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文檔簡介

專題09分式方程中參數(shù)問題的四種考法

類型一、整數(shù)解問題求參數(shù)

例.若關(guān)于%的不等式組工+1%?有解且至多有5個整數(shù)解,且關(guān)于y的方程

------->-1

I24

+3=的解為整數(shù),則符合條件的整數(shù)機的個數(shù)為()

y-1L—y

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

x-m<—1

【分析】先解出不等式組的解集,然后根據(jù)不等式組x+1x?有解且至多有5個整數(shù)

------->-1

I24

解,即可求得加的取值范圍,再根據(jù)」7+3=?的解為整數(shù),即可寫出符合條件的加

y-11-y

的值.

x—m<—1

【詳解】解:解不等式組x+1x/導:-6<x<-l+m,

------->-1

I24

x—m<—1

回不等式組x+1x1至多有5個整數(shù)解,

------->-1

I24

-6<—1+771?—1,

解得—5<相40,

團整數(shù)機的值為

解方程一二+3==匕得:y=72_(機w_3),

y-11-y3+mv7

又y為整數(shù),

當m=T時,y=-2,符合題意,

當相=-2時,y=2,符合題意,

當加=-1時,y=i,不符合題意,

2

當機=0時,y=j,不符合題意,

符合條件的整數(shù)加的個數(shù)為2,

故選:C.

【點睛】本題考查了已知不等式組的解集求參數(shù),分式方程的解法,熟練掌握一元一次不等

式組的解集的確定方法是解題的關(guān)鍵.

3x<2(%+2)

【變式訓練T】.若關(guān)于%的不等式組L4x+lQ有且僅有3個整數(shù)解,且關(guān)于丁的分

2x--------->——

I312

式方程2-里二1=1的解是正數(shù),則符合條件的所有整數(shù)。的和為()

3-yy-3

A.6B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】表示出不等式組的解集,由不等式組有且只有3個整數(shù)解,確定出〃的范圍,分式

方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,表示出羽由x為整數(shù)確定出〃的值即可.

3x<2(x+2)

a+4

<x<4

【詳解】解:不等式組2x-金〉a解得:"I"

13-12

回不等式組恰有3個整數(shù)解,

a+4

回0<----<1,解得:-4<a<4

8

團整數(shù)a可以為-3,-2,-1,0,1,2,3,4

1客M形為客

去分母,得效-5+2+y-3=0,解得了=£且y為正數(shù)

a+1

團a+l>0,艮口a>—1

團"3

回---w3,解得aw1且aw—1

a+\

團符合條件的整數(shù)a為0,2,3,4

0+2+3+4=9

故選C

【點睛】此題考查了分式方程的解,以及一元一次不等式組的整數(shù)解,熟練掌握運算法則是

解本題的關(guān)鍵.

【變式訓練2]若整數(shù)a使關(guān)于尤的分式方程一1+三%=1的解為非負整數(shù),且使關(guān)于y

x-33-x

'y+5vy

的不等式組3~2至多有3個整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)。的和為()

y—3>2(y-a)

A.24B.12C.6D.4

【答案】B

【分析】先解一元一次不等式組,再根據(jù)不等式組至多有3個整數(shù)解,確定求出。的范圍;

再解分式方程,根據(jù)分式方程有非負整數(shù)解,確定。的值即可解答.

【詳解】解:解不等式審w]得:yzio,

解不等式丁-3>2(y-。)得:y<2a-3,

團10Wy<2〃-3

團不等式組至多有3個整數(shù)解,

026/-3<13,

回a<8.

ycEZ口。+4

1—xa—x—3,角牛1^:x=~

團分式方程有非負整數(shù)解,

0x>O(%為非負整數(shù))且無。3,

。+4、門|-。+4.

團---->0>1-------。3,

22

田々N-4的偶數(shù)且

團且aw2且〃為偶數(shù),

團符合條件的所有整數(shù)〃的值為:-4,-2,0,4,6,8.

團符合條件的所有整數(shù).〃的和是:12.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了解分式方程、一元一次不等式組的整數(shù)解等知識點,熟練掌握解一

元一次不等式組和解分式方程是解題的關(guān)鍵.

