人教版八年級數(shù)學下冊 第十六章 二次根式（壓軸題專練）（原卷版）

第十六章二次根式（壓軸題專練）

目錄

【考點一化簡含字母的二次根式】...........................................................1

【考點二利用二次根式的非負性求值】.......................................................1

【考點三新定義型二次根式的運算】.........................................................2

【考點四二次根式的分母有理化】...........................................................3

【考點五復合二次根式的化簡】.............................................................4

【考點六二次根式中的規(guī)律探究問題】.......................................................6

【考點一化簡含字母的二次根式】

例題：（2023上?河南焦作?八年級統(tǒng)考期中）已知則化簡二次根式口吊的正確結果是（）

A?-QJ-abB.—ay[abC.a\[abD.ay[—ab

【變式訓練】

1.（2023上?全國?八年級專題練習）把根號外的因數(shù)移到根號內(nèi)，結果是（）

A.>/xB.C.-yf^xD.-yfx

2.（2023上?四川樂山?九年級樂山市實驗中學?？计谥校┤鬭b<0,則代數(shù)式而萬可化簡為（）

A.aby[bB.aby[—bC.-aby/bD.—aby/—b

3.（2023上?河南鄭州?八年級校聯(lián)考階段練習）化簡-4日的結果是（）

Va

A.B.—C.-—ciD.J—a

4.（2023上?河南洛陽?九年級統(tǒng)考期中）化簡二次根式J；（x<0）,得（）

A.正B.石C.一互y[x

XXXX

【考點二利用二次根式的非負性求值】

例題：已知y=—1+,2022—X+Jx—2022,則V的值是（）

A.2022B.1C.-1D.0

【變式訓練】

1.已知x、y都是實數(shù)，且y=Jx-2+j2-x+3,貝I］孫=.

2.已知實數(shù)x，y滿足J2尤+4+/一16二+64=0,則J（孫『的值為.

3.已知實數(shù)a,b,c滿足（a-2）2+|26+6|+6^=0.

⑴求實數(shù)a,%,c的值；

⑵求Ja-3b+c的平方根.

【考點三新定義型二次根式的運算】

2?_&(aNb),

例題:對任意的正數(shù)定義運算“*”如下：a*b=<計算（3*2）+（3*5）的結果為

3yfb-2yfa(a<b).

【變式訓練】

1.對于任意兩個不相等的實數(shù)。、b,定義運算“X”如下：。※萬=血亙，如3X2=3三=@,那么6派

ab3x26

12=

2.已知〃，人都是實數(shù)，現(xiàn)定義新運算：a*Z?=3a-/,例：2*1=3x2—P=5.

⑴求2*卜行）的值;

(2)若機=(百_石)(6+,n=3-^5,求m*〃的值.

3.用九定義一種新運算：對于任意實數(shù)。和6,規(guī)定〃（8）匕=々2一々6+1.

⑴求四區(qū)"的值.

（2）V2?（yfi?y/6）=.

4.對于任意兩個不相等的數(shù)〃，b,定義一種新運算“◎”如下:

-^,<a+b._。3+2rz

az?b=,，如3?2=/=v5.

(j—bJ3—2

(1)填空：5?4=.

(2)若12?4=Q(x-l),求x的值.

【考點四二次根式的分母有理化】

例題：像“+志）（若-0）=3、8.&=a（aNO）、（四+=6-1（620）…兩個含有二次根式的

代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例如，百和6、&+1與④-1、

2君+3店與2君-3君等都是互為有理化因式.在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母

中的根號.請完成下列問題:

⑴計算：①5二——'②卷=——；

⑵計算：擊一七；

（3）已知有理數(shù)。、6滿足云+]=26-1貝lja=b=____

【變式訓練】

1.（2023上?寧夏中衛(wèi)?八年級?？茧A段練習）觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題:

1_y/2-l_A/2-1_A/2-1_r-

例1:田二（用…廣"?丁…,

例2：—五二也一及，7^="一百'hr&m

利用以上結論解答以下問題：（不必證明）

11

⑴布+6--；VWO+A/99；

（2）利用上面的結論，求下列式子的值.（有過程）

---1--1----1----1----1----1-H------1---

夜+16+0〃+6……7100+799

2.(2023上?河北石家莊?八年級?？计谀?&?&=a(aN0),(揚+1)(揚-1)=6-1020),兩個含有二次

根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例如

(萬+1)(&-1)=(a『-1=1,(V5-V3)(A/5+^)=(V5)2-(V3)2=2,其中立一1與逝+1有一g與

店+百都是互為有理化因式.在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以將分母有理化.請完成下列

問題:

⑴計算：擊=一，萬之后=-；

r\1_

(2)已知有理數(shù)4、(滿足江_尸6_]=26_1貝IIa=_,b=_;

(3)計算—；=--1-—；=——產(chǎn)+廣廣+???+,——,

㈠丁舁石+i75+73A/7+75J2023+J2021.

3.(2023上?河南南陽?九年級統(tǒng)考期中)先閱讀材料，然后回答問題.

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在進行二次根式化同時，我們有時會遇到形如，的式子，其實我們還可以將其進一步化簡:

小舊'V3+1

2一2x(gT)2x(百一

①青湍=|5②序?qū)親③省+「(6+1收一1](可一F7-

以上這種化簡的方法叫做分母有理化.

還可以用以下方法化簡：

⑷23-1(石)'-伊(石+1)(石-1)：萬]

用1A/3+I73+16+1'

(1)請用不同的方法化簡石、.

⑵化簡：看+高耳+后、+…+賓T、力

【考點五復合二次根式的化簡】

例題：先閱讀下列材料，再解決問題：

閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及一次根式的性質(zhì)化去一層根號.

例如：J3+20=,3+2xlx虛=JF+2X1X0+(匈2

=J(1+夜『=卜+閩=1+0.

解決問題：化簡下列各式

⑴17+4?。?/p>

(2)8-4石.

【變式訓練】

L(1)填空：(右-2『=；小一菊=；

(2)例題：化簡,5+2/

解：因為5+26=3+2+2><6義近=(指『+2'百'忘+(忘『=(石+忘了

所以，5+24=+=#1+&

仿照上例的方法，化簡下列各式：

①J12+6君②,4-26+78-2715

2.我們已知學過完全平方公式/±2必+〃=(“±6)2,知道所有的非負數(shù)都可以看作一個數(shù)的平方，如

2=(0)2,3=(百)2等，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的題：

例：求3-20的算術平方根.

解：3-20=2-2忘+1=(忘>_20+F=(0_1)2,所以3-20的算術平方根是a-1.你看明白了嗎？

請根據(jù)上面的方法解答下列問題:

(1)填空：73+272=

⑵化簡：73-2A/2+小5-2屈+，7-2舊+鄧-2回+3-2回-

【考點六二次根式中的規(guī)律探究問題】

例題：觀察下列各式及其驗證過程：^1+|=2^|,61=3行，=…驗證:小g=

(1)請仿照上面的方法來驗證，=；

(2)根據(jù)上面反映的規(guī)律，請將猜到的規(guī)律用含自然數(shù)的代數(shù)式表示出來.并寫出過程.

【變式訓練】

1.觀察下列各式及其驗證過程:

(1)按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想、5+工的變形結果并進行驗證;

(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用〃(“為大于1的整數(shù))表示的等式并給予驗證.

2.觀察下列各式及驗證過程:

(1)按