】如圖，在△ABC中，ZBZ?C=90°,AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD

于點G,交BE于點兒下面說法正確的是（）

①△ABE的面積=4BCE的面積；

②/AFG=/AGF；

③/EAG=2NACF；

@AF=FB.

A.①②③④B.①②④C.①②③D.③④

【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可證明①；根據(jù)三角形的高線可得/ABC=NCAD,利用三

角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解/AFC=NAGF,可判定②；根據(jù)角平分線的定

義可求解③；根據(jù)已知條件無法判定④.

【解答】解：是△A8C的中線，

：.AE=CE,

.,.△ABE的面積等于△8CE的面積，故①正確；

是△ABC的高線，

ZADC=90°，

：.ZABC+ZBAD^90°,

VZS>4C=90o,

：.ZBAD+ZCAD^90°,

：.ZABC=ZCAD,

：CF為△ABC的角平分線，

/.ZACF=ZBCF=—ZACB,

2

,/ZAFC=ZABC+ZBCF,ZAGF=ZACF+ZCAD,

：./AFC=ZAGF=ZAFG,

故②正確；

"：ZBAD+ZCAD=ZACB+ZCAD=90°,

：.ZBAD=ZACD,

:"BAD=2/ACF,

即/fi4G=2NACF,故③正確；

根據(jù)已知條件無法證明AF=FB,故④錯誤，

故選：C.

【點評】本題主要考查三角形的中線，高線，角平分線，靈活運用三角形的中線，高線，角

平分線的性質(zhì)是解題的關鍵.

題型四：三角形面積

例9.若△ABC中，/ACB是鈍角，A。是BC邊上的高，若AD=2,BD=3,CD=1,則△ABC

的面積等于2.

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，求出BC,再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可.

【解答】解：如圖.

"：BD=3,CD=L

：.BC=BD-CD=2,

又「AD是8C邊上的高，AD=2,

.?.△ABC的面積=LBC?AD=2X2X2=2.

22

故答案為2.

【點評】本題考查了三角形的面積，三角形的高的定義，掌握鈍角三角形的高的畫法進而畫

出圖形是解題的關鍵.

【變式1】如圖所示，在△ABC中，D、E分別為BC、AD的中點，且%謝=4,貝US陰影為

【變式2】如圖，AD為I3ABC的中線，BE為I3ABD的中線.

(1)猜想：回ABD與回ADC的面積有何關系？并簡要說明理由;

(2)在EIBED中作BD邊上的高;

則EIBDE中BD邊上的高為多少？

【答案】

解：(1)EIABD與EIADC的面積相等，理由如下:

作AFI3BC,如圖1：

因為BD=DC,AF=AF,

所以EIABD與I3ADC的面積相等;

(2)作圖，如圖2：

BC

圖2

（3）因為13ABe的面積為40,BD=5,

所以回ABD的面積為20,

因為BE為回ABD的中線，

所以EIBDE的面積為10,

所以aBDE中BD邊上的高為4.

題型五：重心

例10.（2022秋?湖北恩施?八年級?？茧A段練習）IBC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,

點A,B,C,P均在格點上，則點尸是AABC的（）

A.三條內(nèi)角角平分線的交點B.三條中線的交點

C.三條高的交點D.無法確定

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的重心的概念進行判斷即可.

【詳解】如圖，點E、尸分別是3C、AC的中點，

0AE、取是AABC的中線，

團點P是AABC三條中線的交點.

故選B.

【點睛】本題考查了三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三邊中線的交點.

【變式】（2022秋?八年級單元測試）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點

AB、aD、E、F、G在小正方形的頂點上，則AABC的重心是點.（從

D、E、F、G中選擇）

【分析】如圖，得出AM,CN為a48c的中線，AM,CN交于點。，根據(jù)重心的定義即可

求解.

【詳解】如圖所示，根據(jù)圖形可知AN=8N,BM=CM,

回。點為AABC的重心.

故答案為：D.

【點睛】本題主要考查的是三角形重心的定義，找到三角形的中線是解題的關鍵.

題型六、三角形的穩(wěn)定性

例11.如圖所示，木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木

板條（即AB、CD）,這樣做的數(shù)學道理是什么？

【答案與解析】解：三角形的穩(wěn)定性.

【總結(jié)升華】本題是三角形的穩(wěn)定性在生活中的具體應用.實際生活中，將多邊形轉(zhuǎn)化為三

角形都是為了利用三角形的穩(wěn)定性.

【變式1】如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構成的幾個連續(xù)的菱形（四

條邊都相等），每一個頂點處都有一個掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能

收縮的原因和固定方法嗎？

A________B

【答案與解析】解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性，可以根據(jù)需要改變掛鉤間

的距離。它的固定方法是：任選兩個不在同一木條上的頂點固定就行了。

【總結(jié)升華】要使物體具有穩(wěn)定性，應做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等.