〃一(8元+13)<0

【變式訓練3】.若整數(shù)〃使關(guān)于%的不等式組?x+4有且僅有四個整數(shù)解,且使關(guān)

x+l<------

I2

于y的分式方程上7+1=胃曰有整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)a之和為______.

y-22—y

【答案】-2

【分析】根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個數(shù)確定a的取值范圍,再根據(jù)分式方程的整數(shù)解確定a

的取值范圍,從而求出符合條件的所有整數(shù)即可得結(jié)論.

a-(8%+13)<0(X)

【詳解】解:?%+46

x+l<------②

I2

解不等式①得:x>三上

解不等式②得:%<2

不等式組有且僅有四個整數(shù)解,

88

解得:—3<av5;

,分式方程T+1=竽2有整數(shù)解,

y-22-y

二解得:,=、4且。+2/0、y=4\*2(增根)

a+2a+2

當》為整數(shù)時,a+2=T或-2或-1或1或2或4,

解得a=-6或T或-3或-1或0或2,

4

a+2w0、y=----w2,

a+2

.,.]=一6或7或一3或-1或2;

又?-3<a<5

「.。二一3或-1或2,

則符合條件的所有整數(shù)a的和是—3-1+2=-2,

故答案為:-2.

【點睛】本題考查了不等式組的整數(shù)解、分式方程的解,解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式組的

整數(shù)解的個數(shù)及分式方程的整數(shù)解確定〃的取值范圍.

類型二、由解的情況求參數(shù)

例1.關(guān)于尤的分式方程生耳=1的解為負數(shù),貝"的取值范圍是()

X+1

A.a>\B.a<1C.av1且aw2D.a>l且

【答案】D

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,表示出整式方程的解,根據(jù)解為負數(shù)及分式方程

分母不為0求出。的范圍即可.

【詳解】解:去分母得:2x+a=x+l,

解得:x=\-a,

由題意得:

解得:a>\

又因為1+xwO,即1一a+lwO

所以。片2,

綜上所述:且

故選D.

【點睛】此題考查了分式方程的解,解題關(guān)鍵是熟練解分式方程,要注意在任何時候都要考

慮分母不為0.

例2.已知不等式2x7*<1的解集為x<l,且關(guān)于x的分式方程之二+二、=3的解為非

X~1X~1

負數(shù),則。的取值范圍為.

【答案】aW4且"3

【分析】先根據(jù)不等式的解集確定m,再求得方程的解,根據(jù)非負性轉(zhuǎn)化為不等式,求解集,

注意增根的陷阱.

【詳解】團不等式2x-m<1的解集為歲,又不等式2x-m<1的解集為x<l,

解得m=l,

八川、工口卡Tr,d2%—Q1.

團分式萬程變形為-----+——-=3,

x-1x-1

解方程,得1=4-a,

國分式方程"F+y=3的解為非負數(shù),

x-1%—1

04-?>0,

解得

團1-1=0時,分式無意義,

團xwl

團lw4—a,

團aw3,

故a的取值范圍是a?4且aw3,

故答案為:且QW3.

【點睛】本題考查了根據(jù)不等式的解集情況求參數(shù),分式方程的解的情況求參數(shù),正確的求

出不等式的解集,分式方程的解,是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練關(guān)于X的方程C-2=JL的解不小于1,則機的取值范圍為________.

x-33-x

【答案】m7且相?9

【分析】先解分式方程可得%=-6-根,由題意得-6>1,再由無。3,得-6-機。3,求

出加的取值范圍即可.

【詳解】解:烏-2=4,

x-55—x

3x-2(犬-3)=—m,

3x—2x+6=—m,

x=—6—m,

國方程的解不小于1,

0—6—m>1,

回1w3,

團一6一,

0m?9,

回加的取值范圍為:加7且相?9,

故答案為:m4-7且相?9.

【點睛】本題考查分式方程的解,熟練掌握分式方程的解法,注意分式方程增根的情況是解

題的關(guān)鍵.

【變式訓練2】.若數(shù)。使關(guān)于尤的分式方程上1+二=3的解為正數(shù),且使關(guān)于y的不等

x-22-x

[―3(y-2)24-y

式組“I/n的解集為yvi,則符合條件所有整數(shù)。的積為_____.

[3(y-o)<0

【答案】240

【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)即可得出。<5且。片3,根據(jù)不等式組的解集為了41,即

可得出”>1,找出1<。<5且aw3,中所有的整數(shù),將其相乘即可得出結(jié)論.

