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文檔簡介
專題09分式方程中參數(shù)問題的四種考法
類型一、整數(shù)解問題求參數(shù)
例.若關(guān)于%的不等式組工+1%?有解且至多有5個整數(shù)解,且關(guān)于y的方程
------->-1
I24
+3=的解為整數(shù),則符合條件的整數(shù)機的個數(shù)為()
y-1L—y
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
x-m<—1
【分析】先解出不等式組的解集,然后根據(jù)不等式組x+1x?有解且至多有5個整數(shù)
------->-1
I24
解,即可求得加的取值范圍,再根據(jù)」7+3=?的解為整數(shù),即可寫出符合條件的加
y-11-y
的值.
x—m<—1
【詳解】解:解不等式組x+1x/導:-6<x<-l+m,
------->-1
I24
x—m<—1
回不等式組x+1x1至多有5個整數(shù)解,
------->-1
I24
-6<—1+771?—1,
解得—5<相40,
團整數(shù)機的值為
解方程一二+3==匕得:y=72_(機w_3),
y-11-y3+mv7
又y為整數(shù),
當m=T時,y=-2,符合題意,
當相=-2時,y=2,符合題意,
當加=-1時,y=i,不符合題意,
2
當機=0時,y=j,不符合題意,
符合條件的整數(shù)加的個數(shù)為2,
故選:C.
【點睛】本題考查了已知不等式組的解集求參數(shù),分式方程的解法,熟練掌握一元一次不等
式組的解集的確定方法是解題的關(guān)鍵.
3x<2(%+2)
【變式訓練T】.若關(guān)于%的不等式組L4x+lQ有且僅有3個整數(shù)解,且關(guān)于丁的分
2x--------->——
I312
式方程2-里二1=1的解是正數(shù),則符合條件的所有整數(shù)。的和為()
3-yy-3
A.6B.8C.9D.10
【答案】C
【分析】表示出不等式組的解集,由不等式組有且只有3個整數(shù)解,確定出〃的范圍,分式
方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,表示出羽由x為整數(shù)確定出〃的值即可.
3x<2(x+2)
a+4
<x<4
【詳解】解:不等式組2x-金〉a解得:"I"
13-12
回不等式組恰有3個整數(shù)解,
a+4
回0<----<1,解得:-4<a<4
8
團整數(shù)a可以為-3,-2,-1,0,1,2,3,4
1客M形為客
去分母,得效-5+2+y-3=0,解得了=£且y為正數(shù)
a+1
團a+l>0,艮口a>—1
團"3
回---w3,解得aw1且aw—1
a+\
團符合條件的整數(shù)a為0,2,3,4
0+2+3+4=9
故選C
【點睛】此題考查了分式方程的解,以及一元一次不等式組的整數(shù)解,熟練掌握運算法則是
解本題的關(guān)鍵.
【變式訓練2]若整數(shù)a使關(guān)于尤的分式方程一1+三%=1的解為非負整數(shù),且使關(guān)于y
x-33-x
'y+5vy
的不等式組3~2至多有3個整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)。的和為()
y—3>2(y-a)
A.24B.12C.6D.4
【答案】B
【分析】先解一元一次不等式組,再根據(jù)不等式組至多有3個整數(shù)解,確定求出。的范圍;
再解分式方程,根據(jù)分式方程有非負整數(shù)解,確定。的值即可解答.
【詳解】解:解不等式審w]得:yzio,
解不等式丁-3>2(y-。)得:y<2a-3,
團10Wy<2〃-3
團不等式組至多有3個整數(shù)解,
026/-3<13,
回a<8.
ycEZ口。+4
1—xa—x—3,角牛1^:x=~
團分式方程有非負整數(shù)解,
0x>O(%為非負整數(shù))且無。3,
。+4、門|-。+4.
團---->0>1-------。3,
22
田々N-4的偶數(shù)且
團且aw2且〃為偶數(shù),
團符合條件的所有整數(shù)〃的值為:-4,-2,0,4,6,8.
團符合條件的所有整數(shù).〃的和是:12.
故選:B.
【點睛】本題主要考查了解分式方程、一元一次不等式組的整數(shù)解等知識點,熟練掌握解一
元一次不等式組和解分式方程是解題的關(guān)鍵.