【變式2】如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條.那么要使五邊形木

架不變形，至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變

形.又至少要釘多少根木條？

四邊形木架五邊形木架七邊形木架〃邊形木架

【答案】要使五邊形木架不變形，至少要釘2根木條；使七邊形木架不變形，至少要釘4根

木條；使n邊形木架不變形，至少要釘（n-3）根木條.

8【過關檢測】

一、單選題

1.（2023秋?八年級課時練習）下列說法中錯誤的是（）

A.三角形的高、中線、角平分線都是線段B.三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部

C.銳角三角形的三條中線一定交于同一點D.三角形的三條高交于同一點

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的高線、中線、角平分線即可解答.

【詳解】解：A、三角形的高、中線、角平分線都是線段，此說法正確，故A項不符合題

思；

B、三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部，此說法正確，故B不符合題意；

C、銳角三角形的三條中線一定交于同一點，此說法正確，故C不符合題意；

D、三角形的三條高線所在的直線交于一點，故D符合題意.

故選D.

【點睛】本題考查了三角形的高線、中線、角平分線的概念，理解三角形的高線、中線、

角平分線的概念是解題的關鍵.

2.（2023秋?廣東汕頭?八年級統(tǒng)考期末）如圖，若CO是"IBC的中線，AB=20,則9=

（）

A.12B.10C.16D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的中線的定義，即可求解.

【詳解】解：團C。是AABC的中線，AB=20）,

0BD=-AB=10,

2

故選B.

【點睛】本題主要考查三角形中線的定義，掌握三角形的頂點與對邊中點的之間的線段叫

做三角形的中線，是解題的關鍵.

3.（2023秋,河北保定,八年級統(tǒng)考期末）如圖，CD,CE,CF分別是“LBC的高、角平

分線、中線，則下列各式中錯誤的是（）

A.AB=2BFB.ZACE^-ZACBC.AE=BED.CDLBE

2

【答案】C

【分析】從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的

高.三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點

間的線段叫做三角形的角平分線.三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的

中線.依此即可求解.

【詳解】解：0CD,CE,CF分別是AABC的高、角平分線、中線，

0CD0AB,0AC￡=1EL4CB,AB=2BF,無法確定AE=BE.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握它們的定義和性質(zhì)是解題的

關鍵.

4.（2023春?廣東東莞?八年級校聯(lián)考期中）三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相

等的兩部分的是（）

A.三角形的中線B.三角形的角平分線C.三角形的高D.以上答案均正確

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個等底同高的三角形，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：回三角形的中線把三角形分成兩個等底同高的三角形，

回三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分，

故選A.

【點睛】本題主要考查了三角形的面積，熟知"三角形的中線把三角形分成兩個等底同高的

三角形”是解題的關鍵.

5.（2023秋?遼寧葫蘆島?八年級統(tǒng)考期末）下列四個圖形中，線段仍是AABC的高的是

（）

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形高線定義：過三角形一個頂點作對邊垂線得到的垂線段叫高，直接判

定即可得到答案；

【詳解】解：由三角形高線定義可得，

A選項中BE不是AABC的高，不符合題意；

B選項中8E不是AABC的高，不符合題意；

C選項中BE不是AABC的高，不符合題意；

D選項中BE是AABC的高，符合題意；

故本題選：D；

【點睛】本題考查高線定義：過三角形一個頂點作對邊垂線得到的垂線段叫三角形的高.

6.（2022秋?內(nèi)蒙古通遼?八年級?？计谥校┤切稳龡l（）的交點叫做三角形的重心

A.高B.角平分線C.外角角平分線D.中線

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，即可得到答案.

【詳解】解：由三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的重心，熟練掌握三角形的重心是指三角形三條中線的交點是

解題的關鍵.

7.（2023秋?浙江湖州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AO是的中線，E是AD的中點，連

結(jié)BE,CE.若AABC的面積是8,則圖中陰影部分的面積為（）

A.4B.5C.5.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)AD是AABC的中線得S4AB口=S^ACD=1S^ABC，根據(jù)E是AD的中點得

S-ABE=S?BDE=]S-ABD，S、EDC=S-CAE=]S?ACD,然后根據(jù)S陰影=+S?ACE求解即可.

【詳解】EIAD是AABC的中線，

回=^AACD二萬^AABC，

團E是AD的中點，

團S^ABE=S^BDE=萬^^ABD，AEDC=^CAE=萬hACD，

冏q--vq-J-v

u

Q&BDE—彳.4AABC，

團S陰影=SABDE+S^ACE=—ShABC+—SAABC=—=/x8=4,

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解答本題的關

鍵.三角形的中線把三角形分成面積相同的兩部分.