【詳解】解:分式方程二+三二=3的解為%=?且無力2,

x-22-x2

團分式方程=+丁一=3的解為正數(shù),

x-22—x

7—〃八

團---->0且-----12,

22

回。<7且Q。3,

-3(y-2)>4-

<3(i)<0②

解不等式①,得ywi,解不等式②,得y<。,

f—3(y—2)^4—y

回關(guān)于y的不等式組“IJ)的解集為yWl,

0£Z>1,

回1<4<7且。片3,又。為整數(shù),則。的值為2,4,5,6

符合條件的所有整數(shù)。的積為2x4x5x6=240,

故答案為:240

【點睛】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式,根據(jù)分式方程的解為正數(shù)結(jié)合不

等式組的解集為了<1,找出。的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

mx23

【變式訓練3].已知關(guān)于無的分式方程仆6G介+力=)無解,且關(guān)于y的不等

IX—ZHA—OlA—ZA—O

m-y>4

式組[y_4<3(y+4)有且只有三個偶數(shù)解,則所有符合條件的整數(shù)機的乘積為()

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】分式方程無解的情況有兩種,第一種是分式方程化成整式方程后,整式方程無解,

第二種是分式方程化成整式方程后有解,但是解是分式方程的增根,以此確定加的值,不

等式組整理后求出解集,根據(jù)有且只有三個偶數(shù)解確定出機的范圍,進而求出符合條件的

所有機的和即可.

【詳解】解:分式方程去分母得:的+2(x-6)=3(x-2),

整理得:(機-l)x-6=0,

分式方程無解的情況有兩種,

情況一:整式方程無解時,即〃2-1=0時,方程無解,

團"2=1;

情況二:當整式方程有解,是分式方程的增根,即m2或九=6,

①當x=2時,代入(機一1)%—6=0,得:2m-8=0

解得:得m=4.

②當x=6時,代入(機一1)%—6=0,得:6m-12=0,

解得:得m=2.

綜合兩種情況得,當根=4或m=2或機=1,分式方程無解;

m—y>4y<m-4

解不等式,得:

y—4<3(y+4)>-8

根據(jù)題意該不等式有且只有三個偶數(shù)解,

團不等式組有且只有的三個偶數(shù)解為-8,-6,-4,

[?]-4<m-4<-2,0O<m<2,

綜上所述當m=2或機=1時符合題目中所有要求,

團符合條件的整數(shù)m的乘積為2x1=2.

故選B.

【點睛】此題考查了分式方程的無解的問題,以及一元一次不等式組的偶數(shù)解,其中分式方

程無解的情況有兩種情況,一種是分式方程化成整式方程后整式方程無解,另一種是化成整

式方程后有解,但是解為分式方程的增根,易錯點是容易忽略某種情況;對于已知一元一次

不等式組解,求參數(shù)的值,找到參數(shù)所表示的代數(shù)式的取值范圍是解題關(guān)鍵.

類型三、由增根問題求參數(shù)

例.若關(guān)于X的分式9方^7程m士有4增根,則7”的值為()

x—1x+1X—1

A.1B.-2C.1或一2D.T或2

【答案】C

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,由分式方程有增根,得到最簡公分母為0,求出

x的值,代入整式方程求出機的值即可.

【詳解】解:去分母得:2%(x+l)+m(x—l)=4,

由分式方程有增根,得到x=l或x=-l,

把x=l代入整式方程得:2mx(l+l)+mx(l-l)=4

解得:m=l;

把產(chǎn)-1代入整式方程得:2mx(-l+l)+/nx(-l-l)=4,

解得:m=—2;

故選:C.

【點睛】此題考查了分式方程的增根,增根問題可按如下步驟進行:①讓最簡公分母為0

確定增根;②化分式方程為整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

【變式訓練1].若關(guān)于x的分式方程二1=二-2有增根,貝.

【答案】-2

【分析】根據(jù)增根的概念,代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可.

【詳解】解:關(guān)于龍的分式方程上1=2-2,

X+1X+1

去分母可化為=+,

又因為關(guān)于X的分式方程土==3-2有增根》=-1,

X+1X+1

所以是方程3-1=?!?(%+1)的根,

所以〃=—2,

故答案為:-2.

【點睛】本題考查分式方程的增根,理解增根的概念和產(chǎn)生過程是正確解答的關(guān)鍵.

【變式訓練2].若關(guān)于x的分式方程丁—-4=—三有增根,求相的值.

x-42-xx+2

【答案】加=-8或機=一12

【分析】先將方程轉(zhuǎn)化為整式方程,求出使最簡公分母的值為0的未知數(shù)的值,代入整式方

程進行求解即可.