〃一(8元+13)<0
【變式訓練3】.若整數(shù)〃使關(guān)于%的不等式組?x+4有且僅有四個整數(shù)解,且使關(guān)
x+l<------
I2
于y的分式方程上7+1=胃曰有整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)a之和為______.
y-22—y
【答案】-2
【分析】根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個數(shù)確定a的取值范圍,再根據(jù)分式方程的整數(shù)解確定a
的取值范圍,從而求出符合條件的所有整數(shù)即可得結(jié)論.
a-(8%+13)<0(X)
【詳解】解:?%+46
x+l<------②
I2
解不等式①得:x>三上
解不等式②得:%<2
不等式組有且僅有四個整數(shù)解,
88
解得:—3<av5;
,分式方程T+1=竽2有整數(shù)解,
y-22-y
二解得:,=、4且。+2/0、y=4\*2(增根)
a+2a+2
當》為整數(shù)時,a+2=T或-2或-1或1或2或4,
解得a=-6或T或-3或-1或0或2,
4
a+2w0、y=----w2,
a+2
.,.]=一6或7或一3或-1或2;
又?-3<a<5
「.。二一3或-1或2,
則符合條件的所有整數(shù)a的和是—3-1+2=-2,
故答案為:-2.
【點睛】本題考查了不等式組的整數(shù)解、分式方程的解,解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式組的
整數(shù)解的個數(shù)及分式方程的整數(shù)解確定〃的取值范圍.
類型二、由解的情況求參數(shù)
例1.關(guān)于尤的分式方程生耳=1的解為負數(shù),貝"的取值范圍是()
X+1
A.a>\B.a<1C.av1且aw2D.a>l且
【答案】D
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,表示出整式方程的解,根據(jù)解為負數(shù)及分式方程
分母不為0求出。的范圍即可.
【詳解】解:去分母得:2x+a=x+l,
解得:x=\-a,
由題意得:
解得:a>\
又因為1+xwO,即1一a+lwO
所以。片2,
綜上所述:且
故選D.
【點睛】此題考查了分式方程的解,解題關(guān)鍵是熟練解分式方程,要注意在任何時候都要考
慮分母不為0.
例2.已知不等式2x7*<1的解集為x<l,且關(guān)于x的分式方程之二+二、=3的解為非
X~1X~1
負數(shù),則。的取值范圍為.
【答案】aW4且"3
【分析】先根據(jù)不等式的解集確定m,再求得方程的解,根據(jù)非負性轉(zhuǎn)化為不等式,求解集,
注意增根的陷阱.
【詳解】團不等式2x-m<1的解集為歲,又不等式2x-m<1的解集為x<l,
解得m=l,
八川、工口卡Tr,d2%—Q1.
團分式萬程變形為-----+——-=3,
x-1x-1
解方程,得1=4-a,
國分式方程"F+y=3的解為非負數(shù),
x-1%—1
04-?>0,
解得
團1-1=0時,分式無意義,
團xwl
團lw4—a,
團aw3,
故a的取值范圍是a?4且aw3,
故答案為:且QW3.
【點睛】本題考查了根據(jù)不等式的解集情況求參數(shù),分式方程的解的情況求參數(shù),正確的求
出不等式的解集,分式方程的解,是解題的關(guān)鍵.
【變式訓練關(guān)于X的方程C-2=JL的解不小于1,則機的取值范圍為________.
x-33-x
【答案】m7且相?9
【分析】先解分式方程可得%=-6-根,由題意得-6>1,再由無。3,得-6-機。3,求
出加的取值范圍即可.
【詳解】解:烏-2=4,
x-55—x
3x-2(犬-3)=—m,
3x—2x+6=—m,
x=—6—m,
國方程的解不小于1,
0—6—m>1,
回1w3,
團一6一,
0m?9,
回加的取值范圍為:加7且相?9,
故答案為:m4-7且相?9.
【點睛】本題考查分式方程的解,熟練掌握分式方程的解法,注意分式方程增根的情況是解
題的關(guān)鍵.
【變式訓練2】.若數(shù)。使關(guān)于尤的分式方程上1+二=3的解為正數(shù),且使關(guān)于y的不等
x-22-x
[―3(y-2)24-y
式組“I/n的解集為yvi,則符合條件所有整數(shù)。的積為_____.
[3(y-o)<0
【答案】240
【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)即可得出。<5且。片3,根據(jù)不等式組的解集為了41,即
可得出”>1,找出1<。<5且aw3,中所有的整數(shù),將其相乘即可得出結(jié)論.