二、填空題

8.（2023秋?湖南株洲?八年級?？计谀┤鐖D，是△ABC的中線，已知△ABD的周長

為16cm,ABtLAC-K：3cm,則△ACO的周長為

A

【答案】13cm

【分析】由A￡＞是AABC的中線得到班＞=叱，由的周長為16cm得

AB+AD+DC=16cm,再由A3比AC長3cm得到AC+AD+OC=13cm,等量代換后即可

得到答案.

【詳解】解：EIAZ）是AABC的中線，

^BD=DC,

回△ABD的周長為16cm,

團AB+AD+皮＞=16cm,

0AB+AD+DC=16cm,

團A3比AC長3cm,

團AB=AC+3cm,

0AC+3cm+AD+DC=16cm,

0AC+AZD+DC=13cm,

回△ACD的周長=AC+AZ）+DC=13cm,

故答案為：13cm

【點睛】此題考查了三角形中線的定義和三角形的周長，熟練掌握三角形的中線平分邊長

是解題的關鍵.

9.（2023秋?八年級課時練習）如圖，A3是△ACE的邊上的高；在△AEC中，

8是上的高，CD還是△的高；EF是4的邊上

【答案】EC/CEAE/EAADC^ECDEFCEC/CE

【分析】根據(jù)三角形高的定義進行求解即可.

【詳解】解：CE,

團A3是/XACE的CE上的高；

0COXAE,

回8是△AEC的AE上的高，8是△ADC的AD上的高，CD是ADCE的￡>￡1上的高;

0EF1CE,

團E尸是&EFC的CE邊上的高，

故答案為：EC；AE；ADC或ECD；EFC■,EC.

【點睛】本題主要考查了三角形高的定義，熟知該定義是解題的關鍵：過三角形一個頂點

向?qū)呑鞔咕€，該垂線即為該三角形中此頂點對邊上的高.

10.（2023秋?八年級課時練習）如圖，AD,AE分別是AABC的高和中線，已知

AZ）=5cm,CE=6cm,則AABC的面積為.

【答案】30cm2

【分析】先根據(jù)中線的定義求出3c=2CE=12cm,再根據(jù)三角形面積公式求解即可.

【詳解】解：I3AE是AABC的中線，CE=6cm,

團BC=2CE=12cm,

團AD是AABC的IWJ，

19

回S△/1DV=—2ADIBC30cm~,

故答案為：30cm2.

【點睛】本題主要考查了求三角形面積，熟知三角形高和中線的定義是解題的關鍵.

11.（2023春?浙江?八年級專題練習）如圖，在AABC中，已知點。，E,尸分別為邊

BC,AD,CE的中點，且AABC面積等于8cm，則ABEF的面積等于cm2.

【答案】2

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答即可.

【詳解】解：回點尸是CE的中點，

SEF=-EC,

2

0ABEF中EP邊上的高與ABEC中EC邊上的高相等,

回S&BEF=萬S#EC'

同理，回后是AD的中點，

團S/\BDE=2SXCDE~萬^/\ACD，

團S4EBC=5^ABC9

回S&BEF~彳SqABC.

2

05AABC=8CHI,

0S“BEF=；x8=2cm2即陰影部分圖形的面積為2cm2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查利用中線的性質(zhì)求三角形的面積，解題的關鍵是掌握"三角形的中線把三

角形分成兩個面積相等的三角形

12.（2023秋?浙江臺州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，3。是AABC的中線，G是上的一點，

且8G=2GE>,連接AG,若AA5c的面積為6,則圖中陰影部分的面積是.

【分析】根據(jù)3。是AABC的中線，可得5%加=35"^=3，再由3G=2G。，可得

2

BG=-BD,即可求解.

【詳解】解：團3。是AABC的中線，AABC的面積為6,

回^AABD==3，

0BG=2GD,

0BG=-BD,

3

團S^ABG=§S.口—2,

即圖中陰影部分的面積是2.

故答案為：2

【點睛】本題考查三角形的面積問題.其中根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)進行解答是解決本題

的關鍵.

13.（2023秋?四川眉山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是的中線，已知△ABD的周長為

30cm,A3比AC長4cm,則AACD的周長為.

BDC

【答案】26c機/26厘米

【分析】根據(jù)中線的定義得BD=￡?C,再結(jié)合AB比AC長4cm可得與AACD周長之

差，由此得解.

【詳解】解：回AO是&4BC的中線，

^\BD=DC,

團△ABD的周長為30cm,

團AB+AD+BD=30cm,

AB+AD+DC=30cm,

EAB比AC長4cm,

0AB=AC+4cm,

0AC+4cm+AD+DC=30cm,

0AC+AD+DC=26cm,

0AACD的周長=AC+AT>+OC=26cm.