【詳解】解:分式方程去分母,得:m+2(x+2)=3(x-2),整理,得:x-10=m,

團分式方程有增根,0(x+2)(x-2)=O,

Elx=2或尤=一2,當x=2時,77i=x-10=-8;

當x=-2時,;71=-2-10=-12;回機=-8或〃?=一12.

【點睛】本題考查分式方程有增根的問題.熟練掌握增根是使整式方程成立,使分式方程無

意義的未知數(shù)的值,是解題的關(guān)鍵.

類型三、由無解問題求參數(shù)

例.分式方程半+「一=2無解,則。的值是()

龍一11-x

A.3或2B.-2或3C.-3或3D.-2或2

【答案】A

【分析】分兩種情況討論:①分式方程的分母為0時,無解;②分式方程化為形如辦=人的

整式方程后,如果a=0且亦無解.據(jù)此即可解答.

【詳解】解:將丹■+」-=2化為整式方程得:水-3=2(x-1)

X—L1—X

整理得:(?-2)x=l

①團分式方程半+「一=2無解,

x—11-x

回元=1

將光=1代入(a—2)x=l得:a—2=1

團a=3.

②整式方程(a-2卜=1中,

當。-2=0時,方程無解,

此時,a=2

綜合①②兩種情況可知,〃的值為3或2.

故選:A.

【點睛】本題主要考查分式方程無解的情況,分情況討論分式方程無解的條件是解題關(guān)鍵.

【變式訓練1】.關(guān)于X的方程土蘭+爭竺=-1無解,則機的值為_____.

x-33-x

【答案】-1或-g

【分析】方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,根據(jù)分式方程無解可得-1-"=0或X=3,分別求出相

值即可.

【詳解】去分母得:3-2x-(2+mr)=3-x,

整理得:(-1一機)x-2=0,

當一1一根=0,即根=-1時,方程無解;

25

當—1—機。0,%=3時,方程無解,即%=-----=3,解得:用=一=,

-1-m3

回人的值為-1或-故答案為:-1或

【點睛】此題考查分式方程無解的情況,分情況求出方程中未知數(shù)的值,解題中注意運用分

類思想解答.

【變式訓練2].若關(guān)于x的分式方程展+等)=三無解,則加的值為

x-2x--4x+2

【答案】10或T或3

【分析】分式方程無解的情況有兩種:(1)原方程存在增根;(2)原方程約去分母后,整式

方程無解.

【詳解】解:(1)%=-2為原方程的增根,

止匕時有2(%+2)+mx=5(x-2),即2x(-2+2)-2m=5x(-2-2),

解得根=10;

(2)x=2為原方程的增根,

此時有2(%+2)+mx=5(x-2),即2x(2+2)+2w=5x(2-2),

解得加=-4.

(3)方程兩邊都乘(x+2)(x-2),

得2(x+2)+mx=5(x—2),

化簡得:(〃L3)X=-L4.

當帆=3時,整式方程無解.

綜上所述,當加=10或7〃=-4或m=3時,原方程無解.

故答案為:10或T或3.

【點睛】本題考查的是分式方程的解,解答此類題目既要考慮分式方程有增根的情形,又要

考慮整式方程無解的情形.

課后訓練

1.分式方程二-工=0有解,則。的取值范圍是()

x+1X

A.B.awlC.awO或awlD.awO且awl

【答案】D

【分析】先求出機與工的關(guān)系,再根據(jù)分式方程有解的條件判斷即可.

【詳解】解:二二=0

x+1X

方程兩邊同時乘以x(x+l)得:依—(x+l)=。,

團(a—l)x=l,

回分式方程有解,

0CL—1W0,

團aw1.

團(〃一1)X=1,

1

回X=---

a—1

團分式方程二-工=。有解,

團xwO且犬+1工0

團xw0且.xw—1

團,一1w—1,

綜上可知,且awl,

故選D

【點睛】本題考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù),解題的關(guān)鍵是找出增根.

2.關(guān)于龍的分式方程;-2=y■有增根,則根的值為()

x-2x-2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】去分母,分式方程化為整式方程,由增根的定義,則整式方程根為x=2,代入求

解參數(shù)值.

【詳解】解:分式方程變形,得X-2(X-2)=M,

把1x=2代入,得m=2;

故選:B.

【點睛】本題考查分式方程的求解,增根的定義;理解增根的定義是解題的關(guān)鍵.