【詳解】解:分式方程二+三二=3的解為%=?且無力2,
x-22-x2
團分式方程=+丁一=3的解為正數(shù),
x-22—x
7—〃八
團---->0且-----12,
22
回。<7且Q。3,
-3(y-2)>4-
<3(i)<0②
解不等式①,得ywi,解不等式②,得y<。,
f—3(y—2)^4—y
回關(guān)于y的不等式組“IJ)的解集為yWl,
0£Z>1,
回1<4<7且。片3,又。為整數(shù),則。的值為2,4,5,6
符合條件的所有整數(shù)。的積為2x4x5x6=240,
故答案為:240
【點睛】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式,根據(jù)分式方程的解為正數(shù)結(jié)合不
等式組的解集為了<1,找出。的取值范圍是解題的關(guān)鍵.
mx23
【變式訓練3].已知關(guān)于無的分式方程仆6G介+力=)無解,且關(guān)于y的不等
IX—ZHA—OlA—ZA—O
m-y>4
式組[y_4<3(y+4)有且只有三個偶數(shù)解,則所有符合條件的整數(shù)機的乘積為()
A.1B.2C.4D.8
【答案】B
【分析】分式方程無解的情況有兩種,第一種是分式方程化成整式方程后,整式方程無解,
第二種是分式方程化成整式方程后有解,但是解是分式方程的增根,以此確定加的值,不
等式組整理后求出解集,根據(jù)有且只有三個偶數(shù)解確定出機的范圍,進而求出符合條件的
所有機的和即可.
【詳解】解:分式方程去分母得:的+2(x-6)=3(x-2),
整理得:(機-l)x-6=0,
分式方程無解的情況有兩種,
情況一:整式方程無解時,即〃2-1=0時,方程無解,
團"2=1;
情況二:當整式方程有解,是分式方程的增根,即m2或九=6,
①當x=2時,代入(機一1)%—6=0,得:2m-8=0
解得:得m=4.
②當x=6時,代入(機一1)%—6=0,得:6m-12=0,
解得:得m=2.
綜合兩種情況得,當根=4或m=2或機=1,分式方程無解;
m—y>4y<m-4
解不等式,得:
y—4<3(y+4)>-8
根據(jù)題意該不等式有且只有三個偶數(shù)解,
團不等式組有且只有的三個偶數(shù)解為-8,-6,-4,
[?]-4<m-4<-2,0O<m<2,
綜上所述當m=2或機=1時符合題目中所有要求,
團符合條件的整數(shù)m的乘積為2x1=2.
故選B.
【點睛】此題考查了分式方程的無解的問題,以及一元一次不等式組的偶數(shù)解,其中分式方
程無解的情況有兩種情況,一種是分式方程化成整式方程后整式方程無解,另一種是化成整
式方程后有解,但是解為分式方程的增根,易錯點是容易忽略某種情況;對于已知一元一次
不等式組解,求參數(shù)的值,找到參數(shù)所表示的代數(shù)式的取值范圍是解題關(guān)鍵.
類型三、由增根問題求參數(shù)
例.若關(guān)于X的分式9方^7程m士有4增根,則7”的值為()
x—1x+1X—1
A.1B.-2C.1或一2D.T或2
【答案】C
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,由分式方程有增根,得到最簡公分母為0,求出
x的值,代入整式方程求出機的值即可.
【詳解】解:去分母得:2%(x+l)+m(x—l)=4,
由分式方程有增根,得到x=l或x=-l,
把x=l代入整式方程得:2mx(l+l)+mx(l-l)=4
解得:m=l;
把產(chǎn)-1代入整式方程得:2mx(-l+l)+/nx(-l-l)=4,
解得:m=—2;
故選:C.
【點睛】此題考查了分式方程的增根,增根問題可按如下步驟進行:①讓最簡公分母為0
確定增根;②化分式方程為整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.
【變式訓練1].若關(guān)于x的分式方程二1=二-2有增根,貝.
【答案】-2
【分析】根據(jù)增根的概念,代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可.
【詳解】解:關(guān)于龍的分式方程上1=2-2,
X+1X+1
去分母可化為=+,
又因為關(guān)于X的分式方程土==3-2有增根》=-1,
X+1X+1
所以是方程3-1=?!?(%+1)的根,
所以〃=—2,
故答案為:-2.
【點睛】本題考查分式方程的增根,理解增根的概念和產(chǎn)生過程是正確解答的關(guān)鍵.
【變式訓練2].若關(guān)于x的分式方程丁—-4=—三有增根,求相的值.
x-42-xx+2
【答案】加=-8或機=一12
【分析】先將方程轉(zhuǎn)化為整式方程,求出使最簡公分母的值為0的未知數(shù)的值,代入整式方
程進行求解即可.