故答案為：26cm.

【點睛】本題考查三角形中線的定義.能根據(jù)題意得出周長之差即線段A3與AC之差是解

題關鍵.

14.（2023秋?湖南郴州?八年級校聯(lián)考期末）如圖，在AABC中,已知點E、尸分別為

BC、AD,CE的中點，若AABC的面積為4m2，則陰影部分的面積為cm2

【答案】1

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形進行計算即可.

【詳解】解：回點E是4￡＞的中點，

iSAABE—2s4ABD'SsACE—2SaADC'

112

S、ABE+S?ACE=]S4ABe=~x4=2cm~,

11,

x4

■■■\BCE=-S.ABC=-=2crrr,

團點尸是CE的中點，

112

■■■S-BEF=-S-BCE=5X2=1cm.

故答案為：1.

【點睛】本題考查求三角形的面積，熟練掌握三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的

三角形是解題的關鍵.

15.（2023春?江西萍鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在ME1ABC中，EIC=90。，AD平分回CAB,

CD=3,AB=12,則0A8D的面積為.

【分析】過點。作小工鉆于點E,先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD=3,再利用三

角形的面積公式即可得.

【詳解】解：如圖，過點。作JDESAB于點E,

-,?ZC=90°,

:.CD±AC,

又「AD平分/C4B,8=3,

/.DE=CD=3,

???AB=12,

的面積是工AB?DE='x12x3=18,

22

故答案為：18.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關鍵.

三、解答題

16.（2023秋?安徽宣城?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AABC的兩條中線A"、相交于點

O,已知AABC的面積為14,ABOAI的面積為3,求四邊形MCNO的面積.

【答案】4

【分析】根據(jù)"三角形的中線將三角形分為面積相等的兩個三角形"得到

SLABM=￡ABN=Js.c=7,然后結(jié)合圖形來求四邊形MCNO的面積.

【詳解】解：團”13C的兩條中線四、相交于點。，已知AABC的面積為14,

團S、ABM=S11ABN=5S^ABC=7.

又回的面積為3,

回S四邊形MCNO=SJBC—SAAKN—S器OM=14—7—3=4.

【點睛】本題考查了與三角形中線有關的面積問題.解答該題時，需要利用"數(shù)形結(jié)合"的

數(shù)學思想.

17.（2023秋,八年級課時練習）在銳角AABC中，AB=12,AC=1Q,BE、CD分別是

△ABC的邊AC、AB上的高，且BE=6,求CD的長.

【答案】CD=5

【分析】根據(jù)三角形的面積公式得：=即可解答.

【詳解】解：團銳角AABC中，AB=\2,AC=10,

^-ABCD=-ACBE,

22

團即12?CD=10x6,

團CD=5，

A

【點睛】本題考查了三角形的高線，三角形的面積，掌握三角形的高線是解題的關鍵.

18.(2023春?黑龍江綏化?八年級校考階段練習)如圖，已知仞,/歸分別是AABC的高和

中線，AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,ZCAB=90°,求：

A

(1)AASC的面積；

(2)AD的長；

⑶AACE和AME的周長的差.

【答案】⑴24cM

(2)AD的長度為4.8cm

⑶△ACE和△ME的周長的差是2cm

【分析】(1)根據(jù)可得答案；

(2)由!-AC=12C-AO再代入數(shù)值即可得到答案；

22

(3)利用三角形的中線的性質(zhì)列式進行計算即可.

【詳解】(1)如圖，EIAABC是直角三角形，AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,

0S--AB-AC-ix6x8=24(cm2').

△ADC22\/

(2)解：回N54c=90。,AD是邊BC上的高，

S-ABAC=-BCAD,

22

團AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,

團AZ)=4.8(cm),即AD的長度為4.8cm；

（3）EIAE為BC邊上的中線，

0BE=CE,

團/XACE的周長-AABE的周長

^AC+AE+CE-（AB+BE+AE）^AC-AB=8-6^2（cm）,

即△ACE和&ABE的周長的差是2cm.

【點睛】本題考查的是三角形的高，中線的含義，三角形面積的計算，掌握"三角形的高，

中線的含義”是解本題的關鍵.

19.（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱市虹橋初級中學校?？茧A段練習）如圖，網(wǎng)格中

的每個小正方形的邊長都是1,線段的交點稱作格點，請按下列要求作圖并填空

⑴畫出AABC中，AC邊上的高8E；

⑵畫出AABC中，BC邊上的高AD；

⑶直接寫出AABC的面積是.

【答案】（1）畫圖見解析；

（2）畫圖見解析；

⑶12

【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即可;

（2）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即