3.若關(guān)于y的不等式組,-3有且只有2個奇數(shù)解,且關(guān)于X的分式方程

4y+l-m>0

3一;1的解JTI為非負數(shù),則符合條件的所有整數(shù)加的和為()

L—XX—1

A.3B.4C.11D.12

【答案】C

【分析】先解一元一次不等式組,再解分式方程,從而確定加的值,進而解決此題.

【詳解】解:y-2W號,

/.3y—6<y+2,

??.2y<8,

;.yV4,

4y+l-m>0,

4y>m-1,

m-1

??.r

y+2

y-2<

關(guān)于y的不等式組3有且只有2個奇數(shù)解,

4)7+1-m>0

,m-1,

-1<------W1,

4

1<4,

3<m<5,

1m

3二,

1—xx—1

.\3(x-l)+l=m,

/.3x—3+l=m,

:.3x=m+2,

m+2

x=-------

3

Ivn

,?關(guān)于無的分式方程3-一一二9的解為非負數(shù),

1—XX—1

m+2八日m+2

/.%=------>0,且-----W],

33

根\一2且根wl,

所有滿足條件的整數(shù)加為:-2或-1或0或2或3或4或5,

,所有滿足條件的整數(shù)小的值的和為:-2+(-1)+0+2+3+4+5=11,

故選:C.

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組、解分式方程,熟練掌握一元一次不等式組、

分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵.

4.關(guān)于x的分式方程/竺-一[=1的解為非負數(shù),則加的取值范圍________.

2-尤x-2

【答案】m>1且/關(guān)4

【分析】先去分母,將分式方程化為整式方程,求出x的值,再根據(jù)分式方程解為非負數(shù)和

分式有意義的條件,即可得出機的取值范圍.

2-mx6

【詳解】解:

2—尤尤一2

去分母,得:mx—2—6=x—2f

移項,得:mx—x=—2+2+6,

合并同類項,得:(m-l)x=6,

化系數(shù)為1,得:x=S.

團分式方程的解為非負數(shù),

EI—>0,解得:m>1,

m-l

團xw2,

團上;工2,解得:

團勿>1且相。4.

故答案為:m>1且mw4.

【點睛】本題主要考查了解分式方程,分式有意義的條件,解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的

方法和步驟,以及分式有意義的條件:分母不等于0.

5.若關(guān)于x的方程葉3+5巴=4的解為正數(shù),貝心”的取值范圍是_________.

X—22—x

【答案】加<8且7WR2

【分析】先解分式方程,根據(jù)分式方程的解為正數(shù)和分式方程無意義的情況,即可得出相

的取值范圍.

■、斗田、Ax+m2m

【詳解】解:——-+--=4A,

x—22—x

去分母得,x+wj-2m=4(x-2),

整理得,-機=3x-8,

解得,尤=早

回分式方程的解為正數(shù),

8—m八「8-m八

團九二---->0且-----w2,

33

回機<8且

故答案為:m<8且mw2.

【點睛】本題考查了解分式方程和一元一次不等式.解分式方程時注意分母不能為零.

6.若整數(shù)a既使得關(guān)于x的分式方程"^-2=,有整數(shù)解,又使得關(guān)于尤,y的方程組

1-Xx-1

ax-y=\

的解為正數(shù),貝壯

8x_2y=_1

【答案】5

【分析】先解分式方程,根據(jù)分式方程有整數(shù)解求出a的值,再解不等式組,根據(jù)不等式組

解為正求出。的取值范圍,再綜合得出結(jié)論.

【詳解】解:解方程與竺-2=」\得,

Y-XX-1

4

X~~a^3,

團分式方程有整數(shù)解,且XN1,

回。一3=-4或-2或-1或1或2或4,且"7,

回。=一1或1或2或4或5,

ax—y=1

解方程組得,

8x-2)/=-l

3

x=-----

2〃—8

〃+8'

y=

[2。-8

團方程組的解為正數(shù),

[2a+8>0

回《,

[〃+8>0

解得a>4,

綜上,a=5.

故答案為:5.

【點睛】本題考查解分式方程與不等式組,熟練掌握根據(jù)分式方程與不等式組解的情況求字

母參數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

7.若關(guān)于犬的一元一次不竽式組亍+<'的解集為x〉2,且關(guān)于>的分式方程

x+a<2x+5

^-=-2+^-的解為非負整數(shù),則所有滿足條件的。的值之積為__________.

y-2y-2

【答案】35

【分析】先解一元一次不等式組得出〃的取值范圍,再解分式方程得〃的范圍,最后綜合求

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