【詳解】解:分式方程去分母,得:m+2(x+2)=3(x-2),整理,得:x-10=m,
團分式方程有增根,0(x+2)(x-2)=O,
Elx=2或尤=一2,當x=2時,77i=x-10=-8;
當x=-2時,;71=-2-10=-12;回機=-8或〃?=一12.
【點睛】本題考查分式方程有增根的問題.熟練掌握增根是使整式方程成立,使分式方程無
意義的未知數(shù)的值,是解題的關(guān)鍵.
類型三、由無解問題求參數(shù)
例.分式方程半+「一=2無解,則。的值是()
龍一11-x
A.3或2B.-2或3C.-3或3D.-2或2
【答案】A
【分析】分兩種情況討論:①分式方程的分母為0時,無解;②分式方程化為形如辦=人的
整式方程后,如果a=0且亦無解.據(jù)此即可解答.
【詳解】解:將丹■+」-=2化為整式方程得:水-3=2(x-1)
X—L1—X
整理得:(?-2)x=l
①團分式方程半+「一=2無解,
x—11-x
回元=1
將光=1代入(a—2)x=l得:a—2=1
團a=3.
②整式方程(a-2卜=1中,
當。-2=0時,方程無解,
此時,a=2
綜合①②兩種情況可知,〃的值為3或2.
故選:A.
【點睛】本題主要考查分式方程無解的情況,分情況討論分式方程無解的條件是解題關(guān)鍵.
【變式訓練1】.關(guān)于X的方程土蘭+爭竺=-1無解,則機的值為_____.
x-33-x
【答案】-1或-g
【分析】方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,根據(jù)分式方程無解可得-1-"=0或X=3,分別求出相
值即可.
【詳解】去分母得:3-2x-(2+mr)=3-x,
整理得:(-1一機)x-2=0,
當一1一根=0,即根=-1時,方程無解;
25
當—1—機。0,%=3時,方程無解,即%=-----=3,解得:用=一=,
-1-m3
回人的值為-1或-故答案為:-1或
【點睛】此題考查分式方程無解的情況,分情況求出方程中未知數(shù)的值,解題中注意運用分
類思想解答.
【變式訓練2].若關(guān)于x的分式方程展+等)=三無解,則加的值為
x-2x--4x+2
【答案】10或T或3
【分析】分式方程無解的情況有兩種:(1)原方程存在增根;(2)原方程約去分母后,整式
方程無解.
【詳解】解:(1)%=-2為原方程的增根,
止匕時有2(%+2)+mx=5(x-2),即2x(-2+2)-2m=5x(-2-2),
解得根=10;
(2)x=2為原方程的增根,
此時有2(%+2)+mx=5(x-2),即2x(2+2)+2w=5x(2-2),
解得加=-4.
(3)方程兩邊都乘(x+2)(x-2),
得2(x+2)+mx=5(x—2),
化簡得:(〃L3)X=-L4.
當帆=3時,整式方程無解.
綜上所述,當加=10或7〃=-4或m=3時,原方程無解.
故答案為:10或T或3.
【點睛】本題考查的是分式方程的解,解答此類題目既要考慮分式方程有增根的情形,又要
考慮整式方程無解的情形.
課后訓練
1.分式方程二-工=0有解,則。的取值范圍是()
x+1X
A.B.awlC.awO或awlD.awO且awl
【答案】D
【分析】先求出機與工的關(guān)系,再根據(jù)分式方程有解的條件判斷即可.
【詳解】解:二二=0
x+1X
方程兩邊同時乘以x(x+l)得:依—(x+l)=。,
團(a—l)x=l,
回分式方程有解,
0CL—1W0,
團aw1.
團(〃一1)X=1,
1
回X=---
a—1
團分式方程二-工=。有解,
團xwO且犬+1工0
團xw0且.xw—1
團,一1w—1,
團
綜上可知,且awl,
故選D
【點睛】本題考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù),解題的關(guān)鍵是找出增根.
2.關(guān)于龍的分式方程;-2=y■有增根,則根的值為()
x-2x-2
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】去分母,分式方程化為整式方程,由增根的定義,則整式方程根為x=2,代入求
解參數(shù)值.
【詳解】解:分式方程變形,得X-2(X-2)=M,
把1x=2代入,得m=2;
故選:B.
【點睛】本題考查分式方程的求解,增根的定義;理解增根的定義是解題的關(guān)鍵.
3.若關(guān)于y的不等式組,-3有且只有2個奇數(shù)解,且關(guān)于X的分式方程
4y+l-m>0
3一;1的解JTI為非負數(shù),則符合條件的所有整數(shù)加的和為()
L—XX—1
A.3B.4C.11D.12
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式組,再解分式方程,從而確定加的值,進而解決此題.
【詳解】解:y-2W號,
/.3y—6<y+2,
??.2y<8,
;.yV4,
4y+l-m>0,
4y>m-1,
m-1
??.r
y+2
y-2<
關(guān)于y的不等式組3有且只有2個奇數(shù)解,
4)7+1-m>0
,m-1,
-1<------W1,
4
1<4,
3<m<5,
1m
3二,
1—xx—1
.\3(x-l)+l=m,
/.3x—3+l=m,
:.3x=m+2,
m+2
x=-------
3
Ivn
,?關(guān)于無的分式方程3-一一二9的解為非負數(shù),
1—XX—1
m+2八日m+2
/.%=------>0,且-----W],
33
根\一2且根wl,
所有滿足條件的整數(shù)加為:-2或-1或0或2或3或4或5,
,所有滿足條件的整數(shù)小的值的和為:-2+(-1)+0+2+3+4+5=11,
故選:C.
【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組、解分式方程,熟練掌握一元一次不等式組、
分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵.
4.關(guān)于x的分式方程/竺-一[=1的解為非負數(shù),則加的取值范圍________.
2-尤x-2
【答案】m>1且/關(guān)4
【分析】先去分母,將分式方程化為整式方程,求出x的值,再根據(jù)分式方程解為非負數(shù)和
分式有意義的條件,即可得出機的取值范圍.
2-mx6
【詳解】解:
2—尤尤一2
去分母,得:mx—2—6=x—2f
移項,得:mx—x=—2+2+6,
合并同類項,得:(m-l)x=6,
化系數(shù)為1,得:x=S.
團分式方程的解為非負數(shù),
EI—>0,解得:m>1,
m-l
團xw2,
團上;工2,解得:
團勿>1且相。4.
故答案為:m>1且mw4.
【點睛】本題主要考查了解分式方程,分式有意義的條件,解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的
方法和步驟,以及分式有意義的條件:分母不等于0.
5.若關(guān)于x的方程葉3+5巴=4的解為正數(shù),貝心”的取值范圍是_________.
X—22—x
【答案】加<8且7WR2
【分析】先解分式方程,根據(jù)分式方程的解為正數(shù)和分式方程無意義的情況,即可得出相
的取值范圍.
■、斗田、Ax+m2m
【詳解】解:——-+--=4A,
x—22—x
去分母得,x+wj-2m=4(x-2),
整理得,-機=3x-8,
解得,尤=早
回分式方程的解為正數(shù),
8—m八「8-m八
團九二---->0且-----w2,
33
回機<8且
故答案為:m<8且mw2.
【點睛】本題考查了解分式方程和一元一次不等式.解分式方程時注意分母不能為零.
6.若整數(shù)a既使得關(guān)于x的分式方程"^-2=,有整數(shù)解,又使得關(guān)于尤,y的方程組
1-Xx-1
ax-y=\
的解為正數(shù),貝壯
8x_2y=_1
【答案】5
【分析】先解分式方程,根據(jù)分式方程有整數(shù)解求出a的值,再解不等式組,根據(jù)不等式組
解為正求出。的取值范圍,再綜合得出結(jié)論.
【詳解】解:解方程與竺-2=」\得,
Y-XX-1
4
X~~a^3,
團分式方程有整數(shù)解,且XN1,
回。一3=-4或-2或-1或1或2或4,且"7,
回。=一1或1或2或4或5,
ax—y=1
解方程組得,
8x-2)/=-l
3
x=-----
2〃—8
〃+8'
y=
[2。-8
團方程組的解為正數(shù),
[2a+8>0
回《,
[〃+8>0
解得a>4,
綜上,a=5.
故答案為:5.
【點睛】本題考查解分式方程與不等式組,熟練掌握根據(jù)分式方程與不等式組解的情況求字
母參數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
7.若關(guān)于犬的一元一次不竽式組亍+<'的解集為x〉2,且關(guān)于>的分式方程
x+a<2x+5
^-=-2+^-的解為非負整數(shù),則所有滿足條件的。的值之積為__________.
y-2y-2
【答案】35
【分析】先解一元一次不等式組得出〃的取值范圍,再解分式方程得〃的范圍,最后綜合求
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